第10章 動(dòng)力學(xué)方法選擇

第10章動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的分類(lèi)與求解方法選擇為了能夠把動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的求解方法規(guī)律化，把常見(jiàn)的剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題分為三類(lèi)：第一類(lèi)是必須計(jì)算加速度的問(wèn)題，第二類(lèi)是不必計(jì)算加速度的問(wèn)題，第三類(lèi)是不能計(jì)算加速度的問(wèn)題。動(dòng)力學(xué)中許多問(wèn)題都與加速度的計(jì)算有關(guān)，此類(lèi)問(wèn)題都可用動(dòng)靜法求解，而不必考慮使用動(dòng)量定理與動(dòng)量矩定理的微分形式。

在這些問(wèn)題中，如果加速度是已知量，則直接運(yùn)用動(dòng)靜法，列出動(dòng)力平衡方程即可求解。如果加速度是未知量，則需要在動(dòng)力平衡方程之外補(bǔ)充運(yùn)用其它方法確定加速度。通常補(bǔ)充分析加速度有三個(gè)途徑：幾何關(guān)系、運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系與動(dòng)力學(xué)關(guān)系，下面分別舉例說(shuō)明。10.1必須計(jì)算加速度的問(wèn)題

建立一定的坐標(biāo)系，根據(jù)系統(tǒng)內(nèi)各物體的位置，確定各物體的坐標(biāo)，由幾何關(guān)系可以建立坐標(biāo)的關(guān)系式；對(duì)各坐標(biāo)計(jì)算對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可以得到各物體的速度與加速度的關(guān)系。

其中質(zhì)心的坐標(biāo)計(jì)算公式在計(jì)算系統(tǒng)主矢時(shí)常用，因?yàn)閼T性力系的主矢由質(zhì)心的加速度計(jì)算，如果可以寫(xiě)出質(zhì)心坐標(biāo)的表達(dá)式，通過(guò)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)就可以計(jì)算出質(zhì)心的加速度。

利用幾何關(guān)系分析加速度常用在分析一般位置動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的場(chǎng)合。10.1.1利用幾何關(guān)系分析加速度例10-1

圖示的曲柄滑桿機(jī)構(gòu)中，曲柄OA以勻角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其長(zhǎng)度OA=l，質(zhì)量為m1，質(zhì)心在OA中點(diǎn)；滑塊A的質(zhì)量為m2；滑桿BD的質(zhì)量為m3，質(zhì)心在E點(diǎn)。試求作用在軸O的最大水平約束力。解：

1.研究對(duì)象：因?yàn)榍笙到y(tǒng)的外約束力，所以以機(jī)構(gòu)整體為研究對(duì)象。

2.運(yùn)動(dòng)分析：曲柄定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊隨曲柄轉(zhuǎn)動(dòng)同時(shí)在滑桿的滑槽中相對(duì)滑動(dòng)，滑桿平移。由于所求是系統(tǒng)的外約束力，它與系統(tǒng)的慣性力系的主矢有關(guān)；所以暫且只考慮系統(tǒng)質(zhì)心的加速度。設(shè)此位置系統(tǒng)質(zhì)心C上的加速度為aCx、aCy。計(jì)算質(zhì)心的加速度可以利用質(zhì)心坐標(biāo)的計(jì)算，機(jī)構(gòu)質(zhì)心的坐標(biāo)為設(shè)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始時(shí)，曲柄OA水平向右，故有由xC坐標(biāo)可以計(jì)算出3.受力分析：分析外力，主動(dòng)力為重力G1、G2、G3；約束力為軸承O的約束力Fox、Foy和滑桿導(dǎo)軌的約束力FN；慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化的等效慣性力為FIx與FIy，慣性力系的主矩不必考慮。作出受力圖如圖所示。4.建立方程：所求的軸O水平約束力是系統(tǒng)唯一的水平外力。由動(dòng)靜法可知，它只與系統(tǒng)慣性力系主矢的水平分量平衡。所以，作用在軸O的最大水平約束力為即得例10-2

如圖所示，均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，從直立位置由靜止開(kāi)始滑動(dòng)，桿的上端A沿墻壁向下滑，下端B沿地板向右滑，不計(jì)摩擦。求桿的任一位置j時(shí)的角速度與角加速度，以及A，B處的約束力。1.研究對(duì)象：桿AB。

2.運(yùn)動(dòng)分析：桿AB在鉛垂面平面運(yùn)動(dòng)。為描述其運(yùn)動(dòng)建立坐標(biāo)系Oxy，桿的角度j從x軸開(kāi)始度量，順時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。設(shè)質(zhì)心C的加速度為aCx、aCy，桿的角速度與角加速度分別為w與a，w與a的方向假設(shè)與角j的正向一致。應(yīng)注意，實(shí)際上桿在倒下的過(guò)程中角速度方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较?。由幾何關(guān)系確定質(zhì)心C的坐標(biāo)，如圖所示，有計(jì)算對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，有3.受力分析：主動(dòng)力慣性力系的等效慣性力等效慣性力偶矩作出受力圖。，約束力FNA、FNB，4.建立方程：作用在桿上的力系為平面力系，列出動(dòng)力平衡方程代入慣性力及質(zhì)心加速度表達(dá)式，即得

(1)

(2)

(3)把式(2)與式(3)代入式(1)，得到(4)式（4）可變?yōu)榉e分上式，并利用初始條件：可得由式（5）知，在任一位置角j時(shí)，桿的角速度方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颉?5)由式（4）知，桿的角加速度因把式（4）與式（5）代入式（2）與式（3）可得故其方向?yàn)槟鏁r(shí)針?lè)较颉?0.1.2利用運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系分析加速度

計(jì)算慣性力系的主矢與主矩所需的質(zhì)心加速度與剛體的角速度，也可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)分析的方法確定。這里經(jīng)常使用的方法有加速度合成定理，以及平面運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的加速度計(jì)算的基點(diǎn)法。這種方法應(yīng)用得較多，即可分析特殊位置的問(wèn)題，也可分析一般位置的問(wèn)題。例10-3

