2022-2023學(xué)年浙江省衢州市柯城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年浙江省衢州市柯城區(qū)九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.下列事件中，屬于不可能事件的是（）

A.一匹馬奔跑的速度是100米/秒

B.射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)

C.班里有兩名同學(xué)的生日在同一天

D.在地面上向空中拋擲一石塊，石塊終將落下

2.已知戶|，則號(hào)的值是（）

A.3|qB.|C.|2D.fS

3.如圖，△ABC內(nèi)接于O。，乙4=45。，則Z1B0C的度數(shù)為()

A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

4.如圖，DE"BC,AD：DB=3：4,CE=8,則AE=()

A.6

B.7

C.8

D.14

5.已知圓的半徑為6,120。的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是()

A.271B.47rC.67rD.127r

6.將拋物線y=-3/向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，得到的新的拋物線的解析式為（）

A.y=-3(%+I)2+2B.y=-3(%—l)2—2

C.y=-3(X+l)2—2D.y=-3(%—l)2+2

7.如圖，一名滑雪運(yùn)動(dòng)員沿著傾斜角為a的斜坡，從/滑行到8.已知AB=200m，則這名

滑雪運(yùn)動(dòng)員的高度下降了血.（）

B

A.200s譏aB.200cosaC.200tanaD.—

tana

8.用長(zhǎng)為87n的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，設(shè)48為雙?。?，則窗框的透光面積D_______C

y（m2）關(guān)于x（m）的函數(shù)表達(dá)式為（）E|

AB

A.y—x(4—x)B.y=x(8—3x)C.y=|x(8—3x)D.y=|x(8—3x)

9.如圖，在AABC中，AABC=90°,NC=30。,以點(diǎn)4為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑作弧

交AB于點(diǎn)D.連接BD,再分別以點(diǎn)B,。為圓心，大于細(xì)。的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)

P,作射線力P交BC于點(diǎn)E,連結(jié)DE,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A./.BAE=Z.CAEB.AE=CE

C.沁￡=￥D.AB2=BE-BC

SLCBA3

10.已知二次函數(shù)y=（無(wú)一a）2+1,當(dāng)時(shí)，y的最小值為a+1,貝1Ja的值為（）

A.0或1B.0或4C.1或4D.?；?或4

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.二次函數(shù)y=x2+1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.

12.九（1）班同學(xué)到基地參加實(shí)踐活動(dòng)，第一天的活動(dòng)安排如表，若每半天的活動(dòng)項(xiàng)目隨機(jī)抽簽決定，則九

（1）班同學(xué)上午抽到“旱地冰壺”，下午抽到“甜品派對(duì)”的概率是.

時(shí)間活動(dòng)項(xiàng)目

上午iWi空拓展旱地冰壺

下午甜品派對(duì)花樣水餃

13.如圖，在。。中，已知半徑為5,弦力B的長(zhǎng)為8,那么圓心。到4B的距離為

B

14.為測(cè)量河寬康康采用如下方法：如圖，從點(diǎn)4出發(fā)沿垂直于A8的方

向前行45米到達(dá)點(diǎn)C,繼續(xù)沿2D方向前行15米到達(dá)點(diǎn)0,再沿垂直于4D的

方向前行到達(dá)點(diǎn)E，使B,C,E三點(diǎn)共線.已知DE=20米，則河寬4B=

m.

15.如圖，二次函數(shù)為=+c與一次函數(shù)為>2=爪比+n的圖象相交于4,B兩點(diǎn)，則不等式X?+

bx+c<mx+n的解為.

16.四巧板由一塊長(zhǎng)方形分成的四塊不規(guī)則圖形組成，如圖1所示.其中有大小不同的直角梯形兩塊，等腰直

角三角形一塊，凹五邊形一塊，這幾個(gè)多邊形的內(nèi)角除直角外，其余為45?；?35。的角，康康用這副四巧

板拼成了如圖2所示的T形(BC豐DF).

