2023-2024學(xué)年吉林省長春市榆樹市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷（附答案）

2023-2024學(xué)年吉林省長春市榆樹市九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.下列各式中與是同類二次根式的是（)

A.<3B.74C.<8D./12

-1

2.若sina=',則銳角a=()

A.30°B.45°C.50°D.60°

3.一元二次方程/-8x+20=0的根的情況是（）

A.有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.沒有實(shí)數(shù)根

C.有兩個不相等的實(shí)數(shù)根D.只有一個實(shí)數(shù)根

4.如圖，為估算某河的寬度，在河對岸選定一個目標(biāo)點(diǎn)4在近岸取點(diǎn)8,C,使得力B1BC,CD1

BC,點(diǎn)E在2C上，并且點(diǎn)A,E,。在同一條直線上.若測得BE=20m,CE=10m,CD=20m,則河

的寬度AB等于（）

A

D

A.60mB.40mC.30mD.20m

5.若點(diǎn)（3,a）、（4,b）都在二次函數(shù)y=（%—2）2的圖象上，則〃與Z?的大小關(guān)系是（）

A.a>bB.a<bC.a=bD.無法確定

6.如圖，四邊形ABC。和四邊形4B'C'D'是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，若。4：OA'=2：3,四邊形

ABC。的面積等于4,則四邊形AB'C'D'的面積為（）

A.3B.4C.6D.9

7.如圖，河壩橫斷面迎水坡A8的坡比為1：C.壩圖為4%,貝的B

長度為（）

A.4V~3m

B.8m

C.8y/~3m

D.16m

8.如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,已知Na的頂點(diǎn)位于正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上,

10.拋物線y=—3(久-I)2-2的對稱軸是直線.

11.如圖，一片樹葉放置在4x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1,每個小正

方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上.若點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,1),點(diǎn)8的坐標(biāo)

為(2,-1)；則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

12.如圖，在4x4的正方形網(wǎng)絡(luò)中，己將部分小正方形涂上陰影，有一個小蟲落到網(wǎng)格

中，那么小蟲落到陰影部分的概率是.

13.如圖，學(xué)校課外生物小組的試驗(yàn)園地的形狀是長35米、寬20米的矩形，為便

于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為660平方米，

則小道的寬為多少米？若設(shè)小道的寬為無米，則根據(jù)題意，列方程為.

14.如圖，在等邊三角形ABC中，4B=4,點(diǎn)。是邊A3上一點(diǎn)，且BD=1,點(diǎn)尸

是邊8C上一動點(diǎn)(D、P兩點(diǎn)均不與端點(diǎn)重合)，作NDPE=60。，PE交邊AC于點(diǎn)E.

若CE=a,當(dāng)滿足條件的點(diǎn)尸有且只有一個時(shí)，則。的值為.

三、計(jì)算題：本大題共1小題，共6分。

15.解方程：%2-5%+2=0.

四、解答題：本題共9小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

16.(本小題5分)

計(jì)算：

V-6xV-3+724+V-6-|-3V-2|-

17.(本小題6分)

圖①、圖②、圖③均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段A8的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上,

在圖②、圖③中仿照圖①，只用無刻度的直尺，各畫出一條線段CD將線段A8分為2：3兩部分.

要求：所畫線段8的位置不同，點(diǎn)C、。均在格點(diǎn)上

圖②圖③

18.(本小題7分)

已知如圖，拋物線的頂點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-4),且與y軸交于點(diǎn)C(0,-3)

(1)求該函數(shù)的關(guān)系式;

(2)求該拋物線與x軸的交點(diǎn)A,8的坐標(biāo).

