利用函數(shù)解決不等式問(wèn)題 習(xí)題課導(dǎo)學(xué)案 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

教學(xué)設(shè)計(jì)課題利用函數(shù)解決不等式問(wèn)題課型習(xí)題課一、內(nèi)容及其解析1.內(nèi)容不等式關(guān)系、函數(shù)最值解決不等式、函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的符號(hào)關(guān)系.2.內(nèi)容解析函數(shù)與不等式內(nèi)容的考查點(diǎn)主要是利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式，構(gòu)造函數(shù)比較大小，不等式恒成立或有解、求參數(shù)取值范圍及證明不等式.考查的知識(shí)點(diǎn)有函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性等）和基本初等函數(shù)（二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)），導(dǎo)數(shù)、不等式的基本性質(zhì)及證明不等式的常用方法（分析法、綜合法、放縮法）.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》中，關(guān)于不等式的學(xué)習(xí)要求包括能夠從函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)不等式，并運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)處理不等式問(wèn)題，能夠利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及其最值的關(guān)系，會(huì)用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式.導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)圖象和性質(zhì)的重要工具，也是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容.利用導(dǎo)數(shù)研究問(wèn)題不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，還可以感受函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想.二、目標(biāo)及其解析1.目標(biāo)⑴經(jīng)歷從“形”與“數(shù)”、“猜”到“證”判定大小關(guān)系的過(guò)程，學(xué)會(huì)用作差法與作商法比較大小關(guān)系，提升直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)；⑵通過(guò)對(duì)不等式中的函數(shù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分析，掌握構(gòu)造函數(shù)的技巧并理解構(gòu)造函數(shù)的本質(zhì)，感悟轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：⑴學(xué)生能從“形”的角度判斷出函數(shù)的大小關(guān)系，再?gòu)摹皵?shù)”的角度確定研究問(wèn)題構(gòu)造合適的目標(biāo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的工具性作用驗(yàn)證猜想；⑵學(xué)生能將復(fù)雜的函數(shù)轉(zhuǎn)化為合適的函數(shù)，優(yōu)化構(gòu)造的目標(biāo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法針對(duì)性地確定函數(shù)最值，并反思總結(jié)從函數(shù)觀點(diǎn)如何運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，處理不等式問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)與技巧.三、教學(xué)問(wèn)題診斷分析⑴學(xué)生對(duì)作商法比較大小易遺忘，未抓住比較大小的本質(zhì)；⑵學(xué)生對(duì)題設(shè)條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的意識(shí)薄弱；⑶學(xué)生盲目使用導(dǎo)數(shù)法證明不等式，未能宏觀上先從函數(shù)視角分析看待不等式問(wèn)題.四、教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：運(yùn)用函數(shù)的圖象、性質(zhì)及最值判斷函數(shù)大小關(guān)系、證明不等式、并解決含參的不等式問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn)：理解從數(shù)形結(jié)合的角度全方位多角度分析處理不等式問(wèn)題.五、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)（一）問(wèn)題引入教師活動(dòng)：驅(qū)動(dòng)問(wèn)題1：判斷函數(shù)與函數(shù)在上的大小關(guān)系.學(xué)生活動(dòng)：分析問(wèn)題1：利用與圖象猜想結(jié)論.作差構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行不等式證明：構(gòu)造函數(shù)，，構(gòu)造函數(shù)，得，令，得，與關(guān)系如下表0單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以，故，在上單調(diào)遞增，所以，故，時(shí)等號(hào)成立.教師活動(dòng)：驅(qū)動(dòng)問(wèn)題2：回憶正實(shí)數(shù)還有哪些方法可以比較大?。繉W(xué)生活動(dòng)：分析問(wèn)題2：作商法與1進(jìn)行比較.教師活動(dòng)：驅(qū)動(dòng)問(wèn)題3：那么函數(shù)可否利用該方法比較大?。繉W(xué)生活動(dòng)：分析問(wèn)題3：構(gòu)造函數(shù)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以，又因?yàn)?，所以，，時(shí)等號(hào)成立.教師點(diǎn)評(píng)：基于兩函數(shù)的圖象位置關(guān)系有時(shí)我們可以確定不等關(guān)系，用代數(shù)方法如何判定不等關(guān)系呢，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)比較大小其實(shí)就是在定義域內(nèi)同一個(gè)之下，比較兩函數(shù)值，若將兩函數(shù)構(gòu)造在一起，就相當(dāng)于從一個(gè)新函數(shù)出發(fā)來(lái)解決不等式問(wèn)題，目前我們可以將兩函數(shù)構(gòu)造在一起的方法有作差法和作商法.