2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編：第一道解答題（第16題）

2023北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

第一道解答題(第16題)

2兀

1.(2023?北京西城?統(tǒng)考一模)如圖，在ASC中，ZΛ=y,AC=√2.8平分NACB交AB于點(diǎn)O,

CD=B

(1)求NADC的值：

(2)求ABCf)的面積.

2.(2023?北京東城?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=sinx+sin(x+g

(1)求/(x)的最小正周期；

(2)若χ=3是函數(shù)y=/。)—/(χ+e)(e>θ)的一個(gè)零點(diǎn)，求夕的最小值.

6

3.(2023?北京朝陽(yáng)?統(tǒng)考一模)如圖，在三棱柱ABC-AAG中，，平面ABC,D,E分別為AC,AG

(2)求直線DE與平面ABE所成角的正弦值；

(3)求點(diǎn)D到平面ABE的距離.

4.(2023?北京豐臺(tái)?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=2Sin(3x+夕)(3>0,0<。<兀)的部分圖象如圖所示.

⑵若函數(shù)g(x)=/(X)SinX,求g(x)在區(qū)間0,-上的最大值和最小值.

5.(2023?北京石景山?統(tǒng)考一模)如圖，在C中，AC=4√2,C=g點(diǎn)。在邊BC上,

cosZADB=?.

3

(2)若aABO的面積為2√∑,求A8的長(zhǎng).

6.(2023,北京房山?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)/(x)=sin(<yχ+。)(。>0,0<9<π)的最小正周期為兀.

⑴求0值；

(2)再?gòu)臈l件①.條件②、條件③三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.確定/U)的解析式.設(shè)函數(shù)

g(x)=f(X)-2si∏2χ,求g(x)的單調(diào)增區(qū)間.條件①：/S)是偶函數(shù)；條件②：f(χ)圖象過(guò)點(diǎn)目)；條件

③：/S)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(卷,0).注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答給分.

7.(2023?北京順義?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)f(x)=4SinXCOSX-?∕5cos2x的一個(gè)零點(diǎn)為臺(tái).

6

(1)求A和函數(shù)/(x)的最小正周期：

(2)當(dāng)xe時(shí)，若/(X)≤a恒成立，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

8.(2023?北京平谷?統(tǒng)考--模)在一ΛBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為“，b,c,且αtanB=%sinA.

(1)求角8的大小；

TT

(2)若BC=4,4=:，求ABC的面積.

4

9.(2023?北京海淀?統(tǒng)考一模)如圖，直三棱柱ABC-AAG中，AC=BC=I,AA=2,AClBC,。是

(1)證明：GOl平面3C3；

(2)求直線CD與平面BCQ所成角的正弦值.

參考答案

,?(1)7

.([F

【分析】（I）在ZVIDC中，利用正弦定理即可得解;

（2）由（1）可求出ZACD=NBCD=π-,-E=R,再根據(jù)Co平分/4CB可得,ABC為等腰三角形，再根

據(jù)三角形的面積公式即可得解.

ACCD

【詳解】（1）在C中，由正弦定理得

sinZ.ADCsinZA'

所以SinWC=處X=f?="

CD百2

因?yàn)镺C∕AOC＜巴,

3

JT

所以NAOC="

（2）由（1）得ZACO=NBCD=兀-與-；=展，

由題設(shè)，ZB=ZACB=1,即/1BC為等腰三角形,

O

所以BC=2×AC×cos—=?∣6,

6

ππ√3√21√2√6-√2

----×---------×----=------------

3^422224

所以的面積SBCeZ4、品氐i哈=吟文

2.(l)2π

嗎

【分析】（1）三角函數(shù)恒等變換的公式，化簡(jiǎn)函數(shù)/（x）=6sin[x+t｝進(jìn)而求得函數(shù)的最小正周期;

（2）由（1）得到函數(shù)），=6Sin（X+2）-6Sin（X+勿+1）,根據(jù)題意，得到方程+當(dāng)，即可

求解.

1.

【詳解】（1）解:由函數(shù)/(x)=sin%+sin=sιnx÷-sιnx+——COSX

22

3.√3

=-sιnx+——cos%=

22

所以函數(shù)“X）的最小正周期為7=2兀.

