2023-2024學年重慶北碚區(qū)田家炳中學高三數(shù)學理模擬試卷含解析

2023年重慶北培區(qū)田家炳中學高三數(shù)學理模擬試卷含

解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.甲、乙兩名同學在5次體能測試中的成績的莖葉圖如圖所示，設(shè)X1,*2分別表示甲、

乙兩名同學測試成績的平均數(shù)，Si,Sz分別表示甲、乙兩名同學測試成績的標準差，則有

()

甲乙

66768

8828367

x-xx-x

A.l2,si<s2B.l2,si>s2

x>xx=x

C.l-2,S1>S2D.l2,Si=s2

參考答案:

B

考點：莖葉圖.

專題：概率與統(tǒng)計.

分析：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，計算出甲、乙同學測試成績的平均數(shù)與方差、標準差，即可

得出結(jié)論.

解答：解：根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)，得；

—1

甲同學測試成績的平均數(shù)是3I三(76+76+82+88+88)=82,

—1

乙同學測試成績的平均數(shù)是、2=石(76+78+83+86+87)=82；

甲同學測試成績的方差是:

21144

S1=5[(76-82)2+(76-82)2+(82-82)2+(88-82)2+(88-82)2]=5,

標準差是Si

2194

乙同學測試成績的方差是$2=5[(-6)2+(-4)2+12+(4)2+52]=T,

標準差是s2

xx

l=2,si>s2.

故選：B.

點評：本題考查了莖葉圖的應(yīng)用問題，也考查了平均數(shù)、方差、標準差的計算問題，是基

礎(chǔ)題.

2.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cn?）是

A.2B.4C.6D.8

參考答案：

C

3.如圖，是圓。的一條直徑，C、。是半圓弧的兩個三等分點，則石=

A衣-而B21C-2^Dc而一衣D

參考答案：

D

J)【解析】本題考套平面向■的線性運JI,考查運?求解能力與數(shù)形結(jié)合的數(shù)學方法.

因為C.〃顯卡黑鬼的兩個等分點.所以CD〃AH.IlAB=2C〃.所以八。,2(f?=2(M)—M>2.Af>-24(：

x2_2

—y

4.已知M(x。，％)是雙曲線C：2'=1上的一點，F(xiàn)i,F?是C的兩個焦點，若

叫.2<0,則%的取值范圍是()

(—近叵、(_V3?/_2722近、

A.3'3B.6'6C.3，3

(_2M2?

D.<3'3；

參考答案:

A

【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).

【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】利用向量的數(shù)量積公式，結(jié)合雙曲線方程，即可確定％的取值范圍.

【解答】解：MF1，MF2=(V3-xo,-y?)?(-V3-xo,-yo)=xo2-

22

3+y0=3y0-l<0,

VsVs

所以-3VyoV3.

故選：A.

【點評】本題考查向量的數(shù)量積公式，考查雙曲線方程，考查學生的計算能力，比較基

礎(chǔ).

5.若直線伏+"次='）不過第二象限，則實數(shù)上的取值范圍是

?1v上S—■」SkS1

A.B.2

C.k》lD.2

參考答案：

C

6.已知某個幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：cm）,可得這個

幾何體的體積是（）

參考答案:

C

略

sin(―-a)=—cos(―+CI)

7.若63,貝ij3的值為()

參考答案:

A

【考點】兩角和與差的余弦函數(shù)；兩角和與差的正弦函數(shù).

【專題】計算題.

/Ks冗冗n

cos(—?a)———

【分析】首先利用誘導公式得出3=cos[2-(6-a)]=sin(6-

a),進而求出結(jié)果.

，兀兀兀兀1

cos\—+a)————

【解答】解：3=cos[2-(6-a)]=sin(6-a)=3,

故選A.

【點評】本題考查了三角函數(shù)的誘導公式，觀察已知角與所求角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，屬

于基礎(chǔ)題.

