集合論習題解析

集合論習題解析第1頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月一、集合基礎1.1與1.2集合運算1.3冪集第2頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1與1設A,B,C是任意3個集合，如果AB,BC,則AC可能嗎？AC常真嗎？舉例說明。第3頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月AC可能A={1},B={{1}},C={{1},{{1}}}AC不常真A={1},B={{1}},C={{{1}}}第4頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月2設A,B是任意2個集合，A

B與

AB同時成立，這可能嗎？第5頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月可能A={1},B={{1},1}.第6頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月3設A,B,C是集合，判斷下列命題真假，如果為真，給出證明；如果為假，給出反例：1)AB,BCAC;2)

AB,BCAC;3)

AB,BCAC;4)

AB,BCAC;5)aA,AB

aB.第7頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月1）假A={1},B={2},C={{2}}

2）假A={1},B={2},C={{1}}3）假A={1},B={{1}},C={{1},1}第8頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月4）假A={1},B={{1},1}，C={{1},2}5）真子集定義第9頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月4設A,B,C是U的子集，判斷下列命題真假，如果為真，給出證明；如果為假，給出反例：1)ABAB=B;2)ABAB=A;3)ABAB=A;4)ABAB=B;5)ABA(B-A)=B;6)BA(A-B)B=A;第10頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月1）假，A=B時不成立/*

與

不同*/分析：I)ABAB=B：因為BAB；對于任意xAB，如果xA,因為AB,所以xB,則對任意的xAB，xB成立。所以AB=B。II)A=B

AB=B，但AB不成立。第11頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月2）假，A={1}，B={1，2}，不成立；3）假，A=B時不成立；4）假，A={1}，B={1，2}，不成立；5）假，A=B時不成立6）假，A={1，2}，B={1}，不成立；第12頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2集合運算5設A,B,C是任意3個集合，（1）AB=AC，則B=C嗎？（2）AB=AC，則B=C嗎？（3）AB=AC且AB=AC，則B=C嗎？第13頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）假A={1,2},B={1},C={2}（2）假A={1},B={1,2},C={1,3}（3）真/*基本法、反證法證明*/設xB，假設xC。因為xB，所以x

AB；因為AB=AC，所以xAC；因為xC，所以x

A；又因為xB，所以xAB；因為AB=AC，所以xAC；則xC，這與xC矛盾。所以B=C。第14頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月6設A,B是任意2個集合，（1）若A-B=B，則A與B有何關系？（2）若A-B=B-A，則A與B有何關系？（3）若A

B=A

B，則A與B有何關系？（4）若AB=A，則A與B有何關系？/*用文氏圖輔助*/第15頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：(1)由A-B=B，可得出A=B=

。第16頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)由A-B=B-A，可導出A=B。第17頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)A=B第18頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月(4)B=

第19頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月7給出下列命題成立的充分必要條件（1）(A-B)(A-C)=A（2）(A-B)(A-C)=（3）(A-B)(A-C)=（4）(A-B)(A-C)=/*等式推導*/第20頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月解：(1)1)：設(A-B)(A-C)=A，對任意的x，xA，則xA-B或xA-C；則有第21頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月2）：設A

BC=，對任意的x，xA，則xB或xC，則有第22頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月對任意的x，x(A-B)(A-C)，則xA-B或

xA-C，則有第23頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）

(A-B)(A-C)=(A-B)=或(A-C)=

AB并且ACABC所以，充要條件為ABC。第24頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）1)設(A-B)(A-C)=，對任意的x，xA，x(A-B)并且x(A-C)；所以xB-A或xC-A；則有xB或xC；得xBC。所以ABC。2)ABCAB或AC；所以A-B=或A-C=。得(A-B)(A-C)=。從而，(A-B)(A-C)=ABC。第25頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（4）(A-B)(A-C)=((A-B)-(A-C))((A-C)-(A-B))=

(A-B)(A-C)并且(A-C)(A-B)

(A-B)=(A-C)第26頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3冪集7設A,B是任意2個集合，證明：（1）ABP(A)P(B)（2）P(A)P(B)A

B（3）P(A)=P(B)A=B第27頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月/*利用基本法證明集合的包含關系*/證明：(1)對任意的xP(A),有xA,又因為AB，所以xB,即xP(B)；所以P(A)P(B)。(2)/*證明方法同(1)；*/對任意的xA,則{x}P(A)，又因為P(A)P(B)，所以{x}P(B)，即xB；所以A

