湖北省宜昌市榔坪中學高二數學理摸底試卷含解析

湖北省宜昌市榔坪中學高二數學理摸底試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.橢圓的長軸為，B為短軸一端點，若，則橢圓的離心率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.設向量a與向量b垂直，且，，則下列向量與向量共線的是（

）A.(1,8) B.(－16,－2) C.(1,－8) D.(－16,2)參考答案：B【分析】先利用向量與向量垂直，轉化為兩向量數量積為零，結合數量積的坐標運算得出的值，并求出向量的坐標，結合共線向量的坐標等價條件可得出選項?！驹斀狻恳驗橄蛄颗c向量垂直，所以，解得，所以，則向量與向量共線，故選：B?！军c睛】本題考查向量垂直與共線坐標的等價條件，解題時要充分利用這些等價條件列等式求解，考查計算能力，屬于中等題。3.已知在△中，點在邊上，且，，則的值為（

）A

0

B

C

D

-3參考答案：A4.下列各組函數中，表示同一函數的是（）A.與 B.與C.與 D.與參考答案：D【分析】通過求定義域，可以判斷選項A，B的兩函數都不是同一函數，通過看解析式可以判斷選項C的兩函數不是同一函數，從而只能選D．【詳解】A．f（x）=x+1的定義域為R，的定義域為{x|x≠0}，定義域不同，不是同一函數；B.的定義域為（0，+∞），g（x）=x的定義域為R，定義域不同，不是同一函數；C．f（x）=|x|，，解析式不同，不是同一函數；D．f（x）=x的定義域為R，的定義域為R，定義域和解析式都相同，是同一函數．故選：D．【點睛】考查函數的定義，判斷兩函數是否為同一函數的方法：看定義域和解析式是否都相同．5.已知向量與向量垂直，則z的值是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2參考答案：C【考點】M6：空間向量的數量積運算．【分析】利用向量垂直的性質直接求解．【解答】解：∵向量與向量垂直，∴=﹣2×4+3×1+（﹣5）×z=0，解得z=﹣1．故選：C．【點評】本題考查實數值的求法，考查向量垂直等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是基礎題．6.若、n是互不相同的空間直線，α、β是不重合的平面，則下列命題中為真命題的是（

）

A．若，則

B．若，則

C.

若則

D．若，則參考答案：D7.設函數在定義域內可導，的圖像如圖所示，則導函數的圖像可能為(

)A. B.C. D.參考答案：D【分析】通過原函數的單調性可確定導函數的正負，結合圖象即可選出答案.【詳解】由函數的圖象可知，當時，單調遞減，所以時，，符合條件的只有D選項，故選D.【點睛】本題主要考查了函數的單調性與導函數的符號之間的對應關系，屬于中檔題.8.兩條不平行的直線，其平行投影不可能是（）A．兩條平行直線 B．一點和一條直線C．兩條相交直線 D．兩個點參考答案：D【考點】平行投影及平行投影作圖法．【分析】兩條不平行的直線，要做這兩條直線的平行投影，投影可能是兩條平行線，可能是一點和一條直線，可能是兩條相交線，不能是兩個點，若想出現(xiàn)兩個點，這兩條直線需要同時與投影面垂直，這樣兩條線就是平行關系．【解答】解：∵有兩條不平行的直線，∴這兩條直線是異面或相交，其平行投影不可能是兩個點，若想出現(xiàn)兩個點，這兩條直線需要同時與投影面垂直，這樣兩條線就是平行關系．與已知矛盾．故選D．9.歐拉公式：為虛數單位），由瑞士數學家歐拉發(fā)明，它建立了三角函數與指數函數的關系，根據歐拉公式，（