8.已知復數(shù)」-‘?用￡a1為虛數(shù)單位)，則4一2二

A.1B.2C.3D.4

參考答案：

C

x

9.設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且C=6,a+b=12,則△ABC面

積的最大值為()

A.8B.9C.16D.21

參考答案：

B

【考點】三角形中的幾何計算.

【分析】根據(jù)基本不等式求得ab的范圍，進而利用三角形面積公式求得.

a+b

【解答】解：:abW(-)2=36,當且僅當a=b=6時，等號成立，

SAABC=2absinC<2x36x2-9,

故選：B.

<x+”0,

10.若變量X,y滿足約束條件X-尸-2S0,則z=X-3j的最大值為

A.4B.3C.2D.1

參考答案：

A

略

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

x^/cosa才

p=21^zcos（8+—）

11.若直線［，二'^。R為參數(shù)）被圓4截得的弦長為最大，則此直

線的傾斜角為;

參考答案：

3n

T

12.曲線y=^x?和它在點（2,1）處的切線與x軸圍成的封閉圖形的面積為.

參考答案：

【考點】6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【分析】先求出導數(shù)和切線的斜率，可得切線的方程，根據(jù)題意畫出區(qū)域，然后依據(jù)圖

形，利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可.

1

【解答】解：y=%＞在（2,1）點處的切線1,

貝!!y'=2x,

直線1的斜率k=『h=l,

直線1的方程為y-l=x-2,即y=x-1,

當y=0時，x-1=0,即x=l,

11

所圍成的面積如圖所示：S=」204x2dx-2X1X1

12U-11

=T2X3|0-~2=12-2^6.

故答案為：I.

13.我們常利用隨機變量片來確定在多大程度上可以認為“兩個分類變量有關(guān)系”的方

法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗，其思想類似于數(shù)學上的.

參考答案：

反證法

'y-2<0

,x+3>0

14.已知x,y滿足則的最大值為

參考答案：

13

【考點】簡單線性規(guī)劃.

【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，設(shè)z=x2+y）利用z的幾何意義，即可得到結(jié)論

【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

設(shè)z=x2+y2,則z的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到原點距離平方，

由圖象可知點A（-3,2）到原點距離最遠，；.z=x2+y2的最大值為（-3）2+22=13

故答案為：13

15.（5分）（2015?欽州模擬）在AABC中，角A、B、C的對邊長分別是a、b、c,若

bcosC+(2a+c)cosB=0,則內(nèi)角B的大小為

參考答案:

2冗

—

【考點】：正弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用.

【專題】：計算題；三角函數(shù)的求值；解三角形.

【分析】：運用正弦定理，將邊化為角，由兩角和的正弦公式和誘導公式，化簡整理，

結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可得到B.

解：由正弦定理，bcosC+(2a+c)cosB=0,

即為sinBcosC+(2sinA+sinC)cosB=0,

即(sinBcosC+sinCcosB)=-2sinAcosB,

即sin(B+C)=-2sinAcosB,

即有sinA=-2sinAcosB，

1

則cosB=-2,

2-

由于0<B<n:,則B=3,

2兀

故答案為：

【點評】：本題考查正弦定理及運用，考查兩角和的正弦公式和誘導公式，考查特殊角

的三角函數(shù)值，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.袋中裝有大小相同且質(zhì)地一樣的五個球，五個球上分別標有"2","3","4","6","9"

這五個數(shù).現(xiàn)從中隨機選取三個球，則所選的三個球上的數(shù)恰好能構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)

列的概率是.

參考答案：

2

5

-y<3x-2

<x-2y+l<0

17.設(shè)變量無了滿足約束條件I,則二T的最小值是.

參考答案：

1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.（本小題14分）

已知拋物線C：產(chǎn)=2內(nèi)經(jīng)過點P（1，2）.過點。（0,1）的直線/與拋物線C有兩個不

同的交點A,B,且直線尸4交y軸于直線PB交y軸于N.