B。(3)由(1)和(2)的證明導出。第28頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月二、二元關系1設R是集合A上的關系（1）R是自反的，則RR是自反的；（2）R是對稱的，則RR是對稱的；（3）R是反自反和傳遞的，則R是反對稱的；第29頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月/*證明思想：根據(jù)定義給出的性質(zhì)證明*/證明：（1）證明思想與（2）和（3）相同（2）設(a,b)

RR,則存在c,(a,c)

R,(c,b)

R;因為R是對稱的，所以(b,c)

R,(c,a)

R;所以(b,a)

RR。則RR是對稱的。（3）假設(a,b)

R,(b,a)R。因為R是傳遞的，所以(a,a)R，(b,b)R；因為R是反自反的，所以導致矛盾。第30頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月2設R是A上的關系，若R是自反的和傳遞的，則R

R=R。其逆命題也成立嗎？證明思想：證明R

R=R，1）證明R

R

R；2）證明R

R

R：第31頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：1）證明R

R

R：設(a,b)

R

R，存在cA,使得(a,c)

R,(c,b)

R，因為R是傳遞的，所以(a,b)

R；則R

R

R；2）證明R

R

R：設(a,b)

R，R是自反的，(b,b)

R，所以(a,b)

R

R；則R

R

R。所以R

R=R。第32頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月自反不成立傳遞成立第33頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月特殊關系3設S={1,2,3,4}，并設A=SS，在A上定義關系R為：（a,b）R（c,d）當且僅當a+b=c+d。（1）證明R是等價關系；（2）計算出A/R。第34頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）證明：/*根據(jù)等價關系的定義證明*/1）/*證明R是自反的；*/對于任意的(a,b)SS，因為a+b=a+b，所以(a,b)R(a,b)，即R是自反的。2）/*證明R是對稱的；*/如果(a,b)R(c,d)，則a+b=c+d，那么有c+d=a+b；所以(c,d)R(a,b)，即R是對稱的。3）/*證明R是傳遞的；*/如果(a,b)R(c,d)，(c,d)R(e,f)，則a+b=c+d，c+d=e+f；所以a+b=e+f，得(a,b)R(e,f)，即R是傳遞的。第35頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）如果(a,b)R(c,d)，則a+b=c+d，所以根據(jù)和的數(shù)來劃分。第36頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月4設R,S是A上的等價關系，證明：R

S是A上的等價關系

R

S=S

R。第37頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月證明思想：1）R

S是A上的等價關系

R

S=S

R；證明(i)R

S

S

R；(ii)S

R

R

S；2）R

S=S

R

R

S是A上的等價關系；證明R

S是(i)自反的；(ii)對稱的；(iii)傳遞的；第38頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：1）R

S是A上的等價關系

R

S=S

R：如果(a,b)

R

S,因為R

S是對稱的，所以(b,a)

R

S,所以存在cA,使得(b,c)

R,(c,a)

S；因為R和S是對稱的，所以(c,b)

R,(a,c)

S；則(a,b)

S

R；同理，S

R

R

S；第39頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月2）R

S=S

R

R

S是A上的等價關系：/*證明R

S是自反的、對稱的比較容易*/第40頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月傳遞性證明：對任意a,b,cA，如果(a,b)

R

S,(b,c)

R

S，因為R

S=S

R，則有(b,c)

S

R，即存在e,fA，使(a,e)

R，(e,b)

S，(b,f)

S，(f,c)

R。因為S是傳遞的，(e,b)

S，(b,f)

S，所以(e,f)

S；因為(a,e)

R，所以(a,f)

R

S；R

S是對稱的，則(f,a)

R

S；因為R是對稱的，(f,c)

R，則(c,f)

R。因為(f,a)

R

S，則存在gA，使得(f,g)

R，(g,a)

S；因為R是傳遞的，由(c,f)

R，(f,g)

R，則(c,g)

R；因為(c,g)

R，(g,a)

S，所以(c,a)

R

S。因為已經(jīng)證明，R

S是對稱的，所以(a,c)