19.（本小題7分）

如圖，小明為了測量學(xué)校旗桿C。的高度，在地面離旗桿底部C處22米的A處放置高度為1.8米的測角儀

AB,測得旗桿頂端。的仰角為32。.求旗桿的高度CD（結(jié)果精確至IJ0.1米）【參考數(shù)據(jù)：sin320=0.53,

cos32°=0.85,tan32°=0,62]

X

X

X

n

------------IE

AC

20.（本小題8分）

為加快新舊動能轉(zhuǎn)換，提高公司經(jīng)濟(jì)效益，某公司決定對近期研發(fā)出的一種電子產(chǎn)品進(jìn)行降價(jià)促銷，使生

產(chǎn)的電子產(chǎn)品能夠及時(shí)售出，根據(jù)市場調(diào)查：這種電子產(chǎn)品銷售單價(jià)定為200元時(shí)，每天可售出300個；

若銷售單價(jià)每降低1元，每天可多售出5個.已知每個電子產(chǎn)品的固定成本為100元，問這種電子產(chǎn)品降

價(jià)后的銷售單價(jià)為多少元時(shí)，公司每天可獲利32000元？

21.（本小題8分）

為了備戰(zhàn)初三物理、化學(xué)實(shí)驗(yàn)操作考試，某校對初三學(xué)生進(jìn)行了模擬訓(xùn)練，物理、化學(xué)各有3個不同的操

作實(shí)驗(yàn)題目，物理題目用序號①、②、③表示，化學(xué)題目用字母。、6、c表示，測試時(shí)每名學(xué)生每科只操

作一個實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的題目由學(xué)生抽簽確定，第一次抽簽確定物理實(shí)驗(yàn)題目，第二次抽簽確定化學(xué)實(shí)驗(yàn)題

目.

⑴小李同學(xué)抽到物理實(shí)驗(yàn)題目①這是一個事件（填“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”）.

（2）小張同學(xué)對物理的①、②和化學(xué)的c號實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備得較好，請用畫樹形圖（或列表）的方法，求他同時(shí)抽到

兩科都準(zhǔn)備得較好的實(shí)驗(yàn)題目的概率.

22.（本小題9分）

如圖，四邊形ABC。是矩形，48=6,BC=4,點(diǎn)E在邊AB上(不與點(diǎn)A、B重合)，過點(diǎn)。作DF1

DE,交邊8C的延長線于點(diǎn)F.

(1)求證：ADAES^DCF.

(2)設(shè)線段AE的長為無，線段8歹的長為》求y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當(dāng)四邊形EBFD為軸對稱圖形時(shí)，則cos"E。的值為.

23.(本小題10分)

【教材呈現(xiàn)】如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第77頁的部分內(nèi)容.

猜想：如圖，在△ABC中，點(diǎn)。、￡分別是48與AC的中點(diǎn)，根據(jù)畫出的圖

形，可以猜想：DE//BC,且DE=BC.

對此，我們可以用演繹推理給出證明.

請寫出證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】如圖，A4BC是等邊三角形，BD=CE,連結(jié)BE,M、N、尸分別為。E、BE、BC的中點(diǎn),

順次連結(jié)〃、N、P.

①求證：MN=PN；

②直接寫出：乙MNP=度.

4

D/)V-

B

24.(本小題12分)

如圖，在RtAZBC中，乙4cB=90。，AC=4,BC=3,動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC-CB以每秒5個單位

長度的速度向終點(diǎn)C運(yùn)動，過點(diǎn)尸作PQ1AB于點(diǎn)。，將線段尸。繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段PR,連

結(jié)QR.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為f秒(t>0).

(1)線段AP的長為(用含t的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)C重合時(shí)，求f的值.

(3)當(dāng)C、R、。三點(diǎn)共線時(shí)，求/的值.

(4)當(dāng)ACPR為鈍角三角形時(shí)，直接寫出f的取值范圍.

答案和解析

I.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是二次根式的化簡.

先化簡二次根式，再判定即可.

【解答】

解：4丫7與，I不是同類二次根式，

A"=2,所以，I與不是同類二次根式，

C.yTB=2^2,所以時(shí)與是同類二次根式，

O.<12=2<3,所以，通與方不是同類二次根式，

故選：C.

2.【答案】A

【解析】解：,；sina=

?.?銳角a=30°.

故選：A.

直接利用特殊角的三角函數(shù)值得出答案.

此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可得，

a=1,b=—8,c=20.

b2-4ac=(-8)2—4x1x20=-16<0,

???一元二次方程無實(shí)數(shù)根.

故選：B.

