第6章 一階電路教材

一階電路的零輸入響應6.2一階電路的零狀態(tài)響應6.3一階電路的全響應6.4首頁本章重點第6章一階電路一階電路的階躍響應6.5線性與時不變性6.1一階和二階電路的零輸入響應、零狀態(tài)響應和全響應的概念及求解；重點一階和二階電路的階躍響應概念及求解。1.動態(tài)電路方程的建立及初始條件的確定；返回含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱動態(tài)電路。1.動態(tài)電路

6.1線性與時不變性當動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時（換路）需要經(jīng)歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程稱為電路的過渡過程。下頁上頁特點返回當一個雙端口網(wǎng)絡滿足均勻性與疊加性時，稱之為線性系統(tǒng)。2.線性網(wǎng)絡下頁上頁返回x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)c1x1(t)+c2x2(t)c1y1(t)+c2y2(t)在同樣的起始狀態(tài)下，系統(tǒng)的響應與激勵施加的時刻無關，這樣的系統(tǒng)稱為時不變系統(tǒng)。3.時不變網(wǎng)絡下頁上頁返回x(t)ty(t)tttt0t0x(t-t0)y(t-t0)下頁上頁返回例判斷下面各系統(tǒng)的線性與時不變性。(1)y(t)=2x(t)+3(2)y(t)=x(t)sin(2πt/7+π/6)

(3)y(t)=[x(t)]2

(4)y(t)=2x(t)6.2一階電路的零輸入響應換路后外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能產(chǎn)生的電壓和電流。1.RC電路的零輸入響應已知

uC

(0－)=U0

uR=Ri零輸入響應下頁上頁iS(t=0)+–uRC+–uCR返回特征根特征方程RCλ+1=0則下頁上頁代入初始值

uC

(0+)=uC(0－)=U0A=U0返回iS(t=0)+–uRC+–uCR下頁上頁或返回tU0uC0I0ti0令

=RC,稱

為一階電路的時間常數(shù)電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)躍變響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與RC有關;下頁上頁表明返回時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短

=RC

大→過渡過程時間長

小→過渡過程時間短電壓初值一定：R

大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時間長U0tuc0

小

大C

大（R一定）W=Cu2/2

儲能大物理含義下頁上頁返回a.

:電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。工程上認為,經(jīng)過3

－5

,

過渡過程結束。U00.368U00.135U00.05U00.007U0t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

下頁上頁注意返回能量關系電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢.設

uC(0+)=U0電容放出能量：

電阻吸收（消耗）能量：下頁上頁uCR+－C返回例1圖示電路中的電容原充有24V電壓，求k閉合后，電容電壓和各支路電流隨時間變化的規(guī)律。解這是一個求一階RC零輸入響應問題，有：+uC4

5F－i1t>0等效電路下頁上頁返回i2S3+uC2

6

5F－i3i1+uC4

5F－i1分流得：下頁上頁返回i2S3+uC2

6

5F－i3i1下頁上頁例2求:(1)圖示電路k閉合后各元件的電壓和電流隨時間變化的規(guī)律，(2）電容的初始儲能和最終時刻的儲能及電阻的耗能。解這是一個求一階RC零輸入響應問題，有：u

(0+)=u(0－)=20V返回u1（0-）=-4VuSC1=5F-+--+iC2=20Fu2（0-）=24V250k+下頁上頁uk4F++--i20V250k返回下頁上頁初始儲能最終儲能電阻耗能返回2.

RL電路的零輸入響應特征方程

Lλ+R=0特征根代入初始值A=iL(0+)=I0t>0下頁上頁iLS(t=0)USL+–uLRR1+-iL+–uLR返回tI0iL0連續(xù)函數(shù)躍變電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；下頁上頁表明-RI0uLt0iL+–uLR返回響應與初始狀態(tài)成線性關系，其衰減快慢與L/R有關;下頁上頁令

稱為一階RL電路時間常數(shù)

=L/R時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短L大

W=LiL2/2

起始能量大R小

P=Ri2

放電過程消耗能量小放電慢，

大

大→過渡過程時間長

小→過渡過程時間短物理含義電流初值iL(0)一定：返回能量關系電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。設

iL(0+)=I0電感放出能量：電阻吸收（消耗）能量：下頁上頁iL+–uLR返回iL

(0+)=iL(0－)=1AuV

(0+)=－10000V

造成V損壞。例1t=0時,打開開關S，求uv。電壓表量程：50V解下頁上頁iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10ViLLR10V+-返回例2t=0時,開關S由1→2，求電感電壓和電流及開關兩端電壓u12。解下頁上頁i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回下頁上頁i+–uL6

6Ht>0iLS(t=0)+–24V6H3

4

4

6

+－uL2

12返回一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的響應,都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路下頁上頁小結返回一階電路的零輸入響應和初始值成正比，稱為零輸入線性。衰減快慢取決于時間常數(shù)

同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。下頁上頁小結

=RC

=L/RR為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。RC電路RL電路返回動態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中外加激勵作用所產(chǎn)生的響應。方程：6.3一階電路的零狀態(tài)響應解答形式為：1.RC電路的零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應非齊次方程特解齊次方程通解下頁上頁iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0－)=0+–非齊次線性常微分方程返回與輸入激勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解變化規(guī)律由電路參數(shù)和結構決定的通解通解（固有分量，暫態(tài)分量）特解（強制分量）的特解下頁上頁返回全解uC

