新教材同步備課2024春高中數(shù)學(xué)第6章計數(shù)原理6.2排列與組合6.2.3組合6.2.4組合數(shù)第2課時組合的綜合應(yīng)用學(xué)生用書新人教A版選擇性必修第三冊

第2課時組合的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)1．能應(yīng)用組合知識解決有限制條件的組合問題．(邏輯推理)2．掌握解決組合實際問題的常用方法．(邏輯推理)類型1有限制條件的組合問題【例1】3.15消費者權(quán)益日，工商局對35件奶制品進行抽樣調(diào)查，已知其中有15件不合格．現(xiàn)從35件奶制品中選取3件．(1)其中不合格品A必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中不合格品B不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2件不合格品在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2件不合格品在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2件不合格品在內(nèi)，不同的取法有多少種？[嘗試解答]有限制條件的兩類組合問題(1)“含”與“不含”問題，常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數(shù)．(2)“至多”“至少”問題，常有兩種解決思路．一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準(zhǔn)對立面，確保不重不漏．正確理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等詞語的確切含義是解決這些組合問題的關(guān)鍵．[跟進訓(xùn)練]1．現(xiàn)有10名教師，其中男教師6名，女教師4名．按下列要求各有多少種不同的選法？(1)選出2名教師參加會議，恰有1名男教師；(2)選出2名教師參加會議，至少有1名男教師；(3)選出2名教師參加會議，至多有1名男教師．類型2幾何中的組合問題【例2】如圖，在以AB為直徑的半圓周上，有異于A，B的六個點C1，C2，…，C6，線段AB上有異于A，B的四個點D1，D2，D3，D4．(1)以這10個點中的3個點為頂點可作多少個三角形？其中含點C1的有多少個？(2)以圖中的12個點(包括A，B)中的4個點為頂點，可作出多少個四邊形？[嘗試解答](1)圖形多少的問題通常是組合問題，要注意共點、共線、共面、異面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用間接法．(2)解決幾何圖形中的組合問題，首先應(yīng)注意運用處理組合問題的常規(guī)方法解決，其次要注意從不同類型的幾何問題中抽象出組合問題，尋找一個組合的模型加以處理．[跟進訓(xùn)練]2．平面內(nèi)有12個點，其中有4個點共線，此外再無任何3點共線．以這些點為頂點，可構(gòu)成多少個不同的三角形？類型3排列與組合的綜合問題選派問題【例3】(2023·黑龍江省哈九中月考)有4名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生，從中選2名男醫(yī)生，1名女醫(yī)生到3個不同地區(qū)巡回醫(yī)療，但規(guī)定男醫(yī)生甲不能到地區(qū)A，則不同的分派方案共有________種．(用數(shù)字作答)[思路導(dǎo)引]男醫(yī)生甲是特殊對象|分類解答[嘗試解答]選派問題的解題策略(1)求解選派問題時，要認(rèn)真審題，把握問題的實質(zhì)，分清是排列還是組合問題，并注意結(jié)合分類與分步兩個原理，要按元素的性質(zhì)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，按事情的發(fā)生過程確定分步的順序．(2)解選派問題的一般思路是“先選后排”，也就是先把符合題意的元素都選出來，再對元素或位置進行排列．因此很多同類型試題都可轉(zhuǎn)化為選派問題進行求解．(3)對于有多個限制條件的復(fù)雜問題，應(yīng)認(rèn)真分析每個限制條件，然后考慮是分類還是分步，這是處理選派問題的一般方法．