利用一元二次方程根的判別式(△=一4四)判斷方程的根的情況.①當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個不相等的兩

個實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△=()時(shí)，方程有兩個相等的兩個實(shí)數(shù)根；

③當(dāng)A<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根.

本題主要考查了根的判別式，熟練應(yīng)用根的判別式進(jìn)行計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

4.【答案】B

【解析】【分析】

考查相似三角形的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

證得△BAESACDE,利用對應(yīng)邊成比例可得兩岸間的2B.

【解答】

解：-：AB1BC,CD1BC,則4B//CD,

.■.ABAEs△CDE,

.AB_BE

CDCE

■■■BE=20m,CE=10m,CD=20m,

AB_20

20=10

解得：AB=40,

故選：B.

5.【答案】B

【解析】解：:y=(x—2產(chǎn)，

拋物線開口向上，對稱軸是直線x=2,

,-12<3<4,

a<b,

故選：B.

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.【答案】D

【解析】解：???四邊形A8CQ和四邊形4B'C'D'是以點(diǎn)。為位似中心的位似圖形，

AD-.A'D'=OA：OA'=2：3,

???四邊形ABC。的面積：四邊形AB'C'D'的面積=4：9,

而四邊形ABCD的面積等于4,

四邊形AB'C'。的面積為9.

故選：D.

利用位似的性質(zhì)得到A。：A'D'=OA：OA'=2：3,再利用相似多邊形的性質(zhì)得到得到四邊形A'B'C'D'的

面積.

本題考查了位似變換：如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平

行，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心.注意：兩個圖形必須是相似形；對應(yīng)點(diǎn)的

連線都經(jīng)過同一點(diǎn)；對應(yīng)邊平行（或共線）.

7.【答案】B

【解析】解：???迎水坡的坡比為1：73,

標(biāo)=7T

BC=4m,

■■■AC—4，~加1,

由勾股定理得：AB=y/BC2+AC2=[42+(4，Z)2=8(zn)，

故選：B.

根據(jù)坡度的概念求出AC,再根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案.

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握坡度的概念是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】B

圖1

AB—2,BC—3,

???AC—V22+32=713,

AB22/13

cosa-F=工

如圖2,

由上得：AC=AA13,AB=3,

AB__3__3/1^

cosa

AC—-13'

22V-5

3a=k'

333/10

coscr=--10

n2,2^

32+lz

故選：B.

求出a的鄰邊和斜邊,根據(jù)對。=智求得?

本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握余弦函數(shù)定義.

9.【答案】6

【解析】解：門XV72=V3x12

=<36

=6,

故答案為：6.

根據(jù)二次根式的乘法法則，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

本題考查了二次根式的乘除法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

10.【答案】%=1

【解析】解：,；y=-3（久一I/—2,

此函數(shù)的對稱軸就是直線x=1.

故答案為％=1.

由于所給的是二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，故能直接求出其對稱軸.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì).

11.【答案】（2,2）

點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,2).

故答案是：(2,2).

根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)確定坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，由坐標(biāo)系可以直接得到答案.

本題主要考查了了坐標(biāo)確定位置，解題的關(guān)鍵就是確定坐標(biāo)原點(diǎn)和無，y軸的位置及方向.

12.【答案】￡

lo

【解析】解：小蟲落到陰影部分的概率=，=心，

4X4io

故答案為：-TZ.

1O

分別求出正方形的總面積和陰影部分的面積，用陰影部分的面積除以總面積即可得出概率.

本題考查的是概率的公式，用到的知識點(diǎn)為：概率=相應(yīng)的面積與總面積之比.

13.【答案】(35-2工)(20-x)=660

【解析】解：由題意可得，

(35-2x)(20-x)=660,

故答案為：(35-2x)(2。-x)=660.

根據(jù)題意和圖形，可以將小路平移到最上端和對左端，則陰影部分的長為(35-2x)米，寬為(20-尤)米，

然后根據(jù)長方形的面積=長乂寬，即可列出相應(yīng)的方程.

本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，解答本題的關(guān)鍵是把原圖形可以與平移后的圖形建立關(guān)系，將

復(fù)雜問題簡單化.

