人教A版高中數(shù)學(xué) 選修第二冊(cè) ?？碱}型練習(xí) 17 等比數(shù)列概及其前n項(xiàng)和

專題17等比數(shù)列概念及其前n項(xiàng)和

目錄

【題型一】等比數(shù)列概念.........................................................................1

【題型二】等比數(shù)列通項(xiàng)計(jì)算....................................................................3

【題型三】等比數(shù)列前n項(xiàng)和....................................................................4

【題型四】等比數(shù)列Sn與an的關(guān)系..............................................................5

【題型五】等差等比糾纏數(shù)列...................................................................7

【題型六】等比數(shù)列性質(zhì)........................................................................8

【題型七】等比數(shù)列“不定方程型”計(jì)算.........................................................10

【題型八】S?,S2n,SM應(yīng)用......................................................................11

【題型九】插入數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列................................................................13

培優(yōu)第一階——基礎(chǔ)過關(guān)練.....................................................................15

培優(yōu)第二階——培優(yōu)拔尖練.....................................................................19

熱點(diǎn)題型歸納

【題型一】等比數(shù)列概念

【典例分析】

已知等比數(shù)列｛4｝中，4=3,公比夕=-3,則下列說(shuō)法正確的是()

A.數(shù)列｛3%+α,,+J是等比數(shù)列B.數(shù)列。+「叫不是等比數(shù)列

C.數(shù)列｛、麗工｝是等比數(shù)列D.數(shù)列｛1嗝明是單調(diào)遞減數(shù)列

【答案】C

【分析】先求得勺，然后結(jié)合等差、等比數(shù)列的知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】匚等比數(shù)列｛叫中，6=3,公比q=—3,a,,=3×(-3Γ'=-(-3Γ.

π+

由此可得3an+an+i=-3(-3Γ-(-3)'=0,故A錯(cuò)誤;

%-綜=-(-3嚴(yán)+(-3)"=4?(-3)",故數(shù)列｛4“-4｝是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤;

=√(-3)n.(-3)"+2=3"+1,故數(shù)列｛麻二;｝是等比數(shù)列，故C正確；

22,J

log,∣?∣=Iog33=2H,故數(shù)列｛1叫。;｝是遞增數(shù)列，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等比數(shù)列基礎(chǔ)：

(1)通項(xiàng)公式：α,,=a∣q"^^l;

ItaI,q=1>

(2)前"項(xiàng)和公式：Sn='αl(l-q")a\—a”q

[l-g?-qY

【變式訓(xùn)練】

1.已知數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，則“｛4｝為常數(shù)例F是''6,4,4成等差數(shù)歹『’的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【分析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.

【詳解】解：如果｛q｝為常數(shù)列，則6，4，%成等差數(shù)列，所以“｛q｝為常數(shù)歹『'是'"，％，心成等差數(shù)歹『'的充

分條件；

4，。2，。3等差數(shù)列，所以2%=6+。3，，244=4+4/,；.4=1,所以數(shù)列為％,4,4,

所以數(shù)列是常數(shù)列，所以''｛α,,｝為常數(shù)列''是"4，%必成等差數(shù)列”的必要條件.

所以“｛叫為常數(shù)列”是“4,出，4成等差數(shù)列”的充要條件.

故選：C

2.已知等比數(shù)列｛α,J的公比為4,則“他,J是遞增數(shù)歹『，的一個(gè)充分條件是()

A.<2∣>0B.?>?

C.o1<0,q<0D.q<0,0vg<l

【答案】D

【分析】由等比數(shù)列僅“｝滿足遞增數(shù)列，可進(jìn)行勺和”,川兩項(xiàng)關(guān)系的比較，從而確定卬和4的大小關(guān)系.

【詳解】由等比數(shù)列｛4｝是遞增數(shù)列=4<α.∣=卬Tyaq'="qi(lr)<0,

若4>0,則q"T(l-q)VO,得它1；

若4<0,則q"T(l-q)>O,得。<廣1;

所以等比數(shù)列U｝是遞增數(shù)列o4>0,夕>1或《<0,0<9<l;

故等比數(shù)列｛對(duì)｝是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個(gè)充分條件為4<0,0<?<l?