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：從舊知引入，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷先從“形”猜結(jié)論，再由“數(shù)”驗(yàn)證結(jié)論的過(guò)程，建構(gòu)利用構(gòu)造函數(shù)判定不等關(guān)系的常見(jiàn)方法——作差法、作商法，為接下來(lái)證明不等式問(wèn)題作理論鋪墊.（二）應(yīng)用拓展教師活動(dòng)：驅(qū)動(dòng)問(wèn)題1：判斷函數(shù)與函數(shù)在上的大小關(guān)系.學(xué)生活動(dòng)：分析問(wèn)題1：利用與的圖象猜想結(jié)論.移項(xiàng)作差法構(gòu)造函數(shù)證明：令則令則令則，因?yàn)樵谏线f增，且存在，使得，即0單減極小值單增…………乘以作差構(gòu)造函數(shù)證明：令則令則令則在上單調(diào)遞增因?yàn)樗源嬖?，使得，?與關(guān)系如下表0單減極小值單增…………變形作差法構(gòu)造函數(shù)證明：令則令則，所以在上單調(diào)遞增，故令，得與關(guān)系如下表0單減極小值單增故.移項(xiàng)作商法構(gòu)造函數(shù)證明：令，則令，則，令，得，與關(guān)系如下表0單調(diào)遞減單調(diào)遞增，令，得與關(guān)系如下表0單調(diào)遞增單調(diào)遞減，故.教師活動(dòng)：驅(qū)動(dòng)問(wèn)題2：同樣是利用作差法、作商法構(gòu)造函數(shù)，為什么解題過(guò)程差距如此懸殊？小組討論，說(shuō)說(shuō)你的看法.學(xué)生活動(dòng)：分析問(wèn)題2：以上三種方法構(gòu)造函數(shù)得到的導(dǎo)函數(shù)在結(jié)構(gòu)上復(fù)雜程度不同，有的不能求出根，就需要多次構(gòu)造函數(shù)再次求導(dǎo)確定其正負(fù)，但可能涉及到隱零點(diǎn)問(wèn)題，所以推理過(guò)程較復(fù)雜；有的方法得到的導(dǎo)函數(shù)只需要局部構(gòu)造函數(shù)，便可判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的正負(fù).教師活動(dòng)：驅(qū)動(dòng)問(wèn)題3：我們發(fā)現(xiàn)若一個(gè)函數(shù)或不等式由指數(shù)式和多項(xiàng)式構(gòu)成，大家覺(jué)得如何處理原函數(shù)能讓導(dǎo)函數(shù)形式“簡(jiǎn)潔”？背后的原因是什么？學(xué)生活動(dòng)：分析問(wèn)題3：把指數(shù)型函數(shù)前面乘以或除以一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)，讓指數(shù)型函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)結(jié)合成一項(xiàng)，這樣再對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，只需要一次就可以判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而避免了多次求導(dǎo).由于或，為正數(shù)，求導(dǎo)后就不需要再研究指數(shù)式了，此時(shí)問(wèn)題就簡(jiǎn)化為研究多項(xiàng)式和或的正負(fù)情況.教師活動(dòng)：驅(qū)動(dòng)問(wèn)題4：同樣的，有些函數(shù)或不等式中由對(duì)數(shù)式和多項(xiàng)式構(gòu)成，在證明或處理含有對(duì)數(shù)型函數(shù)的不等式時(shí)，我們?cè)撊绾翁幚碓瘮?shù)呢？為什么？學(xué)生活動(dòng)：分析問(wèn)題4：在處理形如（不妨設(shè)）的不等式問(wèn)題時(shí)，通常將其轉(zhuǎn)化為形如的形式來(lái)研究.因?yàn)榍髮?dǎo)后導(dǎo)數(shù)中帶有，屬于超越式，計(jì)算比較麻煩不容易處理，而不帶有，不含超越式降低了難度.教師點(diǎn)評(píng)：為避免出現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的導(dǎo)函數(shù)，便于判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，常常將原函數(shù)中的指數(shù)型函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)乘或除在一起當(dāng)作新函數(shù)來(lái)研究，這種解題技巧稱為“團(tuán)結(jié)指數(shù)”.而有時(shí)我們需要將對(duì)數(shù)型函數(shù)中的對(duì)數(shù)型函數(shù)系數(shù)變?yōu)?，這種將對(duì)數(shù)型函數(shù)形成單獨(dú)一項(xiàng)的處理技巧，稱為“孤立對(duì)數(shù)”.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：體驗(yàn)直接移項(xiàng)作差法可能需要多次求導(dǎo)的不便性，以確立變形作商法的必要性，鞏固運(yùn)用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法，有利于把握便捷性的數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).通過(guò)對(duì)比不同解法，評(píng)價(jià)優(yōu)缺點(diǎn)，從“知、法、障、因”四個(gè)維度進(jìn)行反思，討論探究如何針對(duì)癥結(jié)所在進(jìn)行優(yōu)化處理，總結(jié)轉(zhuǎn)化思想的衍生物——“團(tuán)結(jié)指數(shù)”“孤立對(duì)數(shù)”技巧，并讓學(xué)生意識(shí)到技巧的本質(zhì)來(lái)源于導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，目的就是通過(guò)轉(zhuǎn)化處理原函數(shù)，使導(dǎo)函數(shù)易于判斷其符號(hào)的正負(fù).（三）遷移提升教師活動(dòng)：驅(qū)動(dòng)問(wèn)題1：不等式對(duì)恒成立，求的取值范圍.學(xué)生活動(dòng)：分析問(wèn)題1：利用與含參二次函數(shù)的圖象利用數(shù)形結(jié)合思想大致判定參數(shù)的范圍.解：當(dāng)時(shí)，顯然不成立，不符合題意.構(gòu)造函數(shù)，得，令，得，當(dāng)時(shí)，與關(guān)系如下表0單調(diào)遞減單調(diào)遞增故，解得.綜上，的取值范圍為教師點(diǎn)評(píng)：“以形助數(shù)”可以化抽象為具體，化繁為簡(jiǎn)，從函數(shù)的圖象和性質(zhì)入手分析和處理問(wèn)題，將使得解題效率事半功倍，避免盲目地使用導(dǎo)數(shù)工具去解題陷入繁瑣分類討論的圈套.設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)意圖：從函數(shù)觀念整體把握，避免分類討論的繁瑣過(guò)程，鞏固知識(shí)的同時(shí)提升學(xué)生的推理論證能力、