圓中常作的輔助線-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)題練習(xí)（教師版）

專題15圓中常作的輔助線（解析版）

第一部分警啊卻析

類型一連半徑

1.（2021秋?溫州期中）如圖，在。。中，NBAC=15°,ZADC=20°,則/ABO的度數(shù)為

思路引領(lǐng)：連接AO,根據(jù)同弧所對圓周角與圓心角的關(guān)系求出NAO2,進(jìn)而求解.

解：連接AO,CO,

則NAoC=2NAQC,NBOC=2NBAC,

二乙4OB=NBoC+NAOC=2/BAC+2∕AOC=2X15°+2×20o=70°,

,:OA=OB,

：.ZABO=（180o-ZAOB）=55°,

故答案為：55°.

總結(jié)提升：本題考查圓周角定理，解題關(guān)鍵是通過添加輔助線求解.

2.（2022?雙柏縣模擬）如圖，Z∑ABC內(nèi)接于。O,∕C4B=30°,NCBA=45°,CCAB于點。，若G）O

的半徑為2,則CD的長為（）

C

A.1B.2√2C.√2D.√3

思路引領(lǐng)：連接04OC,根據(jù)圓周角定理得圓心角為90°,根據(jù)勾股定理求出AC,再根據(jù)在直角三

角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出CD

解：如圖，連接。A,OC.

VZCOA=2ZCBA=2×45o=90”,

在Rt△4OC中，根據(jù)勾股定理得：

AC=√0?2+OC2=√22+22=2√2.

?,CDLAB,ZCAB=30°,

.,.CD=^AC=√2.

故選：C.

總結(jié)提升：本題考查了圓周角定理，勾股定理，含30°角的直角三角形，其中構(gòu)造圓心角，利用圓周角

定理是解題的關(guān)鍵.

二、作弦心距

3.(2020秋?雁塔區(qū)校級期中)如圖，AB為Oo的弦，半徑。C,分別交AB于點E,F.且前=6?.

(1)求證：AE=BF↑

(2)作半徑ONJ_AB于點M,若AB=12,MN=3,求OM的長.

思路引領(lǐng)：(1)連接04、OB,證明AAOE嶺A1BOF(AS4),即可得出結(jié)論；

1

(2)連接。A,由垂徑定理得出AM=與W=6,設(shè)OM=JI,則OA=ON=X+3,在RtZVlOM中，由勾股

定理得出方程，解方程即可.

(1)證明：連接04、OB,如圖1所示：

'.uOA=OB,

：.ZA=ZB,

?：AC=BDf

：.ZAOE=ZBOF,

在AAOE和408尸中,

乙4=乙B

OA=OB，

.?A0E=Z-BOF

：AAOE@ABOF(ASA),

LAE=BF.

(2)解：連接0A,如圖2所示:

?'OMlAB,

.?.AM=%8=6,

設(shè)0M=x,則OA=ON=X+39

在RtAAOM中，由勾股定理得：62+X2=(X+3)2

解得：X=4.5,

總結(jié)提升：本題考查垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常

用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

4.(2022秋?慈溪市期中)如圖，。尸與X軸交于點A(-5,0),B(1,0),與y軸的正半軸交于點C.若

ZACB=60°,則點C的縱坐標(biāo)為.

思路引領(lǐng)：過尸點作PHj_AB于，點，Po_LoC于。點，連接力、PB、PC,如圖，根據(jù)垂徑定理得到

AH=BH=3,則OH=2,再根據(jù)圓周角定理得到∕APB=2NACB=120°,所以NA/77=60°,則利用

含30度角的直角三角形三邊的關(guān)系計算出PH=√3,∕?=2√3,接著利用四邊形PHOD為矩形得到OD=

√3,PQ=2,然后利用勾股定理計算出C。，從而得到OC的長.

解：過尸點作于”點，PDLoC于D點,連接以、PB、PC,如圖，

VA(-5,0),B(1,0),

.?,OA=5,OB=?1

,CPHJLAB.

1

：.AH=BH=^AB=3f

：.OH=2,

VZAPB=2ZACB=2×60o=120°,

.?.ZAPH=60°,

在Rt中，'：PH=^AH=√3,

：.PA=2PH=2W,

?：NPHo=NPDO=NHoD=90°,

.?.四邊形W)為矩形，

ΛOD=PH=√3,PD=OH=2,

在RtZ?PCQ中，VPC=B4=2√3,Pz)=2,

.?.CD=J(2√3)2-22=2√2,

.,.OC^OD+CD=√3+2√2,

/.點C的縱坐標(biāo)為百+2√2.