故選：D.

3.已知數(shù)列｛%｝是各項(xiàng)均大于O的等比數(shù)列，若。=∣og2a,,,則下列說(shuō)法中正確的是()

A.｛〃｝一定是遞增的等差數(shù)列；B.｛2｝不可能是等比數(shù)列；

C.｛2?2,I+1｝是等差數(shù)列；D.但，｝不是等比數(shù)列.

【答案】C

【分析】設(shè)出等比數(shù)列｛%｝的公比，求出a的表達(dá)式，再逐項(xiàng)分析判斷作答.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為<?,依題意有4>0,q>0,?=^π^',〃eN”,

,1

b?=log2(a1?-)=Iog2q+(∕1-l)Iog2q,?,,+l-bn=Iog2q為常數(shù)，即數(shù)列｛bn｝是公差為Iog2q的等差數(shù)列，

當(dāng)O<q<l時(shí)，lθg2q<0,等差數(shù)列｛"｝是遞減的，A不正確；

當(dāng)q>O,“產(chǎn)Lg=I時(shí)，?,,=Iog2α,≠0,即數(shù)列也“｝是非O常數(shù)數(shù)列，它是等比數(shù)列，B不正確；

2仇的+l-(2%τ+l)=2(%田-處τ)=41og2"為常數(shù)，即｛2%τ+l｝是等差數(shù)列，C正確;

2=3%F=3啕。是不為0的常數(shù)，即數(shù)列｛3%｝是等比數(shù)列，D不正確.

故選：C

【題型二】等比數(shù)列通項(xiàng)計(jì)算

【典例分析】

等比數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，若。5-4=60,a4-a2=24,則公比q為()

A.?B.2C.■或—2D.2或《

［答案］D

【分析】由題意可知q>0且q*I,由已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)夕的等式，解出9的值,進(jìn)一步求出《的值

和數(shù)列｛4,,｝的通項(xiàng)公式，對(duì)數(shù)列｛%｝的單調(diào)性進(jìn)行驗(yàn)證，由此可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝是遞增數(shù)列，則數(shù)列｛%｝的公比q滿足4>0且4工1，

∣

_4(∕^^l)寧堞弓即5q+2=0,解得或2?

所以,

a4-a2WI)

2

若q=W,WJa4-α2?αl<7(<7-?)=-∣al?24,解得“∣=-64,

20

此時(shí)％=401=-64X擊，此時(shí)數(shù)歹u｛4｝為遞增數(shù)歹∣J,合乎題意；

若4=2,則%-丹="∣g(∕-l)=6α∣=24,解得4=4,

此時(shí)4=αα"τ=4χ2"τ=2"+∣,此時(shí)數(shù)列｛為｝為遞增數(shù)列，合乎題意.

綜上所述，9=；或2.故選：D.

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等比數(shù)列性質(zhì)：

若p+q=∕w+”,W∣Ja,,?at,=am?a,?特別地，若p+q=2k,則斯??！?加

【變式訓(xùn)練】

1..已知遞增等比數(shù)列｛α,,｝,4>0,a2a4=64,4+%=34,則4=()

A.8B.16C.32D.64

［答案］D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)、定義、通項(xiàng)公式計(jì)算求解即可.

【詳解】因?yàn)檫f增等比數(shù)列｛為｝中外04=64,所以4%=64,又4+G=34,

解得“∣=2,%=32,所以/=&=16,解得q=2,所以4=2%=64,故選：D

a?

77

2.已知等比數(shù)列｛〃〃｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，S〃為其前〃項(xiàng)和，且滿足：aι+3a3=gS3=-,貝∣J/=()

C.4D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式求解即可.

