期中期末復(fù)習(xí)之三角形的初步知識-中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)（浙教版）（解析版）

專題6.1三角形的初步知識二十必考點

【浙教版】

【考點1三角形的三邊關(guān)系的運用】............................................................1

【考點2根據(jù)三角形的中線求面積或長度】......................................................4

【考點3與三角形內(nèi)角和有關(guān)的計算問題】......................................................8

【考點4三角形的外角性質(zhì)的運用】...........................................................20

【考點5利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】.....................................................27

【考點6將已知圖形分割成幾個全等的圖形】...................................................30

【考點7添加條件使三角形全等】.............................................................33

【考點8靈活選用判定方法證明全等】.........................................................37

【考點9尺規(guī)作圖與全等的綜合運用】.........................................................42

【考點10證明全等的常見輔助線的作法】.......................................................46

【考點H證一條線段等于兩條線段的和（差）】.................................................54

【考點12全等中的倍長中線模型1.....................................................................................65

【考點13全等中的旋轉(zhuǎn)模型1...........................................................................................75

【考點14全等中的垂線模型】..................................................................82

【考點15全等中的其他模型】..................................................................91

【考點16全等三角形的動點問題】.............................................................97

【考點17尺規(guī)作圖作角平分線】..............................................................103

【考點18角平分線的判定與性質(zhì)的綜合求值】..................................................106

【考點19角平分線的判定與性質(zhì)的綜合證明】..................................................112

【考點20角平分線的實際應(yīng)用】..............................................................121

二

【考點1三角形的三邊關(guān)系的運用】

【例1】（2022?全國?八年級課時練習(xí)）已知α,4C是一個三角形的三邊長，化簡∣24+6-c∣-|上-2--c∣+∣

-a-b-2cI.

【答案】a+3b

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到2“+〃-c>0,b-2a-c<0,-a-h-2c<0,再去絕對值，合并同類項

即可求解.

【詳解】解：0α,b,c是三角形的三邊，

El由a+b-c>0彳m2a+b-c>0,

由b-（a+c）<0得b-2α-c<0,

由-4-6-c<0得-a-b-2c<O,

SI原式=(2a+b-c)+Cb-2a-c)+(.a+b+2c~)

=a+3b.

【點睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，絕對值的性質(zhì)，整式的加減，關(guān)鍵是得到加+〃-c?>O,b-2a-c<0,

-a-h-2c<0.

【變式1-1]（2022?四川,渠縣第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列各組三條線段中，不是三角形三邊長的是（）

A.2cm,2cm,3cmB.3cm,8cm,IOcm

C.三條線段之比為1：2：3D.3a,5a,44（α>0）

【答案】C

【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形的條件逐項判斷即可.構(gòu)成三角形的條件：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于

第三邊，只要驗證較小兩邊長之和是否小于最長邊即可.

【詳解】解：A.2+2>3,能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；

B.3+8>ll,能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；

C.設(shè)最小邊為小則剩余兩邊是2α?3α.a+2a=3a,不能構(gòu)成三角形，故此選項符合題意；

D.因為a>0,所以3α+4α>5α,能構(gòu)成直角三角形，故此選項不合題意

故選：C.

【點睛】本題考查構(gòu)成三角形的條件，解題的關(guān)鍵是計算較小兩邊之和和是否大于最大邊長.

【變式1-2]（2022?全國?八年級專題練習(xí)）已知：如圖，點。是S4BC內(nèi)一點.求證：

A

(1)BD+CD<AB+AC↑

(2)AD+BD+CD<AB+BC+AC.

【答案】⑴見解析

(2)見解析

【分析】（1）延長BO交AC于E,從而找到BZ>+Cz）與A8+AC的中間量BE+CE,再利用不等式的傳遞

性（若“<?,b<c,則o<c.）得出8Q+CD<AB+AC；

（2）同理可得AO+CD<A8+8C,BD+AD<HC+AC,與（1）結(jié)論左邊加左邊，右邊加右邊，再兩邊除以2即

可.

(1)

證明：延長8。交AC于E,

在ElABE中，AB+AE>BE,

SAB+AC=AB+AE+CE>BE+CE,

在團Er)C中，有DE+CE>CD,

EIBE+CE=BD+DE+CE>BD+CD,

^AB+AC>BE+CE>BD+CD,

^BD+CD<AB+AC;

(2)

解：由(1)同理可得：

BD+CD<AB+AC@,

AD+CD<AB+BC(2),

BD+AD<BC+AC(3),

①+②+③得：2(AD+BD+CD')<2(AB+BC+AC),

SAD+BD+CD<AB+βC+AC.

【點睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系，不等式的性質(zhì)，能否根據(jù)題意添加輔助線和利用不等式的性質(zhì)是解

題的關(guān)鍵.

【變式1-3](2022?全國■八年級專題練習(xí))一個三角形的3邊長分別是XCm、(3x—3)cm,(x+2)cm,它

的周長不超過39cm?則X的取值范圍是()

A.I<X<5B.5<X≤8C.I<X≤8D.1<x<5

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系和周長不超過39Cm可列出不等式組求解即可.