14.【答案】4

【解析】解：???4BC等邊三角形，

/-B=ZC=60°,BC=AB=4,

???乙BPE=4BPD+乙DPE=4BPD+60°,乙BPE=zC+4CEP=乙CEP+60°,

/-BPD=/.CEP,

BPDs^CEP,

又???CE=a,BD=1,PC=BC-BP=4-BP,

.BP_1

"~a~~4-BP'

??.BP(4-BP)=a,

BP2+a-4BP=0,

若令BP=x,則有：x2—4%+a=0,

由題意只有一個解，

.??△=(-4)2-4xlxa=0,

解得a=4,

故答案為：4.

先利用三角形相似的判定定理證明三角形相似，再根據(jù)相似的性質(zhì)建立等量關(guān)系，最后把滿足條件的點(diǎn)只

有一個，轉(zhuǎn)化成方程的根只有一個，利用根的判別式求解.

本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)的應(yīng)用和一元二次方程只有一個解時(shí)4=0,解題的關(guān)鍵是：熟練掌

握三角形相似的判定及性質(zhì).

15.【答案】解：這里。=1,b=-5,c=2,

???△=25—8=17>0,

5±A<I7

???X=—，

liHI5+/175-/17

則第1=%2=-

【解析】找出。，人及。的值，得到根的判別式的值大于0,代入求根公式即可求出解.

此題考查了解一元二次方程-公式法，利用公式法解方程時(shí)，首先將方程整理為一般形式，找出。，匕及。

的值，當(dāng)根的判別式的值大于等于。時(shí)，代入求根公式即可求出解.

16.【答案】解：原式=7^1+-24=6—3A

=3A<2+2-3<2

=2.

【解析】利用二次根式的乘除法則運(yùn)算.

本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并同類二次根式即可.在二次

根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功

倍.

17.【答案】解:如圖所示:

圖中各畫出了一條線段C，將線段AB分為2：3兩部分.

【解析】根據(jù)兩條直線平行對應(yīng)線段成比例即可畫出一條線段CQ，將線段分為2：3兩部分.

本題考查了作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解決本題的關(guān)鍵是利用兩條直線平行對應(yīng)線段成比例.

18.【答案】解(1)設(shè)拋物線頂點(diǎn)式為y=a。一位2+鼠由題目可知八=1,k=-4,

將C點(diǎn)代入式子可算得a=1,

所以拋物線的關(guān)系式為：y=Q-l)2—4.

(2)要求拋物線與x軸的交點(diǎn)，可令y=0,即：(x-1)2-4=0,

=

解得Xi=3,%2一L

所以坐標(biāo)為B(3,0),X(-l,0).

【解析】(1)利用頂點(diǎn)式即可解決問題；

(2)令y=0,解方程即可解決問題；

本題考查拋物線與無軸的交點(diǎn)、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考

?？碱}型.

19.【答案】解：由題意得：CE=4B=1.8米，BE=2。=22米，

在RtADBE中，Z.DBE=32°,

則DE=BE-tanzDBE=22x0.62=13.64(米)，

CD=DE+EC=13.64+1.8?15.4(米)，

答：旗桿的高度。約為15.4米.

【解析】根據(jù)正切的定義求出。E，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案.

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題

的關(guān)鍵.

20.【答案】解：設(shè)降價(jià)后的銷售單價(jià)為x元，則降價(jià)后每天可售出[300+5(200-久)]個，

依題意，得:(x-100)[300+5(200-x)]=32000,

整理，得：/一360%+32400=0,

解得：x1—x2=180.

180<200,符合題意.

答：這種電子產(chǎn)品降價(jià)后的銷售單價(jià)為180元時(shí)，公司每天可獲利32000元.

【解析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)降價(jià)后的銷售單價(jià)為x元，則降價(jià)后每天可售出［300+5(200-乃］個，根據(jù)總利潤=每個產(chǎn)品的利潤X

銷售數(shù)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.