）A.1 B.－1 C.i D.－i參考答案：B【分析】由題意將復數的指數形式化為三角函數式，再由復數的運算化簡即可得答案．【詳解】由得故選B．【點睛】本題考查歐拉公式的應用，考查三角函數值的求法與復數的化簡求值，是基礎題．10.設函數f′（x）是函數f（x）（x∈R）的導函數，f（0）=1，且3f（x）=f′（x）﹣3，則4f（x）＞f′（x）（）A．（，+∞） B．（，+∞） C．（，+∞） D．（，+∞）參考答案：B【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；63：導數的運算．【分析】容易求出f′（0）=6，結合條件便可得出函數f（x）的解析式，進而求出導函數，代入4f（x）＞f′（x），根據對數函數的單調性及對數的運算便可解出原方程．【解答】解：根據條件，3f（0）=3=f′（0）﹣3；∴f′（0）=6；∴f（x）=2e3x﹣1，f′（x）=6e3x；∴由4f（x）＞f′（x）得：4（2e3x﹣1）＞6e3x；整理得，e3x＞2；∴3x＞ln2；∴x＞；∴原不等式的解集為（，+∞）故選：B．【點評】本題考查導函數的概念，基本初等函數和復合函數的求導，對數的運算及對數函數的單調性，屬于中檔題二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.有三項不同的工作，每項工作只需要1人，每人承擔一項工作現(xiàn)有4個人可供挑選，則不同的安排方法有

種（用數字作答）。參考答案：24略12.已知直線y=（3a﹣1）x﹣1，為使這條直線經過第一、三、四象限，則實數a的取值范圍是．參考答案：【考點】確定直線位置的幾何要素．【分析】由于給出的直線恒過定點（0，﹣1）所以直線的斜率確定了直線的具體位置，由斜率大于0可求解a的范圍．【解答】解：因為直線y=（3a﹣1）x﹣1過定點（0，﹣1），若直線y=（3a﹣1）x﹣1經過第一、三、四象限，則其斜率大于0，即3a﹣1＞0，所以a＞．故答案為a．【點評】本題考查了確定直線位置的幾何要素，平面中，如果直線過定點，且傾斜角一定，則直線唯一確定，是基礎題．13.在平面直角坐標系xOy中，點M是橢圓上的點，以M為圓心的圓與x軸相切于橢圓的焦點F，圓M與y軸相交于P，Q兩點．若△PQM是銳角三角形，則該橢圓離心率的取值范圍是

．參考答案：14.函數在x=0處的導數=

。參考答案：2略15.已知點F是橢圓C：+=1（a＞b＞0）的左焦點，若橢圓C上存在兩點P、Q滿足=2，則橢圓C的離心率的取值范圍是

．參考答案：[，1）設P（（x1，y1），Q（x2，y2），F(xiàn)（﹣c，0），直線PQ：y=k（x+c），可得y1=﹣2y2．由，得（b2+a2k2）y2﹣2kcb2y﹣b4k2=0…②，…③由①②③得b2+a2k2=8c2，?8c2≥b2=a2﹣c2?9c2≥a2即可求解解：設P（（x1，y1），Q（x2，y2），F(xiàn)（﹣c，0），直線PF：y=k（x+c）．∵P、Q滿足=2，∴y1=﹣2y2…①由，得（b2+a2k2）y2﹣2kcb2y﹣b4k2=0…②，…③由①②得，代入③得b2+a2k2=8c2，?8c2≥b2=a2﹣c2?9c2≥a2?，∴橢圓C的離心率的取值范圍是[，1）故答案為[，1）16.函數f(x)＝x(x－m)2在x＝1處取得極小值，則m＝________.參考答案：1f′(1)＝0可得m＝1或m＝3.當m＝3時，f′(x)＝3(x－1)(x－3)，1<x<3，f′(x)<0；x<1或x>3，f′(x)>0，此時x＝1處取得極大值，不合題意，所以m＝1.17.一個籃球運動員投籃一次得3分的概率是，得2分的概率是，不得分的概率是（），已知他投籃一次得分的數學期望是2（不計其它得分），則的最大值是__________。參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知直線l的極坐標方程為（極軸與x軸的非負半軸重合，且單位長度相同），圓C的參數方程為（為參數）（Ⅰ）當時，求圓心C到直線l的距離；（Ⅱ）若直線l被圓C截的弦長為，求a的值.參考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）把直線的極坐標方程化為普通方程，再把圓的參數方程化為普通方程，求出圓心，利用點到線的距離公式求出圓心到直線的距離；（Ⅱ）利用弦心距、半徑、半弦長之間的關系建立關于的方程，從而解出的值?！驹斀狻浚á瘢┯苫癁橹苯亲鴺朔匠虨椋?，化為直角坐標方程為，圓心為，圓心到直線的距離為；