“多面手”問題【例4】(2023·上海市延安中學(xué)期末)有8名劃船運動員，其中3人只會劃左舷，3人只會劃右舷，其他2人既會劃左舷又會劃右舷，現(xiàn)要從這8名運動員中選出6人平均分在左、右舷參加劃船比賽，則不同的選法共有________種．[嘗試解答]解決“多面手”問題時，依據(jù)“多面手”參加的人數(shù)和從事的工作進行分類，將問題細化為較小的問題后再處理．[跟進訓(xùn)練]3．(2023·海南省瓊海市期中)某單位需派人同時參加甲、乙、丙三個會議，甲需2人參加，乙、丙各需1人參加，從6人中選派4人參加這三個會議，不同的安排方法共有________種．(用數(shù)字作答)4．某車間有11名工人，其中5名鉗工，4名車工，另外2名既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要從這11名工人中選4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則共有多少種不同的選法？1．一個口袋中裝有大小相同的6個白球和4個黑球，從中取2個球，則這2個球同色的不同取法有()A．27種 B．24種C．21種 D．18種2．(多選)某中學(xué)從4名男生和3名女生中推薦4人參加社會公益活動．若選出的4人中既有男生又有女生，則()A．若選1男3女有4種B．若選2男2女有18種C．若選3男1女有16種D．共有34種不同的選法3．4名畢業(yè)生到兩所不同的學(xué)校實習(xí)，每名畢業(yè)生只能選擇一所學(xué)校實習(xí)，且每所學(xué)校至少有一名畢業(yè)生實習(xí)，其中甲、乙兩名畢業(yè)生不能在同一所學(xué)校實習(xí)，則不同的安排方法為()A．12 B．10C．8 D．64．在同一個平面內(nèi)有一組平行線共8條，另一組平行線共10條，這兩組平行線相互不平行．(1)它們共能構(gòu)成________個平行四邊形；(2)共有________個交點．回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．解決有限制條件的組合問題常用方法有哪些？2．解決有限制條件的組合問題的原則是什么？3．“分組”問題與“分配”問題是一回事嗎？中國古代的排列組合我國古代有許多與排列組合有關(guān)的有趣例子．古老的《周易》中有一種叫作“易卦”的圖形，它是由兩種不同的線條每次取6條由下至上重疊而成(如圖1)．連續(xù)的線條叫作陽爻，斷開的線條叫作陰爻，陽爻與陰爻統(tǒng)稱為爻．每一個易卦都由6個爻組成，每一爻都有取陽爻或取陰爻兩種方法，所以，易卦共有2×2×2×2×2×2＝26＝64(個)．《史記》里記載了一個“田忌賽馬”的故事．齊王經(jīng)常和他的大臣田忌賽馬，雙方各有上馬、中馬、下馬一匹，每次比賽時三匹馬各出場一次，一對一地進行比賽，共賽三場，每場賭注為一千金．田忌的馬與齊王的馬相比略有遜色．田忌的上馬不敵齊王的上馬，但勝過齊王的中馬和下馬；田忌的中馬不敵齊王的上馬和中馬，但勝過齊王的下馬．開始，田忌總是用自己的上馬、中馬和下馬分別去對齊王的上馬、中馬和下馬，屢戰(zhàn)屢?。髞硖锛傻闹\士孫臏分析了比賽共有3?。?(種)可能的結(jié)果，其中只有一種對田忌有利．于是孫臏讓田忌用下馬對齊王的上馬，用中馬對齊王的下馬，用上馬對齊王的中馬，結(jié)果兩勝一負(fù)，反而贏得一千金．唐代科學(xué)家僧一行(683－727)和宋代科學(xué)家沈括(1031－1095)都曾經(jīng)討論過圍棋可能出現(xiàn)的局勢總數(shù)問題，其結(jié)果是一個天文數(shù)字．圍棋盤縱橫各有19路，共19×19＝361(個)格．每個格點都有“黑子”“白子”“無子”3種可能，因而有3361種不同的棋局．當(dāng)然這只是理論上的，有些棋局不合棋理，不大可能出現(xiàn)在實際對弈中．但世事無絕對，圖2展現(xiàn)的人工智能程序AlphaGo與人對弈的一盤棋，它的很多下法讓專業(yè)棋手大吃一驚．這說明在“大數(shù)據(jù)”面前，人類的計算力處于劣勢，因此不能僅憑經(jīng)驗去否定掉一些看似價值不大的數(shù)據(jù)．