X+(3x—3)>%+2

【詳解】解：根據(jù)題意，可得｛"等谷=.

X+(3x—3)÷(x+2)≤39

5

X>-

3

x<5

回Γ

tx1

>-

x3

8

_<

叱<x<5.

故選：A.

【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系和解不等式組，根據(jù)條件列出不等式組求解是解題的關(guān)鍵.

【考點2根據(jù)三角形的中線求面積或長度】

【例2】（2022?山東?新泰市羊流鎮(zhèn)初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，在AABC中，已知點。、E分別為邊

BC、AO上的中點，且SAA8c=4cm2,貝IJSABEC的值為（）

B.Icm2C.0.5cm2D.0.25cm2

【答案】A

【分析】首先根據(jù)E為A。的中點，可得BE、CE分別是AA8O?AACO的中線，然后根據(jù)三角形的中線把

二角形分成面積相同的兩部分，可得SABDE=ISAABSACDE=~^ΔACD,所以SABEC=&SA4BC，據(jù)此求出SABEC

的值為多少即可.

【詳解】解：SIE為AD的中點，

EI8E、CE分別是A4BD?Z?4CC的中線，

回SABOE=3SAAB。、SACDE=J?^?4CD,

國SABEC=萬SAABC=3X4=2（cm2），

即SABEC的值為2cm2.

故選：A.

【點睛】此題還考查了三角形的中線的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的中線把三角形分

成面積相同的兩部分.

【變式2-1］（2022?山東?寧陽縣第十一中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，?AβCψ,AB=10,AC=8,點。是

8C邊上的中點，連接AO,若SIACo的周長為20,則AABO的周長是

A

【分析】根據(jù)線段中點的概念得到3Z>CZ）,根據(jù)三角形的周長公式計算即可.

【詳解】解：團點。是8C邊上的中點，

^}BD=CD,

EEAeD的周長為20,

^AC+AD+CD=20,

0AC=8,

^AD+CD=AD+BD=12,

SAB=IO,

00ΛBD的周長=AB+Af>+BD=22,

故答案為：22

【點睛】本題考查的是三角形的中線的概念，掌握三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的

中線是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（2022?四川?麓山師大一中七年級期中）如圖，在△?!BC中0、F為Be上的點，且F為CD的中點,

CD=2BD,連接∕D,E是AD的中點，連接BE、EF、EC,若SAoEF=3,則△/!BC的面積是.

【分析】先證明8。=。F=CF,利用三角形面積公式得到SABOE=SADEF=3,再利用E是4。的中點得到底旗。=

6,然后利用BC=38。得到SAABC=3SA4BD.

【詳解】解：???F為CD的中點，CD=2BD,

???BD=DF—CF,

?'?SABDE~SADEF-3,

???E是AD的中點，

λSA480=2S>BDE=2X3=6,

???CD=2BD,

?BC=3BD,

λSAABC~3SMBO=3×6=18.

故答案為：18.

【點睛】本題考查了三角形的面積：三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即SmX底X高；三角形的

中線將三角形分成面積相等的兩部分.

【變式2-3］（2022?江蘇?宜興外國語學(xué)校七年級階段練習(xí)）設(shè)aABC的面積為“,如圖①將邊BC、AC分

別2等份，BEi,相交于點O,"OB的面積記為Si；如圖②將邊BC、AC分別3等份，BEl,AO/相

交于點O,XAOB的面積記為S2i......,依此類推，若S5=。則α的值為（）

A.1B.2C.6D.3

【答案】D

【分析】利用三角形的面積公式，求出前三個圖形的面積，再得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律列出方程便可求得α.

【詳解】解：在圖①中，連接Oa

圖①

VAE1=CE1,BD1=CD1,

λ=SAOCEJSAoBDa=SAOCDV=S△工BDl=]SRABC

v

SAOAEI=SMBG一SAOAB'SAOBDT=^?ABD1-SAOAB'

f

?^?OAE1=SAOBDI

?AOAE1=SAOCEi=S20BD?=SAOCD/

,Xf

設(shè)S404El=5ΔOCE1=SaOBD?=S>OCD?=則

ISI+x="

ISl÷4x=α

解得Sl=?ɑ;

在圖②中，連接OE2、OC.OD2,

HODxD2-SXOCD2'

X,

設(shè)SAOAEI=SAoEIE2=S40cE2=SAoBDI=^Δ,OD1D2=ShOCD2=則

?s2+x=ia,

(S3÷6x=α

解得S2=^α;

在圖③中，連OE2、OE3、OJOD2,OD3,

====X,

設(shè)SAOAEI=SAoEIE2=SAoEZE3SAOCE3SAOBDl=SAODIOZ^?,OD2D3=SAOCD3則

Cs3+%=?ɑ

(S3+8X=Q

解得S3='α,

由可知，S=———a>

n2n+l

?3

VSS=—,

?11

???---1-a=一3,

2×5+l11

解得α=3.

