2024屆天津市和平區(qū)高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)檢測卷附答案解析

屆天津市和平區(qū)高三數(shù)學(xué)下學(xué)期開學(xué)檢測卷（試卷滿分150分．考試用時(shí)120分鐘）第Ⅰ卷（選擇題共45分）一、選擇題：（本大題共9小題，每小題5分，共45分，在每小題的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，將答案涂在答題卡上）1．已知集合，則（

）A．B．C． D．2．在某區(qū)高三年級(jí)舉行的一次質(zhì)量檢測中，某學(xué)科共有3000人參加考試．為了解本次考試學(xué)生的成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的成績（成績均為正整數(shù)，滿分為100分）作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，樣本容量為n．按照，，，，的分組作出頻率分布直方圖（如圖所示）．已知成績落在內(nèi)的人數(shù)為16，則下列結(jié)論正確的是（

）A．樣本容量B．圖中C．估計(jì)全體學(xué)生該學(xué)科成績的平均分為70.6分D．若將該學(xué)科成績由高到低排序，前15%的學(xué)生該學(xué)科成績?yōu)锳等，則成績?yōu)?8分的學(xué)生該學(xué)科成績肯定不是A等3．函數(shù)在的圖像大致為A．B．C．D．4．已知函數(shù)，則“”是“為奇函數(shù)”的（

）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件5．已知圓和圓相交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為（

）．A． B． C．4 D．26．任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”）.如取正整數(shù)，根據(jù)上述運(yùn)算法則得出，共需經(jīng)過8個(gè)步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）.現(xiàn)給出冰雹猜想的遞推關(guān)系如下：已知數(shù)列滿足：（為正整數(shù)），當(dāng)時(shí)，（

）A．170 B．168 C．130 D．1727．若，，，則（

）A． B． C． D．8．已知P為雙曲線上一點(diǎn)，為雙曲線C的左、右焦點(diǎn)，若，且直線與以C的實(shí)軸為直徑的圓相切，則C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．9．若函數(shù)（，）的最小正周期為，且.給出下列判斷：①若，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱②若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍是③若在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，則的取值范圍是④若的圖象與直線在上有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是其中，判斷正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷（非選擇題共105分）二、填空題：（本大題共6小題，每小題5分，共30分，將答案填寫在答題卡上）10．已知m，，i是虛數(shù)單位，若，則．11．在二項(xiàng)式的展開式中，的系數(shù)為．12．已知正三棱臺(tái)中，，圓柱的一個(gè)底面經(jīng)過，，的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為的中心，則該圓柱的側(cè)面積為．13．甲箱中有5個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黃球和2個(gè)黑球，乙箱中有4個(gè)紅球、3個(gè)白球、2個(gè)黃球和2個(gè)黑球先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱中，設(shè)事件，，，分別表示從甲箱中取出的是紅球、白球、黃球和黑球，事件B表示從乙箱中取出的球是紅球，則，．14．在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn)．設(shè)，，記，則；若，的面積為，則當(dāng)時(shí)，取得最小值．15．已知函數(shù)有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，并且這三個(gè)零點(diǎn)構(gòu)成等差數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值為．三、解答題：（本大題共5小?，共75分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，請(qǐng)把解題過程寫在答案卡上）16．在中，的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)已知點(diǎn)在線段上，且，求長.17．