高一數(shù)學(xué)新教材同步教學(xué)講義 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式（解析版）

二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

【知識點(diǎn)梳理】

知識點(diǎn)一一元二次不等式的概念

一般地，我們把只含有一個末知數(shù)，并且末知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式，即

形如α√+∕λr+c>o(≥o)或av2+zχr+c<0(≤o)(其中小兒C均為常數(shù)，α≠0)的不等式都是一元二

次不等式.

知識點(diǎn)二二次函數(shù)的零點(diǎn)

一般地，對于二次函數(shù))=以2+ZλX+C,我們把使OX2+bx+c=。的實(shí)數(shù)X叫做二次函數(shù)

丁=冰2+陵+。的零點(diǎn).

知識點(diǎn)三一元二次不等式的解集的概念

使一元二次不等式成立的所有未知數(shù)的值組成的集合叫做這個一元二次不等式的解集.

知識點(diǎn)四二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系

對于一元二次方程Or2+?χ+c=0(。>0)的兩根為不、々且χ∣≤%2,設(shè)A=∕j2-44c,它的解按照

Δ>0,Δ=0,△<()可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)y=0χ2+∕zr+c(α>0)的圖像與X軸的位置關(guān)

系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式62+hχ+C>O3>0)或

ax2+bx+c<O(α>0)的解集.

Δ=Z>2-AacΔ>0Δ=0Δ<0

-17r

二次函數(shù)-?

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象0∣?=x2

有兩相等實(shí)根?

ax2+bx+c=Q有兩相異實(shí)根

b無實(shí)根

(α>0)的根r

x1,x2(?ι??)…F

ax1+bx+c>Q(xjx<x?Jcr>x}<xx≠---I

l2R

(α>0)的解集I2"∫

ax2+bx+c<0

{Λ∣X,<X<x2)00

(α>0)的解集

知識點(diǎn)詮釋：

(1)一元二次方程如2+版+。=0(。;^0)的兩根斗、龍2是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)的取值，是拋

物線y=αr2+bx+c與X軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為

二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；

(3)解集分A>O,A=O,A<O三種情況，得到一元二次不等式0√+bχ+c>o與ar2+bχ+c<o的

解集.

知識點(diǎn)五利用不等式解決實(shí)際問題的一般步驟

(1)選取合適的字母表示題中的未知數(shù)；

(2)由題中給出的不等關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)；

(3)求解所列出的不等式(組)；

(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案.

知識點(diǎn)六一元二次不等式恒成立問題

(1)轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為R的情況，即α√+歷；+c>os≠0)恒成立=J">°恒成立

Δ<0

∣^4<0

0x7^+?x+c<0(<2≠0)o<

Δ<0.

(2)分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題.

知識點(diǎn)七簡單的分式不等式的解法

系數(shù)化為正，大于取“兩端”，小于取“中間”

【題型歸納目錄】

題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式

題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯

題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法

題型四：一次分式不等式的解法

題型五：實(shí)際問題中的一元二次不等式問題

題型六：不等式的恒成立問題

【典型例題】

題型一：解不含參數(shù)的一元二次不等式

例1.（2022?浙江?高一階段練習(xí)）不等式（2+力（2-力>。的解集是（）

A.{Yx>2}B.{x∣x<-2}

C.{x∣Xe-2或x>2}D.{x∣-2<x<2}

【答案】D

【解析】

【分析】

直接解一元二次不等式即可得答案.

【詳解】

解：原式化為（x-2）（x+2）<0,gp-2<x<2,故不等式的解集為{W-2<x<2}.

故選:￡>

例2.（2022?廣東?新會陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中）不等式-d+2x-3>0的解集是（）

A.RB.φC.{x∣x<-3或x>T}O.{x∣-3<x<-l}

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分析即可得答案.

【詳解】

由題意得所求V-2x+3<0,令y=∕-2x+3,為開口向上的拋物線，

Δ=（-2）2-4×l×3=-8<0,

所以y=f-2x+3>0恒成立，

所以丫=/-2》+3<0不成立，故-/+2x-3>0的解集為“

故選：B

例3.（2022?安徽省利辛縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）不等式-2f+χ+15≤0的解集為（）

A.{x-∣?≤x≤3}B.卜卜≤-?∣或x≥3}

C.卜-3≤x≤g}D.{x∣x≤-3或x≥∣?）

【答案】B

【解析】

【分析】

將式子變形再因式分解，即可求出不等式的解集；

【詳解】

解：依題意可得2χ2-χ-i5≥0,故(2x+5)(x-3)≥0,解得x≤-g或x≥3,

所以不等式的解集為卜卜≤-∣或X≥3}

故選:B.

例4.(2022?新疆喀什?高一期末)解下列不等式：

(l)x2+4x+3>0;

,9

(2)-4x~+Gx—<0.