(1)設(shè)4B=1,則HE=.

(2)若"T"形中的線段AG=DM,那么圖1中的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比值是

圖1圖2

三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

17.(本小題8分)

計(jì)算：|-/2|-2sin45°+20220.

18.(本小題8分)

如圖，A/IBC是格點(diǎn)三角形.

⑴將圖1中的AABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，得AaiBiCi，請(qǐng)?jiān)趫D1中畫出

(2)在圖2中畫出與AABC相似但相似比不為1的格點(diǎn)△人282。2?

19.(本小題8分)

如圖，點(diǎn)4(一1,0),8(2,-3)都在二次函數(shù)37=。/+6%-3的圖象上.

(1)求a,6的值.

(2)若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,月)，(0,y2)>(|，、3)，比較為，內(nèi)，%的大小，并簡(jiǎn)述理由.

20.(本小題8分)

在一個(gè)不透明的盒子里裝有紅、白兩種顏色的球共10個(gè)，這些球除顏色外都相同.小穎將球攪勻，從盒子

里隨機(jī)摸出一個(gè)球記下顏色后，再把球放回盒子，不斷重復(fù)上述過(guò)程.下表是多次摸球試驗(yàn)中的一組統(tǒng)計(jì)

數(shù)據(jù):

摸球的次數(shù)幾10020030050080010003000

摸到白球的次數(shù)6651241783024815991803

摸到白球的頻率;0.650.620.5930.6040.6010.5990.601

(1)請(qǐng)估計(jì)：當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率將會(huì)接近(精確到0.1)；

(2)若從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸到白球的概率的估計(jì)值是；

(3)小明用轉(zhuǎn)盤來(lái)代替摸球做試驗(yàn).如圖是一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，小明將轉(zhuǎn)盤分為紅色、白色2個(gè)扇形

區(qū)域，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止后，指針落在白色區(qū)域的概率與摸球試驗(yàn)中摸到白球的概率相同.請(qǐng)你在轉(zhuǎn)

盤上用文字“紅色”、“白色”注明兩個(gè)區(qū)域的顏色，并求出白色區(qū)域的扇形的圓心角的度數(shù).

21.(本小題8分)

如圖1.在△ABC中，^ABC=120°,AB=BC=1.

（1）求ac長(zhǎng).

（2）如圖2,若點(diǎn)。是AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與4、C重合），在BC上取一點(diǎn)E,使NBDE=30。.

①求證：4ABDFCDE.

②設(shè)=BE=y,求y關(guān)于％的函數(shù)表達(dá)式及自變量工的取值范圍，并求出當(dāng)力。為何值時(shí)，BE的值最

??？

圖1

22.（本小題8分）

如圖，在ATIBC中，AB=AC,以48為直徑的半圓。分別交BC,2C于點(diǎn)D,E,連結(jié)E8,OD,DE.

(1)求證：OD1.EB.

(2)若DE=/10，AB=10,求4E的長(zhǎng).

23.（本小題8分）

如圖，在矩形力BCD中，。為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△4BF沿力F折疊得到△APF.若直線

PF恒過(guò)點(diǎn)0,直線FP,力。交于點(diǎn)E.

（1）求證：0E=OF.

（2）若點(diǎn)P在矩形48CD內(nèi)，

①當(dāng)。E=5時(shí)，求4E長(zhǎng).

②當(dāng)。E=2PE時(shí)，求啜的值.

24.（本小題10分）

康康發(fā)現(xiàn)超市里有一種長(zhǎng)方體包裝的果凍禮盒，四個(gè)果陳連續(xù)放置（如圖2）.每個(gè)果凍高為6on,底面直徑

為4cm,其軸截面的輪廓可近似地看作一段拋物線，如圖1所示.