故答案為：√3+2√2.

總結(jié)提升：本題考查了垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了圓

周角定理.

5.(2020秋?肇源縣期末)已知：如圖，在AABC中，ZACB=90o,NB=25°,以點C為圓心、AC為

半徑作OC,交AB于點O,求而的度數(shù).

思路引領(lǐng)：因為弧與垂徑定理有關(guān)；與圓心角、圓周角有關(guān)；與弦、弦心距有關(guān)；弧與弧之間還存在著

和、差、倍、半的關(guān)系，因此這道題有很多解法，僅選幾種供參考.

解：解法一：（用垂徑定理求）

如圖，過點C作CELABF點E,交助于點F,

：.DF=AF,

又?.?∕AC8=9(Γ,NB=25°,

：.ZFCA=25°,

二番的度數(shù)為25°,

.?.?的度數(shù)為50°；

解法二：（用圓周角求）如圖，延長AC交。C于點E,連接EQ,

E是直徑,

ΛZADE=90°,

VZACB=90o,ZB=25o,

：.NE=NB=25°,

.?.而的度數(shù)為50°；

解法三：（用圓心角求）如圖，連接CD,

VCA=CD,ΛZADC=ZA=65°,

.?.NACO=50°，

而的度數(shù)為50°.

總結(jié)提升：本題可以利用：1、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的兩段弧.2、

圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

6.（2021?浦東新區(qū)模擬）如圖，已知AB是圓。的直徑，弦CO交AB于點E,NCE4=30°,OE=4,DE

≈5√3,求弦C。及圓。的半徑長.

思路引領(lǐng)：過點。作OMLC。于點M,聯(lián)結(jié)。。，根據(jù)垂徑定理解答即可.

解：過點。作OMLCf）于點M,聯(lián)結(jié)Or>,

,：ZCEA=30o,,NOEM=NCE4=30°，

在RtZXOEM中，VOE=4,

/O

:.0M=W1oE=2,EM=OE-cos30o=4X號=2√3,

,.,DE=5√3,

：.DM=DE-EM=3√3,

過圓心，OMJ_C￡>,

：.CD=IDM,

：.CD=6√3,

"：0M=2,DM=3√3,

22

在RtZ?Q0M中，OD=√0M2+CM2=J2+(3√3)=√∏,

弦CD的長為6g,QO的半徑長為√JI.

總結(jié)提升：此題考查了垂徑定理和直角三角形.有關(guān)弦、半徑、弦心距的問題常常利用它們構(gòu)造的直角

三角形來研究，所以連半徑、作弦心距是圓中的一種常見輔助線添法.

類型三圓周角為直角，連接直徑

7.如圖，AB,AC是00的兩條弦，且NcAB=90°,若AB=I0,AC=S,求。。的半徑.

思路引領(lǐng)：連接BC,由圓周角定理得BC是。。的直徑，由勾股定理求出BC=2WT,則OB=WI.

解：連接8C,如圖所示：

VZCAB=90o,

.?.BC是OO的直徑，BC=y∕AB2+AC2=√102+82=2√41,

OB=√41,

即。。的半徑為"I.

總結(jié)提升：本題考查了圓周角定理和勾股定理；熟練掌握圓周角定理和勾股定理是解題的關(guān)鍵.

類型四有直徑，做直徑所對的圓周角

8.（2021?濟寧一模）如圖，Z?ABC是。。的內(nèi)接三角形，AB^BC,ZBAC=30o,AO是直徑，AD=S,

則ΛC的長為.

思路引領(lǐng)；連接CQ,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NACB=N8AC=30°,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到

/0=180°-∕B=60°,求得/C4O=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

解：連接Cτ>,

?'AB=BC,NBAC=30°,

.?.∕4CB=/BAC=30°,

ΛZfi=180°-30°-30°=120°,

ΛZD=180o-ZB=60o,

：AQ是直徑，

ΛZACD=90o,

,.'ZCAD=30°,AD=S,

.?.CD=%Z)=4,

：.AC=√82-42=4√3,

故答案為：4Λ∕3.