4

【答案】(l){x∣x<-3或x>T}

⑵何.野

【解析】

(I)

⑴因?yàn)锳=16-4xlx3=4>0,

所以方程χ2+4χ÷3=0有兩個不等實(shí)根x∣z=-?,X2=-3.

所以原不等式的解集為&&<-3或x>7}.

(2)

O

⑵因?yàn)?=36—4x(z-4)x(-W)=O，

93

所以方程-4W+6X-J=0有兩個相等實(shí)根JQ=X2=T

44

所以原不等式的解集為{χ∣χ≠5}.

【方法技巧與總結(jié)】

解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

(1)通過對不等式的變形，使不等式右側(cè)為0,使二次項(xiàng)系數(shù)為正.

(2)對不等式左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算對應(yīng)方程的判別式.

(3)求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根.

(4)根據(jù)一元二次方程根的情況畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的草圖.

(5)根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

題型二：一元二次不等式與根與系數(shù)關(guān)系的交匯

例5.(2022?四川省高縣中學(xué)校高一階段練習(xí)(理))已知關(guān)于X的不等式/_4次+3/<0(〃>0)的解集為

(%,/),則玉+/+---的最小值是()

—

A./4√3

B.一亟rD一處

3333

【答案】C

【解析】

【分析】

由根與系數(shù)關(guān)系及基本不等式求目標(biāo)式的最小值，注意等號成立條件.

【詳解】

4α

由題設(shè)，?i+x2=-XlX2=3/且α>0,

所以占+X2+3=44+!≥2j4〃?，-=坐,當(dāng)且僅當(dāng)α=@時等號成立.

x1x23aV3。36

故選：C

例6?(2022?四川?射洪中學(xué)高一階段練習(xí))已知不等式d-χ+α<o的解集為{M-2<X<3},則a=()

A.—6B.—C.6D.—

66

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)一元二次不等式的解集和一元二次方程根的關(guān)系直接求解即可.

【詳解】

由不等式的解集知：-2和3是方程X2-x+α=0的兩根，.,.a=-2×3=-6.

故選：A.

例7.(2022.湖南.懷化五中高一期中)若關(guān)于X的不等式皿?+8ZnX+21<0的解集為{x∣-7<x<-1},則實(shí)

數(shù)m的值為.

【答案】3

【解析】

【分析】

根據(jù)二次不等式的解，結(jié)合韋達(dá)定理即可求出m.

【詳解】

由題可知，一7和一1是二次方程∕n√i+8"Lr+21=()的兩個根，

Ol

故3=-7、(-1)=相=3.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意

m

故答案為：3.

例8.(2022?浙江?金華市曙光學(xué)校高一階段練習(xí))已知不等式62-法-120的解集是{x∣-g≤x≤-g},

則不等式d-版-a<0的解集是.

【答案】{x∣2<<<3}

【解析】

【分析】

根據(jù)給定的解集求出。，〃的值，再代入解不等式即可作答.

【詳解】

依題意，-pT是方程—的兩個根，且“<。，

因此，不等式f—6x—α<0為：X2—5x+6<O,解得2<x<3,

所以不等式d—for—α<O的解集是{x∣2<x<3}.

故答案為：{幻2<X<3}

例9?(2018?浙江?長興縣教育研究中心高一期中)若不等式/-4χ+6≤0的解集是{x∣T≤x≤2},則實(shí)數(shù)α=

，b-.

【答案】I-2

【解析】

【分析】

由一元二次不等式解集，結(jié)合對應(yīng)一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求參數(shù)h.

【詳解】

由題設(shè)及對■應(yīng)方程根與系數(shù)關(guān)系知：α=-l+2=l,b=-?×2=-2.

故答案為：1,-2.

【方法技巧與總結(jié)】

三個“二次”之間的關(guān)系

(1)三個“二次”中，一元二次函數(shù)是主體，討論一元二次函數(shù)主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元

二次不等式的形式來研究.

(2)討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的一元二次函數(shù)相聯(lián)系，通過一元二次函數(shù)的

圖象及性質(zhì)來解決問題，關(guān)系如下：

題型三：含有參數(shù)的一元二次不等式的解法

例10.(2022.廣東梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí))解關(guān)于X的不等式0χ2+2x-α+2>0

【答案】答案不唯一，具體見解析

【解析】

【分析】

原不等式可化為(x+D(④-α+2)>0.然后分α=0,α>0和α<0三種情況求解不等式

【詳解】

解：關(guān)于X的不等式Or2+2χ-q+2>0

可化為(X+l)(oc-α+2)>0.

(1)當(dāng)α=0時，2(x÷l)>0,解得{幻工>—1}.

(2)當(dāng)a>O,所以(x+l)(冗一色∕2]>O?

所以方程(x+l)(X-與ZI=O的兩根為-1和一，

當(dāng)-1<絲工，即α>l時，不等式的解集為{x∣x<-l或X>e2},

aa

當(dāng)-1=個，即a=l時，不等式的解集為{x∣xrT}?