（1）在圖2中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求出左側(cè)第一條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）為了節(jié)省包裝成本，康廉設(shè)計(jì)了一種新的包裝方案，將相鄰的果凍上下顛倒放置（相鄰果凍緊貼于一

點(diǎn)，

但果凍之間無(wú)擠壓），如圖3所示.

①康康發(fā)現(xiàn)相鄰兩條緊貼于一點(diǎn)的拋物線成中心對(duì)稱.請(qǐng)?jiān)谀憬⒌淖鴺?biāo)系中，求左側(cè)兩條拋物線的對(duì)稱

中心的坐標(biāo).

②按照康康的方案，包裝盒的長(zhǎng)度節(jié)省了多少厘米？

圖3

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:4一匹馬奔跑的速度是100米/秒，是不可能事件，不符合題意；

8射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次，命中10環(huán)，是隨機(jī)事件，不符合題意；

C班里有兩名同學(xué)的生日在同一天，是隨機(jī)事件，不符合題意；

D在地面上向空中拋擲一石塊，石塊終將落下，是必然事件，符合題意.

故選：A.

根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，必然事件是指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；

不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生

也可能不發(fā)生的事件.

2.【答案】B

【解析】解：W=M

b3

.a+b_2+3_5

~b~=—=3*

故選：B.

根據(jù)合比性質(zhì)即可求解.

本題考查了比例的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，掌握合比性質(zhì)：若5=則牛=字是解題的關(guān)鍵.

Daba

3.【答案】D

【解析】解：乙4是前所對(duì)的圓周角，NBOC是詫所對(duì)的圓心角，乙4=45。，

.-.乙BOC=2ZX=2x45°=90°.

故選：D.

直接根據(jù)圓周角定理進(jìn)行解答即可.

本題考查三角形的外接圓與外心，圓心角，弧，弦之間的格線，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周

角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

4.【答案】A

【解析】解：???DE〃BB,

AED~AACB,

tAE_AD

ACAB

AE_AD

?t?,

ECDB

,AE_3

.?.—=一,

84

??.AE=6.

故選：A.

證明△AEDsAACB,利用相似三角形的性質(zhì)得出槳=*，進(jìn)而求出若=黑，再代入計(jì)算即可.

ACABECDB

此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練利用相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

5.【答案】B

【解析】解：半徑為6,圓心角為120。所對(duì)的弧長(zhǎng)為二臀=4兀.

loll

故選：B.

根據(jù)弧長(zhǎng)公式求出答案即可.

本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，能熟記弧長(zhǎng)公式是解此題的關(guān)鍵，注意：圓心角為汨，半徑為r的扇形的弧長(zhǎng)為

nnr

180,

6.【答案】D

【解析】解：將拋物線y=-3/向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位后，得到的新的拋物線的解析式

為：y=-3(%-I)2+2.

故選：D.

根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答即可.

本題考查了二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關(guān)鍵.

7.【答案】A

【解析】解:設(shè)運(yùn)動(dòng)員高度下降了久(6)，

由題意可知：sina=―,

AD

■■■h=200sina,

故選：A.

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出答案.

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型.

8.【答案】C

【解析】解：,?,矩形窗框的周長(zhǎng)為8?n,AB為xm,

8-3x32I4

y=X?—^―=--Xz+4%.

故選：C.

由題意可知窗戶的透光面積為長(zhǎng)方形，根據(jù)4B為和得出4。長(zhǎng)為寧小，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式即可得

到y(tǒng)和久的函數(shù)關(guān)系式.

