新教材選擇性3.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)課件（14張）

3.2.2雙曲線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解雙曲線的幾何性質(zhì).a,b,c以及e的幾何意義.3.會(huì)利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決簡(jiǎn)單的問題.

1|雙曲線的幾何性質(zhì)?焦點(diǎn)位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程

-

=1(a>0,b>0)

-

=1(a>0,b>0)圖形

幾何性質(zhì)范圍x≤-a或x≥ay≤-a或y≥a對(duì)稱性關(guān)于x軸,y軸,原點(diǎn)對(duì)稱中心O(0,0)頂點(diǎn)A2(a,0),A1(-a,0)A2(0,a),A1(0,-a)軸線段A1A2叫作雙曲線的實(shí)軸,長(zhǎng)度為①2a

,線

段B1B2叫作雙曲線的虛軸,長(zhǎng)度為②2b

漸近線直線③

y=±

x

直線④

y=±

x

離心率e=⑤

,e∈(1,+∞)2|等軸雙曲線與共軛雙曲線1.實(shí)軸與虛軸相等的雙曲線叫作等軸雙曲線,其方程為x2-y2=a2或y2-x2=a2(a≠0).等軸雙曲線的漸近線方程為y=±x,離心率等于

,兩條漸近線互相垂直.2.以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸,實(shí)軸為虛軸的雙曲線叫作原雙曲線的共軛雙曲線.

例如,雙曲線

-

=1(a>0,b>0)與雙曲線

-

=1(a>0,b>0)互為共軛雙曲線,它們有共同的漸近線,它們的離心率e1,e2滿足

+

=1.

判斷正誤,正確的畫“√”,錯(cuò)誤的畫“?”.1.雙曲線有四個(gè)頂點(diǎn),分別是雙曲線與其實(shí)軸及虛軸的交點(diǎn).

(

?)

-

=1與

-

=1(a>0,b>0)的形狀相同.(√)

-

=1與

-

=1(a>0,b>0)的漸近線相同.

(

?)提示:雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的漸近線方程為

±

=0,雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的漸近線方程為

±

=0,所以兩雙曲線的漸近線不相同.4.等軸雙曲線的漸近線互相垂直,離心率e=

.

(√)提示:等軸雙曲線中,a=b,漸近線方程為y=±x,所以兩漸近線相互垂直,又c=

a,所以離心率e=

.5.雙曲線的離心率越大,雙曲線的開口越大.

(√)提示:雙曲線的離心率決定雙曲線的開口大小,離心率越大,開口越大.

1|根據(jù)雙曲線方程研究幾何性質(zhì)

由雙曲線的方程研究幾何性質(zhì)的解題步驟(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式;(2)由標(biāo)準(zhǔn)方程確定焦點(diǎn)位置,確定a,b的值;(3)由c2=a2+b2求出c值,從而研究雙曲線的幾何性質(zhì).提醒:研究性質(zhì)時(shí)一定要注意焦點(diǎn)的位置.

求雙曲線

-

=1的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程.解析由題意,得雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,a=7,b=5,則c=

,所以雙曲線的實(shí)軸、虛軸的長(zhǎng)分別為14,10,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(7,0),(-7,0),焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-

,0),(

,0),離心率e=

=

,漸近線y=±

x.2|由幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

不明確時(shí),方程可能有兩種形式,此時(shí)應(yīng)注意分類討論,為了避免討論,也可設(shè)雙曲

線的方程為mx2-ny2=1(mn>0).(1)漸近線為y=±

x的雙曲線方程可設(shè)為

-

=λ(λ≠0,m>0,n>0);如果兩條漸近線的方程為Ax±By=0,那么雙曲線的方程可設(shè)為A2x2-B2y2=m(m≠0,A>0,B>0).(2)與雙曲線

-

=1或

-

=1(a>0,b>0)共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為

-

=λ或

-

=λ(λ≠0).(3)與雙曲線

-

=1(a>0,b>0)離心率相等的雙曲線方程可設(shè)為

-

=λ(λ>0)或

-

=λ(λ>0),這是因?yàn)橛呻x心率不能確定焦點(diǎn)位置.(4)與橢圓

+

=1(a>b>0)共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為

-

=1(b2<λ<a2).

(1)已知雙曲線是等軸雙曲線,且它的一個(gè)焦點(diǎn)為F1(-6,0),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)與雙曲線

-

=1有相同的漸近線,且經(jīng)過點(diǎn)M(

,-

).求雙曲線C的方程.思路點(diǎn)撥(1)由題可得a=b,再由c=6即可求出a,b.(2)先求出雙曲線

-

=1的漸近線方程為y=±

x,從而由題意可得

=

,所以雙曲線C:

-

=1(a>0,b>0)的方程可化為

-

=1,再把M的坐標(biāo)代入方程中求出a的值,從而可得雙曲線C的方程.解析(1)由題意可得a=b,c=6,焦點(diǎn)在x軸上,∵a2+b2=c2,∴a2=b2=18,故雙曲線方程為

-

=1.(2)在雙曲線

-

=1中,a'=2,b'=

,則漸近線方程為y=±

x=±

x,∵雙曲線C:

-

=1與雙曲線

-

=1有相同的漸近線,∴

=

,∴方程可化為

-

=1,又雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)M(

,-

),∴

-

=1,解得a=1,∴雙曲線C的方程為x2-

=1.3|雙曲線的漸近線與離心率

雙曲線的漸近線與離心率是雙曲線最重要的兩個(gè)幾何性質(zhì),需注意以下幾點(diǎn):x軸上的雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±

x,焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±

x,注意區(qū)分.2.雙曲線的兩條漸近線的斜率互為相反數(shù).3.漸近線與離心率的關(guān)系:

=

,e=

.a,c(或

a,b或b,c)的關(guān)系式,結(jié)合c2=a2+b2進(jìn)行求解.

(1)已知雙曲線

-

=1(b>0)上任意一點(diǎn)P到兩條漸近線的距離之積等于3,則該雙曲線的離心率等于()A.

B.

C.

D.

(2)若雙曲線

+

=1的離心率等于3,則其漸近線方程為

;(3)設(shè)直線x-3y+m=0(m≠0)與雙曲線

-

=1(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A,B,若點(diǎn)P(m,0)滿足PA=PB,則該雙曲線的離心率是

.解析(1)易知雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,所以漸近線方程為y=±

x,即bx±

y=0,設(shè)P(x0,y0),則P到兩條漸近線的距離之積為

·

=

,而

-

=1,所以|b2

-5

|=5b2,因此

=3,解得b2=

,故雙曲線的離心率e=

=

=

=

,故選D.(2)由題意得2m(m-4)<0,解得0<m<4,所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,于是

=

=

=

=2

,所以

=

,故雙曲線的漸近線方程為y=±

x.(3)雙曲線的漸近線方程為y=±

x,分別與x-3y+m=0聯(lián)立,解得A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)