(0+)=A+US=0A=－US由初始條件uC

(0+)=0

定積分常數(shù)A下頁上頁從以上式子可以得出：返回-USuC‘uC“USti0tuC0電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；電容電壓由兩部分構成：連續(xù)函數(shù)躍變穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）暫態(tài)分量（自由分量）下頁上頁表明+返回響應變化的快慢，由時間常數(shù)＝RC決定；

大，充電慢，

小充電就快。響應與外加激勵成線性關系；能量關系電容儲存能量：電源提供能量：電阻消耗能量：

電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中。下頁上頁表明RC+-US返回例t=0時,開關S閉合，已知

uC(0－)=0，求(1)電容電壓和電流,(2)uC＝80V時的充電時間t

。解(1)這是一個RC電路零狀態(tài)響應問題，有：(2)設經(jīng)過t1秒，uC＝80V下頁上頁500

10

F+-100VS+－uCi返回2.RL電路的零狀態(tài)響應已知iL(0－)=0，電路方程為：tiL0下頁上頁iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回uLUSt0下頁上頁iLS(t=0)US+–uRL+–uLR+—返回例1t=0時,開關S打開，求t>0后iL、uL的變化規(guī)律。解這是RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有：t>0下頁上頁返回iLS+–uL2HR80

10A200

300

iL+–uL2H10AReq例2t=0開關k打開，求t>0后iL、uL及電流源的電壓。解這是RL電路零狀態(tài)響應問題，先化簡電路，有：下頁上頁iL+–uL2HUoReq+－t>0返回iLK+–uL2H10

2A10

5

+–u6.5一階電路的全響應電路的初始狀態(tài)不為零，同時又有外加激勵源作用時電路中產(chǎn)生的響應。以RC電路為例，電路微分方程：1.全響應全響應下頁上頁iS(t=0)US+–uRC+–uCR解答為：

uC(t)=uC'+uC"特解

uC'=US通解

=RC返回uC

(0－)=U0uC

(0+)=A+US=U0

A=U0

-US由初始值定A下頁上頁強制分量(穩(wěn)態(tài)解)固有分量(暫態(tài)解)返回2.全響應的兩種分解方式uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應=

強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰下頁上頁返回全響應=

零狀態(tài)響應+

零輸入響應著眼于因果關系便于疊加計算下頁上頁零輸入響應零狀態(tài)響應S(t=0)USC+–RuC

(0－)=U0+S(t=0)USC+–RuC

(0－)=U0S(t=0)USC+–RuC

(0－)=0返回2.全響應的兩種分解方式uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0全響應=

強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)著眼于電路的兩種工作狀態(tài)物理概念清晰下頁上頁返回例1t=0時,開關k打開，求t>0后的iL、uL。解這是RL電路全響應問題，有：零輸入響應：零狀態(tài)響應：全響應：下頁上頁iLS(t=0)+–24V0.6H4

+－uL8

返回或求出穩(wěn)態(tài)分量：全響應：代入初值有：6＝2＋AA=4例2t=0時,開關K閉合，求t>0后的iC、uC及電流源兩端的電壓。解這是RC電路全響應問題，有：下頁上頁穩(wěn)態(tài)分量：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

下頁上頁全響應：返回+–10V1A1

+－uC1

+－u1

3.三要素法分析一階電路一階電路的數(shù)學模型是一階線性微分方程：令

t=0+其解答一般形式為：下頁上頁特解返回

分析一階電路問題轉為求解電路的三個要素的問題。用0+等效電路求解用t→

的穩(wěn)態(tài)電路求解下頁上頁直流激勵時：A注意返回例1已知：t=0時合開關，求換路后的uC(t)解tuc2(V)0.6670下頁上頁1A2

1

3F+-uC返回例2t=0時,開關閉合，求t>0后的iL、i1、i2解三要素為：下頁上頁iL+–20V0.5H5

5

+–10Vi2i1三要素公式返回三要素為：下頁上頁0＋等效電路返回+–20V2A5

5

+–10Vi2i1例3已知：t=0時開關由1→2，求換路后的uC(t)解三要素為：下頁上頁4

+－4

i12i1u+－2A4

1

0.1F+uC－+－4

i12i18V+－12返回下頁上頁例4已知：t=0時開關閉合，求換路后的電流i(t)

。+–1H0.25F5

2

S10Vi解三要素為：返回下頁上頁+–1H0.25F5

2

S10Vi返回已知：電感無初始儲能t=0

時合S1

,t=0.2s時合S2，求兩次換路后的電感電流i(t)。0<t<0.2s解下頁上頁例5i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回t>0.2s下頁上頁i10V+S1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

-返回(0<t

0.2s)(t

0.2s)下頁上頁it(s)0.25(A)1.2620返回6.5一階電路的階躍響應1.單位階躍函數(shù)

定義t

(t)01

單位階躍函數(shù)的延遲t

(t-t0)t001下頁上頁返回t=0合閘

i(t)=Is在電路中模擬開關的動作t=0合閘

u(t)=E單位階躍函數(shù)的作用下頁上頁SUSu(t)u(t)返回Isku(t)起始一個函數(shù)tf(t)0t0延遲一個函數(shù)下頁上頁tf(t)0t0返回

用單位階躍函數(shù)表示復雜的信號例1

(t)tf(t)101t0tf(t)0t0-

(t-t0)例21t1f(t)0243下頁上頁返回例4