∩—2fa—2

當(dāng)-1>幺」，即O<αvl時，不等式的解集為XIX<——或X>T},.

a[a

(3)當(dāng)αvθ時，(x+-~~—J<0.

因?yàn)榉匠苔?ι)G-巴a]=。的兩根為一1和巴工，

kɑ√a

又因?yàn)閪/7—9=1-2~>1,所以-1<幺/7—上2，.

aaa

即不等式(χ+ι)(X-與斗O的解集是{x∣-ι<x<F},

綜上所述：當(dāng)“<0時，不等式的解集為卜∣-l<x<F}

當(dāng)α=0時，不等式的解集為{x∣x>T},

/7—9

當(dāng)O<α<l時，不等式的解集為卜U<一丁或X>T}

當(dāng)α=l時，不等式的解集為{x∣x*-l},

當(dāng)α>l時，不等式的解集為{X|X<-1或工>^},

例U.(2022?陜西.長安一中高一期中)已知關(guān)于X的不等式(α+b)x+(2α-3與<0的解集為卜卜>-9.

(1)寫出“和匕滿足的關(guān)系；

(2)解關(guān)于X的不等式(α-2b)x2+2(α-6-l)x+(α-2)>0.

【答案】(l)a=3b

(2)∣^-3+∣<x<-lj

【解析】

【分析】

(1)化筒(α+6)x+(2α-勸)<0,結(jié)合不等式的解集即可判斷α+%<0,得至Ij3宗=-5即可得至IJ“和

。滿足的關(guān)系.

(2)可用。或匕對不等式(a-28)χ2+2(a-0—l)χ+(a-2)>0進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化，化簡計(jì)算即可求出不等式的

解集.

(1)

解：因?yàn)?α+b)x+(2α-38)<0,所以(α+b)x<36-24,

因?yàn)椴坏仁降慕饧癁閇x∣x>-[],所以α+6<0,且也號=一導(dǎo)，解得α=3A.

I4Ja+b4

(2)

由⑴得a=3b<0

則不等式(α-%)f+2(α—8一l)x+(α-2)>0等價為蘇+(4。一2)x+(38-2)>O,

即/+(4-g)x+(3—gj<0,即(x+I)(X÷3——<0.

22

因?yàn)橐?+;<一1,所以不等式的解為-3+τ<x<7.

bh

即所求不等式的解集為卜∣-3+/<x<-l∣.(說明：解集也可以用“表示)

例12.(2022?貴州?遵義航天高級中學(xué)高一階段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=加-(l+a)x+l.

(1)若α=2,解不等式>>0；

(2)若α>0,解關(guān)于X的不等式y(tǒng)<0

【答案】(i){χχ<;或x>l};

(2)詳見解析.

【解析】

【分析】

(1)利用二次不等式的解法即可得解；

(2)將原不等式變形為(Or-IXx7)<0,對實(shí)數(shù)。的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次不等式的解法即可得

解.

(1)

當(dāng)α=2時，由y=2寸-3χ+l>O,解得x<^或x>l,

故當(dāng)α=2時?，不等式y(tǒng)〉0的解集為或x>l}.

(2)

由y<0可得(Or-l)(x-l)<O,

當(dāng)αwθ時，方程(辦—D(XT)=O的兩根分別為％?=1.

當(dāng)O<α<l時，->l,解原不等式可得l<x<!;

aa

當(dāng)α=l時，原不等式即為(x-l)2<O,該不等式的解集為0；

當(dāng)α>l時，解原不等式可得1<x<L

aa

綜上所述，當(dāng)O<“<l時，原不等式的解集為卜l<x<:卜當(dāng)α=l時，原不等式的解集為0;當(dāng)。>1時,

原不等式的解集為｛χ｝<x<ι｝.

例13.(2022.陜西?西安高新第三中學(xué)高一期中)已知函數(shù)y=0χ2+(α-2)x(αeR).

⑴若關(guān)于X的不等式><萬的解集為｛x∣T<x<4｝,求的值：

(2)若a>-2,解關(guān)于X的不等式>≥2.

【答案】(1)〃=；,。=2

(2)-2<α<0時，解集為｛x∣T≤x4-l

α=0時，解集為｛χ∣χ≤-i｝;

2

α>0時，解集為｛x∣x≥-或□≤T｝

a

【解析】

(I)y<。的解集為｛x∣T<x<4｝,.?.T和4是方程y-。=OX2+(〃-2)χ-0=0的兩個根，二

2-b=0,1

,解得：=-,b=2.

20a-8-b=0,a2

(2)不等式y(tǒng)≥2,

可化為：ax2+(a-2)x-2≥0.

當(dāng)α=0時，原不等式即為-2x-2≥0,x≤-l.