總結(jié)提升：本題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，

正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵.

9.(2021秋?南寧期末)如圖1,已知AB為。。的直徑，C為。。上一點，AC平分ND4B,C。于點

D,并與G)O交于點E.

(1)求證：C。是。。的切線；

(2)若OE=8,OC=I2,求。。的半徑；

(3)如圖2,尸為通中點，連接EF,在(2)的條件下，求EF的長.

思路引領(lǐng)：(1)連接0C,利用角平分線的定義，同圓的半徑相等，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定

與性質(zhì)和圓的切線的判定定理解答即可；

(2)連接0C,過點。作。尸，AE于點凡利用切割線定理，垂徑定理和矩形的判定與性質(zhì)解答即可;

(3)連接AF,BF,BE,過點、B作BHLEF于點H,利用(2)的結(jié)論，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，

圓周角定理，勾股定理解答即可.

(1)證明：連接0C,如圖，

平分ND4B,

：.ZDAC=ZBAC.

,：0A=OC,

：.ZBAC=ZOCA,

：.ZOCA=ZDACf

.?AD∕∕OC.

???4。，。。于點。，

：?OCA.CD.

??,OC為。。的半徑,

???CO是OO的切線;

(2)解：連接。C,連接CE,過點。作AE于點片如圖,

D

則AF=EF=^AE.

由（1）知：C。是OO的切線,

；.NDCE=NDAC

?λZD=ZD,

ΛΔCDE^ΔADC,

.?.CD2=DE?DA,

VDE=8,DC=12,

ΛDA=18.

.?AE=DA-DE=18-8=10,

ΛEF=5,

.β.DF=EF+DE=5+8=13.

由（1）知：OCLCD,

VDA±CD,OFLAD1

.?.四邊形OFaC為矩形,

/.OC=DF=13,

.?.0O的半徑為13:

(3)解：連接ARBF,BE,過點B作BHLEFT點H,如圖,

由(2)知：。。的半徑為13,AE=IO,

.?.A3=26,

；43為。。的直徑，

ΛZAEB=90°,

：.BE=>∕AB2-AE2=24.

：尸為麗中點，

：.AF=BF,

：.AF=BF=13√2,

；.NjSAB=NFBA=45°,

；NFEB=NFAB,

：.NFEB=45°,

...△84E為等腰直角三角形，

BH=HE=專BE=VIa.

；BHLEF,

.'.HF=y∕BF2-BH2=5√2,

：.EF=EH+HF=Yl丘+5√2=17√2.

總結(jié)提升：本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理及其推論，平行線的判定與性質(zhì)，圓的切線的判

定與性質(zhì)，切割線定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，連

接經(jīng)過切點的半徑和直徑所對的圓周角是解決此類問題常添加的輔助線.

類型五見切線作半徑

10.(2020?八步區(qū)一模)如圖，在RtAABC中，/8AC的角平分線交BC于點O,E為AB上一點，DE=

DC,以。為圓心，OB的長為半徑作AB=5,BE=3.

(1)求證：AC是OO的切線；

(2)求線段AC的長.

思路引領(lǐng)：(1)過點。作。F,AC于F,求出8。=Z)F等于半徑，得出AC是。。的切線.

(2)先證明ABOEZAOCF(，乙)，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等及切線的性質(zhì)的A8=4F,M?AB+EB

=AC.

(1)證明：過點。作QFLAC于F；

為。。的切線，

ΛZβ=90o,

.,.AB±BC,

。平分ZBAC,DFLAC,

JBD=DF,

JAC與OO相切；

(2)解:在△&)￡：和△￡＞，尸中;

(BD=DF

IDE=DCf

：.Rt?BDE^Rt?DCF(HL),

,EB=FC.

9：AB=AF,

LAB+EB=AF+FC,

即AB+EB=AC,

??AC=5+3=8.

總結(jié)提升：本題考查的是切線的判定、角平分線的性質(zhì)定理、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握切線

的判定方法，證明三角形全等得出EB=BC是解決問題（2）的關(guān)鍵.

11.（2020秋?臨邑縣期末）如圖，8。為AABC外接圓。。的直徑，且NBAE=NC.

（1）求證：AE與。。相切于點A；

（2）AE//BC,BC=2√3,AC=2,求0。的直徑.