R

S。第41頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)12設f:XY是函數(shù)，A,B是X的子集，證明：（1）f(AB)f(A)f(B)（2）f(AB)=f(A)f(B)（3）f(A)-f(B)f(A-B)第42頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月/*基本法證明*/證明：（1）對任意的yf(AB)，存在x，xAB，使得y=f(x)。因為xA，所以yf(A)；因為xB，所以yf(B)。所以yf(A)f(B)。則f(AB)f(A)f(B)。第43頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月13設R是A上的一個二元關系，S={(a,b)|a,b

A并且對于某個c

A，有(a,c)

R且(c,b)

R}。證明：若R是A上的等價關系，則S是A上的等價關系。/*證明是S自反、對稱和傳遞*/第44頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月四、概念綜合練習一、選擇題（北京理工大學2000考研）1下列集合運算中（）對滿足分配律。A)B)C)ˉD)

第45頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月2A、B是集合，P(A)、P(B)為其冪集，且AB=，則P(A)P(B)=（）A)

B){}C){{}}D){,{}}第46頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月3A、B是集合，以下各式除（）之外，均與A

B等價。A)A

B

BB)AB=BC)AB=AD)ABB2第47頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月4R是集合A上的自反關系，則（）A)RоRB)R

RоRC)R

R-1=IAD)Rо

R-1=IA第48頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月5集合A中有n個元素，則A上共有（）個既對稱又反對稱的關系。A)0B)2nC)n2D)2n第49頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月6R是可傳遞的二元關系，則在RR-1,RR-1,R-R-1,R-1-R中，有（）個一定是可傳遞的。A)1B)2C)3D)4第50頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月7函數(shù)f:R

R，其中R為實數(shù)集合，下列四個命題中（）為真。A)f(x)=5是內(nèi)射的B)f(x)=5是滿射的C)f(x)=5是雙射的D)A),B),C)都不真第51頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月8集合A到B共有64個不同的函數(shù)，則B中元素不可能是（）個。A)4B)8C)16D)64第52頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月二、選擇題（北京理工大學1999）1已知A

B={1,2,3}，AC={2,3,4}，若2B，則

。A)1CB)2CC)3CD)4C第53頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月2對任何二元關系R，在RR-1,RR-1,RR-1,RR-1中有

個一定是對稱關系。A)1B)2C)3D)4第54頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月3R={(1,4),(2,3),(3,1),(4,3)},則

t(R)。A)(1,1)B)(1,2)C)(1,3)D)(1,4)第55頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月集合論——考研習題考研習題一、集合基礎二、二元關系三、函數(shù)第56頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月一、集合基礎1.1集合運算——容斥原理1.2集合運算——證明1.3冪集1.4相類似的練習題目第57頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月1.1集合運算——容斥原理中國科學院自動化所1997120個學生參加考試，考試有A、B和C3道題，考試結(jié)果如下：12個學生3道題都做對了，20個學生做對A和B，16個學生做對A和C，28個學生做對B和C，做對A的有48個學生，做對B的有56個學生，有16個學生一道也沒有做對。試求做對了C的學生有多少個？直接使用容斥原理第58頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月解：設做對A題的學生集合為PA，做對B題的學生集合為PB，做對C題的學生集合為PC。/*根據(jù)容斥原理，列出計算式*/|PAPBPC|=12,|PAPB|=20,|PAPC|=16,|PBPC|=28,|PA|=48,|PB|=56,

第59頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月/*根據(jù)容斥原理，進行計算*/|PAPBPC|=120-16,|PAPBPC|=|PA|+|PB|+|PC|-|PAPB|-|PAPC|-|PBPC|+|PAPBPC|,所以|PC|=20+16+28+104-12-48-56=52，做對C題的學生為52人。第60頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月容斥原理解題總結(jié)使用容斥原理時，首先搞清論域，劃定全集；其次對全集進行分類，列出計算式；最后根據(jù)容斥原理的公式進行計算。第61頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月北京師范大學2001證明容斥原理：設A1,A2,……,An都是有限集，則|A1A2

……An|=其中：{i1,i2,…in}是遍歷{1,2,…,n}的所有k元子集。/*證明思想：數(shù)學歸納法*/第62頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：1）歸納基礎：當k=2時，集合A1和A2的公共元素個數(shù)為|A1A2|，這些元素中的每一個在|A1|+|A2|里計算了兩次，但在|A1A2|中是作為一個元素計算的。因此有|A1A2|=|A1|+|A2|-|A1A2|。所以，當n=2時，命題成立。第63頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月2）歸納步驟：第64頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月當k=n時，|A1A2