（I）求直線/的斜率的取值范圍；

1I

（II）設(shè)。為原點，可求證：為定值.

參考答案:

解：（I）因為拋物線y=2川經(jīng)過點P（1,2）,

所以4=20,解得片2,所以拋物線的方程為V=4尤.

由題意可知直線/的斜率存在且不為0,

設(shè)直線/的方程為產(chǎn)區(qū)+1（原0）.

由得公/+（24-4）1+1-。

依題意4?值-4尸一4x￡xl>°,解得k<0或0<k<l.

又PA,尸2與y軸相交，故直線/不過點（1,-2）.從而原-3.

所以直線/斜率的取值范圍是（-8,-3）U（-3,0）U（0,1）.

（II）設(shè)A（尤1，%）,B（%2，>2）.

直線PA的方程為廣2=4T

-------?一—一?—

令x=0,得點M的縱坐標為原-1A—

YM---------?2

同理得點N的縱坐標為4T.

由海Y》方一而得4-1（，4?1%

所以

22tY

?L.2,ij?4-i?馬-i1]科?t

A戶一巨虧■距w（口風?口~■口-T~

+—

所以〃為定值.

1

19.(本小題滿分12分)已知中心在原點，焦點在X軸上的橢圓C的離心率為5,且經(jīng)過

⑴求橢圓C的方程；

(2)是否存在過點,‘(2/)的直線,與橢圓C相交于不同的兩點4B,滿足西?河一而二?

若存在，求出直線’的方程；若不存在，請說明理由.

參考答案：

知識點：橢圓直線與橢圓位置關(guān)系H5H8

(1)43；(2)存在，4方程為.2

<1,9

<c_l

一=二,

X：y：a2

解析：(1)設(shè)橢圓C的方程為卞—"a>b>0，,由題意得la；=b；+c：,解得/=4,b2=3.

(2)假設(shè)存在直線L且由題意得斜率存在，設(shè)滿足條件的方程為y=k1(x—2)+1,

代入橢圓C的方程得，(3+4k)x2-8k!(2k!-1)x+16k-16^-8=0,因為直線L與橢圓C

相交于不同的兩點A,B,

設(shè)A,B兩點的坐標分別為(xi,yi),(x2,y2),

A=[-8k(2k—1)];—4(3+4k!),(16k-16k.-8)?32(6k+3)X).又

電(瑞?1)-8票罌&；

%?乂=?i▼?x.r；——■；..；—?因為PAPB=p\t??

3.4匕?3+4k：

33(X.-2)(x；-2)+(y-1)(y；-l)=j.—2)(*；—2)(1+K)="曠

44

BP[x；?：—2(M.+X?)+4](l+k:.)-7.

4

Ifik：-16k；-88k,2k；-1,...4+4k：51?□...1

3+4k：---2,―狂冠一H】(】M+、=京解猾k尸士5?因為卜＞一展

所以k=；.于是存在■畿1誨足條件，其方程為,=$.?

【思路點撥】求橢圓的標準方程應(yīng)先結(jié)合焦點位置贏定標準方程形式再進行解答，遇到直

線與橢圓位置關(guān)系問題，通常聯(lián)立方程結(jié)合韋達定理進行解答.

20.某校一課題小組對鄭州市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進行調(diào)查，抽調(diào)了50人，他

們月收入頻數(shù)分布及對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表.

月收入[15,[25,[35,[45,[55,[65,

(單位：百25)35)45)55)65)75)

元)

頻數(shù)510151055

贊成人數(shù)4812531

(1)完成下圖的月收入頻率分布直方圖(注意填寫縱仝L標)及2X2列聯(lián)表；

月收入不月收入低合計

低于55百于55百元

元人數(shù)人數(shù)

贊成a=__4c二2933

不贊成b=_6d二_n17

合計104050

(2)若從收入(單位：百元)在[15,25)的被調(diào)查者中隨機選取兩人進行追蹤調(diào)查，求

選中的2人恰好有1人不贊成“樓市限購令”的概率.

