函數(shù)的極限概念與極限計算法則

匯報人：XX2024-01-13函數(shù)的極限概念與極限計算法則目錄極限概念引入極限計算方法無窮小量與無窮大量連續(xù)性與可微性在極限中的應用多元函數(shù)極限及其計算法則總結回顧與拓展延伸01極限概念引入數(shù)列極限定義數(shù)列極限的ε-N定義對于任意小的正數(shù)ε，總存在正整數(shù)N，使得當n>N時，數(shù)列{an}與常數(shù)a的差的絕對值小于ε，則稱數(shù)列{an}收斂于a。數(shù)列極限的幾何意義表示當n無限增大時，數(shù)列{an}無限趨近于某個常數(shù)a。函數(shù)極限的ε-δ定義對于任意小的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當0<|x-x0|<δ時，函數(shù)f(x)與常數(shù)A的差的絕對值小于ε，則稱函數(shù)f(x)在x趨近于x0時極限為A。函數(shù)極限的幾何意義表示當x無限趨近于某個點x0時，函數(shù)f(x)無限趨近于某個常數(shù)A。函數(shù)極限定義唯一性若數(shù)列或函數(shù)在某點的極限存在，則此極限唯一。若數(shù)列或函數(shù)在某點的極限存在，則數(shù)列或函數(shù)在該點的某個鄰域內(nèi)一定有界。若函數(shù)在某點的極限存在且大于0（或小于0），則在該點的某個鄰域內(nèi)函數(shù)值也大于0（或小于0）。若三個數(shù)列或函數(shù)在某點的極限存在，且滿足“夾逼”條件，則中間數(shù)列或函數(shù)在該點的極限也存在且等于兩側數(shù)列或函數(shù)的極限。在一定條件下，通過求導可以簡化某些復雜函數(shù)在某點的極限計算。有界性夾逼定理洛必達法則保號性極限性質(zhì)與定理02極限計算方法方法描述直接代入法是將自變量直接代入函數(shù)表達式中，求出函數(shù)在該點的極限值。注意事項在代入自變量前，需要確保函數(shù)在該點有意義，否則無法求出極限值。適用范圍適用于函數(shù)在該點連續(xù)且沒有間斷點的情況。直接代入法方法描述因子分解法是通過將函數(shù)表達式進行因式分解，從而簡化計算過程，求出函數(shù)在某點的極限值。適用范圍適用于函數(shù)在某點存在間斷點，但可以通過因式分解將表達式簡化為可求極限的形式。注意事項在因式分解前，需要確保函數(shù)在該點有意義，且分解后的因子在求極限時能夠相互抵消或化簡。因子分解法適用范圍適用于函數(shù)在某點存在間斷點或不可導點，但可以通過求導轉化為可求極限的形式。注意事項在使用洛必達法則前，需要確保函數(shù)在該點的左右導數(shù)存在且相等，否則無法使用該方法求出極限值。方法描述洛必達法則是利用導數(shù)的定義和性質(zhì)，通過求導的方式求出函數(shù)在某點的極限值。洛必達法則方法描述01泰勒公式法是利用泰勒級數(shù)的展開式，將函數(shù)在某點的極限轉化為無窮級數(shù)的求和問題。適用范圍02適用于函數(shù)在某點可以展開為泰勒級數(shù)，且級數(shù)的和可以求出的情況。注意事項03在使用泰勒公式法前，需要確定函數(shù)的展開點和展開的階數(shù)，以及級數(shù)的收斂性和求和方式。同時，需要注意泰勒級數(shù)的截斷誤差對極限值的影響。泰勒公式法03無窮小量與無窮大量性質(zhì)無窮小量不是零，但比任何正數(shù)都小。無窮小量與有界量的乘積是無窮小量。無窮小量的倒數(shù)是無窮大量。定義：無窮小量是指當自變量趨近于某一點或無窮時，函數(shù)值趨近于零的量。無窮小量定義及性質(zhì)定義：無窮大量是指當自變量趨近于某一點或無窮時，函數(shù)值趨近于無窮的量。01無窮大量定義及性質(zhì)性質(zhì)02無窮大量不是具體的數(shù)，而是表示一種趨勢。03無窮大量的倒數(shù)是無窮小量。04無窮大量與有界量的乘積是無窮大量。05無窮小量與無窮大量關系無窮小量與無窮大量互為倒數(shù)關系。在自變量的同一變化過程中，如果函數(shù)是無窮小量，則其倒數(shù)函數(shù)是無窮大量；反之亦然。無窮小量與無窮大量的關系在極限計算中具有重要意義，它們可以幫助我們判斷函數(shù)的變化趨勢以及計算函數(shù)的極限值。04連續(xù)性與可微性在極限中的應用函數(shù)在該點有定義連續(xù)函數(shù)在一點處極限存在條件如果函數(shù)在某一點沒有定義，那么在該點就不存在極限。