思路引領(lǐng)：（1）連接半徑04,由等腰三角形的性質(zhì)及圓周角定理得出NOAE=90°.即可證出結(jié)論；

（2）連接。C,連接OA交BC于點H,證出OALBC,CH=BH,分別在AAB",aOBH中通過勾股定

理即可求出結(jié)果.

（1）證明：連接OA.

.".0A=0D.

：.ZD=ZDAO.

VZD=ZC,

：.ZC^ZDAO.

,：ZBAE^ZC,

：.ZBAE=ZDAO.

YB。是。。的直徑，

：.ABAD=Wo,即NnAo+∕BAO=90°.

ΛZBAfi+ZBΛO=90o,即/OAE=90°.

：.AELOA.

又：OA為Qo的半徑，

.?.AE與。。相切于點A.

（2）解：連接OC,連接AO交BC于點從

?'AE∕∕BC,OAVAE,

.'.OA±BC,

：.CH=BH=/C=√3,

在RtAAW/中，

AH=?∣AB2-BH2=1,

在RtZsOBH中，設(shè)03=r,

?；OH2+BH2=OB2,

.".(r-1)2+(√3)2=ι2,

解得：r=2,

OB=2r=4.

即。。的直徑為4.

總結(jié)提升：本題考查了三角形的外接圓與外心，切線的判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定

理等知識點，能綜合運用知識點進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

類型六連切點

12.(2020?湘西州)如圖，PA,PB為圓。的切線，切點分別為A、B,Po交AB于點C,PO的延長線交

圓。于點Q.下列結(jié)論不一定成立的是()

PA

A.48%為等腰三角形

B.AB與PO相互垂直平分

C.點A、B都在以尸。為直徑的圓上

D.PC為aB%的邊AB上的中線

思路引領(lǐng)：根據(jù)切線的性質(zhì)即可求出答案.

解：(A)??PA.P8為圓。的切線，

：.PA=PB,

...△8F是等腰三角形，故A選項不符合題意.

(B)由圓的對稱性可知：PQ垂直平分A8,但AB不一定平分PQ,故8選項符合題意.

(C)連接OB、OA,

,.,PA.P8為圓。的切線，

：.ZOBP=ZOAP=9Q0,

.?.點A、B、P在以。尸為直徑的圓上，故C選項不符合題意.

(D)?.?4B附是等腰三角形，PDLAB,

JPCRXBPA的邊AS上的中線，故。選項不符合題意.

故選：B.

B

總結(jié)提升：本題考查切線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運用切線的性質(zhì)，本題屬于中等題型.

13.(2020?青海)如圖，在aABC中，NC=90°,AC=3,BC=4,則4(8C的內(nèi)切圓半徑r=1

思路引領(lǐng)：在BC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,根據(jù)勾股定理可得AB=5,設(shè)448C的內(nèi)切圓與

三條邊的切點分別為D、E、F,連接OD.。￡、OF,可得OCA8,OELBC,OFYAC,可得矩形EOFC,

再根據(jù)切線長定理可得CE=CF,所以矩形EOFC是正方形，可得CE=CF=r,所以AF=Az)=3-r,

BE=BD=4-r,進(jìn)而可得AABC的內(nèi)切圓半徑r的值.

解：在aABC中，ZC=90o,AC=3,BC=4,

根據(jù)勾股定理，得48=5,

如圖，設(shè)448C的內(nèi)切圓與三條邊的切點分別為。、E、F,

連接。￡＞、OE,OF,

：.ODLAB,OELBC,OFLAC,

VZC=90°,

.?.四邊形EOFC是矩形，

根據(jù)切線長定理，得

CE=CF,

，矩形EoFC是正方形,

：?CE=CF=r,

：.AF=AD=AC-FC=3-r,

BE=BD=BC-CE=4-r,

,

?AD+BD=ABf

Λ3-r+4-r=5,

解得r=l.

則4ABC的內(nèi)切圓半徑r=I.

故答案為：1.

總結(jié)提升：本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，解決本題的關(guān)鍵是掌握三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.

類型七構(gòu)造弦或圓

14.(2021秋?江寧區(qū)期中)如圖，。。經(jīng)過菱形ABC。的8,。兩頂點，分別交A8,BC,CD,AO于點E,

F,G,H.