曲柄滑槽機(jī)構(gòu)如圖所示。已知圓輪的半徑為r，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，輪上作用上不變的力偶M，滑槽ABD的質(zhì)量為m，不計(jì)摩擦。求圓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程。解：1.研究對(duì)象：此題只需求圓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程，且滑槽的幾何尺寸不明，所以不宜以系統(tǒng)整體為研究對(duì)象。分別以圓輪O與滑槽ABD為研究對(duì)象。2.運(yùn)動(dòng)分析：參見(jiàn)圖，設(shè)輪O的轉(zhuǎn)角為j，角速度與角加速度分別為w與a，進(jìn)而計(jì)算滑槽的加速度。以輪上的銷(xiāo)釘E為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連在滑槽上，牽連運(yùn)動(dòng)為平移。作出E點(diǎn)的加速度分析圖。由加速度合成定理，有

其中ae為滑槽的加速度，投影到ae方向上，有

(1)3.受力分析：分別作輪O與滑槽ABD的受力圖如圖。其中，F(xiàn)N是滑槽對(duì)輪O上的銷(xiāo)釘E的作用力，滑槽的質(zhì)心在點(diǎn)C，其重力平移滑槽的慣性力4.建立方程：對(duì)輪O，只用一個(gè)力矩方程

(2)對(duì)滑槽ABD用一個(gè)投影方程(3)由式(2)與式(3)消去FN，得代入式(1)，得所以，圓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程為對(duì)于平面運(yùn)動(dòng)物體從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)，可以確定其加速度瞬心，據(jù)此可以更加方便地分析加速度關(guān)系。例10-4

均質(zhì)桿OA和AB長(zhǎng)皆為l，質(zhì)量皆為m，桿OA水平，桿AB與水平成30°角。輪B半徑為r=0.5l，質(zhì)量mB=2m，在粗糙水平面上只能產(chǎn)生純滾動(dòng)，不計(jì)摩擦滾阻。A處懸掛在鉛垂繩子AC上，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)。求當(dāng)繩子AC被剪斷的瞬時(shí)，作用在O、A、B、D處的力及桿OA、桿AB和輪B的角加速度。解：（1）研究對(duì)象：此題求內(nèi)約束A、B的約束力，所以必須拆開(kāi)。但應(yīng)先從整體進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析，建立運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。（2）運(yùn)動(dòng)分析：桿OA角加速度aO，質(zhì)心E加速度aE，點(diǎn)A的加速度為aA；桿AB角加速度為aC，質(zhì)心C的加速度為aCx、aCy；輪B的圓心的加速度為aB，角加速度為aB。桿OA，此瞬時(shí)角速度為零，所以：桿AB，以B為基點(diǎn)，有

(a)此瞬時(shí)式(a)投影到aA方向上，有即式(a)投影到aB方向上:

即以B為基點(diǎn)，C點(diǎn)的加速度為(b)式(b)分別投影到aCx方向與aCy方向，有即即輪B沿直線(xiàn)純滾動(dòng)時(shí)所以（3）受力分析：分別作輪B、桿AB與桿OA的受力圖（4）建立方程：對(duì)于輪B對(duì)于桿AB對(duì)于桿OA與以上各式解得，，例10-5

如圖所示，均質(zhì)細(xì)桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m1，上端B靠在光滑墻上，下端A以鉸鏈與均質(zhì)圓柱的中心相連。圓柱質(zhì)量為m2，半徑為R，放在粗糙水平面上，自圖示位置由靜止開(kāi)始滾動(dòng)而不滑動(dòng)，桿與水平線(xiàn)的夾角為。求點(diǎn)A在初瞬時(shí)的加速度。解：1.研究對(duì)象：先以系統(tǒng)整體為研究對(duì)象。此問(wèn)題研究由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)狀態(tài)，而系統(tǒng)中物體為平面運(yùn)動(dòng)，所以在分析加速度關(guān)系時(shí)可以用加速度瞬心的方法。2.運(yùn)動(dòng)分析：桿AB和圓柱A皆為平面運(yùn)動(dòng)。桿AB上兩點(diǎn)的加速度aA與aB的方向可以確定。作aA與aB的垂線(xiàn)相交于桿AB的加速度瞬心點(diǎn)Q，設(shè)桿AB的角加速度為aC，則有桿AB的質(zhì)心C的加速度為圓柱A在直線(xiàn)軌道上純滾動(dòng)，所以有

3.受力分析：作系統(tǒng)整體的受力圖，如圖所示，為平面任意力系。其中，對(duì)系統(tǒng)整體，盡量避免不必要的未知量出現(xiàn)，故只用一個(gè)方程化簡(jiǎn)為(a)4.建立方程：此方程有兩個(gè)未知量，但如果仍用整體的平衡方程則會(huì)引入新的未知量，所以再取圓柱A為研究對(duì)象，作圓柱A的受力圖，其中增加了鉸鏈A處的兩個(gè)未知約束力，但可以不引入方程，有得到

代入式(a)得使用動(dòng)力學(xué)關(guān)系分析加速度時(shí)，較多用動(dòng)能定理。因?yàn)閯?dòng)能定理中不含理想約束力，因此往往可以直接用來(lái)計(jì)算速度（角速度）與加速度（角加速度）。動(dòng)能定理的積分形式，一般用于特殊位置問(wèn)題，補(bǔ)充分析速度關(guān)系。動(dòng)能定理的微分形式（功率方程），用于分析一般位置的加速度關(guān)系。

對(duì)于系統(tǒng)中運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)不明確的物體，有時(shí)可先單獨(dú)進(jìn)行一些動(dòng)力學(xué)分析確定物體的運(yùn)動(dòng)種類(lèi)，在此基礎(chǔ)上才便于分析加速度等運(yùn)動(dòng)量的關(guān)系。10.1.3利用動(dòng)力學(xué)關(guān)系分析加速度例10-6

如圖所示均質(zhì)細(xì)長(zhǎng)桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，起初緊靠在鉛垂墻壁上，由于微小干擾，桿繞B點(diǎn)傾倒。不計(jì)摩擦，求：B端未脫離墻時(shí)AB桿的角速度、角加速度及B處的約束力。解：1.研究對(duì)象：以桿AB為研究對(duì)象。2.運(yùn)動(dòng)分析：在倒下而B(niǎo)端未脫離墻時(shí)，桿AB的運(yùn)動(dòng)是以B端為軸的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。與設(shè)在轉(zhuǎn)角為q時(shí)，桿AB的角速度為w，角加速度為a，質(zhì)心C的法向加速度與切向加速度分別為3.受力分析：作受力圖如圖所示，為平面任意力系。其中，主動(dòng)力G=mg，B端約束力Fx、Fy；桿AB的慣性力系向轉(zhuǎn)軸B簡(jiǎn)化，其等效慣性力用法向分力與切向分力表示，法向分力為切向分力為等效慣性力偶的力偶矩為4.建立方程：平面任意力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，為由此解得