函數(shù)在該點的左極限等于右極限左極限和右極限存在且相等是函數(shù)在該點連續(xù)的必要條件。如果函數(shù)在某一點的極限存在，且等于該點的函數(shù)值，則稱函數(shù)在該點連續(xù)。函數(shù)在該點的極限值等于函數(shù)值01可導必連續(xù)，因此函數(shù)在該點的極限存在是可微的必要條件。函數(shù)在該點可導02如果函數(shù)在某一點的導數(shù)存在且連續(xù)，則函數(shù)在該點可微。導數(shù)在該點連續(xù)03左導數(shù)和右導數(shù)存在且相等是函數(shù)在該點可微的充分條件。函數(shù)在該點的左導數(shù)等于右導數(shù)可微函數(shù)在一點處極限存在條件連續(xù)性與可微性關系探討有些函數(shù)在某一點處既連續(xù)又可微，有些則僅連續(xù)或僅可微。因此，在具體問題中需要具體分析函數(shù)的性質(zhì)。連續(xù)性與可微性的關系因函數(shù)而異例如，絕對值函數(shù)在原點處連續(xù)但不可微。連續(xù)不一定可微可微函數(shù)的導數(shù)存在，因此函數(shù)必定連續(xù)?？晌⒁欢ㄟB續(xù)05多元函數(shù)極限及其計算法則設多元函數(shù)f(x,y,...,z)在點P0的某個去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對于任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當點P(x,y,...,z)滿足0<|PP0|<δ時，都有|f(x,y,...,z)-A|<ε成立，那么稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y,...,z)在點P0的極限。多元函數(shù)極限定義唯一性、局部有界性、保號性、有理運算性質(zhì)（包括極限的四則運算法則、復合函數(shù)的極限運算法則等）。多元函數(shù)極限性質(zhì)多元函數(shù)極限定義及性質(zhì)直接代入法對于一些簡單的多元函數(shù)，可以直接將自變量代入函數(shù)表達式中計算極限。等價無窮小代換法利用等價無窮小進行代換，從而簡化多元函數(shù)的極限計算。洛必達法則在一定條件下，通過求導可以簡化多元函數(shù)的極限計算。泰勒公式法利用泰勒公式將多元函數(shù)展開為多項式形式，從而方便計算極限。多元函數(shù)極限計算方法VS如果多元函數(shù)在某點連續(xù)，則該點的極限值等于函數(shù)值。因此，在求解某些多元函數(shù)的極限時，可以先判斷函數(shù)的連續(xù)性，然后直接代入自變量求解?？晌⑿栽跇O限中的應用如果多元函數(shù)在某點可微，則該點的極限可以通過求導來計算。因此，對于一些復雜的多元函數(shù)極限問題，可以通過求導來簡化計算過程。同時，利用可微性還可以判斷多元函數(shù)的極值點和拐點等性質(zhì)。連續(xù)性在極限中的應用多元函數(shù)連續(xù)性與可微性在極限中應用06總結回顧與拓展延伸函數(shù)在某一點或無窮遠處的極限是指函數(shù)值無限接近于某一常數(shù)，且可以任意接近該常數(shù)。極限的定義唯一性、局部有界性、保號性、四則運算法則等。極限的性質(zhì)直接代入法、因式分解法、有理化法、洛必達法則等。極限的計算方法本節(jié)重點知識點總結回顧典型例題分析講解例題1求$lim_{xto1}frac{x^2-1}{x-1}$。分析該極限為“0/0”型，可使用洛必達法則求解。解答$lim_{xto1}frac{x^2-1}{x-1}=lim_{xto1}frac{2x}{1}=2$。例題2求$lim_{xto+infty}frac{sinx}{x}$。分析該極限為“有界量/無窮大量”，結果為0。解答$lim_{xto+infty}frac{sinx}{x}=0$。連續(xù)與極限的關系連續(xù)函數(shù)在某一點的極限值等于該點的函數(shù)值，即$lim_{xtox_0}f(x)=f(x_0)$。導數(shù)與極限的關系導數(shù)是一種特殊的極限，表示函數(shù)在某一點處的切線斜率，即$f'(x_0)=lim_{Deltaxto0}frac{f(x_0+Deltax)-f(x_0)}{Delt