第2課時組合的綜合應(yīng)用[關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難]例1解：(1)從余下的34件奶制品中，選取2件有C342＝561(種所以不合格品A必須在內(nèi)的不同取法有561種．(2)從34件可選奶制品中，選取3件，有C343＝5984(種)所以不合格品B不能在內(nèi)的不同取法有5984種．(3)從20件合格品中選取1件，從15件不合格品中選取2件，有C201C152＝2100所以恰有2件不合格品在內(nèi)的不同取法有2100種．(4)選取2件不合格品，1件合格品有C201C152種取法，選取3件不合格品有C153種取法，共有選取方法所以至少有2件不合格品在內(nèi)的不同取法有2555種．(5)法一(間接法)：選取3件奶制品的取法總數(shù)為C353，選取3件不合格品的取法總數(shù)為C153，因此共有選取方法C353所以至多有2件不合格品在內(nèi)的不同取法有6090種．法二(直接法)：共有選取方法C203＋C所以至多有2件不合格品在內(nèi)的不同取法有6090種．跟進訓(xùn)練1．解：(1)2名教師中恰有1名男教師，則選出1男1女，有C61C41＝6×4＝24(2)法一(直接法)：至少有1名男教師可分兩類：1男1女有C61C41種選法，2男0女有C62種選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有C法二(間接法)：選出2名教師參加會議，至少有1名男教師，也就是從10名教師中選出2名教師參加會議的選法種數(shù)減去2名都是女教師的選法種數(shù)，即C102－C42(3)法一(直接法)：至多有1名男教師包括兩類：1男1女有C61C41種選法，0男2女有C42種選法．由分類加法計數(shù)原理，有C法二(間接法)：選出2名教師參加會議，至多有1名男教師，也就是從10名教師中選出2名教師參加會議的選法種數(shù)減去2名都是男教師的選法種數(shù)，即C102－C62例2解：(1)法一：可作出三角形C63＋C61·C42其中以C1為頂點的三角形有C52＋C51·C法二：可作三角形C103－C43其中以C1為頂點的三角形有C52＋C51·C(2)可作出四邊形C64＋C63·C61跟進訓(xùn)練2．解：法一：以從共線的4個點中取點的多少作為分類標(biāo)準(zhǔn)．第1類：共線的4個點中有2個點為三角形的頂點，共有C42C81＝第2類：共線的4個點中有1個點為三角形的頂點，共有C41C82＝第3類：共線的4個點中沒有點為三角形的頂點，共有C83＝56(個)由分類加法計數(shù)原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216(個)．法二：從12個點中任意取3個點，有C123＝220種取法，而在共線的4個點中任意取3個均不能構(gòu)成三角形，即不能構(gòu)成三角形的情況有C43＝4故這12個點能構(gòu)成三角形的個數(shù)為C123－C43例390[法一：分兩類完成．第一類：甲被選中，有C31C31C2第二類：甲不被選中，有C32C31A3根據(jù)分類加法計數(shù)原理，分派方案共有36＋54＝90(種)．法二：分兩類完成．第一類：地區(qū)A分派女醫(yī)生，有C31第二類：地區(qū)A分派除醫(yī)生甲之外的男醫(yī)生，有C31C31C3根據(jù)分類加法計數(shù)原理，分派方案共有36＋54＝90(種)．]例437[設(shè)集合A＝{只會劃左舷的3人}，B＝{只會劃右舷的3人}，C＝{既會劃左舷又會劃右舷的2人}．先分類，以集合A為基準(zhǔn)，被選出劃左舷的3個人中，有以下幾類情況：①A中有3人；②A中有2人，C中有1人；③A中有1人，C中有2人．第①類情況中，由于劃左舷的人已選定，劃右舷的人可以在集合B，C中選3人，有C53種選法，同理可得第②③④類情況的選法種數(shù)．故不同的選法共有C33C53跟進訓(xùn)練3．180[法一：先從6人中選出2人參加會議甲，再從余下的4人中選出1人參加會議乙，最后從剩下的3人中選出1人參加會議丙．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同的安排方法共有C62C41C法二：先從6人中選出2人參加會議甲，再從余下的4人中選出2人分別參加會議乙、丙．根據(jù)分步乘法計數(shù)