=f(x)-f(x+φ)

(2)解：由y=?/?sin[x+^-j-√5sinfx+^>+-^?

TT

因?yàn)棣?7是函數(shù)y=∕(χ)-∕O+e)(e>0)的一個(gè)零點(diǎn),

6

->∕3sinLT=o,

即~~-Sin(I+—=0,即Sin+=--，

TrTrTrZJT

可得§+9=§+2kπ+^>=-÷2kπ,左∈Z,

TT

即O=2kπ或°=§+2kπ,keZ,

又因?yàn)閑>o,所以9的最小值為三.

3.(1)證明見(jiàn)解析；

⑵也

6

(3)—.

3

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到。EIAC,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到ACl8。，然后

利用線面垂直的判定定理證明即可：

(2)利用空間向量的方法求線面角即可；

(3)利用空間向量的方法求點(diǎn)到面的距離即可.

【詳解】(1)在三棱柱中，D,E為AC,AG的中點(diǎn)，,OE〃/?,

：AA，平面ABC,.?.DE1平面ABC,

：ACu平面ABC,ΛDElAC,

在三角形ABC中，AB=BC,。為AC中點(diǎn)，ΛAClBD,

VDEryBD=D,DE,BDl平面二ACJ?平面BDE.

如圖，以。為原點(diǎn)，分別以D4,。民。E為x,Kz軸建立空間直角坐標(biāo)系,

在直角三角形AfiO中，AB=非,AD=^AC=?,，80=2,

D(0,0,0),￡(0,0,2),A(l,0,0),8(0,2,0),

OE=(0,0,2),Afi=(-1,2,0),AE=(-l,0,2),

設(shè)平面ABE的法向量為"?=(x,y,z),

ABm=-x+2y=0,、

，令χ=2,則y=l,z=l,所以m=(2,l,l),

AE?m=-x÷2z=O

設(shè)直線OE與平面ABE所成角為。，

所以sin，=卜OS(Z)瓦機(jī)|==——=恪.

I'Z|∣DE∣?∣w∣2×√J4+l+l6

?DE-m?2√6

(3)設(shè)點(diǎn)。到平面/WE的距離為d,所以d=Lrr1=*4T=一.

?m?√63

4.⑴/(x)=2Sink+[)

(2)最大值為應(yīng)和最小值為O

【分析】(1)由圖象及三角函數(shù)的性質(zhì)可以得到。，。，進(jìn)而得到/(x)的解析式；

(2)根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)g(x),進(jìn)而分析在區(qū)間Oq上的最大值和最小值.

【詳解】⑴由圖象可知：7=4x(學(xué)一丁]=生.?.o=l,

I44)ω

將點(diǎn)(：，2)代入V=?(?)得/(：)=2Sin仔+0)=2.?.°=(+2E,

Q八<φ<πs.φ=-π

π

：./(X)=2sinXH---

4

√2

(2)g(x)=/(x)sinx=V2sinMSinx÷COSX)=-y(sin2x-cos2x)+?-=sin(2x--jj÷

T

I八兀ZQC兀TC兀

由/￡得2x-丁￡一:，;

4444

當(dāng)2x-：=-：時(shí)，即χ=αg(χ)m?=°;

當(dāng)時(shí)，即X='g(x)nm=亞;

444''max

5.(1)AD=3

⑵AB=3

【分析】(I)根據(jù)三角形中鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，cosZADB=∣,由平方關(guān)系得sinZΛZ)C,再結(jié)合正弦定理即可

求得AQ的長(zhǎng)；

(2)由AABD得面積可得SinNA。C=SinNADB=述，再結(jié)合余弦定理即可求得A3的長(zhǎng).

3

【詳解】(1)因?yàn)閆A￡)8+ZAf)C=兀，所以cos/Af)C=-COSNA￡>8=-；

在AAQC中，因?yàn)镹AQC∈(0,7t)

所以sinZADC=-J?-cos2ZADC=

3

ADAC

在44?3中，由正弦定理得,

SinCsinZADC

4√2×i

ACsinC_____2___?

所以AD=

sinZADC2√2

(2)ZkABD的面積為2后，W?OS?DAsinZADB=2√2

因?yàn)閆AZ)8+ZADC=τr,所以SinNAOC=SinNAQB=述

3

又因?yàn)?)=3,所以屹=2

在ZSABO中，由余弦定理得A8?=〃片+082—2八4。8<0SZAoB=32+22-2x3x2xg=9

所以AB=3.