本題考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，用含工的代數(shù)式表示出豎直的一邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

9.【答案】C

【解析】解：由作圖可得4E平分NB4C,AB=AD,

,?1AB-AD,Z.BAE=Z.DAE,AE=AE,

.■.ABAE=ADAE(SAS~),

乙BAE=/.CAE,故A正確；

???4ABC=90°,ZC=30°,

???AC=2AB,Z.BAC=60°,

.-./.BAE=ADAE=30°=",

：.AE=EC,故B正確，

???AB=AD,AC=228,

AD=CD,

.??點(diǎn)。為AC的中點(diǎn)，

DE垂直平分線段AC,故8正確；

在△ABC和△EDC中，ZC=ZC,/.ABC=/.EDC=90°,

:.xABCs&EDC,

AB__AC_B￡

~DE~~EC~~DC

裊cos30o=苧，DC^^AC,

巾

京BC一_「

.SAABC=(73)2=3,

S〉EDC

?沁亞—a故c錯(cuò)誤,

S^ABC

Z.ABE=/.ABC，/.BAE=ZC，

:.?ABEs&CBA,

AB2=BE-BC,故選項(xiàng)。正確，

故選：C.

證明ABAE三△￡ME(SAS),即可推出4,8正確，證明可得。正確，證明

EDC,推出零=等=蓋，可得C錯(cuò)誤.

DEECDC

本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，含30。角的直角三角形，解答的關(guān)鍵是對(duì)相

似三角形的判定條件與性質(zhì)的掌握與靈活運(yùn)用.

10.【答案】B

【解析】解：???二次函數(shù)y=Q—a)2+1,

.,.當(dāng)x=a時(shí)，該函數(shù)取得最小值1,

??,當(dāng)―1<x<2時(shí)，y的最小值為a+1,

.,.當(dāng)a<-l時(shí)，*=-1時(shí)取得最小值，此時(shí)(-1-a/+1=a+1,該方程無(wú)解；

當(dāng)-lWaW2時(shí)，乂=a時(shí)取得最小值，此時(shí)l=a+l,得a=0；

當(dāng)a>2時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)取得最小值，此時(shí)(2-a)2+1=a+1,得a=4；

故選：B.

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討論的方法，可以求得a的值.

本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和分類討

論的方法解答.

n.【答案】(0,1)

【解析】解：二次函數(shù)y=/+i的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1).

故答案為：(0,1).

根據(jù)頂點(diǎn)式解析式寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.

本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握頂點(diǎn)式解析式是解題的關(guān)鍵.

12.【答案】j

【解析】解：根據(jù)題意得，“高空拓展”和“甜品派對(duì)”，“高空拓展”和“花樣水餃”，“高空拓展”

和“甜品派對(duì)”，“高空拓展”和“花樣水餃”一共有4種情況，其中上午抽到“旱地冰壺”，下午抽到

“甜品派對(duì)”的有1種情況，

故九(1)班同學(xué)上午抽到“旱地冰壺”，下午抽到“甜品派對(duì)”的概率是"

4

故答案為："

根據(jù)概率的求法，找準(zhǔn)兩點(diǎn)：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概

率.

此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有71種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件力出現(xiàn)小種可能,

那么事件a的概率p（a）=；.

13.【答案】3

【解析】解：作。C14B于C,連結(jié)04如圖,

0C1AB,

11

..."=BC="B=/X8=4,

在RtzMOC中，0A=5,

0C=0A2-AC2=V52-42=3,

即圓心。到48的距離為3.

故答案為：3.

作。C14B于C,連接04根據(jù)垂徑定理得到AC=BC=1AB=4,然后在Rt△20C中利用勾股定理計(jì)算

0C即可.

本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.也考查了勾股定理.

14.【答案】60

【解析】解：如圖，AC=45m,CD=15m,DE=20m,

???ABLAD,DE1AD,

AB//DE,

.?.△XBC'-ADEC,

tAB_AC日n”_20

???=即芯=15,

解得ZB=60,

即河寬AB為607n.

故答案為：60.

先證明△ABCFDEC,然后利用相似三角形的性質(zhì)得到槳=縱即第=管，則根據(jù)比例的性質(zhì)求出力8

DEDC4515

即可.

本題考查了相似三角形的應(yīng)用：常常構(gòu)造“4”型或“X”型相似圖，利用三角形相似的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)邊成比

例可求出河的寬度.