(a)尚有桿AB的角速度w未知，因已經(jīng)求出角加速度a，可以通過(guò)積分求角速度w，也可以通過(guò)動(dòng)力學(xué)的方法補(bǔ)充計(jì)算角速度w。初始位置時(shí)桿AB靜止，T1=0，在轉(zhuǎn)過(guò)q角時(shí)，在此過(guò)程中只有重力做功，為由積分形式的動(dòng)能定理解得(b)所以桿AB的角速度為

例10-7

如圖所示，均質(zhì)半圓盤(pán)的質(zhì)量為m，半徑為r，可以在水平面上作無(wú)滑動(dòng)的擺動(dòng)?，F(xiàn)在把半圓盤(pán)由直徑AB鉛垂的位置無(wú)初速在釋放，求當(dāng)直徑AB水平時(shí)地面對(duì)半圓盤(pán)的約束力。解：1.研究對(duì)象：以半圓盤(pán)為研究對(duì)象。設(shè)半圓盤(pán)的質(zhì)心為C，則對(duì)垂直于運(yùn)動(dòng)平面的質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2.運(yùn)動(dòng)分析：半圓盤(pán)的運(yùn)動(dòng)是平面運(yùn)動(dòng)，純滾動(dòng)時(shí)速度瞬心為點(diǎn)D。設(shè)當(dāng)直徑AB水平時(shí)，半圓盤(pán)的角速度為w，角加速度為a；質(zhì)心的加速度為aCx、aCy。又設(shè)半圓盤(pán)圓心O的加速度為aO，

aO始終沿水平方向，而且在純滾動(dòng)時(shí)有在半圓盤(pán)中，以O(shè)為基點(diǎn)，則質(zhì)心C的加速度為式中，分別投影到x、y軸上，得到3.受力分析：主動(dòng)力慣性力系向質(zhì)心C簡(jiǎn)化，其等效慣性力的兩個(gè)分力為等效慣性力偶的力偶矩受力圖如圖所示，為平面任意力系。約束力FN、FS；和4.建立方程：平面任意力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，為由此可得，因此直徑AB水平時(shí)，即半圓盤(pán)的角速度w未知，可以通過(guò)動(dòng)能定理的積分形式計(jì)算角速度w。初始位置時(shí)半圓盤(pán)靜止，T1=0，在直徑AB水平時(shí)，在此過(guò)程中只有重力做功，為由積分形式的動(dòng)能定理由于所以得到代入FN的表達(dá)式，得到在此位置地面的法向約束力為而此時(shí)地面的切向約束力為例10-8

如圖所示，均質(zhì)細(xì)桿可繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，另一端鉸接一均質(zhì)圓盤(pán)，圓盤(pán)可繞鉸A在鉛直面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)。已知桿OA長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m1；圓盤(pán)半徑為R，質(zhì)量為m2。摩擦不計(jì)，初始時(shí)桿OA水平，桿和圓盤(pán)靜止。求桿與水平線(xiàn)成角q的瞬時(shí)，鉸鏈A的約束力。解：1.研究對(duì)象：系統(tǒng)由兩個(gè)物體組成，因?yàn)橐笥?jì)算內(nèi)約束A的約束力，所以必須拆開(kāi)，先研究圓盤(pán)A。2.運(yùn)動(dòng)分析：桿OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)其角速度與角加速度分別為w與a。圓盤(pán)A為平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)其角速度與角加速度分別為wA與aA，質(zhì)心A的加速度3.受力分析：圓盤(pán)A的受力圖如圖所示，其中，4.建立方程：先取力矩方程故wA是常量，又圓盤(pán)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，所以wA恒為零，即圓盤(pán)是平動(dòng)。所以(a)所以

(b)由式(a)與式(b)可知，必須先計(jì)算出w與a后，才能計(jì)算約束力。而確定了圓盤(pán)的平移后，可以比較方便地計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能。初始時(shí)系統(tǒng)靜止，有運(yùn)動(dòng)后，有在此過(guò)程中，重力作功為由動(dòng)能定理

有

(c)對(duì)式(c)

求導(dǎo)，即得

(d)把式(c)與式(d)代入式(a)與式(b)，解得例10-9機(jī)構(gòu)在鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，不計(jì)OA桿和滑塊的重量，均質(zhì)桿AB的質(zhì)量為m。OA桿長(zhǎng)為r，AB桿長(zhǎng)為滑塊B可的鉛垂、光滑的導(dǎo)軌DE上滑動(dòng)。初始時(shí)靜止，且OA桿在鉛垂位置，OB連線(xiàn)在水平位置，機(jī)構(gòu)無(wú)初速地開(kāi)始運(yùn)動(dòng)。當(dāng)OA桿運(yùn)動(dòng)至水平位置時(shí)，求（1）AB桿的角速度w1和OA桿的角速度w2；（2）AB桿的角加速度a1和OA桿的角加速度a2；（3）鉸鏈A處的約束力和滑塊B處的約束力。解：（1）研究對(duì)象：系統(tǒng)含三個(gè)運(yùn)動(dòng)物體，只有桿AB有質(zhì)量，因此桿OA與滑塊B只提供運(yùn)動(dòng)約束關(guān)系。研究對(duì)象主要是桿AB。約束皆為理想約束，主動(dòng)力只有桿AB的重力。（2）運(yùn)動(dòng)分析：三個(gè)運(yùn)動(dòng)物體，桿OA定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，滑塊B平移，桿AB平面運(yùn)動(dòng)。先分析速度關(guān)系設(shè)桿OA的角速度為w2，A點(diǎn)的速度為vA，桿AB的角速度為w1，滑塊B的速度為vB。注意到vA與vB平行且不垂直于AB，所以桿AB瞬時(shí)平移。有以下速度關(guān)系：初始系統(tǒng)靜止運(yùn)動(dòng)到圖示位置時(shí)，在此過(guò)程中只有重力作功由積分形式動(dòng)能定理，有此瞬時(shí)桿OA的角速度為進(jìn)一步由動(dòng)能定理可以求出vA：設(shè)桿OA的角加速度為a2，A點(diǎn)的加速度為桿AB的角加速度為a1，滑塊B的加速度為aB。在桿AB中以點(diǎn)B為基點(diǎn)，有