故選：D

【點睛】此題考查了三角形的面積公式，關(guān)鍵通過列方程組求得各個圖形的面積，從中找出規(guī)律.

【考點3與三角形內(nèi)角和有關(guān)的計算問題】

【例3】(2022?江蘇?漣水縣麻垛中學(xué)七年級階段練習(xí))【認(rèn)識概念】

如圖1,在AABC中，若回BAO=EID4E=(3EAC,貝"。，AE叫做SIBAC的"三分線其中，Af)是"近AB三分

線"，AE是"遠AB三分線

【理解應(yīng)用】

(1)在AABC中，乙4=60。，zB=70o,若EA的三分線與EIB的角平分線BE交于點P,則ElAPB=

(2)如圖2,在AABC中，BO、C。分別是0A8C的近AB三分線和0AC2近AC三分線，若BQJIC。，求0A的

度數(shù)；

A

圖2

【拓展應(yīng)用】

⑶如圖3,在MBC中，BO、Co分別是ElABC的遠8C三分線和EiAC8遠8C三分線，且乙4=租。，直線PQ

過點。分別交AC、BC于點P、Q,請直接寫出回1-回2的度數(shù)（用含機的代數(shù)式表示）.

圖3備用圖

【答案】（1）125。或105。

（2）45°

⑶120。-|加。

【分析】（1）分兩種情況：①當(dāng)Ao為近AB三分線時，如圖所示，求得4B4P=3NB4C,再利用角平分

線的定義求得44BP=^44BC=35。，最后在△力BP中利用三角形的內(nèi)角和定理即可；②當(dāng)AO為遠AB三

分線時，如圖所示，然后分別根據(jù)三分線和角平分線的定義及三角形的內(nèi)角和定理即可求解；

（2）利用8。、Co分別是Ia48C近48三分線和0AC8近AC三分線，求得4A8C+乙4C8=135。，然后再

利用三角形的內(nèi)角和定理即可求解；

（3）如圖2,在EL43C中，利用三角形的內(nèi)角和定理求4ABC+N4C8=180。-小。，再利用30、CO分別

是財BC的遠8C三分線和MC8遠8C三分線，求得N4+N5=：（180。一m。），進而在囹BCO中利用內(nèi)角和

定理求/2+43=60。+2m。，結(jié)合乙1+N3=180。，即可求得Nl-42.

3

(1)

解：分兩種情況：

當(dāng)為近A8三分線時，如圖所示，NBaC=60。,

3??BAP=-?BAC=20°,

3

團BE平分44BC,?ABC=70°,

1

用乙ABP=±乙ABC=35°,

2

^?APB=180o-Z-ABP-乙BAP=125°；

當(dāng)A。為遠A8三分線時，如圖所示，?BAC=60°,

團BE平分心ABC,?ABC=70°,

^?ABP=-?ABC=35°

2f

用乙APB=180°-乙ABP-乙BAP=105°,

故答案為：125?；?05。.

(2)

如圖1,團80、Co分別是0A8C近4T三分線和勖CB近4C三分線,

22

001=H2ABC,團2=?AC3,

33

□BO0CO,

ΞZBOC=90°,

22

0Z1÷Z2=-LABC+-?ACB=90o,

33

^ΛABC+乙ACB=135o,

在0ABC中，?A+?ABC+Z.ACB=180°,

國乙A=180°一(乙ABC÷乙ACB)=45°.

圖1圖2

(3)

解：如圖2,在EABC中，?A+/.ABC+z?CB=180o,乙4=小。，

回4ABC+乙ACB=180o-NA=180o-τno.

EIB0、CO分別是0A8C的遠BC三分線和ElACB遠BC三分線，

22

0Z4=-zΛBC,?5=-?ACB

33f

0z4+z5=IZTlfiC+1z?Cβ=(Z/1BC+Z/1CF)=j(180o-τno),

在I3BC0中，NBOC+44+45=180。，

EIZBOC=180o-(Z4+z5)=180o-1(180o-m0)=60o+∣mo,

2

0Z2+z3=60o+-mo;

3

0Z1+43=180°,

Ξzl-Z2=180°一(60°+∣mo)=120o-∣τno.

【點睛】本題考查了角平分線的計算，三分線的新定義，三角形的內(nèi)角和定理，理解新定義是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1］（2022?廣東韶關(guān)實驗中學(xué)七年級期中）如圖，ABmCD點E是AB上一點，連結(jié)CE.

(1)如圖1,若CE平分MC。，過點E作EMICE交CQ于點M,試說明EIA=20CME；

⑵如圖2,若AF平分團CAB,CF平分配＞CE,且M=70°,求0ACE的度數(shù).