77

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛α"｝的公比為q,則q>0??a1+3a3=2,邑=2,

a∣+3a∣q2=?,α∕(l+?+?r2)=?,聯(lián)立解得O∕=2,q=?.則/=2x(；)=：(,故選：A

3.在等比數(shù)列｛α,,｝中，a4+α7=2,a2a9=-8,則q+ακ>=()

A.5B.7C.-5D.-7

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可以求出巴?的值，連同已知4+%=2,可以求出

%,%的值，進(jìn)而求出首項(xiàng)和公比，分類求出4+4。的值.

【詳解】等比數(shù)列｛氏｝有=4,%=-8,而出+%=2,

a.a=-81兄=4[a,=-2<、

｛αn=2'解得5=-2或|；=4,設(shè)等比數(shù)列｛《，｝的公比為4,

ax=-8

解得，31Cll+4()=4+=—8+(—8)=-8+1=-7

q=一一

、2

c.

“∣=l

解得，α+α=?,+aq)=l+l×(-2)3=1-8=-7；故選:D

y=-2,ll0x

【題型三】等比數(shù)列前n項(xiàng)和

【典例分析】

已知等比數(shù)列｛。〃｝的首項(xiàng)為1,公比為2,則“+療+…+加=()

A.(2n-1)2B.∣(2,,-1)C.4〃-1D.1(4"-1)

【答案】D

【分析】根據(jù)等比數(shù)列定義，求出a=Y=4"T,可證明｛，｝是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，利用等

比數(shù)列的求和公式，可得解

h4w^,

l

【詳解】由等比數(shù)列的定義，?=l?2"-=2"-'o故”,=展=221=41。由于廣_==4,Z>∣=l≠0

h

,,-l4

故｛〃｝是以1為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列?！?芯+…+-=l?(l-4")=B

1-43

故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等比數(shù)列僅“｝公比夕不確定，其前〃項(xiàng)和5“直接用公式S“=駕二?處理問題，漏掉對(duì)q≠1的討論.

τ-q

【變式訓(xùn)練】

1.已知公比為q("Hl)的等比數(shù)列m｝的前〃項(xiàng)和為s“，則數(shù)列的前幾項(xiàng)和為()

ALcB2]?

cd

■S,標(biāo)

【答1套1D

【分析】首先利用等比數(shù)列｛q｝的性質(zhì)可知，數(shù)列也為等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列求和的公式求解

化簡(jiǎn)即可.

【詳解】不妨設(shè)數(shù)列的前〃項(xiàng)和7；,｛%｝為等比數(shù)列，且公比4(4/1),

1

牛=d?=L,：數(shù)列也為等比數(shù)歹U,且公比為L(zhǎng),S,,=絲工2,

a

_Lnq[an]q?-q

an-?

?fl-??

τq人q(l-q")_Sa

n1_1α%"'(l-q)a:qn-''

q

故選：D.

2.若等比數(shù)列｛α,,｝的前"項(xiàng)和SJ=3〃+〃，則。的值為()

A.3B.OC.-1D.-3

【答案】C

【分析】根據(jù)α"=S"-S〃/求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得α/,根據(jù)α∕=S,求得α.

l+

【詳解】解：Sn=3n+a,Sn,l=3n+a,("≥2,〃N),

an=Sn-Sn.∣=2?3n',又α∕=57=3+0,由通項(xiàng)得：&=6,公比為3,

□α∕=2,Da=-1.

故選：C.

23nl

3.數(shù)列1,1+2,1+2+2?,...,I+2+2+2++2^,的前〃項(xiàng)和為()

A.2"-n-iB.2"+l-n-2C.2"D.2n+1-n

【答案】B

【分析】設(shè)此數(shù)列的第〃項(xiàng)為。“，先求出此數(shù)列的通項(xiàng)α,,=2"-l,再分求和求出前〃項(xiàng)的和即可.

【詳解】設(shè)此數(shù)列的第”項(xiàng)為明,則%=1+2+2a+2'+…+2"<+2"T

=≥≡y=2n-l所以數(shù)列｛α｝前〃項(xiàng)和為：q+2+…+a-,--+…+2”-I=羋"一〃

=2,,+'-rt-2，“eN".故選：B.