當(dāng)α>0時，原不等式化為ɑ(x—2](χ+l)≥o,.?.x≥-^4χ<-↑.

ka)a

當(dāng)—2VaVo時，原不等式為α[x—[元+1)之。，可化為(X—,x+l)≤°

22

因一＜一1,—≤x≤-l.

aa

綜上，

-2<α<0時，原不等式的解集為｛x∣[≤x≤-l

a=0時，原不等式的解集為｛x∣x≤-l｝;

2

a>0時，原不等式的解集為{x∣x2±或x≤T}

a

例14.(2022?北京市第五中學(xué)高一階段練習(xí))請回答下列問題：

⑴若關(guān)于X的不等式3x+2∕>0(α∈R)的解集為{χ∣χ<l或χ>∕7},求0,的值.

⑵求關(guān)于X的不等式加-3x+2>5-Or(a?R)的解集.

【答案】(Iw=2、4=±l

(2)答案見解析

【解析】

【分析】

(1)由題意可得1和b為方程χ2-3x+2∕=0的兩根，利用韋達(dá)定理得到方程組，解得即可；

(2)不等式為以,+(α-3)X-3>0,即(OX-3)(x+l)>0,討論。=0,?>0,a=-3,a<-3,-3<α<0,

由二次不等式的解法，即可得到所求解集.

(0

解：因?yàn)殛P(guān)于X的不等式?r2-3x+2∕>0(a∈R)的解集為{χ∣χ<l或χ>∕>},所以1和匕為方程

1+6=3b=2

X2-3x+2a2=O的兩根，所以lxb=2∕,解得

a-+?

(2)

解：不等式辦2.3X+2>5?ax(ati/?),即OX2+(4??)?-3>0,即(Or-3)(x+l)>0,

當(dāng)。=O時，原不等式解集為{x∣xvT};

3

當(dāng)QWO時，方程(以—3)(X+1)=O的根為X=二，X=-I,

la2

33

???①當(dāng)白>0時，三>一1,??.原不等式的解集為{%∣χ>±或xvT};

aa

33

②當(dāng)—3VQ<0時，2<T,，原不等式的解集為{χ∣±<χ<T};

aa

3

③當(dāng)。二一3時，原不等式的解集為0；

④當(dāng)3時，3>-1,原不等式的解集為{χ∣-i<χ<3}.

aa

【方法技巧與總結(jié)】

解含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟

(1)討論二次項(xiàng)系數(shù)：二次項(xiàng)若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0,小于0,還是大于0,然后將不等式轉(zhuǎn)化為

二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式.

(2)判斷方程根的個數(shù)：討論判別式/與O的關(guān)系.

(3)寫出解集：確定無根時可直接寫出解集；確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定

解集形式.

題型四：一次分式不等式的解法

例15.(2022?吉林延邊?高一期末)若不等式以2+5χ+ι≤o的解集為b-≤χ4一∣,則不等式蟲Zf<。

[23Jx-3

的解集為.

【答案】｛x∣2<x<3｝

【解析】

【分析】

由不等式0r2+5χ+ι≤o的解集為[χ∣-!≤χ≤-!]uj?得參數(shù)。的值，則不等式些;<0也具體化了，按分

式不等式解之即可.

【詳解】

由不等式Or2+5x+l≤O的解集為≤?V≤--∣,

可知方程Or2+5χ+ι=0，仃兩根％=-],x2=-—,故α=6,

則不等式處;<0即漢。<0等價于3(x—2)(x-3)<0,

x-3x-3

不等式3(x—2)(x—3)<0的解集為｛χ∣2<χ<3｝,

則不等式生;<0的解集為｛x∣2<x<3｝,

x-3

故答案為：｛X∣2<X<3｝.

例16.(2022.河北省博野中學(xué)高一階段練習(xí))不等式?二>1的解集是.

【答案】｛x∣-2<x<-g｝##12,-g)

【解析】

【分析】

根據(jù)題意將J>l化為;4<0,利用分式不等式的解法解分式不等式即可.

3x+l3x+l

【詳解】

2.x-1...、r2x—1C

-~7>1可化為~--l>0>

3x+l3x+l

Y-4-?

<0,等價于(x+2)(3x+l)<0,

解得—2<?<——,

所以不等式9r-l的解集是｛d-2<x<一1｝,

3Λ÷13

故答案為：｛Λ^∣-2<%<——｝.

例17.(2022?全國?高一期末)不等式1<1的解集為

X

【答案】{χ∣χ<o或χ>ι}

【解析】

【分析】

將分式不等式變形轉(zhuǎn)化為二次不等式求解即可.

【詳解】

Ll=1-1<0=^~-<0<=>(x-l)x>0,

XXX

解得不等式解集為{小<0或X>∣}

故答案為：{x∣x<0或x>l}.

2r÷3

例18.(2022?上海師大附中高一期中)不等式?√>1的解集是__________

3-5x

【答案】(°，|)##{x∣0<x<-∣

【解析】

【分析】

原不等式轉(zhuǎn)化為(2X+3)-(3-5X)>0,即7X(3-5X)>0,進(jìn)而可解得結(jié)果.