如圖，在四棱柱中，側(cè)棱底面，，，，，且點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值；（3）設(shè)為棱上的點(diǎn)，若直線和平面的夾角的正弦值為，求線段的長．18．在數(shù)列中，．在等差數(shù)列中，前n項(xiàng)和為，，．(1)求證是等比數(shù)列，并求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，的前n項(xiàng)和為，求．19．平面直角坐標(biāo)系中，橢圓C：的離心率是，拋物線E：的焦點(diǎn)F是C的一個(gè)頂點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設(shè)P是E上的動(dòng)點(diǎn)，且位于第一象限，E在點(diǎn)P處的切線與C交與不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為D，直線OD與過P且垂直于x軸的直線交于點(diǎn)M．（i）求證：點(diǎn)M在定直線上;（ii）直線與y軸交于點(diǎn)G，記的面積為，的面積為，求的最大值及取得最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．20．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若時(shí)，，求a的取值范圍；(3)對(duì)于任意，證明：．1．B【分析】由函數(shù)有意義求得集合A，進(jìn)而求出集合B，再利用交集的定義求解即得.【詳解】由，得，又，因此，所以．故選：B2．C【分析】由頻率分布直方圖區(qū)間的概率確定樣本總?cè)萘?，由頻率和為1求x，根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)均值，確定78分前所占比例從而判斷各選項(xiàng)．【詳解】由頻率分布直方圖可得：，，，，的頻率依次為.對(duì)于A：∵成績落在內(nèi)的人數(shù)為16，則，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由頻率可得，解得，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由選項(xiàng)B可得：成績落在的頻率為，估計(jì)全體學(xué)生該學(xué)科成績的平均分分，故C正確；對(duì)D：設(shè)該學(xué)科成績?yōu)锳等的最低分?jǐn)?shù)為，∵，，的頻率依次為，即，可知，則，解得，雖然，但是估計(jì)值，有可能出現(xiàn)沒有學(xué)生考到分的情況（學(xué)生成績均為正整數(shù)），這種情況下成績?yōu)?8分的學(xué)生該學(xué)科成績可以是A等，D錯(cuò)誤；故選：C.3．B【分析】由分子、分母的奇偶性，易于確定函數(shù)為奇函數(shù)，由的近似值即可得出結(jié)果．【詳解】設(shè)，則，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，排除選項(xiàng)C．又排除選項(xiàng)D；，排除選項(xiàng)A，故選B．【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性，縮小考察范圍，通過計(jì)算特殊函數(shù)值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查．4．C【分析】根據(jù)“”與“為奇函數(shù)”互相推出的情況判斷屬于何種條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以為奇函數(shù)；當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，顯然定義域?yàn)榍谊P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，所以，所以，由上可知，“”是“為奇函數(shù)”的充要條件，故選：C.5．A【分析】判斷兩圓相交，求出兩圓的公共弦方程，根據(jù)圓的弦長的幾何求法，即可求得答案.【詳解】由題意知圓，即圓，圓心為，半徑，圓，即圓，圓心為，半徑，則，即兩圓相交，將圓和圓的方程相減，可得直線的方程為，則到直線的距離為，故弦的長為，故選：A6．D【分析】先根據(jù)題意得到的值，再后續(xù)數(shù)列的周期性求得，從而得解.【詳解】依題意，，故，又，所以．所以．故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是理解“冰雹猜想”的定義，找到數(shù)列的周期性，從而得解.7．B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間變量比大小即可.【詳解】易知，，因?yàn)椋瑒t，故得，顯然B正確.故選：B8．A【分析】結(jié)合直線和圓的位置關(guān)系以及雙曲線的定義求得的關(guān)系式，由此求得雙曲線的漸近線方程.【詳解】設(shè)直線與圓相切于點(diǎn)，則，取線段的中點(diǎn)，連接，由于，則，由于是的中點(diǎn)，所以，則，即有，由雙曲線的定義可得，即，即，所以，化簡得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：A