【題型四】等比數(shù)列Sn與an的關(guān)系

【典例分析】

.數(shù)列｛%｝的前“項(xiàng)和為，若，

"4=1απ+1=3Sn(n≥l),則?！暗扔?/p>

72l,n=l

A.3x4"B.3x4"+1

3×4M^2÷1√7≥2

【答案】C

【分析】討論片1和佗2兩種情況，當(dāng)欄2時(shí)?，通過--4=3(5〃-BI)及等比數(shù)列的定義得到答案.

【詳解】A=I時(shí),2=3,=3%=3,

"≥2時(shí)，?=3?-∣,所以4+∣-4=3(S〃一SI)=34n%+∣=4%,

而4=3〃]≠44∣,

所以數(shù)列｛%｝從第二項(xiàng)起是以3為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列,

所以叫[13,xΛ4=?1≥2?故選：C

【提分秘籍】

基本規(guī)律

通項(xiàng)α〃與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是：

Si,n=1,

Sw-Srt-∣,心2.

【變式訓(xùn)練】

1.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)合為5,，且S,,=2α,-2("∈N+),則Sg=()

A.510B.511C.1022D.1023

【答案】C

【分析】令〃=1,由4=，可求出4的值，再令〃≥2,由S,=2”,,-2得出Sflτ=2",ι-2,兩式相減可得出

數(shù)列｛《,｝為等比數(shù)列，確定出該數(shù)列的公比，利用等比數(shù)列的求和公式可求出的值.

【詳解】因?yàn)镾"=2αz,-2("∈N+),當(dāng)〃=1時(shí)，α,=S,=2a1-2,所以q=2,

當(dāng)“≥2時(shí)，S,,-,=2an.l-2(∏>2),所以=S”-Sfl-∣=2α,,-2α,τ(〃22),SPan=2a,,-l.

則｛%｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列，故Sl)=2x(T)=2∣。一2=1()22.故選:C

1-2

3

2.已知數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和為S”，且對(duì)任意正整數(shù)〃都有%=jS.+2,若勿=1Og24,則九H)=().

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】C

【分析】先令〃=1代入?=^5n÷2ψ,求得為,再根據(jù)遞推式得到4用二WS"+∣+2,將%+∣=1s用+2與

444

己知乙==S,,+2相減，可判斷數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，進(jìn)而確定〃，，求得答案?

333

【詳解】因?yàn)閝=WS“+2,令”=1，則q=H=8，又4m=]S,用+2,故向S)，

即“^=4α,,,故數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，則∕=8χ4"T=22"M,

所以勿=k>g2%=2"+l,所以4o∣o=2x1010+1=2021,故選：C.

3.已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為邑，且滿足S,,+4+2=0,則為=()

a6

A.63B.252C.364D.728

【答案】B

【分析】證明數(shù)列｛“"｝是以-1為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，即得解.

【詳解】解:當(dāng)〃=1時(shí)，4+4+2=0,.?.α∣=-l.當(dāng)〃≥2時(shí)，SΛ+?+2=0,S,,.I+an,1+2=0,

兩式相減得為+4-%τ=0，，區(qū)=；，所以數(shù)列｛4,｝是以-1為首項(xiàng)，以J為公比的等比數(shù)列，

Il-(1)663Il4S4x(-fl)

所以q,=-(5τ.所以s，=——~=一"，4=一(不)5=-不，所以3=—產(chǎn)-=252.故選：B

232232a6__

~2~32

【題型五】等差等比糾纏數(shù)列

【典例分析】

已知數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，數(shù)列也｝是等差數(shù)歹U,若%q?%=-3月,b4+bx+bg=2π,則tan?+[=()

a3'a??~i

A.-√3B.√3C.--D.走

33

【答案】A

【分析】設(shè)數(shù)列｛“,J是公比為4的等比數(shù)列，數(shù)列｛4｝是公差為"的等差數(shù)列，運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的

通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列和等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，化簡(jiǎn)已知得％=-后，"=4，代入tan即得解.