……An|=|(A1A2

……An-1)An|=|(A1A2

……An-1)|+|An|-|(A1A2

……An-1)An|因為|(A1A2

……An-1)An|=|(A1An)(A2An)……(An-1An)|/*n-1個集合的并，根據(jù)歸納假設展開*/第65頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月北京師范大學2000設S為任一集合，證明在S與其冪集P(S)之間不存在1-1對應。第66頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月1.2集合運算——證明基本法、公式法第67頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月中國科學院軟件所19981對于任意集合A和B，證明:(1)P(A)P(B)P(AB),

(2)P(A)P(B)=P(AB)；并舉例說明P(A)P(B)P(AB)。/*冪集的定義：P(A)={x|xA}*/第68頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）/*基本法*/對任意的x

P(A)P(B)，有x

P(A)或xP(B)。若x

P(A)，則x

A，所以x

AB，即x

P(AB)；同理，若xP(B)，則xB，所以x

AB，即x

P(AB)。綜上所述，P(A)P(B)P(AB)。第69頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）/*基本法*/對任意的xP(A)P(B)，有x

P(A)且xP(B)。即x

A并且xB，則x

AB。所以xP(AB)。故P(A)P(B)P(AB)。對任意的xP(AB)，有x

AB，即x

A并且xB，所以x

P(A)且xP(B)。因此P(AB)P(A)P(B)。綜上所述，P(A)P(B)=P(AB)。第70頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月舉例說明P(A)P(B)P(AB)。A={1},B={2},AB={1,2};P(A)={,{1}},P(B)={,{2}},P(A)P(B)={,{1},{2}},P(AB)={,{1},{2},{1,2}};所以P(A)P(B)P(AB)。第71頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月中國科學院計算所19982證明：若(A-B)(B-A)=C，則A(B-C)(C-B)的充分必要條件是ABC=。證明思想：（1）充分性，即證明：若ABC=，則A(B-C)(C-B)；基本法證明；（2）必要性，即證明：若A(B-C)(C-B)，則ABC=；反證法證明。第72頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：（1）對于任意的aA，因為ABC=，所以aBC，則a有3種情況：I)aB，但aC，則aC-B，所以a(B-C)(C-B)；II)aB，但aC，則aB-C，所以a(B-C)(C-B)；III)aB且aC，因為aA，所以aA-B，所以a

(A-B)(B-A)，即aC，導致矛盾，所以aB且aC不可能出現(xiàn)。綜上所述，對于任意的aA，a

(A-B)(B-A)，所以A(B-C)(C-B)。第73頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：（2）假設ABC，則存在a，a

ABC，即a

A，aB，且aC。所以aB-C，aC-B。則a(B-C)(C-B)。因為A(B-C)(C-B)，a

A，所以導致矛盾。所以ABC=。第74頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月北京大學19983給出集合表達式(A-C)B=AB成立的充要條件.第75頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月

第76頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月北京大學1994判斷題，為真給出證明，為假給出反例：1）{}{x}-{{x}}2）若AB=AC，則B=C。3）R是A上的關系，則R=R2的充要條件是R=IA。第77頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月1.3冪集冪集運算：代數(shù)法第78頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月北京大學19971設A為集合，B=P(A)-{

}-{A}，且B

。求偏序集(B,

)的極大元，極小元，最小元。第79頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月因為B

，所以|A|>1。對任意xA,A-{x}是極大元，{x}是極小元，無最小元。第80頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月北京大學19992設A={

,{

}}，計算P(A)-{

},

P(A)

A。第81頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月/*代數(shù)法求P(A)*/設x=

,y={

}，A={x,y},P(A)={

,{x},{y},{x,y}};P(A)={

,{

},{{

}},{

,{

}}};P(A)-{

}={

,{{

}},{

,{

}}};P(A)

A={{{

}},{

,{

}}};第82頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月上海大學19983設A是集合，A的元素也是集合，P(A)是A的冪集。定義A={x|yA,xy}（1）計算{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}；（2）證明P(A)=A；（3）請問P(A)=A？解題要素：A（廣義并）和冪集的定義；基本法第83頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（1）計算{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}解：