(a)再分析加速度式(a)投影到所以，桿AB的角加速度為方向上，有投影到或?qū)憺?/p>

方向上，有式中，

式(b)投影到aCx方向上再分析桿AB的質(zhì)心C的加速度，以點(diǎn)B為基點(diǎn)，有

式(b)投影到aCy方向上

(b)由于桿OA不計(jì)質(zhì)量，為二力桿。鉸鏈A的約束力FA在OA連線(xiàn)上。（3）受力分析：再以桿AB與滑塊B為研究對(duì)象，平面任意力系。其中，（4）建立方程：此平面任意力系有三個(gè)獨(dú)立的平衡方程由此解得桿OA的角加速度

，

由以上兩式，可得動(dòng)力學(xué)中的大多數(shù)問(wèn)題都必須計(jì)算加速度，在解決此類(lèi)問(wèn)題的各個(gè)步驟中應(yīng)該注意：

1．選取研究對(duì)象

對(duì)于物體系統(tǒng)的問(wèn)題，盡量取系統(tǒng)整體為研究對(duì)象，以避免了出現(xiàn)不必計(jì)算的內(nèi)約束力而增加計(jì)算量。但是對(duì)于運(yùn)動(dòng)情況比較復(fù)雜的系統(tǒng)，或?qū)\(yùn)動(dòng)情況不明確的物體，則應(yīng)該拆開(kāi)單獨(dú)進(jìn)行研究。研究對(duì)象的選擇是由解題的需要決定的，往往隨著解題過(guò)程的發(fā)展，需要相應(yīng)改變研究對(duì)象。在選取研究對(duì)象時(shí)，對(duì)每個(gè)物體的基本運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)和受力特點(diǎn)應(yīng)該有初步認(rèn)識(shí)。2．進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析

對(duì)系統(tǒng)內(nèi)有關(guān)物體設(shè)定加速度（角加速度），有時(shí)還需設(shè)定速度（角速度）。然后盡可能利用幾何法或運(yùn)動(dòng)法找出它們之間的關(guān)系，減少獨(dú)立未知量的數(shù)目。在此過(guò)程中，往往還不能全部計(jì)算出速度、加速度。

3．進(jìn)行受力分析

進(jìn)行三類(lèi)力的分析，即主動(dòng)力、約束力與慣性力。作出完整的受力圖，判斷力系的類(lèi)型。按設(shè)定的加速度寫(xiě)出慣性力的表達(dá)式。4．建立平衡方程

動(dòng)靜法的動(dòng)力平衡方程是必須使用的基本方程，但在列寫(xiě)方程時(shí)應(yīng)該有所選擇。選擇方程的基本原則是盡量減少每個(gè)方程的未知量數(shù)目。解出可以求解的未知量，及時(shí)完善對(duì)研究對(duì)象運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的描述，為進(jìn)一步計(jì)算提供幫助。在未知量多于平衡方程時(shí)，補(bǔ)充其它的動(dòng)力學(xué)關(guān)系。常用動(dòng)能定理的積分形式，或守恒定律補(bǔ)充速度關(guān)系。有些問(wèn)題中，只要求計(jì)算物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程的兩個(gè)不同位置，或兩個(gè)不同時(shí)刻的速度（角速度）變化，或運(yùn)動(dòng)的軌跡。此類(lèi)問(wèn)題往往不必再去計(jì)算加速度，因此可以不必使用動(dòng)力平衡方程求解。

求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，通常使用積分形式的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理，或相應(yīng)的守恒定律。10.2不必計(jì)算加速度的問(wèn)題10.2.1運(yùn)用積分形式的動(dòng)力學(xué)普遍定理例10-10

如圖所示，長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m1的兩均質(zhì)桿AB和BC用鉸鏈B相連，A端為固定鉸支座，C端用鉸鏈與質(zhì)量為m、半徑為r的均質(zhì)圓柱相連。鉛垂力F作用在鉸鏈B處。A、C兩點(diǎn)在同一水平線(xiàn)上。系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，桿AB與水平線(xiàn)夾角為q。求桿AB處于水平位置時(shí)的角速度w。設(shè)圓柱在水平面只滾不滑。解：1.研究對(duì)象：這是求物體系統(tǒng)在兩個(gè)不同位置的速度變化，適宜用動(dòng)能定理的積分形式求解。約束為理想約束，主動(dòng)力為F與三個(gè)重力。以系統(tǒng)為研究對(duì)象。2.運(yùn)動(dòng)分析：初始位置為靜止?fàn)顟B(tài)。桿AB為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)其水平時(shí)角速度為w，點(diǎn)B的速度為桿BC為平面運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的速度vC只能在水平方向上，由速度投影定理知，此瞬時(shí)必有即點(diǎn)C為速度瞬心；所以桿BC的角速度圓柱C平面運(yùn)動(dòng)，且瞬心在點(diǎn)P，由于此瞬時(shí)所以有即此瞬時(shí)圓柱靜止。3.受力分析：作功的力只有重力和F。4.建立方程：在初始位置，系統(tǒng)的動(dòng)能

當(dāng)桿AB處于水平位置時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能

；在此運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，作用在系統(tǒng)上的力所作的功為由動(dòng)能定理的積分形式