3?3??∣l-l

【詳解】設(shè)數(shù)列伍“｝是公比為4的等比數(shù)列，數(shù)列｛〃｝是公差為d的等差數(shù)列，

若4.〃9=一3百,也+4+%=2乃，則.∣∕Xα∣∕Xqq*=-3石，bl+3d+bi+7d+bl+Sd=2π,即為百,

H+6”=葛,

BPa1=-√3,b1=—,則tan-"+”=tan弋[=tan]=->^.故選：A

3?3-?ii-?ch-13

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等差等比“糾纏數(shù)列”：等差數(shù)列某些項(xiàng)成等比，或者等比數(shù)列某些項(xiàng)成等差。

L一般情況下，等差中“糾纏等比”，設(shè)等差首項(xiàng)和公差列方程。

2.一般情況下，等比中“糾纏等比”，設(shè)等比首項(xiàng)和公比列方程。

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)｛4｝是公差為d的等差數(shù)列，也｝是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列｛q+2｝的前”項(xiàng)和

S,,=∕+5"-1("GN"),則d-q=()

A.-3B.—1C.2D.4

【答案】A

【分析】設(shè)數(shù)列｛叫和也｝的前“項(xiàng)和分別為4,紇，然后利用分求出再利用5,,=4+紇列方程,

由對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)相等可求出結(jié)果

(詳解】設(shè)數(shù)列｛??｝和｛b,,｝的前〃項(xiàng)和分別為Al,,B,,,則

n(n-??dW——L(g≠l),

4=W+2

l-<7l-c∕

若9=1,貝IJ紇="4，則S,=4+紇=〃2+5"-l=(q-g)〃+g〃2+〃4,顯然沒有出現(xiàn)5”,

z所以4≠1,

〃+與+_L%小2+5』,

所以

2?-q?-q

由兩邊的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等可得4-4=0,<=lM=5,γ^J=T,

22?-q

解得4=l,d=2,g=5,4=4,所以d-g=-3.故選：A

2.數(shù)列｛〃〃｝中，an=3n-7(∏□N+),數(shù)列｛加｝滿足6/=g,加_/=27ZW(〃之2且∕rZ3N+),若IogHW為常

數(shù)，則滿足條件的％值()

A.唯一存在，且為gB.唯一存在，且為3

C.存在且不唯一D.不一定存在

【答案】B

【分析】由題意加=(g)3"2,代入化簡(jiǎn)可得加+1OgA加=(3+31。以上〃一7—210g*；,若為常數(shù)有

3+31ogA；=0,求解即得解

【詳解】依題意，加="(，?)〃7=^(∣)3π,=(?)'w

an÷?ogkbn=3n~l+IogA(?)3n一2=3〃一7+(3〃——2)log%；=(3+3IOgAg)〃——7——2Iog左;.

□即+logZ?〃是常數(shù)，□3+31og?^=0,即log攵3=1,口%=3.

故選：B

3.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃"｝中，4=1,其前〃項(xiàng)和為5.，若2%,；〃5,4成等差數(shù)列，則57-36=()

A.128B.64C.32D.1

［答案］B

【人加】根據(jù)基本量法，將所給條件轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比的關(guān)系式，再結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可

【詳解】解：設(shè)｛凡｝的公比為q.

2%，3。5，包成等差數(shù)列，，45=243+“4.即α∣q4=204+α∣∕,

化簡(jiǎn)得/-g-2=0,解得q=2或q=T.

f6

由己知，￠=2,:.S7-S6=a1=aiq'=2=64,故選：B.

【題型六】等比數(shù)列性質(zhì)

【典例分析】

已知數(shù)列｛/｝的首項(xiàng)為1,數(shù)列也｝為等比數(shù)列，且〃=號(hào)"，若九如=202(徜，則，I=()

A.1008B.1024

C.2019D.2020

【答案】D

【分析】根據(jù)數(shù)歹U｛%h為等比數(shù)列，bb=202()5和2=%L,利用等比數(shù)列性質(zhì)得到組=2020而，再利用

10a

"nam

/\10

累乘法結(jié)合性質(zhì)，山&■=旦?.?????0L=區(qū)求解.