⑶如圖3,過點E作EM3CE交SLDCE的平分線于點M,MNSICM交AB于點、N,CHSAB,垂足為H.若0AC”

=娜C4請直接寫出回MNB與0A之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】⑴見解析；

(2)?ACE=40°；

(3)?MNB=1350-?A

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義分別計算NA與4CME,即可得出結(jié)論；

(2)過點F作FM〃4B,利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義和(1)的結(jié)論解答即可；

(3)延長CM交4N的延長線于點/，設(shè)N4C”=X,貝IJNECH=2x,ECM=?DCM=y,利用垂直的定義得

到x+y=45。；利用三角形的內(nèi)角和定理分別用x,y的代數(shù)式表示出4MN8與乙4,計算NMNB+NA即可得

出結(jié)論.

(1)

證明：?.?EMLCE,

：.LCEM=90°.

?.??AEC+4CEM+乙BEM=180°,

.?./.AEC+NBEM=90°.

?.?AB//CD,

.?.?AEC=/.ECD,乙CME=4BEM.

?乙ECD+乙CME=90°.

24ECD+2?CME=180°.

?；CE平分44CC,

?Z-ACD=2乙ECD.

??.?ACD+2乙CME=180°.

-AB//CD9

????ACD+=180o.

?乙4=2乙CME.

(2)

解：過點F作FM〃48,如圖,

-AB//CD1

???FM//AB//CD.

Λ乙乙

?AFM=?BAFfCFM=DCF.

??AFM+?CFM=?BAF+Z-DCF.

^?AFC=?BAF?DCF.

???AF平分乙C4B,CF平分4DCE,

Λ乙乙

/.CAB=2?BAFfDCE=2DCF.

???Z-CAB+Z.DCE=2(乙BAF+乙DCF)=2?AFC.

???ZTlFC=70°,

???乙CAB+乙DCE=140°.

-AB//CD,

????CAB+?ACE+乙DCE=180°.

???乙ACE=180°-UCAB+乙DCE)

=180°-140°

=40°.

(3)

解：NMNB與乙4之間的數(shù)量關(guān)系是：4MNB=135。一乙4.

延長CM交4N的延長線于點心如圖，

???MN1CM,

?乙NMF=90o.

???乙MNB=90。一乙F.

同理：ZHCF=90o-ZF.

???乙MNB=乙HCF.

???乙ACH=L乙ECH,

2

???設(shè)乙ACH=%,則乙ECH=2%.

???CM平分乙DCE,

???設(shè)ZECM=?DCM=y.

：?Z-MNB=乙HCF=2x÷y.

-AB//CD,CHLAB,

???CH1CD.

???乙HCD=90o.

???乙ECH+乙ECD=90°.

?,?2%+2y=90°.

???%+y=45°.

???CHIAB,

???乙4=90°-乙ACH=90°-X.

???LA+乙MNB=90°—X+2x+y=90o+x+y=135°.

???4MNB=135。一乙4.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平角的意

義，過點尸作尸M〃4B是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2022?江蘇南通?七年級期末）在△4BC中，CQ平分乙4CB交AB于點。，點E是射線AB上的

動點（不與點。重合），過點E作EFIlBC交直線CZ）于點凡NBEF的角平分線所在的直線與射線CO交于

點、G.

⑴如圖1,點E在線段A。上運動.

①若4B=60°,4ACB=30°,則4EGC=°；

②若N4=80。，求NEGC的度數(shù)；

⑵若點E在射線OB上運動時，探究NEGC與NA之間的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出答案.

【答案】⑴①45；②NEGC=50°

(2)NEGC=90°一：44或NEGC=90°+∣ZΛ

【分析】(1)①根據(jù)平行線的性質(zhì)，角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理，得出ZEGC="B+1z4C8,

代入進行計算即可；

②山①的方法得出NEGC="8+進而滿出NEGC=Xl80。一乙4),代入計算即可；

(2)分類討論進行解答，畫出相應(yīng)位置的圖形，根據(jù)(1)中的結(jié)論和平角的定義，可得當(dāng)點E在線段AZ)

上時，有ZEGC=90。-T乙12*4成立：當(dāng)點E在線段CB上或OB的延長線上時?，有4EGC=90。+乙4成立.

(1)

解：?SEFSIBC,

≡BB=0FEB,0EFD=0BCD,

0CF是0ACB的平分線，EG是ElFEO的平分線，

ElNFEG=/.DEG=-B,乙BCD=/.ACD=-ACB=乙EFD,

=-2ΛFED2?2?

又EBEGe=21FEG+E)EFG,

S?EGC=-B+-ACB,

?2?2?

11

=-×60o÷-×30o

22

=45°,

故答案為：45；

②由①得ZEGC=IZB+（44CB

1

=-（ZB+ZTlCB）

1

=2（180。—NA）

1

=90o--Z∕4

2

1

=90o--×80°

2

=50°.

（2）

當(dāng)點E在AD上時，如圖（1）,由（1）得，?EGC=90°-|z?l；

當(dāng)點E在線段OB上時，如圖（2）,由（1）得，?EGD=90o-∣z?,

??.?EGC=180°-乙EGD

1

=180o-90o+-rzl

=90。+2；

當(dāng)點在射線。8上時，如圖（3）,由（1）得，ZFGD=90o-∣ZΛ,

???乙EGC=180°一乙EGD

1

=180O-90O+-ZG4

2

=90。+L；

2

綜上所述，EIEGC與B4之間的數(shù)量關(guān)系為：NEGC=90。一INA或NEGC=90。+g乙4

D

F："7?