所以得到即例10-11如圖所示，為求半徑R=0.5m的飛輪對(duì)于其質(zhì)心軸A的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，在飛輪上繞以細(xì)繩，繩的末端系一質(zhì)量為m1=8kg的重錘，重錘從高度h=2m處落下，測(cè)得落下時(shí)間t1=16s。為消除軸承摩擦的影響，再用質(zhì)量為m2=4kg的重錘作第二次試驗(yàn)，此重錘從同一高度落下的時(shí)間為t2=25s。假定摩擦力矩為常數(shù)，且與重錘的重量無(wú)關(guān)，求飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和軸承的摩擦力矩。解：1.研究對(duì)象：以飛輪與重錘為研究對(duì)象，設(shè)飛輪對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J。2.運(yùn)動(dòng)分析：飛輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，重錘直線(xiàn)平移。3.受力分析：兩者的重力G、G1，A軸承的約束力FAx、FAy及摩擦力矩Mf。4.建立方程：該試驗(yàn)中，記錄了系統(tǒng)通過(guò)距離h的運(yùn)動(dòng)變化，以及通過(guò)時(shí)間間隔t1、t2的運(yùn)動(dòng)變化，動(dòng)力學(xué)普遍定理的積分形式適合解決此類(lèi)問(wèn)題。在初始位置，系統(tǒng)靜止。設(shè)重錘落地時(shí)飛輪角速度為w；重錘速度為v，兩者有關(guān)系：由動(dòng)量矩定理，有(a)由動(dòng)能定理，有

(b)由式(a)和式(b)，可得：

代入式(a)，得到

(c)(d)(e)

兩次試驗(yàn)的重錘質(zhì)量與時(shí)間值代入式(c)，得到兩個(gè)方程由式(d)與式(e)，解得用Mf的值代入式(d)或式(e)，得到飛輪對(duì)質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為10.2.2利用動(dòng)力學(xué)普遍定理中的守恒定律例10-12

如圖所示，物塊A沿傾角為a的斜面下滑，離開(kāi)斜面時(shí)的速度為v0，其后為自由運(yùn)動(dòng)。求物塊的速度方向與水平面夾角為b時(shí)速度v的大小，以及達(dá)到此時(shí)所需的時(shí)間。解：1.研究對(duì)象：以物塊A為研究對(duì)象，問(wèn)題未涉及物塊的大小，可以視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。2.運(yùn)動(dòng)分析：在空中自由運(yùn)動(dòng)。3.受力分析：離開(kāi)斜面后，只受重力作用，水平方向不受力。（在受力分析中，必須充分注意某個(gè)方向不受力，或?qū)δ硞€(gè)軸的力矩為零的條件；運(yùn)用相關(guān)的守恒定律。）4.建立方程：首先利用水平方向不受力的條件，此時(shí)物塊在水平方向的動(dòng)量守恒。設(shè)物塊的質(zhì)量為m，則有在y軸方向，物塊受方向向下的重力mg作用，在初位置時(shí)物塊的動(dòng)量為末位置時(shí)物塊的動(dòng)量為設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，由動(dòng)量定理的積分形式，有代入v的表達(dá)式，有例10-13

如圖所示，小球O1半徑不計(jì)，質(zhì)量為m1，沿光滑的大半圓柱體表面滑下，初速為零。大半圓柱質(zhì)量為m，半徑為R，放在光滑的水平面上。初始時(shí)刻小球位于大半圓柱的頂部，即小球圓心O1與大半圓柱圓心O在同一鉛垂線(xiàn)上。求小球在脫離圓柱前相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡。解：1.研究對(duì)象：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)由小球與大半圓柱兩個(gè)物體組成。2.運(yùn)動(dòng)分析：大半圓柱體水平平移，小球相對(duì)大半圓柱體滑動(dòng)。相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓，但相對(duì)地面的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡未知。3.受力分析：主動(dòng)力為兩個(gè)物體的重力，外約束力是光滑水平面的法向約束力。所有外力都在鉛垂方向，水平方向沒(méi)有外力。4.建立方程：首先利用水平方向不受力的條件，此時(shí)系統(tǒng)在水平方向的動(dòng)量守恒。而系統(tǒng)在初始時(shí)刻是靜止的，即初始時(shí)刻系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量為零，因此系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量始終為零。設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)量為p，質(zhì)心C的速度為vC，則有

即所以，系統(tǒng)的質(zhì)心C在鉛垂線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)，建立描述小球運(yùn)動(dòng)的定系為：原點(diǎn)與初始位置的大半圓柱的圓心O重合，y軸通過(guò)系統(tǒng)質(zhì)心C，亦即y軸與初始位置的OO1連線(xiàn)重合。在這個(gè)坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)O1設(shè)點(diǎn)O大半圓柱的質(zhì)心A的坐標(biāo)為因此，可以計(jì)算得到質(zhì)心C在x軸的坐標(biāo)由于質(zhì)心C始終在y軸上運(yùn)動(dòng)，所以有

即得

(a)，但有小球在脫離圓柱前有點(diǎn)O與點(diǎn)O1的距離為R，因此由式(a)可得

代入上式得小球的軌跡方程或?qū)憺槔?0-14

如圖所示，水平圓板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，圓板上有一質(zhì)點(diǎn)A作圓周運(yùn)動(dòng)。已知點(diǎn)A的速度大小為常量v0，質(zhì)量為m，圓的半徑為r，在圓板上的位置由角j確定。圓板對(duì)軸z的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J，并且當(dāng)點(diǎn)A在離軸z最遠(yuǎn)的點(diǎn)A0時(shí)，圓板的角速度為零。軸的摩擦與空氣阻力略去不計(jì)，求圓板的角速度與角j的關(guān)系。解：1.研究對(duì)象：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)由圓板與質(zhì)點(diǎn)兩個(gè)物體組成。2.運(yùn)動(dòng)分析：圓板定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)圓板作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。3.受力分析：系統(tǒng)的外力為重力與軸承的約束力，這些力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩皆為零。4.建立方程：利用外力對(duì)軸z的力矩為零的條件，知系統(tǒng)對(duì)軸z的動(dòng)量矩守恒。初時(shí)刻系統(tǒng)對(duì)軸z的動(dòng)量矩為A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到角j的位置時(shí)，設(shè)圓板的角速度為w，正向與j一致。此時(shí)A點(diǎn)對(duì)軸z的動(dòng)量矩為

而所以當(dāng)A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到角j的位置時(shí)系統(tǒng)對(duì)軸z的動(dòng)量矩為由于系統(tǒng)對(duì)軸z的動(dòng)量矩守恒，即能夠用動(dòng)力平衡方程解決的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，必須可以分析慣性力；而慣性力由加速度確定，所以無(wú)法確定加速度的問(wèn)題自然無(wú)法用動(dòng)力平衡方程的方法求解。