?1?1?2?3%9。2。V‰；

【詳解】由數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，

1

i5

得blb20=b2bl,==/瓦=2020?

又么=%l,所以"&■=包.氏==%.呃=①=2020盤,

%生0。2494()41。10

0

IO1V

所以.?l.?L==2020歷=2020.

aaaa

??23。19〃20IaloJ(>

又?jǐn)?shù)列｛%｝的首項(xiàng)4=1,所以％=202。

故選：D

【提分秘籍】

基本規(guī)律

若｛為｝為等比數(shù)列，公比為《，前〃項(xiàng)和為S,,則有：

(1)"高斯”技巧：若o+g="?+",則alt?a。=Ctm?0,,特別地，若p+q=2k,則U?&=蘇；

(2)“跳項(xiàng)”等比：數(shù)列為，an+k,an+2k,期+3?，…為等比數(shù)列，公比為歐

(3)“和項(xiàng)”等比：數(shù)列S”S2n-Sn,S3,,一S2“仍成等比數(shù)列，其公比為.

【變式訓(xùn)練】

2

1.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝的公比為3,且q%a20=3°,則。4/4必6%0=()

2550_25X

25

A.3τB.3亍C.3TD.3

【答案】A

【分加】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式計(jì)算.

44

【詳解】ala2a3a4=才學(xué)■<寸4=方SlWs=號(hào)號(hào)號(hào)4=竽'…'

4444

CCnn一一“20所四見4a20.q20

aaaa3

?i↑S?920-33323?―于^，所以于^?gr?^Γ-,

則(W8.“BH故W$,0=3表

故選：A.

2.已知數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，Kan>0,2+若+羽+4+%3+4)=2那么4+%+。4的值等于()

A.2B.1C.√2D.3

［答案］C

【分加】利用完全平方和公式和等比中項(xiàng)的性質(zhì)，即可得到答案；

【詳解】(q+〃2+=4；+a；+d+2axa2+2q/+24〃4

=2-2。；-2α1a2-2axa4r+2a1α2+2α1a4+2a1a4=2

?01+02+α4=V2,故選：C.

,55

3.已知數(shù)列｛%｝的前"項(xiàng)和為S,,,且若-+*++?+10=2-2,則正整數(shù)L=()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【分析】由5“=2q,-g先求得％,再得到S,-=2.,--g("≥2),和已知式子相減，可求得見，根據(jù)已知利

用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可求得答案.

【詳解】由5.=24,,-3,可得q=(又S,-=2.,--g("42),所以兩式相減得：?=2α,,-2?-l,

%=2α,ι("≥2)

故數(shù)列｛%｝是以T為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以%=2"-2,故

2i-'(l-2'°)?S

?!+4+2++?ιo?—?----=2?-2?，

++1—2

解得k=6,

【題型七】等比數(shù)列“不定方程型”計(jì)算

【典例分析】

設(shè)數(shù)列(?),｛?J都是正項(xiàng)等比數(shù)列，S“,T?分別為數(shù)列｛Ig4)與｛lg%｝的前〃項(xiàng)和,且今=吟，則loga,b3=

()

【答案】D

【分加】根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和性質(zhì)計(jì)算.

【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列｛%｝的公比為g,正項(xiàng)等比數(shù)列也」的公比為P，

數(shù)列｛lg4｝為等差數(shù)列，公差為lgq,Ug差｝為等差數(shù)列,公差為IgP,

Cn(n-↑],〃(〃一

λ,1)

S“=Mgq+-2Λgq,τn=n?gbl+`QAgp.

,〃一II

S,J+1Ig4+-lg?

故選D.