15.【答案】一1〈尤<3

【解析】解：由圖象可知，力與丫2圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1和3，

?當(dāng)—1<%<3時(shí)，力的圖象在光的圖象的下方，

二不等式/+bx+c<mx+n的解為一1<x<3.

故答案為：一1<%<3.

由圖象可知，為與力圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1和3，當(dāng)-l<x<3時(shí)，為的圖象在弦的圖象的下方，即可

得答案.

本題考查二次函數(shù)與不等式（組），能夠利用函數(shù)圖象判斷兩個(gè)函數(shù)的大小關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

16.【答案】724AA2

【解析】解：（1）是等腰直角三角形，且4B=1,

AC=V-2>

???/-ACB=乙DEH="AH,

：.AHIICE,AC//EH,

.??四邊形2CEH是平行四邊形，

HE=AC—

故答案為：72;

（2）如圖1,

圖1

設(shè)28=a,則AC=DH=AE=42a，

由圖2可知：EH=72a,

???AG=DM=CN,

CN=AH+GH=2<2a.

:?如圖1，AN=4”a,

.?.圖1中的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬的比=AN：AB=4^a-.a=

(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可得4c=2,證明四邊形4CE”是平行四邊形，可得結(jié)論；

(2)設(shè)4B=a,貝必C=DH=4E=計(jì)算4V的長(zhǎng)，可得長(zhǎng)與寬的比值.

本題考查直角梯形，四巧板，等腰直角三角形，圖形的拼剪等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)動(dòng)手操作，培養(yǎng)動(dòng)

手能力.

17.【答案】解：原式—2x與+1

=V-2—+1

=1.

【解析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)值、零指數(shù)累的意義即可求出答案.

本題考查絕對(duì)值的性質(zhì)、特殊角的銳角三角函數(shù)值、零指數(shù)幕的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型.

18.【答案】解:⑴如圖1,△4/16即為所求.

(2)如圖2,△力2鳥2c2即為所求.

【解析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可.

(2)根據(jù)相似的性質(zhì)，作AABC與小乙⑶2c2的相似比

為1：2即可.

本題考查作圖-旋轉(zhuǎn)變換、相似變換，熟練掌握旋轉(zhuǎn)

與相似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：(1).??點(diǎn)2(-1,0),B(2,-3)都在二次函數(shù)y=a/+bx-3的圖象上.

(CL-b-3=0

???(4。+2/)-3=-3'

解得：胃=1于

3=-2

???a=1,b=—2；

(2);a=1,b=—2,

???y=M_2%—3=(%—l)2—4,

???對(duì)稱軸為直線％=1,

???a=1>0,在對(duì)稱軸的右側(cè)y隨工的增大而增大，

???(一2/1)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)(4ji),(0〃2)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)(2/2)，

2<|<4,

???y2<y3<yi-

【解析】(1)利用待定系數(shù)法解答即可；

(2)求得拋物線的對(duì)稱軸，利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)和拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征解答即可得出結(jié)論.

本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，待定系數(shù)法，數(shù)形結(jié)合

法，利用待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法解答是解題的關(guān)鍵.

20.【答案】解：(1)0.6；

(2)0.6；

⑶???摸到白球的頻率約為0.6,

???轉(zhuǎn)盤中白色區(qū)域的扇形的圓心角的度數(shù)為360。、0.6=216°,如圖所示：

【解析】解：(1)、?摸到白球的頻率約為0.6,

.?.當(dāng)n很大時(shí)，摸到白球的頻率約為0.6,

故答案為：0.6；

⑵???摸到白球的頻率約為0.6,

???從盒子里隨機(jī)摸出一個(gè)球，則摸到白球的概率的估計(jì)值是0.6,

故答案為：0.6；

⑶???摸到白球的頻率約為0.6,

???轉(zhuǎn)盤中白色區(qū)域的扇形的圓心角的度數(shù)為360。、0.6=216°,如圖所示:

(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，估計(jì)得出摸到白球的頻率.

