第六章《平面向量及其應用》同步單元必刷卷（基礎卷）（全解全析）

第六章《平面向量及其應用》同步單元必刷卷（基礎卷）全解全析1．D【分析】由矩形的幾何性質，結合各線段對應向量的關系判斷各項的正誤.【詳解】由圖知：，故A錯誤；不相等，即，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：D2．D【分析】根據(jù)三力平衡得到，然后通過平方將向量式數(shù)量化得到，代入數(shù)據(jù)即可得到答案.【詳解】根據(jù)三力平衡得，即，兩邊同平方得，即即,解得故選：D.3．D【分析】由梯形的幾何性質可判斷AB選項；推導出為的中點，可判斷CD選項.【詳解】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均錯；因為，則，則，則，即，即，，則，，即為的中點，所以，，C錯，D對.故選：D.4．B【分析】由向量的線性關系確定的坐標，應用坐標公式及已知模長列方程求參數(shù)a.【詳解】由，又，所以，解得或（經檢驗均滿足）.故選：B5．C【分析】利用余弦定理結合正弦定理化簡可得出，根據(jù)為銳角三角形可求得角的取值范圍，利用二倍角公式以及誘導公式化簡得出，求出的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質可得出關于實數(shù)的不等式，解之即可.【詳解】由余弦定理可得，則，由正弦定理可得，因為為銳角三角形，則，，所以，，又因為函數(shù)在內單調遞增，所以，，可得，由于為銳角三角形，則，即，解得，，因為，則，因為存在最大值，則，解得.故選：C.【點睛】方法點睛：三角函數(shù)最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值；③利用和的關系轉換成二次函數(shù)求最值；④形如或轉換成二次函數(shù)求最值.6．B【分析】首先根據(jù)正弦定理將等式中的角轉化成邊得：，通過余弦定理可將等式化簡整理為，通過三角函數(shù)圖像可知，同時通過基本不等式可知，即得，通過取等條件可知，，將其代入問題中即可求解答案.【詳解】已知由正弦定理可知：，，整理得：，兩邊同除得：，根據(jù)余弦定理得：，即，，，，當且僅當，即時等號成立.又，當且僅當時，等號成立.綜上所述：且，故得：，此時且，，.故選：B7．B【分析】建立直角坐標系，進而可得點C的軌跡，然后根據(jù)三角形相似將轉為求線段和最短，然后根據(jù)數(shù)形結合即得.【詳解】設，，則，，即C在以為圓心，2為半徑的圓上，如圖，取，則，又，所以有～，所以，又因為，，所以．故選：B.8．A【分析】取的中點，作交于，過點作，連接，根據(jù)三角形重心和外心的定義可知，，在中，分別求出及，再利用余弦定理即可得出答案.【詳解】解：如圖，取的中點，作交于，過點作，連接，根據(jù)三角形重心的定義可知，中，，則，所以和均為等腰直角三角形，，則，根據(jù)三角形外心的定義可知，由，則，則，，則，則，因為，，所以，所以，則，在中，，所以.故選：A.【點睛】本題考查了三角形的三心問題，在三角形外心和重心的基礎之上利用余弦定理解三角形的問題，關鍵是理解外心和重心的定義，有一定的難度.9．BD【分析】根據(jù)向量的基本概念即可求解.【詳解】對于A：向量相等需要滿足兩個條件：長度相等且方向相同，缺一不可，故A錯；對于B：根據(jù)相反向量的定義可知B正確；對于C：向量是矢量不能比較大小，故C錯；對于D：根據(jù)三角形三邊關系知正確；故選：BD.10．ACD【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和運算律依次判斷各個選項即可得到結果.【詳解】對于A，，，與未必共線，A錯誤；對于B，若，則與方向相反，故，B正確；對于C，由得：，即，不能推出，C錯誤；對于D，由得：，但與方向未必相同，不能得到，D錯誤.故選：ACD.11．ABD【分析】建立平面直角系，表示出相關點的坐標，設，可得，由，結合題中條件可判斷A,B;表示出相關向量的坐標，利用數(shù)量積的運算律，結合三角函數(shù)的性質，可判斷C，D.【詳解】如圖，作,分別以為x,y軸建立平面直角坐標系，則,設，則,由可得，且，若，則，解得，（負值舍去），故，A正確；若，則，，故B正確；，由于，故，故，故C錯誤；由于，故，而，故，故D正確，故選：ABD12．