6.(l)<w=2

(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)周期公式，即可求解；

(2)分別選擇條件，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求*,再根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性，代入公式，即可求解.

2兀

【詳解】⑴由條件可知，—=π,解得：。=2；

ω

(2)由(1)可知，f(x)=sin(2x+φ)(ω>0,0<φ<π),

若選擇條件①："x)是偶函數(shù)，

JT冗

所以2χO+w=5+E,Z∈Z,即°=5,

所以/(x)=Sin+=COS2x,

(x)=cos2x-2sin2x=2cos2x-l,

令一π+2kπ≤2x≤2kπ,攵∈Z,

TT

JW得：一]+E≤x≤E,k∈Z,

JT

所以函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間是-]+E,E,keZ,

若選擇條件②：/O)圖象過(guò)點(diǎn)信1),/Q)=sin(2x>夕)=1,0<^<π,

則3+9==+2kt,%GZ,即e=3+2Aπ,%eZ,所以夕=巴,

3266

所以f(x)=sin(2x+^J,

所以g(x)=sinj2x+-j-2sin2X=——sin2x÷—cos2x÷cos2x-i

=—?sin2x+—cos2x-1=?/?sin[2x÷-∣-1

22I?j

令-]+2kπ≤2x+1≤5+2kπ,keZ,

解得：----hE≤X≤---Fkjl,

1212

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是喑+E.+航Λ∈z.

如選擇條件③：/(χ)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為^,0),

SJTSTTTr

所以2x2—+*=E,R∈Z,φ=kπ------,G<φ<τι,φ=~~,

1266

所以/(x)=sin(2x+.J,

W(x)=sin2x+-2sin2%=?sin2x+gcos2x+cos2x-l

=sin2x+—cos2.t-1=?/?sinf2x+-^‰l

22I3√

TrJrlr

+2Aπ≤2x+-≤?÷2?π,?∈Z,

SjΓ7Γ

解得：---+&7t≤X≤—+4兀，

1212

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是-∣J+E,3+EJ∈Z.

7.(I)A=2;兀

⑵[2,E)

【分析】(1)解方程/(2)=0即可求A,然后把函數(shù)/(x)降累，輔助角公式后再求周期.

(2)若f(x)≤∕n恒成立,即求/(x)maχ4m?

【詳解】(1)/(x)=ASinXCoS%-bcos2x的一個(gè)零點(diǎn)為5

6

?,?/1^7^∣=sin—?cos——?/?cos—=0,BPA?-!-?^^-?/?-?=0>..A=2

⑹663222

.,./(x)=2sinX?cosx-?∣3cos2x=sin2x-?∣3cos2x=2sin(2x-g)

所以函數(shù)"x)=2sin(2xf的最小正周期為牛=”.

公π

⑵?XW0,-

2χeπ2π

-f3,T

當(dāng)2x-方=］時(shí)有最大值，即f(x)a=2sin］=2.

若/(x)≤m恒成立,即/(x)raax≤m,

所以加22,故m的取值范圍為［2,+∞).

8.(Dy

(2)6+2√3

【分析】(1)根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系，結(jié)合三角形內(nèi)角的特點(diǎn)及特殊值對(duì)應(yīng)的特殊角即

可求解；

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論及三角形的內(nèi)角和定理，再利用兩角和的正弦公式及正弦定理，結(jié)合三角形面積公

式即可求解.

【詳解】(1)由OtanB=2Z?SinA,得SinA??^^?=2SinB?si∏Λ,

cosθ

因?yàn)镺vAvπ,0v4vπ,所以sinΛ>O,sinB>O,所以cosB='，

2

因?yàn)?<B<7Γ,所以B=^.

(2)由(1)知，B=p因?yàn)锳=：,所以C=Tt-A-8,

因?yàn)锳+8+C=π,所以C=7t-(8+A),

所以SinC=Sin(A+B)=sinAcosS+cosAsinB=^■!■+立?x避■=理土也?.

v,22224

.√6+√2

.4X-----------

.十.-TEacα?sinC4、、CR

由正弦/E理1~~7二丁二，得zaC=-1<=------Tr------=2+2√3.