2022年天津楊柳青第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

2022年天津楊柳青第四中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則的值為（

）A.0

B.1或3

C.0或3

D.1或0參考答案：D略2.設(shè)a>b>c，n∈N，且+≥恒成立，則n的最大值為（

）（A）2

（B）3

（C）4

（D）5參考答案：C3.如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)度為4cm，寬度為2cm，向這個(gè)長(zhǎng)方形投一塊小石頭落在陰影部分的概率（

）(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：C4.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是4.8，方差是3.6，若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60，得到一組新數(shù)據(jù)，則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是（）A．55.2，3.6 B．55.2，56.4 C．64.8，63.6 D．64.8，3.6參考答案：D【考點(diǎn)】極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【分析】首先寫出原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示式和方差的表示式，把數(shù)據(jù)都加上60以后，再表示出新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的表示式，兩部分進(jìn)行比較，得到結(jié)果【解答】解：設(shè)這組數(shù)據(jù)分別為x1，x2，…，xn，若其平均數(shù)是4.8，方差是3.6，則有1=（x1+x2+…+xn）=4.8，方差S12=[（x1﹣）2+…+（xn﹣）2]=3.6；若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上60，則數(shù)據(jù)為60+x1，60+x2，…，60+xn，則平均數(shù)2=[（60+x1）+）60+x2）+…+（60+xn）]=60+4.8=64.8，方差S22=[（60+x1﹣64.8）2+…+（60+xn﹣64.8）2]=3.6；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)據(jù)的平均數(shù)、方差的計(jì)算，關(guān)鍵是掌握數(shù)據(jù)方差、平均數(shù)的計(jì)算公式．5.古希臘著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10、15、…這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”，而把1、4、9、16、25、…這樣的數(shù)稱為“正方形數(shù)”．從如圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和，下列等式中，符合這一規(guī)律的是（）A．16=3+13 B．25=9+16 C．36=10+26 D．49=21+28參考答案：D【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】題目中“三角形數(shù)”的規(guī)律為1、3、6、10、15、21…“正方形數(shù)”的規(guī)律為1、4、9、16、25…，根據(jù)題目已知條件：從圖中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個(gè)大于1的“正方形數(shù)”都可以看作兩個(gè)相鄰“三角形數(shù)”之和．可得出最后結(jié)果．【解答】解：這些三角形數(shù)的規(guī)律是1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，且正方形數(shù)是這串?dāng)?shù)中相鄰兩數(shù)之和，很容易看到：恰有21+28=49．故選D．6.在三角形ABC中，如果，那么等于A．

B．

C．

D．（改編題）參考答案：B7.若復(fù)數(shù)

（為虛數(shù)單位)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略8.如圖，長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，E，F(xiàn)，G分別是DD1，AB，CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°參考答案：D【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【分析】連接B1G，EG，先利用長(zhǎng)方形的特點(diǎn)，證明四邊形A1B1GE為平行四邊形，從而A1E∥B1G，所以∠B1GF即為異面直線A1E與GF所成的角，再在三角形B1GF中，分別計(jì)算三邊的長(zhǎng)度，利用勾股定理即可得此角的大小【解答】解：如圖：連接B1G，EG∵E，G分別是DD1，CC1的中點(diǎn)，∴A1B1∥EG，A1B1=EG，∴四邊形A1B1GE為平行四邊形∴A1E∥B1G，∴∠B1GF即為異面直線A1E與GF所成的角在三角形B1GF中，B1G===FG===B1F===∵B1G2+FG2=B1F2∴∠B1GF=90°∴異面直線A1E與GF所成角為90°故選D【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間異面直線所成的角的作法、證法、算法，長(zhǎng)方體的性質(zhì)及其中的數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的思想方法9.4個(gè)男生4個(gè)女生站成一排，要求相鄰兩人性別不同且男生甲與女生乙相鄰，則這樣的站法有（）A．576種 B．504種 C．288種 D．252種參考答案：B【考點(diǎn)】排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題．【分析】把男生甲與女生乙排在一起作為一個(gè)元素，剩余3個(gè)男生與3個(gè)女生，按照男生、女生不相鄰的插空排法共有?不同的站法；再把男生甲與女生乙放入，符合條件的是??種不同的站法．【解答】解：4個(gè)男生4個(gè)女生站成一排，把男生甲與女生乙排在一起作為一個(gè)元素，剩余3個(gè)男生與3個(gè)女生，按照男生、女生不相鄰的插空排法，有?=6×24=144種不同的站法；現(xiàn)在有7個(gè)位置把男生甲與女生乙放入，符合條件的是：??=×7×144=504．故選：B．10.一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測(cè)直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底長(zhǎng)均為1的等腰梯形，則這個(gè)平面圖形的面積是

（

）A. B．

C．

D．參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列的前n項(xiàng)和，則＝___________參考答案：12.冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則其解析式為