【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線漸近線方程的求法，屬于中檔題.9．C【分析】由題設(shè)可得，代入驗(yàn)證法判斷①；由區(qū)間單調(diào)性及正弦函數(shù)性質(zhì)有求參數(shù)范圍判斷②；由區(qū)間零點(diǎn)及正弦函數(shù)性質(zhì)，討論、研究參數(shù)范圍判斷③；由題設(shè)，結(jié)合題設(shè)及正弦函數(shù)性質(zhì)有求參數(shù)范圍判斷④.【詳解】由，則，即，又，所以，故，當(dāng)，則，故函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，①對(duì)；當(dāng)，則，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，可得，②對(duì)；當(dāng)，則，且在區(qū)間內(nèi)沒有零點(diǎn)，若，則，此時(shí)滿足題設(shè)；若，則，故，可得且，所以，可得；綜上，的取值范圍是，③錯(cuò)；當(dāng)，則，又的圖象與直線在上有且僅有1個(gè)交點(diǎn)，故，所以，即的取值范圍是，④對(duì).故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知求得，根據(jù)各項(xiàng)給定范圍求對(duì)應(yīng)的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式求參數(shù)范圍.10．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)相等的充要條件可得，即可由模長公式求解.【詳解】由可得，故且，解得，所以，故答案為：11．.【分析】由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式得到的值，然后求解的系數(shù)即可.【詳解】結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式有：，令可得：，則的系數(shù)為：.【點(diǎn)睛】（1）二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件（特定項(xiàng)）和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)（求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中和的隱含條件，即、均為非負(fù)整數(shù)，且，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等）)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．（2）求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解．12．【分析】根據(jù)給定條件，利用正三棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征求出圓柱的底面圓半徑及高，再利用圓柱的側(cè)面積公式計(jì)算作答.【詳解】在正三棱臺(tái)中，令側(cè)棱，，的中點(diǎn)分別為，顯然為正三角形，，依題意，的外接圓是圓柱的下底面圓，令其圓心為，圓半徑，令正的中心為，則，在直角梯形中，高，所以圓柱的側(cè)面積.故答案為：13．##0.375【分析】分別求出甲箱中拿出紅、白、黃、黑球事件的概率，依據(jù)條件概率的公式和全概率公式分別計(jì)算結(jié)果.【詳解】由題意知：，，，，，同理：，，，由全概率公式可知：．故答案為：，14．##0.52【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面積公式得到，結(jié)合和平面向量數(shù)量積公式，基本不等式得到的最小值，此時(shí)，由余弦定理得到.【詳解】由題意得，故，故；由三角形面積公式得，故，其中，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，故.故答案為：，215．或【分析】利用函數(shù)與方程之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)問題，結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】函數(shù)0，得|x+a|a＝3，設(shè)g（x）＝|x+a|a，h（x）＝3，則函數(shù)g（x），不妨設(shè)f（x）＝0的3個(gè)根為x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，當(dāng)x＞﹣a時(shí)，由f（x）＝0，得g（x）＝3，即x3，得x2﹣3x﹣4＝0，得（x+1）（x﹣4）＝0，解得x＝﹣1，或x＝4；若①﹣a≤﹣1，即a≥1，此時(shí)x2＝﹣1，x3＝4，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得x1＝﹣6，由f（﹣6）＝0，即g（﹣6）＝3得62a＝3，解得a，滿足f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有一解．若②﹣1＜﹣a≤4，即﹣4≤a＜1，則f（x）＝0在（﹣∞，﹣a]上有兩個(gè)不同的解，不妨設(shè)x1，x2，其中x3＝4，所以有x1，x2是﹣x2a＝3的兩個(gè)解，即x1，x2是x2+（2a+3）x+4＝0的兩個(gè)解．得到x1+x2＝﹣（2a+3），x1x2＝4，又由設(shè)f（x）＝0的3個(gè)根為x1，x2，x3成差數(shù)列，且x1＜x2＜x3，得到2x2＝x1+4，解得：a＝﹣1（舍去）或a＝﹣1．③﹣a＞4，即a＜﹣4時(shí)，f（x）＝0最多只有兩個(gè)解，不滿足題意；綜上所述，a或﹣1．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用分段函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)進(jìn)行討論是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度極大．16．(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用余弦定理角化邊即可得解.（2）由（1）的結(jié)論，利用余弦定理、正弦定理求解即得.【詳解】（1）在中，由及余弦定理，得，即，而，所以.（2）由（1）知，由余弦定理得，為三角形內(nèi)角，則，而，于是，在中，由正弦定理得，所以.17．（1）證明見解析；（2）；（3）．【分析】（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，可得為平面的法向量，可求得即可證明；（2）求出平面和平面的法向量，即可由向量關(guān)系求出；（3）設(shè)，可得，結(jié)合為平面的法向量，再由即可求出.【詳解】（1）證明：如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，依題意可得，，，，，，，，又因?yàn)?，分別為和的中點(diǎn)，得，．可得為平面的法向量，，由此可得，又因?yàn)橹本€平面，所以平面．（2）解：，，設(shè)為平面的法向量，則，即不妨設(shè)，可得．設(shè)為平面的法向量，則，又，得，不妨設(shè)，可得．因此有，所以，平面與平面的夾角的余弦值為．（3）解：依題意，可設(shè)，其中，則，從而，又為平面的法向量，由已知，得，整理得，又因?yàn)?，解得，所以，線段的長為．【點(diǎn)睛】利用空間向量求解立體幾何問題的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.18．(1)證明見解析，，(2)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可求證，利用等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解，（2）利用分組求和，結(jié)合并項(xiàng)求和以及等比求和公式即可求.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，故，又，故是等比數(shù)列，且公比為2，首項(xiàng)為所以，故，設(shè)的公差為，則由，，解得，，故，（2）故，而，故，其中，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，19．（Ⅰ）;（Ⅱ）（?。┮娊馕?；（ⅱ）的最大值為，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率和焦點(diǎn)求方程；（Ⅱ）（?。┯牲c(diǎn)P的坐標(biāo)和斜率設(shè)出直線l的方程和拋物線聯(lián)立，進(jìn)而判斷點(diǎn)M在定直線上；（ⅱ）分別列出，面積的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)求最值和此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．試題解析：（Ⅰ）由題意知：，解得．因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為，所以，所以橢圓的方程為．（Ⅱ）（1）設(shè)，由可得，所以直線的斜率為，其直線方程為，即．設(shè)，聯(lián)立方程組消去并整理可得，故由其判別式可得且，故,代入可得，因?yàn)椋灾本€的方程為．聯(lián)立可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，即點(diǎn)在定直線上．（2）由（1）知直