T2”1.〃—11-S=?≡≡=?=?=l-

11

^bl+-?gp

【提分秘籍】

基本規(guī)律

設(shè)首項(xiàng)與公比，作為變量列方程，構(gòu)造比例轉(zhuǎn)化關(guān)系。

求解時(shí)，涉及到前n項(xiàng)和時(shí)，要注意討論公比是否為1特殊情況。

【變式訓(xùn)練】

1.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若幾：$5=1:2,則兀："=()

??o%

A.-B.--C.-D.--

2222

【答案】B

【分析】根據(jù)題意，可知小=；55,設(shè)等比數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)為4,公比9，可知qxl,由S”)：5$=1：2并根

V13Sc+5,∩+5.c

據(jù)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式得出“5=-彳，進(jìn)而得出S∣5==S5,從而可求出’”的結(jié)果.

24SK)T5

【詳解】解：由題可知，51O:S5=1:2,則

?0?

-q)

設(shè)等比數(shù)列也｝的首項(xiàng)為％,公比q，可知g≠ι,因?yàn)橛HFT=I+q5=J,所以[5=一;,

,5]_qzZ

1一夕

4(1-d')

SJ"qJ-2)33

則,所以幾=(S5,

5l-5zIP

SSal(l-?)√

"q

++

S5+Sl0+Si5?2^49

故5?故選:B.

SiO—S5

-SoECaj,t,5∕n÷l

2.已知S”是等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若存在m∈N*，滿足瞪=9,3=-f,則巾的值為()

S,,,amm-?

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】D

【分析】利用等比數(shù)列前〃和公式以及等比數(shù)列的性質(zhì)分別求出,進(jìn)而得到答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為4.

當(dāng)q=l時(shí)，妥=陰%=2與*=9矛盾，不合乎題意；

Smm%Sm

q(1-產(chǎn))

SI12m

當(dāng)4*1時(shí)，VL=-Λ??=-?=1÷^'=9-則夕"'=8，

Sm磯1-4)ι-q

i-q

，

又qa?“=/"=5-∕τt+l-,即5吧∕π÷±l1=8,解得〃?=3.故選：D.

amm-?∣n-i

3.已知等比數(shù)列｛q｝中，各項(xiàng)都是正數(shù)，且4,→3,2%成等差數(shù)列，則”他=()

/C/7?Cto

A.l+√2B.l-√2C.3+2√2D.3-2√2

【答案】C

【分析】根據(jù)外,→3,生成等差數(shù)列，可得%=q+2%,從而可求出公比4,進(jìn)而可求得答案.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q>0),

因?yàn)?，.2%成等差數(shù)列，所以％=q+2%,所以442=4+244,所以T-2q-1=0,

所以%+4o=%/+常=/(%+火)=q?

解得4=1+&或q=1-拒(舍去),

'%+4??7+?07+t?

=(l+√2)2=3+2√2,故選：C

【題型八】Sn,S2n,SM應(yīng)用

【典例分析】

設(shè)S〃是等比數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)和，?-=∣,則*等于()

%J?l?

D.?

9

【答案】B

【分析】由題意，用基本量q闖表示白，化簡(jiǎn)可得g'=2,再表示化簡(jiǎn)可得率=IT,代入即得解

%)12d121+4

q(l-g3)

【詳解】設(shè)公比為q，?=∣,9≠1.???=-?7I-g3_?_1.∕-

1-√^N√^3^f^2

S63邑4(l-g)

1-9

4(7)

.&=1-4l-?6_1??H

B

“Sjqa-L)l-√2~?+qb

1-4

【提分秘籍】

基本規(guī)律

等比數(shù)列前n項(xiàng)和滿足：S?,S2ll-Sn,S3“一S2”仍成等比數(shù)列，其公比為

【變式訓(xùn)練】

1.一個(gè)等比數(shù)列共有3初項(xiàng),若前2〃?項(xiàng)之和為15,后2加項(xiàng)之和為60,則這個(gè)等比數(shù)列的所有項(xiàng)的和為()

A.63B.72C.75D.87

［答案］A

【3加】根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的等片段和性質(zhì)可求解.

【詳解】由題意知"=15,S3m-Sm=60,

又(S?,“一S“Y=S,,,⑸,“一與G=SJS,,,+60-"),解得S,“=3,

所以4=60+3=63.

故選：A.