碰撞問(wèn)題就是這種問(wèn)題的典型。物體受到其它物體的沖擊，或者運(yùn)動(dòng)物體突然受到約束，這些都屬于碰撞現(xiàn)象。它的主要特點(diǎn)是物體速度（大小、方向）在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生突然變化，這種場(chǎng)合是無(wú)法確定加速度的。在剛體動(dòng)力學(xué)中，不能計(jì)算加速度的問(wèn)題主要是碰撞問(wèn)題。10.3不能計(jì)算加速度的問(wèn)題碰撞現(xiàn)象中，物體在極短的時(shí)間內(nèi)受到極大的碰撞力。碰撞力是一種瞬時(shí)力，在極短的時(shí)間內(nèi)很難確定其規(guī)律，因此用碰撞力在碰撞時(shí)間內(nèi)的累積效應(yīng)，即用碰撞沖量來(lái)描述碰撞力。同時(shí)物體在極短的碰撞時(shí)間內(nèi)的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律也難以確定，對(duì)于一般的工程問(wèn)題，可以只分析碰撞前后物體運(yùn)動(dòng)的變化。因此，根據(jù)碰撞的特點(diǎn)，對(duì)碰撞過(guò)程作出下述基本假設(shè)。10.3.1碰撞問(wèn)題的基本假設(shè)1.忽略普通力的假設(shè)

在碰撞過(guò)程中，碰撞力的大小是作用在物體上的重力、彈性力等普通力無(wú)法比擬的；再者，研究碰撞問(wèn)題時(shí)，是用沖量描述力的作用，所以普通力在極短碰撞時(shí)間內(nèi)的沖量接近于零。因此研究碰撞問(wèn)題時(shí)，只考慮碰撞力，其它所有普通力均忽略不計(jì)。

2.忽略位移的假設(shè)

由于碰撞只在極短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生，物體的位置在這極短的時(shí)間內(nèi)的變化非常小，完全可以忽略不計(jì)。所以對(duì)于碰撞過(guò)程，忽略物體的位移，只研究其速度的變化。10.3.2恢復(fù)因數(shù)

恢復(fù)因數(shù)e定義為碰撞后兩物體相互脫離的相對(duì)速度與碰撞前兩物體相互接近的相對(duì)速度之比，即

用兩物體接觸點(diǎn)沿接觸面法線(xiàn)方向的相對(duì)速度計(jì)算。碰撞前兩物體相互接近而接觸碰撞，碰撞后兩物體相互脫離分開(kāi)（有時(shí)也會(huì)不分開(kāi)），碰撞改變了它們的相對(duì)速度。碰撞前后相對(duì)速度的改變與物體的材料性質(zhì)有關(guān)，恢復(fù)因數(shù)是表征物體的這種性質(zhì)的材料常數(shù)。當(dāng)一個(gè)物體與一個(gè)固定面發(fā)生正碰撞，即接觸點(diǎn)的速度與接觸面的法線(xiàn)重合時(shí)，恢復(fù)因數(shù)為當(dāng)一個(gè)物體與一個(gè)固定面發(fā)生斜碰撞，即接觸點(diǎn)的速度不與接觸面的法線(xiàn)重合時(shí)，恢復(fù)因數(shù)為如果發(fā)生正碰撞時(shí)，物體的質(zhì)心也在接觸面的法線(xiàn)上，則稱(chēng)為對(duì)心正碰撞，這是最基本的一種碰撞形式。反之，接觸面的法線(xiàn)不過(guò)質(zhì)心的稱(chēng)為偏心碰撞，發(fā)生偏心碰撞的物體有更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)。碰撞沖量主要發(fā)生在接觸面的法線(xiàn)方向，所以恢復(fù)因數(shù)用法向相對(duì)速度計(jì)算。接觸面切線(xiàn)方向的相對(duì)速度的變化比較復(fù)雜，一般按兩種極端情況考慮：接觸面絕對(duì)光滑與絕對(duì)粗糙。接觸面絕對(duì)光滑時(shí)，碰撞前后切線(xiàn)方向的相對(duì)速度不變。接觸面絕對(duì)粗糙時(shí)，碰撞后切線(xiàn)方向的相對(duì)速度為零?；謴?fù)因數(shù)是因材料而定的物理量，它可以按其定義式通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)定?；謴?fù)因數(shù)也表示物體局部變形恢復(fù)的程度，反映出碰撞過(guò)程中物體機(jī)械能損失的程度。對(duì)于各種材料，均有0<e<1，此時(shí)物體發(fā)生的碰撞稱(chēng)為彈性碰撞。e=1為理想情況，表明碰撞后變形完全恢復(fù)，動(dòng)能沒(méi)有損失，稱(chēng)為完全彈性碰撞。e=0為極限情況，表明碰撞后變形完全沒(méi)有恢復(fù)，稱(chēng)為非彈性碰撞或塑性碰撞。兩個(gè)物體碰撞時(shí)，利用恢復(fù)因數(shù)可以計(jì)算接觸點(diǎn)局部的速度改變，由此再計(jì)算對(duì)物體整體運(yùn)動(dòng)的影響。在碰撞問(wèn)題的研究中，除了相應(yīng)的動(dòng)力方程外，恢復(fù)因數(shù)是不可缺少的個(gè)條件。應(yīng)該根據(jù)不同的碰撞類(lèi)型，明確恢復(fù)因數(shù)的表達(dá)式，建立相應(yīng)的方程。10.3.3剛體的碰撞1.平移剛體的碰撞物體在碰撞前后都是平移，可以視為不計(jì)半徑的小球。兩個(gè)小球的碰撞是對(duì)心碰撞，包括正碰撞與斜碰撞。在正碰撞時(shí)在斜碰撞時(shí)對(duì)于平移剛體的碰撞問(wèn)題，一般使用動(dòng)量定理的積分形式（沖量定理）或動(dòng)量守恒定律建立動(dòng)力學(xué)方程。例10-15