(2)由表中數(shù)據(jù)即可得；

(3)根據(jù)摸到白球的頻率即可得到轉(zhuǎn)盤中白色區(qū)域的扇形的圓心角的度數(shù).

本題主要考查了如何利用頻率估計(jì)概率，在解題時(shí)要注意頻率和概率之間的關(guān)系，屬于中考?？碱}型.

21.【答案】(1)解：作BH12C于H,

NA=%=30°,AC=2AH,

AH=cos300-AB=亨，

，AC=2AH-

(2)①證明：v^BDC=+^ABD,乙BDE=(A,

???乙EDC=Z-ABD,

???Z-A=Z-C,

ABD~ACDE；

②解：,.,XABD~XCDE,

tAD_AB

CECD

.%_1

??1-yV-3—xJ

.y=x2_yJ~^X_|_1(0<%<V~3),

當(dāng)％=—乎=苧時(shí),y最小為;，

???當(dāng)4D=學(xué)寸，BE最小為

24

【解析】(1)作BH14C于從利用30。角的三角函數(shù)可得2”的長(zhǎng)，再利用等腰三角形的性質(zhì)即可；

⑵①根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得NEDC=N4BD,且乙4=NC,即可證明結(jié)論；

②利用相似三角形的性質(zhì)和二次函數(shù)求最值即可解決問(wèn)題.

本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30。角的三角函數(shù),

二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.【答案】⑴證明：?.TB=4C,

???乙ABC=Z-C,

OB=OD,

???Z-ABC=Z.ODB,

???Z-ODB=Z.C,

OD//AC,

???AB為直徑，

??.Z.AEB=90°,

BELAC,

???OD//AC,

???OD1EB：

(2)解：如圖，

vOD//AC.。是AB的中點(diǎn),

??.。是的中點(diǎn)，

???/B是直徑，

???^AEB=90°,

???乙BEC=90°,

1

2-

乙DEC=Z.C,

DE=AHO,

BC=2/10>

AB=AC=10,

Z-B=Z-C,

乙DEC=/-ABC,

Z-C=Z-C,

△DEC~>ABC,

EC_DE日nEC_/To

前=同即云F=

EC=2,

??.AE=AC-EC=10-2=8.

【解析】⑴由等腰三角形的性質(zhì)得出N2BC=",乙ABC=ODB,進(jìn)而得出NODB=",可證明。。/

/AC,由圓周角定理得出N4EB=90°,貝UBE1AC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得。。1EB；

(2)由OD〃AC,。是力B的中點(diǎn)，得出。是BC的中點(diǎn)，由圓周角定理NBEC=90。，直角三角形的性質(zhì)結(jié)合

DE=710,得出BC=2j而，繼而證明△DECSAABC,由相似三角形的性質(zhì)得出EC=2,進(jìn)而求出4E

的長(zhǎng)度.

本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)，平行線

的判定方法，圓周角定理，相似三角形的判定方法是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

23.【答案】⑴證明：在矩形2BCD中，

???BC//AD,

Z.FBO=/.EDO,

???。為對(duì)角線BD的中點(diǎn)，

OB=OD,

Z-FOB=乙EOD,

-.AFOB=AEOD(ASA)f

??.OF=OE：

(2)解：@vOE=5,

.?.OF=OE=5,

??.EF=OE+OF=10,

???BC//AD,

???Z-BFA=Z.FAE,

由折疊可知：^BFA=Z.EFA,

Z.EFA=Z.FAE,

.?.AE=EF=10,

???AE長(zhǎng)為10；

②設(shè)PE=x,

則OE=2PE=2x=OF,

OP=OE—PE=x,

.?.EF=4x=AE,

由折疊可知：BF=PF=OP+OF—3x,

由(1)知：AFOS=AEOD,

BF=DE=3x,

AD=DE+EA=3x+4x=7x,

???/.CBA=/-