江西省新余市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題卷【含答案解析】

新余市2023-2024學(xué)年度上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題卷一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)有，再由即可得解.【詳解】由組合數(shù)性質(zhì)知，，因?yàn)?，所以，所以，?故選：C.2.若直線與直線平行，則與之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)兩直線平行求出參數(shù)的值，再利用兩平行線之間的距離公式即可得解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，與重合，不符合題意；當(dāng)時(shí)，與平行，符合題意；此時(shí)，可化為，則與之間的距離.故選：D.3.已知點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，O是平面外任意一點(diǎn)，正實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)，結(jié)合基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】因?yàn)?，且四點(diǎn)共面，由空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)可知，即，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故選：B.4.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力.據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約的人近視，而該校大約有的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1小時(shí)，這些人的近視率約為，現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1小時(shí)的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定信息，結(jié)合全概率公式列式求解作答.【詳解】令“玩手機(jī)時(shí)間超過(guò)的學(xué)生”，“玩手機(jī)時(shí)間不超過(guò)的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥，，，依題意，，解得，所以所求近視的概率為.故選：B5.設(shè)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，且點(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為1，則的面積為（）A.2 B.3 C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意結(jié)合橢圓的定義求出，又因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜汕蟪?，再求出，由三角形的面積公式即可得出答案.【詳解】因?yàn)闄E圓的方程為：，則，，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是橢圓上一點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)P到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差為1，所以假設(shè)，則，解得：，又因?yàn)椋谥?，由余弦定理可得：，所以，所以的面積為：.故選：C.6.某街道選派7名工作人員到A，B，C三個(gè)小區(qū)進(jìn)行調(diào)研活動(dòng)，每個(gè)小區(qū)至少去1人，恰有兩個(gè)小區(qū)所派人數(shù)相同，則不同的安排方式共有（）A.1176 B.2352 C.1722 D.1302【答案】A【解析】【分析】由排列、組合知識(shí)及兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，結(jié)合分組分配問(wèn)題求解即可．詳解】某街道疫情防控小組選派7名工作人員到A，B，C三個(gè)小區(qū)進(jìn)行調(diào)研活動(dòng)，若每個(gè)小區(qū)至少去1人，恰有兩個(gè)小區(qū)所派人數(shù)相同，共有三種方案：1,1,5；2,2,3；3,3,1，不同的安排方式共有＝1176，故選：A．7.如圖，在四棱柱中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，與交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可表示，再結(jié)合向量數(shù)量積公式可得的模.【詳解】在四棱柱中，四邊形是平行四邊形，又與交于點(diǎn)，所以是的中點(diǎn)，所以，又，，，所以，即，故選：A．8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)瑰寶《九章算術(shù)》中記載了一種稱為“曲池”的幾何體，該幾何體為上、下底面均為扇環(huán)形的柱體（扇環(huán)是指圓環(huán)被扇形截得的部分）．現(xiàn)有一個(gè)如圖所示的曲池，其中底面，底面扇環(huán)所對(duì)的圓心角為，扇環(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑之比為1：2，，，E是的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求解異面直線與所成角的余弦值.【詳解】設(shè)上底面圓心為，下底面圓心為，連接，，在下底面作，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：因?yàn)樯拳h(huán)對(duì)應(yīng)的兩個(gè)圓的半徑之比為1：2，，所以，得，則即，即，，，，，，，.所以，又異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為.故選：B.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，不選或有選錯(cuò)的得0分）9.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知且，則B.已知，則越小，越大C.已知，且，則，D.若變量y關(guān)于x的線性回歸方程為且，，則【答案】BCD【解析】【分析】利用正態(tài)分布的性質(zhì)判斷AB；利用二項(xiàng)分布的期望與方差列式判斷C；利用線性回歸方程必過(guò)樣本中心列式判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榍遥?，故A錯(cuò)誤;對(duì)于B，因?yàn)?，所以越小，的概率曲線越集中于對(duì)稱軸處，而，所以越大，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋?，，而，所以，解得，故C正確;對(duì)于D，變量y關(guān)于x的線性回歸方程為，且，，所以，解得，故D正確.故選：BCD10.當(dāng)下新能源汽車備受關(guān)注，某?！熬G源”社團(tuán)對(duì)“學(xué)生性別和喜歡新能源汽車是否有關(guān)”做了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡新能源汽車的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認(rèn)為是否喜歡新能源汽車和性別有關(guān)，則調(diào)查人數(shù)中男生有可能的人數(shù)為（）附：A.68 B. C.70 D.71【答案】CD【解析】【分析】設(shè)男女生總?cè)藬?shù)為，根據(jù)題目得到列聯(lián)表，計(jì)算，得到答案.