工科數(shù)學(xué)分析二章連續(xù)與間斷

1第七節(jié)連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)性(continuity)第一章函數(shù)與極限函數(shù)的間斷點(discontinuouspoint)小結(jié)思考題作業(yè)2間變化很小時,生物生長的也很少.在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.在自然界中,許多事物的變化是連續(xù)的,如氣溫變化很小時,單擺擺長變化也很小.時

在高等數(shù)學(xué)中,主要的研究對象就是連續(xù)函數(shù).這種現(xiàn)象從直觀上不妨這樣說,連續(xù)函數(shù)的特征就是它的圖形是連續(xù)的,也就是說,可以一筆畫成.連續(xù)與間斷31.函數(shù)的增量自變量稱差為自變量在的增量;函數(shù)隨著從稱差為函數(shù)的增量.如圖:一、函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)與間斷4連續(xù),2.連續(xù)的定義定義1設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)有定義,若則稱函數(shù)f(x)在x0處并稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點.定義2若則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù).

把極限與連續(xù)性聯(lián)系起來了,且提供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡便方法——只需求出該點函數(shù)特定值.

自變量在x0點的增量為無窮小時,函數(shù)的增量也為無窮小.形象地表示了連續(xù)性的特征.采用了無窮小定義法充分必要條件連續(xù)與間斷5連續(xù)性的三種定義形式不同,這三種定義中都含有但本質(zhì)相同.f(x)在內(nèi)有定義;(1)(2)(3)三個要素:定義3

把極限定義嚴(yán)密化,便于分析論證.存在;連續(xù)與間斷6注

一般講,證明的命題用函數(shù)連續(xù)的定義1方便;是判斷分段函數(shù)在分界點處是否連續(xù)用判斷函數(shù)在某點是否連續(xù),尤其定義2方便.某一鄰域而言.由上述定義可知,f(x)在x0點的連續(xù)性是描述f(x)在x0點鄰域的性態(tài)的.即它是對因此在孤立點處無連續(xù)可言.連續(xù)與間斷7例證都是連續(xù)的.類似可證,是連續(xù)的.即連續(xù)與間斷8例證定義2試證函數(shù)處連續(xù).連續(xù)與間斷93.左、右連續(xù)左連續(xù)(continuityfromthe右連續(xù)(continuityfromtheleft);right).左連續(xù)右連續(xù)連續(xù)與間斷10定理1

此定理常用于判定分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性.連續(xù)與間斷11例確定a,b的值,使得在x=0連續(xù).連續(xù)與間斷124.連續(xù)函數(shù)(continousfunction)與連續(xù)區(qū)間上的或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).

在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),稱該區(qū)間在開區(qū)間右連續(xù)左端點右端點這時也稱該區(qū)間為continuous左連續(xù)連續(xù)函數(shù),連續(xù)區(qū)間.內(nèi)連續(xù)連續(xù)與間斷13利用函數(shù)極限的性質(zhì)知道,連續(xù)函數(shù)有局部的保號性與局部的有界性.連續(xù)與間斷14定義4出現(xiàn)如下三種情形之一:二、函數(shù)的間斷點無定義;不存在;間斷點.連續(xù)與間斷15間斷點分為兩類:第一類間斷點(discontinuitypointofthefirstkind):及均存在,若稱為可去間斷點.若稱為跳躍間斷點.第二類間斷點(discontinuitypointofthesecondkind):及中至少一個不存在.若其中有一個為稱為無窮間斷點.若其中有一個為振蕩,稱為振蕩間斷點.連續(xù)與間斷16可能是連續(xù)點,

初等函數(shù)無定義的孤立點是間斷點.分段函數(shù)的分段點可能是間斷點,也需要判定.連續(xù)與間斷17例由于函數(shù)無定義,故為f(x)的間斷點.且皆不存在.第二類第二類間斷點:至少有且是無窮型間斷點.一個不存在.連續(xù)與間斷18例有定義,不存在,故為f(x)的間斷點.第二類且是無窮次振蕩型間斷點.之間來回?zé)o窮次振蕩,連續(xù)與間斷19例有定義,故為f(x)的間斷點.第一類的第一類間斷點.則點x0為函數(shù)f(x)的且是跳躍間斷點.跳躍型間斷點(Jumpdiscontinuity).及均存在,則點x0為連續(xù)與間斷20例討論函數(shù)解為函數(shù)的間斷點.第一類

且是可去間斷點(removablediscontinuity).連續(xù).處無定義,可去間斷點.連續(xù)與間斷21則可使x0變?yōu)檫B續(xù)點.注對可去間斷點x0,如果于A,

(這就是為什么將這種間斷點稱為使之等可去間斷點的理由.)補充x0的函數(shù)值,或改變連續(xù)與間斷22如補充定義:如但連續(xù)與間斷23總結(jié)兩類間斷點:第一類間斷點:跳躍型,第二類間斷點:無窮型,可去型無窮次振蕩型極限與連續(xù)之間的關(guān)系:

f(x)在x0點連續(xù)

f(x)在x0點存在極限連續(xù)與間斷24練習(xí)解函數(shù)無定義,是函數(shù)的間斷點.由于所以是函數(shù)的第二類間斷點,且是無窮型.由于所以是函數(shù)的第一類間斷點,且是跳躍型.并指出其類型.連續(xù)與間斷25三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)的三個定義、必須滿足的

三個條件;求極限的又一種方法.連續(xù)與間斷26(見下圖)無窮型,無窮次振蕩型2.函數(shù)間斷點的分類:間斷點第一類間斷點:跳躍型,可去型第二類間斷點:連續(xù)與間斷27可去型第一類間斷點跳躍型