(圖3)

答：若點E在射線上運動時，ElEGC與M之間的數(shù)量關(guān)系為：NEGC=90。一T乙4或"GC=90。+14.

【點睛】本題考查角平分線，平行線以及三角形內(nèi)角和定理，理解角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及三

角形內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵.

【變式3-3](2022?全國?八年級課時練習(xí))如圖1,三角形ZBC中，NA=58。,NB=90。/。=32。.點E

是BC邊上的定點，點。在4C邊上運動.沿Z)E折疊三角形CDE,點C落在點G處.

(1)如圖2,若DE//AB,求NADG的度數(shù).

(2)如圖3,若EG/JAB,求NaDG的度數(shù).

(3)當(dāng)三角形DEG的三邊與三角形ABC的三邊有一組邊平行時，直接寫出NCDG的度數(shù)

【答案】(1)64°；(2)26°；(3)58°或148°或154°或122°或116°或26°.

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OCZ)E=a4=團GOE=58°,即可求出0AOG；

(2)根據(jù)G￡0A8,得至胞BEG=90。，算出回B尸。，利用四邊形內(nèi)角和即可求出酎OG；

(3)找出其他所有情況，畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：(1)由折疊可知：

0C=0DGE=32o,^CDE^GDE,

SDESiAB,ABSlBC,

Iar>￡0BC,則G在8C上,

EBCf>E=0A=ElGz)E=58°,

SBAf)G=I80°-58°χ2=64°:

(2)由折疊可知：0C=0DGf=32",SCDE=&GDE,SDEC=^DEG,

0G≡ΛB,

00β=0CEG=0βEG=9Oo,

⑦乙DEC=LCEG=45o,

2

00ADE=45o+32o=77o,0GDE=18Oo-45°-32°=lO3°,

E0A=58°,0B=9Oo,

WADG=S?GDE-^ADE=103O-77O=26O;

A

圖3

(3)如圖，DG^AB,

貝帆C￡>G=IaA=58°；

A

G

如圖，DG0BC,

SL4DG=0C=32o,

EBCz)G=I80°?a4QG=148°；

如圖，EG^AC,

0A∕)G=IaG=ElC=32°,

00CDG=18Oo-0ΛDG=148°；

如圖，EG^AB,

團團A=團CFE=58°,回B=團CEG=90°,

由折疊可知：0DEG=0DEC=45o,

≡CDE=18Oo-45o-32o=lO3o=0EDG,

00EDF=18Oo-lO3o=77o,

00ADG=lO3o-77o=26o,

00CDG=18Oo-GlADG=154°；

G

如圖，DGaAB,

00ADG=0A=58o,

≡CDG=180O421AZ)G=122°：

如圖，DE〃AB,

團團AZ)G=2團C=64°,

≡CDG=18Oo-0ADG=116°；

A

00CEG=0B=90°,

SBCDG=SCEG-0c-0G=26°；

圖2

綜上：其他所有情況下回CDG的度數(shù)為58。或148?；?54?；?22?；?16。或26°.

【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，折疊問題，解題的難點在于找出所有符合題意的情況，得到角的關(guān)系.

【考點4三角形的外角性質(zhì)的運用】

【例4】（2022?四川,渠縣第二中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖，在MBC中，。是BC延長線上一點，MBC和

0ACD的平分線交于點久,得乙4i；EWiBC和西停。的平分線交于點4，得西2；……；^A202iBC^?A2021CD

的平分線交于點^2022,得姐2。22,若財=ɑ,則0Λ2θ22=.（用含α的代數(shù)式表示）

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)去推出立必，ZΛ2,乙43與NA的關(guān)聯(lián)，從而根據(jù)規(guī)律得出

4^2022與4A即可.

【詳解】解：Ia乙4BC和NACD的平分線交于點兒，

團乙

4AIBC=gABC,/LA1CD=∣ΛACD,

Ξ?A1CD=?A1+?A1BC,

即沁CD=ZΛ1+∣Z?FC,

團乙4ι=∣(zτlCD-zylBC).

0EL4+0ΛBC=0ACD,

00Λ=0ACD-0AβC,

EIZTIl=∣Z?.

同理可得ZjI2=T4Al=(?)/-A=?A,NA3=TzA=O*44

團根據(jù)規(guī)律可得：乙42022=薪744=總？

故答案為：??.

【點睛】本題考查角平分線和外角的性質(zhì)以及幾何圖形找規(guī)律的方法，熟練掌握角平分線的性質(zhì)并運用于

證明角度關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【變式4-1](2022?新疆?阿瓦提縣拜什艾日克鎮(zhèn)中學(xué)八年級階段練習(xí))如圖，一副具有30。和45。角的直角

三角板，按如圖所示疊放在一起，則圖中回α的度數(shù)是()

A.40oB.45oC.65oD.75°

【答案】D

【分析】根據(jù)有30。和45。角的直角三角板各個內(nèi)角的情況，結(jié)合三角形外角性質(zhì)即可得到答案.