【詳解】設(shè)男女生總?cè)藬?shù)為，則男生喜歡新能源汽車的人數(shù)，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的.則列出聯(lián)表如下：類別喜歡新能源汽車不喜歡新能源汽車小計(jì)男生女生小計(jì)...所以，即，所以，故選：CD11.在某次太空旅行中，宇航員們要對(duì)需要完成的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)科學(xué)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行排序，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若A，B相鄰，則不同的排序種數(shù)有240種B.若C，D相隔一個(gè)實(shí)驗(yàn)，則不同的排序種數(shù)有96種C.若E不在第一個(gè)，F(xiàn)不在最后一個(gè)，則不同的排序種數(shù)有504種D.A排在B，C之前的概率為【答案】ACD【解析】分析】對(duì)于ABC，根據(jù)題意結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)分析求解；對(duì)于D，根據(jù)排列組合結(jié)合古典概型分析求解.【詳解】對(duì)于A，若A，B相鄰，則不同的排序種數(shù)有種，故A正確；對(duì)于B，若C，D相隔一個(gè)實(shí)驗(yàn)，則不同的排序種數(shù)有種，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若E不在第一個(gè)，F(xiàn)不在最后一個(gè)，則不同的排序種數(shù)有種，故C正確；對(duì)于D，A排在B，C之前的概率為，故D正確.故選：ACD.12.已知雙曲線：的左右焦點(diǎn)分別為，，實(shí)軸長(zhǎng)為8，離心率為，點(diǎn)，，是雙曲線上的任意兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作雙曲線的兩條漸近線的垂線，垂足分別為，兩點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）A.若點(diǎn)滿足，則的周長(zhǎng)為52B.若點(diǎn)在雙曲線的左支，則的最小值為13C.存在點(diǎn)，使得D.若直線的斜率為，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，則或【答案】ABD【解析】【分析】由題意首先得到雙曲線方程以及漸近線方程，選項(xiàng)A，根據(jù)雙曲線定義運(yùn)算即可判斷；選項(xiàng)B，畫(huà)出圖形，通過(guò)三角形兩邊之和大于第三邊即可判斷；對(duì)于C通過(guò)基本不等式可求得的最小值，從而即可判斷；對(duì)于D，聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，結(jié)合韋達(dá)定理、判別式垂直平分線的求法即可判斷.【詳解】由題可知，所以，，，雙曲線：，漸近線為即.選項(xiàng)A，若，則，所以，，則的周長(zhǎng)為，所以選項(xiàng)A正確.選項(xiàng)B，，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線且點(diǎn)線段上時(shí)(即點(diǎn)與點(diǎn)重合)取最小值.所以選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C，設(shè)，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)為或時(shí)，取最小值.所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，聯(lián)立得，所以，，由得，即或；線段的中點(diǎn)為，所以線段的垂直平分線方程為，令得，由得或，所以選項(xiàng)D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于A選項(xiàng)的判斷較為常規(guī)，判斷B選項(xiàng)的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，判斷C選項(xiàng)的關(guān)鍵是通過(guò)比較的最小值和的大小，判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，利用韋達(dá)定理、判別式來(lái)解決.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.若的展開(kāi)式中的系數(shù)為2025，則實(shí)數(shù)_______．【答案】【解析】【分析】利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出的項(xiàng)的系數(shù)，結(jié)合，即可得的值．【詳解】因?yàn)?，的通?xiàng)公式為，所以的系數(shù)為，解得．故答案為：.14.某袋中裝有大小相同質(zhì)地均勻的黑球和白球共5個(gè)．從袋中隨機(jī)取出3個(gè)球，已知取出的3個(gè)球全為黑球的概率為，若記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為X，則______．【答案】【解析】【分析】利用組合與古典概型求得黑球的個(gè)數(shù)，從而求得的分布列，進(jìn)而求得的期望，由此得解.【詳解】依題意，設(shè)黑球的個(gè)數(shù)為，由，得，則，記取出3個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，的取值可以為1，2，3；，，，則分布列如下：123所以.故答案為：.15.已知直線，直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】由曲線表示以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的下半圓，考察直線過(guò)點(diǎn)以及直線與曲線相切，利用直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】直線的方程可化為即為，所以，直線是過(guò)點(diǎn)，且斜率為的直線，由可得，可得，整理可得，即，所以，曲線表示以點(diǎn)為圓心，以為半徑的圓的下半圓，如圖所示：其中，，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，則圓心到直線的距離為，且，整理可得，解得（舍去）或，若直線與曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖象知：實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)直線，，，且，聯(lián)立拋物線方程得關(guān)于的一元二次方程，從而可求得，，再利用拋物線的定義即可求得，再結(jié)合基本不等式即可得最小值．【詳解】依題意可得直線的斜率存在，設(shè)直線，，，且，聯(lián)立，得，則，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為．故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，17題10分，18~22題各12分，共70分．解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程和演算步驟）17.已知直線l和圓（1）若直線l過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，求直線l的方程；（2）過(guò)點(diǎn)引直線與圓C相切，切點(diǎn)為N，求線段MN的長(zhǎng)．