3—Sx

【詳解】

2x÷3.....十(2x÷3)—(3—5x)

------->1等λa價于V--------LA-------L>0,即>0,

3-5x3-5x3-5x

等價于7x(3-5x)>0,

3

解得0<x<：

故答案為：(o,∣).

2—X

例19.(2022?天津,南開翔宇學(xué)校高一期中)不等式一7>0的解集為,

【答案】{x∣T<x<2}

【解析】

【分析】

根據(jù)分式不等式的解法規(guī)則求解即可.

【詳解】

原不等式可化為(2-x)(x+4)>0,解得T<x<2

故答案為：{%∣-4<x<2}.

【方法技巧與總結(jié)】

分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式的基本類型有哪些？

(])CX+j>0=(0v+6)3+d)>0

(2)CX+<0?>(ax+h](cx+d]<0

ax+b'八'

(3)c-r+≥O<=>(ax+h](cx+d}>O?0r+Z7≠O

ax+b`八,

λ

(4)’+；'≤0o(-+6)(cχ+")≤0且<xv+A>≠。

題型五：實(shí)際問題中的一元二次不等式問題

例20.(2022?貴州黔東南?高一期末)黔東南某地有一座水庫，設(shè)計(jì)最大容量為128000"R根據(jù)預(yù)測，汛

期時水庫的進(jìn)水量S”(單位：加3)與天數(shù)”("nN*)的關(guān)系是s,=5000"5+f)("≤10),水庫原有水量為

80000〃，若水閘開閘泄水，則每天可泄水4000〃?3；水庫水量差最大容量23000加時系統(tǒng)就會自動報(bào)警提

醒，水庫水量超過最大容量時，堤壩就會發(fā)生危險(xiǎn)；如果汛期來臨水庫不泄洪，1天后就會出現(xiàn)系統(tǒng)自動

報(bào)警.

⑴求f的值;

(2)當(dāng)汛期來臨第一天，水庫就開始泄洪，估計(jì)汛期將持續(xù)10天，問：此期間堤壩會發(fā)生危險(xiǎn)嗎？請說明

理由.

【答案】(1)/=24

(2)汛期的第9天會有危險(xiǎn)，理由見解析

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)條件可建立方程128(XX)-8(XXX)-5(XX)J∏7∏萬=23(XX),解出即可；

(2)設(shè)第"天發(fā)生危險(xiǎn)，由題意得5000√n(n+24)-4000∕ι>128000-800∞,解出此不等式，然后可得答

案.

(1)

由題意得：128(XX)-8(XXX)-5(XX)√l×(l+f)=23(XX),

即/=24

(2)

由(1)得S,,=5000"("+24)⑺≤10)

設(shè)第"天發(fā)生危險(xiǎn)，由題意得50∞√n(∕z+24)-4(XX)∕J>128(XX)-8(XX)().≡P√+24n-256>0,得〃>8.

所以汛期的第9天會有危險(xiǎn)

例21.(2022?湖南，高一課時練習(xí))一家汽車制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的

摩托車數(shù)量X(輛)與創(chuàng)收價值V(元)之間有如下關(guān)系式：>-=-2√+220Λ-.若這家制造廠希望在一個

星期內(nèi)利用這條流水線創(chuàng)收6000元以上，那么它在一個星期內(nèi)生產(chǎn)的摩托車數(shù)量X應(yīng)滿足什么條件？

【答案】50<x<60.

【解析】

【分析】

根據(jù)已知列出一元二次不等式，結(jié)合解一元二次不等式的方法進(jìn)行求解即可.

【詳解】

由題意可得：y=-2x2+220X>6000≈>√-1IOx+3000<0,

解得：50<x<60.

例22.(2022?湖北十堰?高一期中)某學(xué)校欲在廣場旁的一塊矩形空地上進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相

同的長方形種植綠草坪，草坪周圍(斜線部分)均種滿寬度相同的鮮花.己知兩塊綠草坪的面積均為200平

方米.

(1)若矩形草坪的長比寬至少多10米，求草坪寬的最大值；

(2)若草坪四周及中間的寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.

【答案】(I)IO米

(2)(424+80倔平方米

【解析】

【分析】

?00

(I)設(shè)草坪的寬為X米，長為y米，則以由題意，列出關(guān)于X的不等式，求解即可；(2)求出整個

X

綠化面的長為2x+6米，寬為出+4米，然后由面積公式以及基本不等式求解最值即可.