21.【答案】隨機(jī)

【解析】解：(1)由題意可知，

小李同學(xué)抽到物理實(shí)驗(yàn)題目①這是一個隨機(jī)事件，

故答案為：隨機(jī)；

(2)樹狀圖如下圖所示：

第二)欠abcabcabc

則P(同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備得較好)=|.

(1)根據(jù)“必然”、“不可能”或“隨機(jī)”三種事件的特點(diǎn)，可知小李同學(xué)抽到物理實(shí)驗(yàn)題目①這是一個

什么事件；

(2)根據(jù)題意，可以畫出相應(yīng)的樹狀圖，從而可以求得他同時(shí)抽到兩科都準(zhǔn)備得較好的實(shí)驗(yàn)題目的概率.

本題考查列表法與樹狀圖法、隨機(jī)事件，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應(yīng)的樹狀圖，求出相應(yīng)的概

率.

22.【答案】京

【解析】證明：(I)、?四邊形ABC。是矩形，

AD//BC,乙4=4BCD=^ADC=90。，AD=BC=4,AB=CD=6,

.-?^ADE+AEDC=90",

DF1DE,

???乙EDC+乙CDF=90°,

???乙ADE="DF,且=乙DCF=90°,

DAE^LDCF；

(2)???△DAEsxDCF,

AD_AE

?t?,

DCCF

4X

?6一y—4

3,.

??-y=-%+4；

(3)???四邊形防尸。為軸對稱圖形，

??.DE=BE,

???AD2+AE2=DE2,

???16+AE2=(6-4E)2,

■■■AE=r

13

...DE=BE=y,

4rteAE5

.■.COs^AED=-=~,

故答案為：備

⑴根據(jù)矩形的性質(zhì)得到乙4=^ADC=4DCB=90°,根據(jù)余角的性質(zhì)得到乙4DE=ACDF,由相似三角形

的判定定理即可得到結(jié)論；

(2)由相似三角形的性質(zhì)可得喘=作，即可求解；

(3)由軸對稱圖形的性質(zhì)可得DE=BE,由勾股定理可求AE,OE的長，即可求解.

本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對稱圖形的性質(zhì)等知

識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】120

【解析】【教材呈現(xiàn)】證明：如圖①，?:點(diǎn)、D、E分別是A8與AC的中點(diǎn)，

AD=AB,AE=AC,

,

乙4=乙4,

,MADEsAABC,

???Z-ADE=Z-B,==,

/.DE//BC,且DE=BC；

【結(jié)論應(yīng)用】①證明：???△ABC是等邊三角形,

??.AB=AC,"=/-ABC=60°,

???M,N,尸分別是。E,BE,3C的中點(diǎn)，

.?.MN=BD,PN=EC,

???BD=EC,

MN=PN；

②解：如圖，???A8=/C,BD=EC,

???AD=AE,

???乙4=60°,

???△/DE是等邊三角形，

???乙ADE=4ABC=60°,

??.DE//CB,

???四邊形5DEC是等腰梯形，

???DM=ME,BP=PC,

???PM所在的直線是等腰梯形BDEC的對稱軸，

???乙BPM=90°,

???BN-EN,BP=PC,

??.PN//EC,

???乙BPN=ZC=60°,

???乙NPM=30°,

???NP=NM,

???乙NMP=Z.NPM=30°,

???乙PMN=180°-30°-30°=120°.

故答案為：120.

【教材呈現(xiàn)】利用相似三角形的性質(zhì)，平行線的判定證明即可；

【結(jié)論應(yīng)用】①利用三角形中位線定理證明即可；

②證明4NPM=30。，可得結(jié)論.

本題屬于三角形綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，等

腰梯形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考

?？碱}型.

24.【答案】5r

【解析】解:(1),?,點(diǎn)P的運(yùn)動速度為每秒5個單位,

AP—53

故答案為：5t；

(2)當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，

則5t=3,

?"一5，

⑶???乙ACB=90°,BC=4,AC=3,

AB=5,

.“BC3」八BC3

??.sin4=^=丁tanX=-=?

APQ3

??,tan“=k"

又由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，PQ=PR,

當(dāng)C、R、。三點(diǎn)共線時(shí)，如圖，

???乙RPQ=AAQP=