【詳解】解：如圖所示：

由含45。角的直角三角板內(nèi)角情況可知42=45°,

???根據(jù)三角形外角性質(zhì)知/2=Zl+30°,即Nl=45°-30°,

Zl+Za=90°,

.?.Za=90°-15°=75°,

故選：D.

【點睛】本題考查利用30。和45。角的直角三角板求角度，涉及到三角形外角性質(zhì)和角的互余等知識，熟練

掌握三角板各個內(nèi)角的度數(shù)及三角形外角性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式4-2】式022?江蘇泰州?七年級期中）已知:如圖1,在四邊形ZBCD中，乙4+“=180o,?ABE,UDF

是四邊形ABCD的外角.

〃DF的度數(shù)；

⑵直線小％分別經(jīng)點8,D,且O分別平分乙4BE,?ADF,

①如圖2,若“II。，求4C的度數(shù)；

②若k與，2相交于點加，設(shè)乙C=a,LBMD=0,試探究α與S的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（1）乙4BE+乙4。尸=180。

（2）①4C=90°,②α+/?=90?；颚罷=90°

【分析】（1）通過題意得N4+NC=180。，再由補角定理可直接得到∕4BE+44OF的度數(shù)；

（2）①延長8A至%于點G,通過平行線內(nèi)錯角相等得NE>G8=4GB”,再由角平分線的性質(zhì)可得到解答;

②有兩種答案，都要連接8D,把各個需要求的角表達出來，再通過角平分線、對頂角相等對角的轉(zhuǎn)換，最

后進行相加減即可得到答案.

(1)

團在四邊形ABCD中，乙4+NC=180。,

0ZABC+ZL4DC=18OO,

X0Z√1DF+ZΛDC=ZΛBC+ZABE=18OO,

回乙ABE+ZTIDF=I80°.

(2)

①延長BA至%于點G,如下圖

Ξl1HI2

如LDGB=4GBH,

y^??BAI)=?AGD+?ADG,

用乙BAD=4GBH+?ADG,

0∕1,%分別平分NABE,/.ADF(1)知NABE+4AnF=I80°,

B?BAD=?GBH+?ADG=18O°÷2=9O°,

0Z,C=zβAD=9Oo:

②一：如圖，連接8D,

MD

乙乙+o

由圖可得NBMO=MBDMDB=180-(NM84÷Z.ABD+?MDA+?ADB)f

2A=I80°—(4A8。+ZAD8),

又團乙4BE+44DF=180。且M3,MD分別平分乙43E,?ADF,

團乙/一乙BMD=乙MBA+Z.MDA=90°,

又團ZT+乙4=180°,

0ZΛ=18O°-ZC,

0zC+zBMD=9Oo=α+。=90°.

二：連接80,如圖

由圖可得4M=I80°?億C8D+4CBM+4CD8+NCOM),

?C=18Qo-(?CBD+?CDB),

?乙CBM=乙PBE,乙CQMNQ。尸(對頂角相等)且「M,MQ分別平分乙43E,?ADF,

□zM=180o-(zCθD+zCDB+90o),

團乙CBD+乙CDB=I80°-4C,

0ZΛ∕=18Oo-(18Oo-zC+90°)

=ZC-900,

13zC-^M=90o=α-β=90o.

【點睛】本題考查了有關(guān)補角的計算、平行線的內(nèi)錯角相等、角平分線的性質(zhì)、對頂角相等和三角形內(nèi)角

和定理，解決此題的關(guān)鍵是對角的轉(zhuǎn)換要熟練運用，三角形內(nèi)角和也要熟練運用.

【變式4-3](2022?江蘇?阜寧縣實驗初級中學(xué)七年級階段練習(xí))【問題背景】

(1)如圖1的圖形我們把它稱為"8字形"，請說明44+ZB=ZC+ZD；

【簡單應(yīng)用】

(2)閱讀下面的內(nèi)容，并解決后面的問題：如圖2,AP,CP分別平分團員40,SBCD,若0ABC=36?ISADC=16°,

求回P的度數(shù)；

解：IaARCP分別平分EIBAQ,0BCD

EHl=EI2,03=04

由⑴的結(jié)論得:｛常勻:索4

①+②，得2團產(chǎn)+(32+133=回1唱4由8+回。

RBP=i(0B+0D)=26o.

①【問題探究】

如圖3,直線AP平分EIBAC的外角回以。，Cp平分EIBC。的外角團BCE,若0ABC=36。，IaAz)C=I6。，請猜想NP的

度數(shù)，并說明理由.

(2)【拓展延伸】

在圖4中，若設(shè)!2C=a,SB=β,0CΛP=?CAB,0CDP=?CDB,試問回P與13C、0B之間的數(shù)量關(guān)系為:(用

a、￡表示團尸)，并說明理由.