(1)求證AE-AH；

(2)連接ERFG,GH,EH,若8。是G)O的直徑，求證：四邊形E尸G”是矩形.

思路引領(lǐng)：(1)連接引E、BH,利用AADE絲ZXAB〃即可得出結(jié)論；

(2)連接DE,DF,通過證明AAOE<Z?C7)尸和E〃絲AbG得到四邊形EFGH的兩組對邊相等,

可以判定四邊形EFGH為平行四邊形，再利用平行四邊形的性質(zhì)和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證明NFE”=

90°,則四邊形EFGH為矩形.

證明：(1)連接力E、BH,如圖，

Y四邊形ABCD是菱形,

：.AB=ADt

在△■￡>￡>和AABH中，

Z-ADE=乙ABH

AD≈AB，

.?A=Z-A

：.∕?ADE^ΔABH(ASA)9

.?AE=AH.

(2)u：AB=AD,AE=AH.

/.AB-AE=AD-AH.

即BE=DH.

：.BE=DH.

同理呼=DG

：.BE+BF=DH+DG.

即6=GH.

：.EF=GH.

連接OE,DF,如圖，

：8￡)是。。的直徑，

：.NBED=NBFD=90°.

：.ZAED^ZCFD=90o.

在△Ν￡>￡■和ACDF中，

?A=Z-C

Z-AED=乙CFD,

AD=CD

：.ΛADE^ACDF(AAS).

IAE=CF.

：用(1)中同樣的方法可證CF=CG

：.AH=CG.

在和aCFG中,

AE=CF

Z-A=ZC，

AH=CG

Λ?ΛEW??CFG(5A5).

J.EH=FG.

.?.四邊形EFG，是平行四邊形.

ZFEH=ZFGH.

???四邊形EFGH是。O的內(nèi)接四邊形,

FEH+/FGH=I80°.

；.NFEH=90°.

.?.四邊形EFGH是矩形.

總結(jié)提升：本題主要考查了圓周角定理，三角形全等的匹配度與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，矩形的判定，利用

同弧所對的圓周角相等是解題的關(guān)鍵.

15.（2021?鄂州）如圖，RtZ?ABC中，NAeB=90°，AC=2√^,BC=3.點P為AABC內(nèi)一點，且滿足

PA1+PC2=AC2.當(dāng)PB的長度最小時，＜?ACP的面積是（)

3√33√3

A.3B.3√3C.—D.——

42

思路引領(lǐng)：取AC中點O,連接OP,BO,由勾股定理的逆定理可求NAPC=90°,可得點P在以AC為

直徑的圓上運動，由三角形的三邊關(guān)系可得BPBBO-OP,當(dāng)點尸在線段8。上時，BP有最小值，由銳

角三角函數(shù)可求∕BOC=60°,即可求解.

解：取AC中點。，連接OP,BO,

?"PA2+PC2=AC2,

.?.NAPC=90°,

.?.點P在以AC為直徑的圓上運動，

在48Po中，BP^BO-OP,

/.當(dāng)點P在線段BO上時，BP有最小值，

；點。是AC的中點，ZAPC=90°,

：.PO=AO=CO=√3,

VtanZBOC=∣^=√3,

.?.N8OC=60°,

...△COP是等邊三角形，

.".SACOP=乎OC2=5×3=皚

YOA=OC,

Λ?ACP的面積=2SAC0P=?.

故選：D.

總結(jié)提升：本題考查了點與圓的位置關(guān)系，直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理的逆定理等知

識，找出點P在以AC為直徑的圓上運動是解題的關(guān)鍵.

第二部分專題提優(yōu)訓(xùn)練

1.（2020秋?寶應(yīng)縣期末）如圖，點A、B、S在圓上，若弦AB的長度等于圓半徑的百倍，則NASB的度數(shù)是

A.30oB.60oC.90oD.120°

思路引領(lǐng)：連接。4OB,過。作。C_LAB于C,求出4C=BC,解直角三角形求出NeMB的度數(shù)，求

出/AOB,再根據(jù)圓周角定理求出答案即可.