X

(1)

設(shè)草坪的寬為X米，長為y米，由面積均為200平方米，得y=&,

X

因?yàn)榫匦尾萜旱拈L比寬至少多10米，

所以3≥x+10,又x>0,

X

所以χ2+i0χ-200≤0,解得0<x≤10,

所以寬的最大值為10米；

(2)

記整個綠化面積為5平方米，由題意得，

S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)[-+4)=424+81X+岑)2424+80石，當(dāng)且僅當(dāng)χ=5幾米時，等號成立，

所以整個綠化面積的最小值為(424+80")平方米

例23.(2022.新疆?烏蘇市第一中學(xué)高一開學(xué)考試)為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”,

某村委計(jì)劃在該村廣場旁一矩形空地進(jìn)行綠化.如圖所示，兩塊完全相同的長方形種植綠草坪，草坪周圍

(陰影部分)均種植寬度相同的花，已知兩塊綠草坪的面積均為300平方米.

(1)若矩形草坪的長比寬至少多5米，求草坪寬的最大值；

(2)若草坪四周的花壇寬度均為2米，求整個綠化面積的最小值.

【答案】⑴15米

(2)864平方米

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)“矩形草坪的長比寬至少多5米”列不等式，解不等式來求得草坪寬的最大值.

(2)求得綠化面積的表達(dá)式，利用基本不等式求得最小值.

(1)

設(shè)草坪的寬為X米，長為y米，由面積為30()平方米，得y=邛，

?.?矩形草坪的長比寬至少多5米，.?.曬2x+5,

X

ΛX2+5X-300≤0,解得-20≤X≤15,

又x>0,Λ0<x≤15,

草坪寬的最大值為15米.

(2)

記整個綠化面積為S平方米，由題意可得

S=(2x+6)(γ+4)=(2x+6)^-+4^=624+8^x+-^)≥614+8×2^x?-=864,

當(dāng)且僅當(dāng)x=15時，等號成立，

.?.整個綠化面積的最小值為864平方米.

例24.(2022?江蘇?南京市第二十九中學(xué)高一期中)1.通過技術(shù)創(chuàng)新，某公司的汽車特種玻璃已進(jìn)入歐洲市

場.2021年，該種玻璃售價為25歐元/平方米，銷售量為80萬平方米，銷售收入為2000萬歐元.

(1)據(jù)市場調(diào)查，若售價每提高1歐元/平方米，則銷售量將減少2萬平方米；要使銷售收入不低于2000萬

歐元，試問：該種玻璃的售價最多提高到多少歐元/平方米？

(2)為提高年銷售量，增加市場份額，公司將在2022年對該種玻璃實(shí)施二次技術(shù)創(chuàng)新和營銷策略改革：提

高價格到加歐元/平方米(其中機(jī)>25),其中投入永加-600)萬歐元作為技術(shù)創(chuàng)新費(fèi)用，投入500萬歐元作

為固定宣傳費(fèi)用，投入2加萬歐元作為浮動宣傳費(fèi)用，試問：該種玻璃的銷售量〃(單位/萬平方米)至少

達(dá)到多少時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與2022年投入之和？并求出此時的售

價.

【答案】(1)40

(2)該種玻璃的銷售量〃至少達(dá)到102萬平方米時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷售收入與

2022年投入之和，此時求出此時的售價為30歐元.

【解析】

【分析】

(1)設(shè)出未知數(shù)，列不等式進(jìn)行求解；(2)根據(jù)題意，得到〃關(guān)于機(jī)的關(guān)系式，〃？幽1^+2,利

用基本不等式進(jìn)行求解

(1)

設(shè)該種玻璃的售價提高到X歐元/平方米

[80-2(x-25)]x≥2(X)0

解得：25≤x≤40

所以該種玻璃的售價最多提高到40歐元/平方米

(2)

mn?2000500+2機(jī)+g(m?-600)

整理得：mi?15002m+∣∕n2

除以機(jī)得：〃？承-m+2

m3

由基本不等式得：”？竺222機(jī)+2匙2、唾工+2=102,當(dāng)且僅當(dāng)a=3"，即m=30Π寸，等號

m3?m3m3

成立，所以該種玻璃的銷售量〃至少達(dá)到102萬平方米時，才可能使2022年的銷售收入不低于2021年銷

售收入與2022年投入之和，此時求出此時的售價為30歐元/平方米.

【方法技巧與總結(jié)】

利用不等式解決實(shí)際問題需注意以下四點(diǎn)

(1)閱讀理解材料：應(yīng)用題所用語言多為文字語言，而且不少應(yīng)用題文字?jǐn)⑹銎^長.閱讀理解材料

要達(dá)到的目的是將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，這就要求解題者領(lǐng)悟問題的實(shí)際背景，確定問題中量與量之

間的關(guān)系，初步形成用怎樣的模型能夠解決問題的思路，明確解題方向.

(2)建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)(1)中的分析，把實(shí)際問題用“符號語言”“圖形語言''抽象成數(shù)學(xué)模型，并且，建

立所得數(shù)學(xué)模型與已知數(shù)學(xué)模型的對應(yīng)關(guān)系，以便確立下一步的努力方向.