【答案】(1)見解析；(2)①26。，理由見解析；②回P=Ia中，理由見解析

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可證明.

(2)【問題探究】由A尸平分ElBA。的外角EIΛW,CP平分MC￡＞的外角ElBCE,推出IaI=02,03=134,推出

0λ?D=18O0-02,0PCD=18Oo-03,[Li0P+(18Oo-01)=EWDC+(18O°-03),0∕5+01=0ABC+04,推出2^P=βABC+QADC,

即可解決問題?

【拓展延伸】由(1)的結(jié)論易求團尸+EIPcC=EIC+E1CAP,0P+0∕?β=0B+EIBDP,再將已知條件代入化簡即可求

解I3P.

【詳解】(1)證明：00A+0B+EIAEB=18O",

13C+0Z)+l3Cro=18Oo,

00A+0B+βL4fB=0C+SD+0CED,

EBAEB=ElCEf),

團0A+03=團C+皿)；

(2)①解回如圖3,

圖3

EWP平分回E4Q,C尸平分回8CE

01211=02,03=04,

00∕?D=18Oo-02,0PCD=180O-[213,

0?(1)可得:0P+18O?-G32=0D+18Oβ-a3,

0P+0∕?B=aβ+04,

又I31=EI∕?B,

00P+01=0B+04,

X0P+18Oo-02=l3D+18O0-03,

020P+01+18O0-l2l2=IΣIB+l34+0D+18Oo-β∣3,

X01=02,03=04,

1320P=0B+0D

RBP=：(回8+回Q)=26°

②解:回P=Ia中.

理山：00CΛP=?CAB,0CDP=?CDB,

33

22

團團BAP=細CA8,回BDP=細CDB,

33

由（L）可得：回P+0POO團C+團CAP,團P+團/么3=團3+ELBO尸，

WP-^?CDB=0C+?CAB,①

33

0P+?CAB=0B+?CDβ,（2）

33

①χ2+②，得20PφCDB+0PφCΛB=2l3Cφc?B+[21B+?CDβ,

團3團P=2團。+團8

EBp=*241C+±42B=1*α+?L

333?

【點睛】本題考查三角形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)、多邊形的內(nèi)角和等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用方

程組的思想思考問題，屬于中考常考題型.

【考點5利用全等圖形求網(wǎng)格中的角度和】

【例5】（2022?山東?禹城市督楊實驗學(xué)校八年級階段練習(xí)）如圖為6個邊長相等的正方形的組合圖形，則

【答案】B

【分析】首先利用SAS定理判定EIABe≡DBE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得回3=回ACB,再由EIACB+回1=回1+回3=90°,

可得01+回3福2.

【詳解】

SI在ElABC和I3DBE中

(AB=BD

(?A=?D,

[AC=ED

團團ABC0團DBE(SAS),

033=EIACB,

00ACB+[31=9Oo,

001+03=90%

幽2=45°

001+03-02=9Oo-45o=45o,

故選B.

【點睛】此題主要考查了全等圖形，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定，以及全等三角形對應(yīng)角相等.

【變式5-1](2022?江蘇省灌云高級中學(xué)城西分校八年級階段練習(xí))如圖，由4個相同的小正方形組成的格

點圖中，01+02+E13=度.

【答案】135

【分析】首先利用全等三角形的判定和性質(zhì)求出+43的值，即可得出答案;

【詳解】如圖所示，

在EIACB和I3DCE中,

AB=DE

{?A=4D,

AC=DC

^?ACB≥ΔDCE(SAS'),

BE=z3,

0Z1÷Z2+Z3=（rl+Z3）+45o=90o+450=135°；

故答案是：135。.

【點睛】本題主要考查了全等圖形的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計算是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2022?江蘇?八年級單元測試）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個頂點均為格點，則回P

【分析】如圖，直接利用網(wǎng)格得出對應(yīng)角NP=乙4QC,進而得出答案.

如圖，易知△ABPWA4CQ,SlzP=?AQC,

ElBQ是正方形的對角線，

叫LBQC=?BQA+?AQC=NP+“=45°,

故答案為：45.

【點睛】本題考查了全等三角形，正確借助網(wǎng)格分析是解題關(guān)鍵.

【變式5-3］（2022?山東?濟南市槐蔭區(qū)教育教學(xué)研究中心二模）如圖，在4X4的正方形網(wǎng)格中，求α+

【答案】45

【分析】連接48,根據(jù)正方形網(wǎng)格的特征即可求解.

【詳解】解：如圖所示，連接4B

___A

_k_、

%

CE

El圖中是4X4的正方形網(wǎng)格

=CE,Z-ADB=ZTlEC,DB=AE

0△ADB≤ΔCEA(SAS)

回乙EAC=?ABD=Q,AB=AC

田上ABD+乙BAD=90°

達乙EAC+?BAD=90o,^?CAB=90°

^?ACB=?ABC=45°

D??CE

團乙BCE=乙DBC=β

BC=Z-ABD+?DBC=a+β

0α+/?=45°

故答案為：45.