解：連接。4,OB,過。作OeLAB于C,

設(shè)OA=OB=R,

?.?弦AB的長度等于圓半徑的百倍,

.?AB=√37?,

'：OA=OB,OCLAB,

：.AC=BC=∣Aβ=∣√3Λ,

AC?V3R√3

ΛcosZOAB=^=?-=f,

二/048=30°,

<OA=OB,

/O8A=NoAB=30°,

.?.∕AO8=180°-ZOAB-ZOBA=120°,

NASB=；NAo8=60°,

故選：B.

總結(jié)提升：本題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理，注意：一條弧所對的圓周角等

于它所對的圓心角的一半.

2.(2021秋?遜克縣期末)如圖，。。的半徑為2,弦A8=2√l,AC=∣4B,則OC的長為.

Q

思路引領(lǐng)：過0作。OjLAB于力，根據(jù)垂徑定理求出BZ),根據(jù)勾股定理求出。。，根據(jù)勾股定理求出

OC即可.

解：過。作OO_LA8于￡),

VODlAB,ODHO,AB=2√3,

：.AD=BD=4AB=√3,

VAB=2√3,點C在弦48上，AC=I48,

A1

ΛAC=i√3,CD=AD-AC=鑄,

在RtAOBQ中，由勾股定理得：OD=22-(√3)2=1,

在RtAOCD中，由勾股定理得：OC=√0D2+CD2=Jl2+(i√3)2=孝，

√7

故答案為：τ.

總結(jié)提升：本題考查了垂徑定理和勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形，運用定理進(jìn)行推理和計算

的能力.

3.(2021?吉林三模)如圖，四邊形ABCz)內(nèi)接于00,連接BD.若念=阮，ZBDC=50°,則/AOC

的大小是度.

思路引領(lǐng)：根據(jù)圓周角定理求出NABC,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)計算，得到答案.

解：'：AC=BC,

：.ZABC=ZBDC=50°,

：.ZADC=180o-ZABC=180°-50°=130°,

故答案為：130.

總結(jié)提升：本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理，掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補是解題的關(guān)

鍵.

4.(2021秋?哪陽區(qū)期中)如圖，射線PG平分/EPF,。為射線PG上一點，以。為圓心，13為半徑作OO,

分別與NEP尸的兩邊相交于A、B和C、D,連接。4,且。A〃PE.

(1)求證：AP=AO;

(2)若弦AB=24,求OP的長.

n

思路引領(lǐng)：(1)由PG平分NEP尸可得NCPo=NAP。，由4?！ā！？傻肗CPo=N40P,從而有NAPo

ZAOP,則有AP=A0.

(2)過點0作OHl-AB于H,如圖.根據(jù)垂徑定理可得AH=B”=12,從而可求出在Rt△?1HO

中，運用勾股定理可求出?！钡拈L，從而進(jìn)一步可得OP的長.

(1)證明：如圖，

；PG平分NEPF,

.".ZCPO=ZAPO.

,JAO∕∕PE,

：.ZCP0^ZAOP,

：.ZAPO=ZAOP,

：.AP=AO.

(2)解：過點。作0""LAB于”，如圖.

根據(jù)垂徑定理可得AH=BH=∣4B=12,

.'.PH=PA+AH=AO+AH=]3+?2=25.

在RtΛAHO中，

OH=?∕OA2-AH2=√132-122=5,

由勾股定理得：OP=√0H2+PH2=√52+252=√650=5√26.

則OP的長為5√26.

A

B

F

總結(jié)提升：本題考查了垂徑定理、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、平行線的性質(zhì)、角平分線的定

義等知識，綜合性比較強.

5.(2021秋?思明區(qū)校級期中)已知aABC內(nèi)接于C)O,AB=AC,點。是OO上的點.

(1)如圖1,若NBAC=40°,8。為Oo的直徑，連接CD,求NOBC和NAC。的大?。?/p>

(2)如圖2,若C連接A/),延長OC到E,連接使得3NBAC-NE=90°,判斷。E與

Oo關(guān)系并證明.

思路引領(lǐng)：(1)如圖1,利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出NABC=70。，再根據(jù)圓周角定

理得到∕8CO=9(Γ,NO=40°,利用互余計算出/Q8C的度數(shù)，利用圓周角定理計算。的度數(shù),

從而得到/AC。的度數(shù);

(2)利用三角形內(nèi)角和定理證明NQOE+NE=90°,推出OCDE,可得結(jié)論.

解：(1)如圖1中,

'：AB=AC,

：