參考答案：13.中，若，，，則_______

參考答案：14.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，.若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．參考答案：【分析】根據(jù)對(duì)稱性，在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性與最值，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由是偶函數(shù)，根據(jù)對(duì)稱性，在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，即在上有兩個(gè)不同的實(shí)根，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，而，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是，且，結(jié)合圖象，可得.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究方程的零點(diǎn)問題，其中解答中根據(jù)函數(shù)的奇偶性，把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性與最值，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.15.如圖，設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，過焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若的內(nèi)切圓的面積為，設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則值為________________．參考答案：略16.已知點(diǎn)A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，則|

|的值是__________參考答案：略17.已知、是過拋物線（）的焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，且滿足，，則的值為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.“奶茶妹妹”對(duì)某時(shí)間段的奶茶銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)出售價(jià)x元和銷售量y杯之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：價(jià)格x55.56.57銷售量y121064通過分析，發(fā)現(xiàn)銷售量y對(duì)奶茶的價(jià)格x具有線性相關(guān)關(guān)系．（Ⅰ）求銷售量y對(duì)奶茶的價(jià)格x的回歸直線方程；（Ⅱ）欲使銷售量為13杯，則價(jià)格應(yīng)定為多少？注：在回歸直線y=中，，=﹣．=146.5．參考答案：【考點(diǎn)】線性回歸方程．【專題】函數(shù)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）根據(jù)回歸系數(shù)公式計(jì)算回歸系數(shù)；（2）把y=13代入回歸方程計(jì)算x．【解答】解：（Ⅰ）==6，==8．=5×12+5.5×10+6.5×6+7×4=182，=52+5.52+6.52+72=146.5，==﹣4，=8+4×6=32．∴銷售量y對(duì)奶茶的價(jià)格x的回歸直線方程為=﹣4x+32．（Ⅱ）令﹣4x+32=13，解得x=4.75．答：商品的價(jià)格定為4.75元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性回歸方程的解法和數(shù)值估計(jì)，屬于基礎(chǔ)題．19.（本小題滿分14分）

某慈善機(jī)構(gòu)舉辦一次募捐演出，有一萬人參加，每人一張門票，每張100元，在演出過程中穿插抽獎(jiǎng)活動(dòng)，第一輪抽獎(jiǎng)從這一萬張票根中隨機(jī)抽取10張，其持有者獲得價(jià)值1000元的獎(jiǎng)品，并參加第二輪抽獎(jiǎng)活動(dòng)，第二輪抽獎(jiǎng)由第一輪獲獎(jiǎng)?wù)擢?dú)立操作按鈕，電腦隨機(jī)產(chǎn)生兩個(gè)數(shù)，如果則電腦顯示“中獎(jiǎng)”，抽獎(jiǎng)?wù)攉@得9000元獎(jiǎng)金；否則若電腦顯示“謝謝”，則不中獎(jiǎng)。

（I）已知小曹在第一輪抽獎(jiǎng)中被抽中，求小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)的概率；

（II）若小葉參加了此次活動(dòng)，求小葉參加此次活動(dòng)收益的期望；

（III）若此次募捐除獎(jiǎng)品和獎(jiǎng)金外，不計(jì)其它支出，該機(jī)構(gòu)想獲得96萬元的慈善款，問該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐是否能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)。參考答案：共9個(gè)，…………2分設(shè)“小曹在第二輪抽獎(jiǎng)中獲獎(jiǎng)”為事件，且事件所包含的基本事件有共2個(gè)，∴．

……5分（Ⅱ）設(shè)小葉參加此次活動(dòng)的收益為，的可能取值為．

………6分，，．

…………9分∴的分布列為9009900………10分∴．

…………11分（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，購(gòu)票者每人收益期望為．∵有一萬人購(gòu)票，除獎(jiǎng)金和獎(jiǎng)品外，不計(jì)其它支出，∴該機(jī)構(gòu)此次收益期望為元=萬∴該慈善機(jī)構(gòu)此次募捐能達(dá)到預(yù)期目標(biāo)………………14分略20.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣4x+b，（a∈R，b∈R）（1）若函數(shù)f（x）有最小值3，求f（1）+2a的最小值；（2）若b=﹣4a，解關(guān)于x的不等式f（x）＞﹣8．參考答案：解：（1）函數(shù)f（x）有最小值3，∴a＞0，=3，∴b=+3，f（1）=a﹣4+b=a+﹣1，∴f（1）+2a=3a+﹣1≥2﹣1=4﹣1．即f（1）+2a的最小值為4﹣1．（2）當(dāng)b=﹣4a時(shí)，不等式f（x）＞﹣8，可化為ax2﹣4x﹣4a+8＞0，①當(dāng)a=0時(shí)，不等式即為﹣4x+8＞0，x＜2，②當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式即為（x﹣2）[x﹣（﹣2）]＞0，當(dāng)a＞1時(shí)，x＞2或x＜﹣2，當(dāng)a=1時(shí)，x≠2，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，x＞﹣2或x＜2，③當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式即為（x﹣2）[x﹣（﹣2）]，即﹣2＜x＜2，∴當(dāng)a＜0時(shí)不等式的解集為（﹣2，2），當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為（﹣∞，2），當(dāng)1＞a＞0時(shí)，原不等式解集為（﹣2，+∞）∪（﹣∞，2）當(dāng)a=1時(shí)，原不等式解集為（x|x≠2，x∈R}，當(dāng)a＞1時(shí)，原不等式解集為（2，+∞）∪（﹣∞，﹣2）略21.已知圓O：，直線.（1）若直線l與圓O交于不同的兩點(diǎn)A，B，當(dāng)∠AOB=時(shí)，求k的值.（2）若，P是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點(diǎn)為C、D，探究：直線CD是否過定點(diǎn)；（3）若EF、GH為圓O：的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形EGFH的面積的最大值.參考答案：（1）∵∠AOB=，∴點(diǎn)O到l的距離

………2分∴=·

………4分（2）由題意可知：O、P、C、D四點(diǎn)共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè).其方程為：即

又C、D在圓O：上∴

即

………7分由

得

∴直線CD過定點(diǎn)

………9分（3）設(shè)圓心Ogc直線EF、GH的距離分別為.則

………11分∴

∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，取“=”∴四邊形EGFH的面積的最大值為.