【點睛】本題考查了正方形網(wǎng)格中求角的度數(shù)，利用了平行線的性質(zhì)、同角的余角相等、等腰直角三角形

的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是能夠掌握正方形網(wǎng)格的特征.

【考點6將已知圖形分割成幾個全等的圖形】

【例6】(2022?全國?八年級專題練習(xí))沿著圖中的虛線，請將如圖的圖形分割成四個全等的圖形.

-----f-----1-----------

II

——I—1-----------

III

------------1-----1-4------

II

------------1-----1------

【答案】見解析

【分析】直接利用圖形總面積得出每一部分的面積，進而求出答案.

【詳解】???共有3×4=12個小正方形，

二被分成四個全等的圖形后每個圖形有12÷4=3,

二如圖所示：

【點睛】本題主要考查了應(yīng)用設(shè)計圖作圖，正確求出每部分面積是解題關(guān)鍵.

【變式6-1］（2022?江蘇?八年級專題練習(xí)）方格紙上有2個圖形，你能沿著格線把每一個圖形都分成完全

相同的兩個部分嗎？請畫出分割線.

【答案】見解析

【分析】觀察第一個圖，圖中共有20個小方格，要分成完全相同兩部分，則每個有10個小格，則可按如

圖所示，沿Af8fC玲。分割；第二個圖同理沿E?FfG玲，玲PfQ分割即可.

【詳解】解：如圖所示，第一個圖，圖中共有20個小方格，要分成完全相同兩部分，則每個有10個小格,

【點睛】本題考查圖形全等，掌握全等圖形的定義是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2］（2022?江蘇?八年級課時練習(xí)）試在下列兩個圖中，沿正方形的網(wǎng)格線（虛線）把這兩個圖形

分別分割成兩個全等的圖形，將其中一部分涂上陰影.

【答案】見解析（第一個圖答案不唯一）

【分析】根據(jù)全等圖形的定義，利用圖形的對稱性和互補性來分隔成兩個全等的圖形.

【詳解】解：第一個圖形分割有如下幾種：

【點睛】本題主要考查了學(xué)生的動手操作能力和學(xué)生的空間想象能力，牢記全等圖形的定義是解題的重點.

【變式6-3］（2022?全國?八年級專題練習(xí)）知識重現(xiàn)："能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.”

理解應(yīng)用：我們可以把4x4網(wǎng)格圖形劃分為兩個全等圖形.

范例：如圖1和圖2是兩種不同的劃分方法，其中圖3與圖1視為同一種劃分方法.

請你再提供四種與上面不同的劃分方法，分別在圖4中畫出來.

【答案】見解析

【分析】根據(jù)網(wǎng)格的特點和全等形的定義進行作圖即可.

【詳解】依題意，如圖

圖4

【點睛】本題考查了全等圖形的定義，熟練掌握網(wǎng)格特點作圖和全等圖形的概念是解題的關(guān)鍵.

【考點7添加條件使三角形全等】

【例7】（2022?全國?八年級專題練習(xí)）如圖，團C=E10=90。，添加下列條件：①AC=AO;②fflA8C=0ΛBO;

③BC=BD,其中能判定RrtSABC與R/0A8O全等的條件有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件與全等三角形的判定定理即可分別判斷求解.

【詳解】解：EEC=EI。=90。，AB=AB,

IS(T)AC=AD,可用HL判定RtZiABC與Rt?ABD全等；

②財BC=SABO,可用AAS判定RtZkABC與RtUBD全等；

③BC=BD,可用HL判定Rt"BC與RtAABZ)全等；

故選：D.

【點睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定定理.

【變式7-1](2022?重慶?中考真題)如圖，點8,F,C,E共線，0B=0E,BF=EC,添加一個條件，不能判

斷EWBCEH。EF的是()

A.AB=DEB.0A=0DC.AC=DFD.ACIZIFD

【答案】C

【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)逐一分析即可解題.

【詳解】解："BF=EC,

.?.BC=EF

A.添加個條件AB=CE,

又TBC=EF1ZB=/.E

：.^ABC≡ΔDEF(SAS)

故A不符合題意；

B.添加一個條件13A=EIO

又,；BC=EF,乙B=ZE

.?.?ABC≡ΔDEF(AAS)

故B不符合題意；

C.添加一個條件AC=。尸，不能判斷a4B63f>E尸，故C符合題意;

D.添加一個條件ACSFQ

.?.?ACB=4EFD

又?.?BC=EFzB=NE

.?.ΔABC≤ΔDEF（ASA）

故D不符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查添加條件使得三角形全等即全等三角形的判定，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識

是解題關(guān)鍵.

【變式7-2]（2022?安徽淮南?八年級期末）如圖，點P是AB上任意一點，^ABC=SABD,還應(yīng)補充一個條

件，才能推出回AP34PQ.從下列條件中補充一個條件，不一定能推出S