」交里

運這

K&￡提3志

參考答案：

【考點】概率與函數(shù)的綜合.

【分析】(1)各組的頻率分別0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,所以圖中各組的縱坐標

分別是：0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01,畫出直方圖，填表即可；

(2)設(shè)收入(單位：百元)在［15,25)的被調(diào)查者中贊成的分別是A”鼠,A3)A4,不贊

成的是B,列出選出兩人的所有結(jié)果，和滿足條件的情形，根據(jù)古典概型的公式進行求解

即可.

【解答】解：(1)各組的頻率分別0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1,所以圖中各組的縱

坐標分別是：0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01

月收入不低于55百月收入低于55百合計

元人數(shù)元人數(shù)

贊成42933

不贊成61117

合計104050

(2)設(shè)收入(單位：百元)在［15,25)的被調(diào)查者中贊成的分別是Ai,A”As,A4,不贊

成的是B,從中選出兩人的所有結(jié)果有10種：(AiAD,(A1A3),(AIA4),(AB),

(A血)，(AzAO,(A2B),(A3AA,(AA),(AA)

其中選中B的有4種：(AiB),(A?B),(A3B),(A4B)

42

所以選中的2人恰好有1人不贊成“樓市限購令”的概率是P=T0=i5

15mg45X877月收入

C百元)

=l(a>b>0)

21.(本題滿分13分)已知橢圓「：a,的一個短軸的端點與兩焦點所

迫

T

構(gòu)成的三角形的面積為1,且橢圓的離心率為

(1)求橢圓r的方程；

(2)經(jīng)過定直線，：x=2上的一點Pfz"?),作橢圓r的兩條切線e%4?為

切點)，設(shè)直線AB與定直線?的交點為0,當P在［上運動時，求線段1月2長的最小值及

此時直線AB的方程。

參考答案：

..，州*仁g“卜6(3?)

?2

故所求林陽的方I!為I4+/-1(4分)

2

(li)方接I，&P4的方程為，代入加?的方程中.整刑.得

(2年+1*?他>+2(《-】)?0…-(?)

PA為切線,A.0,搐4'-2片-----------------------------(6分)

方間⑴可化為母,+的幻r+4M10,解得x=_%.>=]

陶理小將過線PB的方藕為?*/+2尸7=2……(2)

12不十2/?步廣2

乂點P分別在*線PAtjPB匕所以,(24+加力=2

這俄是睨1B兩點坐標滿足亶戰(zhàn)方段：x+可==】---------------------(]。分)

所以川&AB的方稱為4?可=】?因為.當所0時/用|/.所以加W0,

令x=2.得%=——,

tn

Jhm>01#||PQ|=m+—42.

fti

*H僅為止1時衰等號，此時AB的方程為，x+y=l

9molt?g?(y)?占zZ

僅當■■7時取■勺.虎nAB的方日力rJt-,=l------------------分)

方“&......HiliHAttI.南方”(?)付U5點A的金修以給.

為■中,■!!罵,?-A?借公4,A1).

4A

1).因力新H懶?0.

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所??如=?三，JXitABI1!方&為：>-—?—(x-(l-^)|,fc4-myw|

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方?品瞼*4,*卜比。,力).、■光t'的戲AIMBtt方*1L『+AJeI

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.?明;方IHI?利去x.并優(yōu)■立點A*坐方程.imixftii

芋?R,l

<??V-2皿?,；?0?**1，■>?代入K線方"中HJT?K,

望?“■■?!RdttftMZI.4口蝮學*wl■量IIOLlA也，切&

2

“彳而19反9京的5?“超為,芋?力產(chǎn),1

JN?孫”

KjftP&f切0匕*以［與*小?加以卜同方能L

x=2cos0

*y=2sin0JT71

22.已知曲線G的參數(shù)方程為(8仁［--或，T］為參數(shù))，以坐標原點為極

點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