ACD【分析】A選項：利用余弦定理列等式即可；B選項：由題意得的范圍，即可得到的范圍；C選項：根據(jù)幾何的知識得到當時，最大，利用三角形面積公式求面積即可；D選項：將四邊形的面積轉化成，得到面積，再利用輔助角公式和三角函數(shù)的性質求最值即可.【詳解】在中，由余弦定理得，A正確；，則，所以，B錯誤；易得當時，取最大值，C正確；，其中，D正確．故選：ACD.13．【分析】利用向量的坐標運算表達出的坐標，從而可得，再求向量的模即可得出答案.【詳解】向量，，，又，，，，故答案為：.14．角A的平分【分析】根據(jù)分別表示平行于的單位向量，平分求解.【詳解】解：因為，所以，而分別表示平行于的單位向量，所以平分，即平分，所以點D一定在的角A的平分線所在直線上，故答案為：角A的平分15．##.【分析】先根據(jù)題意求出，設正的邊長為，，在中，由正弦定理可得，則，再利用輔助角公式化簡，結合正弦函數(shù)的性質可求出的最小值，從而可得答案.【詳解】因為，，，所以，設正的邊長為，，在中，，即，因為，所以,，在中，由正弦定理得，所以，因為，其中，所以，因為，所以當時，取得最小值，所以的內接正邊長的最小值為，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：此題考查正弦定理的應用，考查三角函數(shù)恒等變換公式的應用，考查數(shù)形結合的思想，解題有關鍵是在中利用正弦定理表示出，從而可表示出，再利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡變形可求出邊長的最小值，考查計算能力，屬于較難題.16．【分析】設出得到，由不得關系得到，從而得到最小值.【詳解】由題意,可以設，則由得，由，所以，解得：即的最小值是.【點睛】對于向量相關的不等式，最值問題，合理設出向量的坐標，可以大大簡化做題難度和計算量.17．(1)(2)(3)(4)【分析】平面向量的線性運算法則依次求解即可.【詳解】（1）.（2）.（3）.（4）.18．(1)(2)或【分析】（1）直接利用向量平行的坐標公式求解；（2）直接利用向量垂直的坐標公式和求模公式求解.【詳解】（1）由題中的條件可得，，若與平行，則有，解得；（2）設，所以，又，由，可得，由，可得.解得或，所以或.19．(1)，(2)【分析】（1）先由求得，再利用三角形面積公式可得，結合條件可得，的值，從而利用余弦定理求得，利用正弦定理求得；（2）由（1）可知，從而求得，，再結合二倍角公式與余弦的和差公式求解即可.【詳解】（1）因為，，所以，因為，所以，又，即，所以，即，解得（負值舍去），則，所以，則，因為，即，所以.（2）在中，，由（1）可得，則，所以，，則，，所以.20．(1)兩船相距海里.(2)巡邏艇應該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.【分析】（1）在中，解三角形得，，在中，由余弦定理求得.（2）在中，解三角形得，，得到，在中，由正弦定理求得，結合圖形知巡邏艇的追趕方向.【詳解】（1）由題意知，當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，走私船在D處，巡邏艇在C處，此時，由題意知在中，由余弦定理得所以在中，由正弦定理得，即所以（舍去）所在又在中，由余弦定理得，故當走私船發(fā)現(xiàn)了巡邏艇時，兩船相距海里.（2）當巡邏艇經過小時經方向在處追上走私船，則在中，由正弦定理得：則所以，在中，由正弦定理得：則，故（舍）故巡邏艇應該北偏東方向去追，才能最快追上走私船.21．(1)見詳解(2)3(3)【分析】（1）根據(jù)題意，結合向量加減法運算，即可證明；（2）根據(jù)題意，用和表示，結合，，三點共線，即可求解；（3）根據(jù)題意，結合（1）（2）用和分別表示出和，進而可以表示出，再結合均值不等式與二次函數(shù)的最值，即可求解.（1）證明：因，所以，又因為的中點，所以，所以.（2）因，，，，所以，，又因，所以，又因，，三點共線，所以，即.（3）設，，，，由（1）（2）可知，，即.因，，所以，又因是邊長為的等邊三角形，所以，令，因，即，當且僅當時，等號成立，所以.因此，又因，所以，所以.22．(1)(2)(3)【分析】（1）利用余弦定理和面積公式進行求解；（2）由正弦定理和三角恒等變換求解；（3）解法一：設BC中點為D，推導出，在三角形AOD中，利用余弦定理，正弦定理和函數(shù)單調性求出AD的取值范圍，從而求出