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）討論所求直線是否過(guò)原點(diǎn)，分別求出對(duì)應(yīng)方程即可；（2）利用直線與圓相切的性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)距離公式與勾股定理即可得解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，直線的方程是，即.當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，把點(diǎn)代入方程得，則直線的方程是.綜上，所求直線的方程為或【小問(wèn)2詳解】因?yàn)閳A可化為，則圓的圓心為，半徑為，如圖，因?yàn)橹本€相切于圓，所以，又，，所以.18.為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營(yíng)造良好的文化氛圍，增強(qiáng)文化自覺(jué)和文化自信，某區(qū)組織開(kāi)展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項(xiàng).據(jù)統(tǒng)計(jì)，中小學(xué)生參與該項(xiàng)知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)的人數(shù)共計(jì)4.8萬(wàn)，其中獲獎(jiǎng)學(xué)生情況統(tǒng)計(jì)如下：獎(jiǎng)項(xiàng)組別單人賽PK賽獲獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)中學(xué)組4040120100小學(xué)組3258210100（1）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組的概率；（2）從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以表示這2人中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中來(lái)自中學(xué)組的人數(shù)為，來(lái)自小學(xué)組的人數(shù)為，試判斷與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析，期望（3），理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用條件概率公式求概率即可；（2）由題設(shè)可能值為，結(jié)合表格數(shù)據(jù)及超幾何分布概率公式求分布列，進(jìn)而求期望；（3）由，應(yīng)用方差的性質(zhì)判斷的數(shù)量關(guān)系即可.【小問(wèn)1詳解】若事件表示抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，事件表示抽到的學(xué)生來(lái)自中學(xué)組，所以抽到的1個(gè)學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，學(xué)生來(lái)自中學(xué)組的概率為，由表格知：，則.【小問(wèn)2詳解】由題意，可能值為，，，，的分布列如下：012所以.【小問(wèn)3詳解】由題設(shè)知，所以.19.已知二項(xiàng)式．（1）若，，求二項(xiàng)式的值被7除的余數(shù)；（2）若它的二項(xiàng)式系數(shù)之和為128，求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）代入，，將二項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為，利用二項(xiàng)式定理即可得解；（2）先由題意求得，再利用二項(xiàng)展開(kāi)通項(xiàng)公式得到關(guān)于系數(shù)最大的項(xiàng)的不等式組，解之即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，顯然能被7整除，，所以二項(xiàng)式的值被7除的余數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈亩?xiàng)式系數(shù)之和為128，，則的展開(kāi)通項(xiàng)公式為，假設(shè)展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第項(xiàng)，則，即，即，解得，所以展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第6，7項(xiàng)，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問(wèn)解決的關(guān)鍵是熟練掌握組合數(shù)公式，從而得解.20.某地政府為解除空巢老人日常護(hù)理和社會(huì)照料的困境，大力培育發(fā)展養(yǎng)老護(hù)理服務(wù)市場(chǎng)．從年開(kāi)始新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)，下表為該地區(qū)近年新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的數(shù)量對(duì)照表．年份2017201820192020202120222023年份代碼1234567新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)（1）若該地區(qū)參與社區(qū)養(yǎng)老的老人的年齡近似服從正態(tài)分布，其中年齡的有人，試估計(jì)該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人有多少？（結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）（2）已知變量與之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)求出關(guān)于的線性回歸方程，并據(jù)此估計(jì)年時(shí)，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的數(shù)量．（結(jié)果按四舍五入取整數(shù)）參考公式與數(shù)據(jù)：①，.；②若隨機(jī)變量，則，，；③，.【答案】（1）約為人（2）回歸方程為；約為個(gè).【解析】【分析】（1）利用原則求出的值，即可求得該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人人數(shù)為；（2）計(jì)算出的值，可求出的值，可求得的值，利用參考數(shù)據(jù)可求得的值，由此可得出回歸直線方程，然后將代入回歸直線方程可得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】解：由題意可知，，，則，，所以，，所以，估計(jì)該地參與社區(qū)養(yǎng)老的老人人數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】解：由表格中的數(shù)據(jù)可得，所以，，由已知條件可得，所以，，所以，，又因?yàn)椋@然，解得，則，所以，關(guān)于的回歸直線方程為，當(dāng)時(shí)，.估計(jì)年時(shí)，該地區(qū)新建社區(qū)養(yǎng)老機(jī)構(gòu)的數(shù)量約為個(gè).21.在四棱錐中，已知，，，，，，是線段上的點(diǎn)．（1）求證：底面；（2）是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，且【解析】【分析】（1）首先證明面，可得出，利用勾股定理的逆定理可證得，再結(jié)合線面垂直的判定定理，即可證明面；（2）以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，且，求平面的法向量，利用，即可求得的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】證明：在中，，，所以.在中，，，，