(3)討論不等關(guān)系：根據(jù)(2)中建立起來的數(shù)學(xué)模型和題目要求，討論與結(jié)論有關(guān)的不等關(guān)系，得到有關(guān)

理論參數(shù)的值.

(4)作出問題結(jié)論：根據(jù)(3)中得到的理論參數(shù)的值，結(jié)合題目要求作出問題的結(jié)論.

題型六：不等式的恒成立問題

例25.（2022?江西師大附中高一期中）若不等式加-x+4α>0對任意x>2恒成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍

是.

【答案】ɑ,?

4

【解析】

【分析】

1

分離參數(shù)，求出y=二4的取值范圍即可得到答案.

XJ—

X

【詳解】

解：?.?不等式?e-X+4Λ>0對任意X>2恒成立，

Y

即。>對任意X>2恒成立，

%+4

X11

V=---------=--------<-

又無2+4、…44

Xπ---

X

所以α…一.

4

故答案為：T?

4

o

例26.（2022?江蘇?高一專題練習(xí)）若關(guān)于X的不等式加-m+2）x+三<0有解，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

【答案】。<1或α>4

【解析】

【詳解】

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題.分類討論，先驗(yàn)證Q=O是否成立，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

列出不等式得出〃的范圍.

【解答】

Q

當(dāng)α=0時，不等式為—2%+：VO有解，故。=0,滿足題意；

當(dāng)4>0時.，若不等式αr2-（α+2）x+2<0有解，

4

9

則滿足△=（。+2）2—4〃?二■〉。，解得或々>4；

4

G

當(dāng)。VO時，此時對應(yīng)的函數(shù)的圖象開口向下，此時不等式0τ2-m+2）x+:<0總是有解，

4

所以αvθ,

綜上可得，實(shí)數(shù)。的取值范圍是。<1或α>4.

例27.（2022.湖北.黃石市有色第一中學(xué)高一期中）關(guān)于X的不等式χ2-4x+4α≥/在密Ik6內(nèi)有解，則。

的取值范圍為.

【答案】-2<a<6

【解析】

丁-4x+4α≥α?在掇Ik6內(nèi)有解，,ɑ?-4“4（χ2-40皿，其中掇Ik6：

設(shè)y=χ2-4x（l≤x≤6）,則當(dāng)x=6時，yπraχ=36-24=12,

.?.∕-4α≤12,解得：-24α≤6,的取值范圍為-2≤α46.

故答案為：-2<a≤6.

例28.（2022?江蘇省天一中學(xué)高一期中）已知關(guān)于X的不等式-χ2+4χ≥∕-34在R上有解，則實(shí)數(shù)。的取

值范圍是.

【答案】-l≤α≤4

【解析】

【分析】

求出y=-￠+4X的最大值，然后可得/-3α≤4,解出即可.

【詳解】

因?yàn)殛P(guān)于X的不等式+4x≥/-?ɑ在R上有解，

丫=一/+4》=《一2）2+4的最大值為4

所以3a≤4,解得-l≤α44

故答案為：-l<α≤4

例29.（2022.廣東.梅州市梅江區(qū)梅州中學(xué)高一階段練習(xí)）若不等式Or2+αr+3≥O在R上恒成立，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是.

【答案】{α∣0≤a≤12}

【解析】

【分析】

分a=0和。>0兩種情況分析求解即可

【詳解】

當(dāng)α=0時，不等式為3>0滿足題意；

[a>Q

當(dāng)時’需滿足IA=幾⑵≤0'

解得0<α≤12

綜上可得，”的取值范圍為{"∣0≤α≤12},

故答案為：{"∣0≤α≤12}

例30.（2022?江蘇?南京市金陵中學(xué)河西分校高一階段練習(xí)）若對任意xeR,

2x+2<ax1+hx+c≤2x2-2x+4恒成立，則時的最大值為.

【答案】T##0.5

【解析】

【分析】

先令X=I,可得4+6+c=4,再根據(jù)2x+2≤ατ2+?r+c恒成立，可得c=α+2,6=2—勿，由此可得。匕4；,

再驗(yàn)證符合ax2+bx+c≤2X2-2X+4恒成立即可.

【詳解】

解：令X=1,則4≤α+b+c≤4,故α+8+c=4,

對任意x∈R，2x+2≤α√+∕7χ+c,則OX2+s_2)x+c—2≥0恒成立，

/.A=S-2)2-4a(c-2)=(a+c-2)2-4a(c-2)=(a-c+2)2≤0

.?.c=α+2,止匕時b=2-2a，

：.ab=a(2-2d)=2α(l-α)=-2(a--)2+-<-,當(dāng)α=:力=1,c=>時取等號,

22222

止匕時2χ2-2x+4-(αχ2+?r+c)=3χ2-3χ+?∣=g(χ-i)~>0成立，

ab的最大值為T.

故答案為：?.

例31.(2022.湖南?高一課時練習(xí))設(shè)二次函數(shù)曠=丘2一米+上.