2.設(shè)等比數(shù)列｛q｝的前,項(xiàng)和為5“，若S6：S3=1：2,貝l］S9d3=()

A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3

【答案】C

【分析】利用等比數(shù)列前〃項(xiàng)和的性質(zhì)臬，S2k-Sk,SM-S2k,S4t-Sik,L成等比數(shù)列求解.

【詳解】解：因?yàn)閿?shù)列｛《,｝為等比數(shù)列，則S3，S6-S3,邑-56成等比數(shù)列，

777/77

設(shè)53=根，則$6=三，則S(i-S3=-^,

SA—S-,S~S,1jγι3Sq3

故」L=iiU=所以Sg-Se=;,得到Sg=；m,所以寸=7?

故選：C.

3.已知等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S〃，且SK)=2,S30=i4,則/。=()

A.20B.30C.40D.50

【答案】B

【分加】利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可求解.

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛α,,｝的首項(xiàng)為q,公比為q(q>0,4≠l),則

q(T)=2①

i-q

由①得l+^l0+√2°=7,即∕°+d°-6=0,解得/°=2或/°=一3(舍),

=14②

i-q

4"，二S=(-2)x(l-16)=30?故選：B.

且代入得言=-2,貝S0=16,所以S40=

【題型九】插入數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列

【典例分析】

若在數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入此兩項(xiàng)的和，可以形成一個(gè)新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法可以

不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.現(xiàn)將數(shù)列1,3進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1,4,3；第2次得到數(shù)列1,5,4,7,3；

依次構(gòu)造，第"("eN")次得到數(shù)列1,占,與,￡，,々,3.記4,=1+占+當(dāng)++々+3,若>4378成立，則”

的最小值為()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)規(guī)律確定。川，&的關(guān)系式，進(jìn)而可得%+「2=3(4-2),即有4的通項(xiàng)公式，求解4>4378即

可得結(jié)果.

【詳解】由題意知：?+l=3?-4,則α向一2=3(%-2),

則4-2=6X3"Tna“=2+2x3”,

當(dāng)〃=7時(shí)，%=2+2χ37=4376.

當(dāng)〃=8時(shí)，4=2+2X38>4378.

故選：C.

【變式訓(xùn)練】

1.將等比數(shù)列｛2｝按順序分成1項(xiàng)，2項(xiàng)，4項(xiàng)，…，2'i項(xiàng)的各組，再將公差為2的等差數(shù)列｛《,｝的各項(xiàng)

依次插入各組之間，得到數(shù)列｛%｝：伉，at,b2,仄，a2,b4,&,b6,b1,a,,數(shù)列｛c,,｝的前“項(xiàng)

和為S“.若q=l,c2=2,S3=?,貝IISIoo=()

B33

?-??θ-r??°-?Γ]c-?3θ-?r]?-?°-?Γ^

【答案】D

【分析】由已知求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，以及等差數(shù)列的首項(xiàng)，再求得數(shù)列｛?,｝的前100項(xiàng)中含有數(shù)列

｛%｝的前6項(xiàng)，含有數(shù)列｛d｝的前94項(xiàng)，運(yùn)用分組求和的方法可求得答案.

【詳解】解：山己知得4=1,4=2,?2=c3=S3-cl-c2=i,等比數(shù)列也｝的公比q=:?

令7；=1+2+2?++2"τ=2"-1,則(=63,7；=127,

所以數(shù)列｛5｝的前100項(xiàng)中含有數(shù)列｛??)的前6項(xiàng)，含有數(shù)列也｝的前94項(xiàng)，

故SK)O=q+a++∕?4)+(4+%++%)

=―^-+6×2+^^×2=il?θ-f?).故選:D.

1-l23[｛2｝j

4

2.在1和10之間插入"個(gè)實(shí)數(shù)，使得這(〃+2)個(gè)數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這(〃+2)個(gè)數(shù)的乘積記作7；,

則ig]+ig∕++ιgηl=()

13

A.—B.11C.44D.52

2

【答案】C

【分析】由條件結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出/+I再根據(jù)指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及等差數(shù)列求和公式求出