三個(gè)質(zhì)量相同的球，半徑均為R，中心距離C1C2＝a，球M3的中心C3在與C1C2線(xiàn)垂直的直線(xiàn)AB上，球M3有一沿著AB方向的速度。如果欲使M3碰到M2后再與M1作對(duì)心正碰撞，問(wèn)AB線(xiàn)的位置應(yīng)在何處？設(shè)碰撞是完全彈性的，且不計(jì)小球的轉(zhuǎn)動(dòng)，不計(jì)接觸處的摩擦。解：（1）研究對(duì)象：相互碰撞的只是M2和M3兩個(gè)小球，小球M1只是一個(gè)目標(biāo)物，因此以小球M2和M3為研究對(duì)象。（2）運(yùn)動(dòng)分析：不計(jì)接觸處的摩擦，小球只產(chǎn)生平移。設(shè)碰撞前小球M3的速度為v3，與M2碰撞后，速度變?yōu)閡3；而小球M2的速度為u2。欲使M3與小球M1正碰撞，必須使u3的方向在C3C1連線(xiàn)上。（3）受力分析：以相互碰撞的小球M3與小球M2為系統(tǒng)，此時(shí)沒(méi)有外力沖量，所以系統(tǒng)的動(dòng)量守恒。（4）建立方程：由動(dòng)量守恒定律有分別投影到x、y軸上由于碰撞是完全彈性的，即e=1；小球M3與小球M2的碰撞為斜碰撞，所以有即由以上三式中消去v3、u2、u3得到即所以，△C1C3C2應(yīng)該是直角三角形，C3為直角的頂點(diǎn)。由直角三角形的性質(zhì)，可知

所以直線(xiàn)AB與C1C2的交點(diǎn)B與C2的距離應(yīng)為例10-16

為了檢驗(yàn)滾珠的制造質(zhì)量，設(shè)計(jì)了圖示的系統(tǒng)。滾珠從漏斗A中自由下落后，與平板B斜碰撞。要求滾珠的恢復(fù)因數(shù)e≥0.8。滾珠若為正品，在碰撞后可越過(guò)柵欄C落入其左側(cè)的容器中；若為次品則不能越過(guò)。試確定檢驗(yàn)系統(tǒng)中的尺寸d與h。圖中長(zhǎng)度單位為mm。解：（1）研究對(duì)象：小球?yàn)檠芯繉?duì)象，視為質(zhì)點(diǎn)。（2）運(yùn)動(dòng)分析：小球從漏斗A的出口到平板B為自由落體運(yùn)動(dòng)，與平板在點(diǎn)H碰撞，碰撞反彈后在空中為自由拋體運(yùn)動(dòng)，設(shè)在軌跡的最高點(diǎn)越過(guò)柵欄C。從點(diǎn)H作水平線(xiàn)與柵欄C相交于點(diǎn)K，延長(zhǎng)平板B的上表面與柵欄C相交于點(diǎn)J，則有d=HJ，h=KC+KJ。（3）受力分析：在自由運(yùn)動(dòng)部分只受重力作用，在碰撞階段只考慮平板對(duì)小球的碰撞沖量作用。（4）建立方程：運(yùn)動(dòng)過(guò)程分為三個(gè)階段，分別計(jì)算。從A出口到平板B自由落體運(yùn)動(dòng)階段機(jī)械能守恒，設(shè)小球從出口落下時(shí)初速為零，與平板碰撞前速度為v，則有與平板B碰撞階段為斜碰撞，設(shè)碰撞后小球的速度為有若平板為光滑的，則小球的切向速度在碰撞后沒(méi)有變化，即

投影到軸x與軸y上，有小球碰撞反彈后在空中的自由拋體運(yùn)動(dòng)階段初速度為由已知e=0.8與已計(jì)算出的可得拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡最高處為到達(dá)最高處的時(shí)間由此可得，檢驗(yàn)系統(tǒng)的尺寸由變小，小球不能越過(guò)柵欄。到達(dá)最高點(diǎn)的水平位移為可見(jiàn)，若小球的恢復(fù)因數(shù)e＜0.8，2.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的碰撞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體受到外碰撞沖量作用時(shí)，角速度會(huì)發(fā)生突變，可以用動(dòng)量矩定理的積分形式（沖量矩定理）或動(dòng)量矩守恒定律建立動(dòng)力學(xué)方程，同時(shí)按碰撞的類(lèi)型計(jì)算恢復(fù)因數(shù)。在外碰撞沖量作用下，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的軸承會(huì)出現(xiàn)約束碰撞沖量，這對(duì)軸承是有害的。因此定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的碰撞問(wèn)題中，還有分析軸承約束碰撞沖量，并設(shè)法避免的問(wèn)題。設(shè)剛體有質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面，且轉(zhuǎn)軸垂直于該對(duì)稱(chēng)平面。外碰撞沖量I作用在對(duì)稱(chēng)面內(nèi)，碰撞前剛體靜止，碰撞后產(chǎn)生角速度w。

有方程

如果外碰撞沖量作用在物體的質(zhì)量對(duì)稱(chēng)平面內(nèi)，且與轉(zhuǎn)軸與質(zhì)心的連線(xiàn)垂直，且與轉(zhuǎn)軸的距離為時(shí)，軸承不會(huì)受到?jīng)_擊。此時(shí)外碰撞沖量與轉(zhuǎn)軸質(zhì)心連線(xiàn)的交點(diǎn)O1，稱(chēng)為撞擊中心。例10-17

馬爾特間隙機(jī)械的均質(zhì)撥桿OA長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m。馬氏輪盤(pán)對(duì)轉(zhuǎn)軸O1的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JO1，半徑為r。在圖示瞬時(shí)，OA水平，桿端銷(xiāo)子A撞入輪盤(pán)光滑槽的外端，槽與水平線(xiàn)成q角。撞前OA桿的角速度為w0，輪盤(pán)靜止。求撞擊后輪盤(pán)的角速度w和點(diǎn)A的撞擊沖量I。又，當(dāng)q為多大時(shí)，不出現(xiàn)沖擊力。解：（1）研究對(duì)象：把系統(tǒng)拆開(kāi)，分別研究?jī)蓚€(gè)物體。（2）運(yùn)動(dòng)分析：兩個(gè)物體皆為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。碰撞前撥桿角速度為w0，輪盤(pán)靜止；碰撞后設(shè)撥桿的角速度為w1，輪盤(pán)的角速度為w。以銷(xiāo)子A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連在輪盤(pán)上，分析A的絕對(duì)速度、相對(duì)速度與牽連速度。其中，