4

(1)若方程y=o有實(shí)根，則實(shí)數(shù)Z的取值范圍是；

(2)若不等式y(tǒng)>0的解集為0,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是；

(3)若不等式y(tǒng)>o的解集為R,則實(shí)數(shù)A的取值范圍是.

【答案】％<0或左≥3.00<k<3

【解析】

【分析】

根據(jù)方程的解或不等式的解的情況結(jié)合判別式可得相應(yīng)的結(jié)果.

【詳解】

[k≠0

對于(因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，故，,、，解得上<或發(fā)

1),y=02?,023.

∣kfc-3?>0

僅<0

對于(2),因?yàn)椴坏仁統(tǒng)>0的解集為0,故“2_林n'解得

IK一3K3U

f&〉0

對于(3),不等式y(tǒng)>0的解集為凡故，2M八，故0vAv3.

k-3?<0

例32.(2022?全國?高一專題練習(xí))若l<x≤4時，不等式V-(α+2)x+4≥-a-1恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值

范圍.

【答案】4≤4.

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件，等價變形不等式，構(gòu)造函數(shù)，借助基本不等式計(jì)算作答.

【詳解】

對于任意的l<x≤4,不等式d-(α+2)x+4W-a—lo(x-l)α≤∕-2x+5^∣]a4≤^±^=(χ-l)+-^,

因此，對于任意的l<x≤4,a≤r一2x+5=*_])+工恒成立,

x—\X—1

4I4~~4

當(dāng)1<%≤4時，0<x-l≤3,U-I)+——≥2J(x-l)------=4,當(dāng)且僅當(dāng)x—l=—，即x=3時取“=”，

x-1Vx-1x-1

4

即當(dāng)x=3時，(x-1)+—；取得最小值4,則"≤4,

x-1

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤4.

例33.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知二次函數(shù)y=χ2+2ar+2.若1?5時，不等式y(tǒng)>3奴恒成立，求

實(shí)數(shù)”的取值范圍.

【答案】a<2?∣2-

【解析】

【分析】

對目標(biāo)式分離參數(shù)，結(jié)合基本不等式，即可求得參數(shù)的取值范圍.

【詳解】

不等式y(tǒng)>3奴即為：X2-Or+2>0,

當(dāng)lWx≤5時，可變形為：a<^^=x+~,g∣Ja<U+-)min.

XXX

Xx+-≥2∕Λ÷-=2Λ∕2,

XΛVX

當(dāng)且僅當(dāng)X=A,即X=J5時，等號成立，

X

{x+-)=2&,即a<2y∣2■

Xmin

故實(shí)數(shù)”的取值范圍是：β<2√2?

【方法技巧與總結(jié)】

不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，即不等式的解集為R，要解決這個問題還需要討論二次項(xiàng)的系數(shù)。

【同步練習(xí)】

一、單選題

1.(2022?廣東?新會陳經(jīng)綸中學(xué)高一期中)已知關(guān)于X的不等式履2-6日+八8>0對任意工€11恒成立，則

Z的取值范圍是()

A.0≤%≤lB.O≤Ar<IC.Z<O或女>1D.Z≤0或人>1

【答案】B

【解析】

【分析】

k>O

當(dāng)人=O時，不等式顯然成立；當(dāng)AHO時，由題意有1A=（_6左y_4MA+8）<o'求解不等式組即可得答案.

【詳解】

解：當(dāng)A=O時，8>0恒成立，符合題意；

k>0

也小。時，由題意有La）j（k+8）<0'解得°<&<L

綜匕0≤?<l.

故選：B.

2.（2022?全國?高一課時練習(xí)）若不等式α√+fev+2>o的解集是則α+b的值為（）

A.-10B.-14C.10D.14

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求出4、b,即可得結(jié)果.

【詳解】

由題意，和?是方程加+6x+2=0的兩個根，

由韋達(dá)定理得：-1+:=-2且-=x：=2,解得：a=-↑2,h=-2,

23a23a

所以α+b=T4.

故選：B

3.（2022?重慶市石柱中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知函數(shù)卜=92+4&-5卜2+4（1-&江+3的圖象都在方軸的上

方，求實(shí)數(shù)4的取值范圍（）

A.{?∣1≤?<19}B.{?∣2≤?<18}

C.{?∣0<*<20}D.{∕∣T<A<19}

【答案】A

【解析】

【分析】

分類討論函數(shù)的平方項(xiàng)系數(shù)是否為零，根據(jù)常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像性質(zhì)即可求出k的取值

范圍.

【詳解】

、=儼+必-5卜2+4（1孫+3的圖象都在X軸上方，

①F+4jt—5=0時，攵=—5或攵=1,

人=-5時，函數(shù)為一次函數(shù)，不滿足條件；

4=1時，y=3滿足條件；

故I=1；

②上一5且厚1時，函數(shù)為二次函數(shù)，

,[?2+4?-5>0

則A八，解