{{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}={a,b,c}{a,d,e}{a,f}={a,b,c,d,e,f}第84頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）證明P(A)=A證明：對任意xP(A)，則存在yP(A)，xy；因為yP(A)，所以yA；因此xy，則有P(A)A；對任意xA，設y={x}，則yA。所以yP(A)。因此xP(A)。所以P(A)=A。第85頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）請問P(A)=A？不成立。反例：（1）

A={{a,b,c},{a,d,e},{a,f}}A={a,b,c,d,e,f}P(A)A第86頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月上海交通大學19984C是非空集合族，證明：P(C)={P(X)|XC}證明方法：基本法，集合族的概念第87頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月證明：任取x

P(C)，則xC，所以對于任意的ax，有aC；對于任意的XC，有aX；那么xX，即x

P(X)。由X的任意性，也即x{P(X)|XC}。所以P(C){P(X)|XC}。任取x{P(X)|XC}，則對于任意的XC，有xP(X)，即xX。因為XC，對于任意的ax，有aX；因此aC。所以xC，即x

P(C)。所以{P(X)|XC}P(C)。所以P(C)={P(X)|XC}。第88頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月中科院成都計算所20005設A是一有限集，A的基數(shù)為|A|。證明：A的冪集P(A)的基數(shù)|P(A)|=2|A|。第89頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月1.4相類似的題目1A,B是兩個集合，給出AB=B的充分必要條件是什么，并證明你的結(jié)論。/*南京理工大學2000*/第90頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月2判斷下列各式是否成立，如果成立，則證明之，否則舉出反例。（1）P(A)P(B)=P(AB),

（2）(AB)C=(AC)(BC)上海交通大學2001第91頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月3證明P(A)P(B)P(AB)，并說明等號成立的條件。上海交通大學1999第92頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月4設A,B,C,D為4個非空集合，則ABCD的充分必要條件是

。/*重慶大學1998*/第93頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月二、二元關系關系及其性質(zhì)與運算等價關系與劃分序關系第94頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月關系及其性質(zhì)與運算第95頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月北京大學19971設R={(x,y)|x,yN并且x+3y=12}，求R2。解題思路：將R的所有元素列出，求R與它本身復合所得的關系第96頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月解：R={(0,4),(3,3),(6,2),(9,1),(12,0)}R2={(3,3),(12,4)}第97頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月北京大學19902設R是復數(shù)C上的二元關系，且滿足xRyx-y=a+bi，a和b為非負整數(shù)，試確定R的性質(zhì)（自反、反自反、對稱、反對稱和傳遞），并證明之。第98頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月北京大學19943判斷題，為真給出證明，為假給出反例：R是A上的二元關系，則R=R2

R=IA。第99頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月武漢大學19994設A={a,b,c}，給出A上的一個二元關系R，使其同時不滿足自反、反自反、對稱、反對稱和傳遞性。第100頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月武漢大學19985設A={1,2,3}，R是P(A)上的二元關系，且R={(a,b)|ab}。則R不滿足下列哪些性質(zhì)？為什么？1)自反2)反自反3)對稱4)反對稱5)傳遞性第101頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月等價關系與劃分第102頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月中科院成都計算所20011設R是集合A上的一個傳遞的和自反的關系，T是A上的一個關系，使得(a,b)屬于T當且僅當(a,b)和(b,a)都屬于R。證明：T是一個等價關系。第103頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月西南交通大學19972設X和Y都是正整數(shù)集，xiX,yiY,i=1,2.[1]下列關系是否是等價關系？證明你的結(jié)論。1)R={((x1,x2),(y1,y2))|x1+y2=x2+y1}2)R={((x1,x2),(y1,y2))|x1+y1=x2+y2}[2]若R是等價關系，定義集合M,M={(0,2),(1,2),(2,4),(3,4),(4,6),(5,6),……}。試給出它的等價類。第104頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月西南交通大學19983設S={1,2,3}，定義SS上的關系R為：對任意(a,b),(c,d)SS，有((a,b),(c,d))a+d=b+c，證明：R為SS上的等價關系并給出SS/R。第105頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月上海交通大學20014設P是X上的等價關系，Q是Y上的等價關系，關系R滿足((x1,y1),(x2,y2))R當且僅當(x1,x2)P，(y1,y2)Q，證明：R是X

Y上的等價關系。第106頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月南京理工大學20005R是集合A上等價的二元關系，證明R2也是A上的等價關系。第107頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月序關系第108頁，課件共126頁，創(chuàng)作于2023年2月西