可得，由速度合成定理即（3）受力分析：常力不考慮，只考慮碰撞沖量，撥桿與輪盤(pán)相撞時(shí)，在銷(xiāo)子A處和兩個(gè)物體的軸承O與O1處都會(huì)產(chǎn)生碰撞沖量。（4）建立方程：兩個(gè)物體對(duì)各自的轉(zhuǎn)軸用沖量矩定理輪盤(pán)O1：撥桿OA：得到點(diǎn)A的碰撞沖量為例10-18

平臺(tái)車(chē)以速度v沿水平路軌運(yùn)動(dòng)，其上放置邊長(zhǎng)為a，質(zhì)量為m的均質(zhì)正方形物塊A。為了防止物塊移動(dòng)，使物塊前方底邊抵在平臺(tái)上的一根低矮的壓條B上。當(dāng)平臺(tái)車(chē)突然停止時(shí)，物塊會(huì)產(chǎn)生多大的繞壓條B轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度。（1）研究對(duì)象：物塊A，質(zhì)心C，對(duì)B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB。（2）運(yùn)動(dòng)分析：車(chē)突然停止前物塊A平移，速度為v。車(chē)突然停止相當(dāng)于給行駛的物塊突然加上一個(gè)約束。在突加約束B(niǎo)的限制下，物塊A繞點(diǎn)B定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)碰撞結(jié)束時(shí)它的角速度為w。（3）受力分析：只有約束點(diǎn)B處存在碰撞沖量。解：（4）建立方程：物塊A在碰撞中對(duì)點(diǎn)B的動(dòng)量矩守恒。碰撞前物塊A平移，它對(duì)點(diǎn)B的動(dòng)量矩為：

碰撞后A定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，對(duì)軸B的動(dòng)量矩為：

令得

而

因此3.平面運(yùn)動(dòng)剛體的碰撞平面運(yùn)動(dòng)可以視為隨質(zhì)心的平移與繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)的合成運(yùn)動(dòng)，因而平面運(yùn)動(dòng)剛體碰撞后速度的突變，也包含隨質(zhì)心平移速度的突變與繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的突變。對(duì)于前者，需要使用沖量定理；對(duì)于后者，需要使用對(duì)質(zhì)心的沖量矩定理。同時(shí)必須按碰撞的類(lèi)型計(jì)算接觸點(diǎn)的恢復(fù)因數(shù)。例10-19

乒乓球半徑為r，以速度v落到臺(tái)面，v與鉛垂線(xiàn)成q角，此時(shí)球有繞過(guò)質(zhì)心O的水平軸（與v垂直）的角速度w。若球與臺(tái)面相撞后，因瞬時(shí)摩擦作功，接觸點(diǎn)水平速度突然變?yōu)榱?。設(shè)恢復(fù)因數(shù)為k，求回彈角b。解：（1）研究對(duì)象：乒乓球有轉(zhuǎn)動(dòng)，不能作為質(zhì)點(diǎn)考慮。（2）運(yùn)動(dòng)分析：乒乓球?yàn)槠矫孢\(yùn)動(dòng)，設(shè)與臺(tái)面相撞后質(zhì)心O的速度為v′，繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w′。碰撞前球與臺(tái)面的接觸點(diǎn)A有向右的水平速度分量；碰撞后水平速度為零，點(diǎn)A的速度指向點(diǎn)O，w′的方向與w相反。碰撞后以A為基點(diǎn)，質(zhì)心O的速度為上式投影到vOA方向上，有

用沖量定理計(jì)算球隨質(zhì)心平移的動(dòng)量改變，即（3）受力分析：不計(jì)普通力，只有接觸點(diǎn)A的法向與切向的約束碰撞沖量In與It。因碰撞使球與臺(tái)面的接觸點(diǎn)A的向右的水平速度變?yōu)榱?，所以It的方向向左。（4）建立方程：分別投影到?jīng)_量In與It方向上，有即用對(duì)質(zhì)心的沖量矩定理計(jì)算球繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩改變因?yàn)樗陨鲜綄?xiě)為再由恢復(fù)因數(shù)以上五個(gè)方程含五個(gè)未知數(shù)可以求解解得例10-20

兩個(gè)質(zhì)量為m、長(zhǎng)度為l的相同均質(zhì)桿AB、CD可在光滑水平面上自由運(yùn)動(dòng)。桿AB繞質(zhì)心O1以角速度w1轉(zhuǎn)動(dòng)，B端與靜止桿CD的C端碰撞。設(shè)碰撞時(shí)兩桿平行，分別計(jì)算恢復(fù)因數(shù)為0與1時(shí)，兩桿碰撞后的角速度與質(zhì)心的速度。（2）運(yùn)動(dòng)分析：碰撞前桿AB定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)B的速度為vB=lw1/2；桿CD靜止，點(diǎn)C的速度為零。碰撞后兩桿均為平面運(yùn)動(dòng)。設(shè)桿ABw1′，v1x′與v1y′；桿CDw2′，v2x′與v2y′。碰撞點(diǎn)法向速度為vBy′與vCy′解：

（1）研究對(duì)象：兩個(gè)桿分別進(jìn)行研究。由平面運(yùn)動(dòng)剛體上點(diǎn)的速度計(jì)算，有（3）受力分析：兩桿的相碰撞點(diǎn)有碰撞沖量。沖量方向與桿的軸線(xiàn)垂直，即y軸方向。（4）建立方程：兩桿為平面運(yùn)動(dòng)剛體的碰撞，由沖量定理與對(duì)質(zhì)心的沖量矩定理寫(xiě)出各自的方程。桿AB：

桿CD：又由恢復(fù)因數(shù)

代入速度關(guān)系及vB的計(jì)算式，有并有解得解得所以碰撞后桿AB的質(zhì)心速度與角速度為：桿CD的質(zhì)心速度與角速度為：分別令e=0與e=1，可得結(jié)果例10-21

質(zhì)量為m，半徑為r的均質(zhì)實(shí)心球從傾角為b的斜面無(wú)滑動(dòng)滾下，當(dāng)角速度為w時(shí)碰到水平面。此后球沿水平面連滾帶滑，最后重新變成只滾不滑。假定碰撞時(shí)球沒(méi)有從水平面回跳，求重新滾而不滑時(shí)球的角速度w1。解：（1）研究對(duì)象：均質(zhì)實(shí)心球C。（2）運(yùn)動(dòng)分析：運(yùn)動(dòng)分為三個(gè)階段：