（Ⅱ）由化為直角坐標系方程為：，由（Ⅰ）知圓圓心坐標為，，故圓心到直線的距離為：，根據弦心距、半徑、半弦長之間的關系可得：，，解得;或（舍），所以；【點睛】本題考查把極坐標方程、參數方程轉化為普通方程，以及直線和圓位置關系的應用，屬于基礎題。19.（本小題滿分10分）已知均為實數，且，

求證：中至少有一個大于.（請用反證法證明）參考答案：證明：假設都不大于，即，得，

而，

即，與矛盾，

中至少有一個大于.20.已知命題p：方程x2+mx+1=0有兩個不相等的實根，命題q：關于x的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0對任意的實數x恒成立，若“p∨q”為真，“p∧q”為假，求實數m的取值范圍．參考答案：【考點】復合命題的真假．【分析】若命題p正確，則△＞0，解得m范圍．若命題q正確，則△＜0，解得m范圍．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p與q必然一真一假，即可得出．【解答】解：命題p：方程x2+mx+1=0有兩個不相等的實根，∴△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2．命題q：關于x的不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0對任意的實數x恒成立，∴△=4（m+1）2﹣4m（m+1）＜0，解得m＜﹣1．若“p∨q”為真，“p∧q”為假，則p與q必然一真一假，∴或，解得m＞2或﹣2≤m＜﹣1．∴實數m的取值范圍是m＞2或﹣2≤m＜﹣1．21.已知橢圓E：+=1（a＞b＞0）過點，且離心率e為．（1）求橢圓E的方程；（2）設直線x=my﹣1（m∈R）交橢圓E于A，B兩點，判斷點G與以線段AB為直徑的圓的位置關系，并說明理由．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】解法一：（1）由已知得，解得即可得出橢圓E的方程．（2）設點A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為H（x0，y0）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，利用根與系數的關系中點坐標公式可得：y0=．|GH|2=．=，作差|GH|2﹣即可判斷出．解法二：（1）同解法一．（2）設點A（x1，y1），B（x2，y2），則=，=．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，計算=即可得出∠AGB，進而判斷出位置關系．【解答】解法一：（1）由已知得，解得，∴橢圓E的方程為．（2）設點A（x1y1），B（x2，y2），AB中點為H（x0，y0）．由，化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，∴y0=．G，∴|GH|2==+=++．===，故|GH|2﹣=+=﹣+=＞0．∴，故G在以AB為直徑的圓外．解法二：（1）同解法一．（2）設點A（x1y1），B（x2，y2），則=，=．由，化為（m2+2）y2﹣2my﹣3=0，∴y1+y2=，y1y2=，從而==+y1y2=+=﹣+=＞0．∴＞0，又，不共線，∴∠AGB為銳角．故點G在以AB為直徑的圓外．22.（13分）某校為了探索一種新的教學模式，進行了一項課題實驗，甲班為實驗班，乙班為對比班，甲乙兩班的人數均為50人，一年后對兩班進行測試，測試成績的分組區(qū)間為[80，90）、[90，100）、[100，110）、[110，120）、[120，130），由此得到兩個班測試成績的頻率分布直方圖：（Ⅰ）完成下面2×2列聯(lián)表，你能有97.5%的把握認為“這兩個班在這次測試中成績的差異與實施課題實驗有關”嗎？并說明理由；

成績小于100分成績不小于100分合計甲班a=_________b=_________50乙班c=24d=2650合計e=______