第七章《復(fù)數(shù)》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）全解全析

第七章《復(fù)數(shù)》同步單元必刷卷（培優(yōu)卷）全解全析1．C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相關(guān)概念運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，則，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：C.2．A【分析】利用歐拉公式即可判斷①，逆用歐拉公式即可判斷②【詳解】①②則①②均正確故選：A3．C【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到，從而計(jì)算出，求出模長(zhǎng).【詳解】對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，其中關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，故，故.故選：C4．A【分析】根據(jù)歐拉公式，再分析復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部的符號(hào)即可.【詳解】由題意，顯然，所以在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限；故選：A.5．C【分析】根據(jù)，和來(lái)求解.【詳解】，于是.故選：C6．C【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的結(jié)論列方程求，由此可求.【詳解】由可得，則，所以，故．故選：C.7．D【分析】取，計(jì)算模，可判斷A;根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義結(jié)合向量的運(yùn)算，可判斷B;根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)特征可判斷其所在象限，判斷C;根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義求得復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積，判斷D.【詳解】對(duì)于A，取，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，則Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則由可知，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所構(gòu)成的圖形面積為，D正確，故選：D.8．A【分析】由已知求得，得到，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性及過(guò)的切線的斜率，再畫(huà)出圖形，數(shù)形結(jié)合，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】由題意，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，所以，即，所以，則，所以函數(shù)單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：又由直線過(guò)點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為，則在切點(diǎn)處的切線方程為，把代入，可得，即，即，即切線的坐標(biāo)為，代入，可得，即，又由圖象可知，當(dāng)，即時(shí)，曲線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，曲線與直線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本概念，考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.9．CD【分析】由復(fù)數(shù)的指數(shù)形式化為三角形式，然后計(jì)算化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的概念判斷各選項(xiàng)．【詳解】由于，所以A錯(cuò)誤；為實(shí)數(shù)，故B錯(cuò)誤；復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)為，故C正確；，D正確．故選：CD10．BD【分析】利用復(fù)數(shù)的模的定義以及其復(fù)數(shù)的幾何意義，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算，即可判斷答案.【詳解】A項(xiàng)：，故錯(cuò)誤；B項(xiàng)：因?yàn)?，故正確；C項(xiàng)：，當(dāng)與i對(duì)應(yīng)向量同向時(shí)取等，故錯(cuò)誤；D項(xiàng)：，當(dāng)與對(duì)應(yīng)向量反向時(shí)取等，故正確.故選：BD.11．AC【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的概念，可判斷A、C；取可判斷B、D.【詳解】對(duì)于A，

設(shè)，若，則，所以，即，所以，若，則成立，此時(shí)；若，由得，由得，此時(shí)；若，由得，所以，此進(jìn)，所以若，則或，故A正確；對(duì)于B，設(shè)則，故B不正確；對(duì)于C，設(shè)，所以，若，則或，所以，故C正確；對(duì)于D，由，取，滿足條件，而，故D不正確.故選：AC.12．AD【分析】將方程進(jìn)行等價(jià)變形為，利用復(fù)數(shù)的定義，若復(fù)數(shù)為0，則實(shí)部為0，虛部也為0，判斷AB選項(xiàng)；結(jié)合基本不等式求解實(shí)根的范圍判斷D選項(xiàng)；舉例當(dāng)且時(shí)，無(wú)純虛根判斷C.【詳解】解：A選項(xiàng)：若方程有一根為0，則代入方程有，則有，，即且，故A正確；B選項(xiàng)：方程可變形為：，即，則，只有一解，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)且時(shí)，方程僅存在一解，此時(shí)無(wú)純虛根，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：若方程存在實(shí)數(shù)根，則，代入方程可得：，即，即，解得：或，即或，故D正確故選：AD13．或【分析】求出的坐標(biāo)，再設(shè)的坐標(biāo)，根據(jù)給定條件，列出方程組求解作答.【詳解】依題意，，設(shè)，由得：，由得：，聯(lián)立解得或，即或，所以或.故答案為：或14．【分析】設(shè)出方程與另一個(gè)根為，根據(jù)系數(shù)都為實(shí)數(shù)結(jié)合韋達(dá)定理得出與都是實(shí)數(shù)，則一定為虛數(shù)，設(shè)，即可列式解出，則，，即，，代入方程化簡(jiǎn)即可得出答案.【詳解】設(shè)一元二次方程為，設(shè)這個(gè)一元二次方程的一個(gè)根是，另一個(gè)根為，由韋達(dá)定理可得：，，這個(gè)一元二次方程的系數(shù)都為實(shí)數(shù)，，都是實(shí)數(shù)，則與都是實(shí)數(shù)，則一定為虛數(shù)，設(shè)，則為實(shí)數(shù)，得，解得，為實(shí)數(shù)，得，解得，則，則，，即，，則一元二次方程為，化簡(jiǎn)為：，故答案為：.15．或【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義由，得到，點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)三角形是以為斜邊的等腰直角三角形，則有，再運(yùn)算求解..【詳解】因?yàn)?，所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則.由題意得，，所以，解得或，所以復(fù)數(shù)或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.16．【分析】設(shè)，由得，進(jìn)而求得，，即可求得.【詳解】設(shè)，由可得，即，整理得，即，則；又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則，，則，，則，則，則.故答案為：.17．（1）證明見(jiàn)解析；（2）5【分析】（1）使用復(fù)數(shù)加法的幾何意義進(jìn)行證明即可；（2）使用第（1）問(wèn)證明結(jié)論，構(gòu)造兩個(gè)復(fù)數(shù)，，，進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）設(shè)復(fù)平面上的點(diǎn)，是復(fù)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，∴向量，是復(fù)數(shù)，所對(duì)應(yīng)的向量，∴，，當(dāng)，不共線時(shí)，平行四邊行對(duì)角線所成向量（如下圖所示），∴向量，是復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量，∴，∴在中由“三角形兩邊之和大于第三邊”和“三角形兩邊之差小于第三邊”的性質(zhì)可得，，，∴；當(dāng)且僅當(dāng)，共線且方向相同，即且時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，共線且方向相反，即且時(shí)，，綜上所述，.（2）∵∴令，，，∴由第（1）問(wèn)證明的不等式，有則，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時(shí)，等號(hào)成立.∴時(shí)，函數(shù)的最小值為.18．；證明見(jiàn)解析【分析】利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的平方關(guān)系與和差公式進(jìn)行證明即可.【詳解】猜想的輻角為，證明如下：依題意，得，，所以，故的輻角主值為，則其輻角為.19．(1)見(jiàn)解析(2)方程的根為1或或.【分析】（1）直接計(jì)算的值即可證明；（2）因式分解為，則可求出其復(fù)數(shù)根.【詳解】（1），故.（2），即，即則或，當(dāng)，，當(dāng)，或故方程的根為1或或.20．證明見(jiàn)解析【分析】利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算，結(jié)合三角函數(shù)的平方關(guān)系與和差公式即可得證明.【詳解】因?yàn)?，，所以，?21．(1)詳見(jiàn)解析(2)詳見(jiàn)解析【分