2022-2023學年浙江省衢州市柯城區(qū)九年級（上）期末數學試卷（含解析）

2022-2023學年浙江省衢州市柯城區(qū)九年級（上）期末數學試卷

一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列事件中，屬于不可能事件的是（）

A.一匹馬奔跑的速度是100米/秒

B.射擊運動員射擊一次，命中10環(huán)

C.班里有兩名同學的生日在同一天

D.在地面上向空中拋擲一石塊，石塊終將落下

2.已知戶|，則號的值是（）

A.3|qB.|C.|2D.fS

3.如圖，△ABC內接于O。，乙4=45。，則Z1B0C的度數為()

A.45°

B.60°

C.75°

D.90°

4.如圖，DE"BC,AD：DB=3：4,CE=8,則AE=()

A.6

B.7

C.8

D.14

5.已知圓的半徑為6,120。的圓心角所對的弧長是()

A.271B.47rC.67rD.127r

6.將拋物線y=-3/向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，得到的新的拋物線的解析式為（）

A.y=-3(%+I)2+2B.y=-3(%—l)2—2

C.y=-3(X+l)2—2D.y=-3(%—l)2+2

7.如圖，一名滑雪運動員沿著傾斜角為a的斜坡，從/滑行到8.已知AB=200m，則這名

滑雪運動員的高度下降了血.（）

B

A.200s譏aB.200cosaC.200tanaD.—

tana

8.用長為87n的鋁合金條制成如圖所示的矩形窗框，設48為雙?。瑒t窗框的透光面積D_______C

y（m2）關于x（m）的函數表達式為（）E|

AB

A.y—x(4—x)B.y=x(8—3x)C.y=|x(8—3x)D.y=|x(8—3x)

9.如圖，在AABC中，AABC=90°,NC=30。,以點4為圓心，以AB的長為半徑作弧

交AB于點D.連接BD,再分別以點B,。為圓心，大于細。的長為半徑作弧，兩弧交于點

P,作射線力P交BC于點E,連結DE,則下列結論中錯誤的是（）

A./.BAE=Z.CAEB.AE=CE

C.沁￡=￥D.AB2=BE-BC

SLCBA3

10.已知二次函數y=（無一a）2+1,當時，y的最小值為a+1,貝1Ja的值為（）

A.0或1B.0或4C.1或4D.?；?或4

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分。

11.二次函數y=x2+1的圖象的頂點坐標是.

12.九（1）班同學到基地參加實踐活動，第一天的活動安排如表，若每半天的活動項目隨機抽簽決定，則九

（1）班同學上午抽到“旱地冰壺”，下午抽到“甜品派對”的概率是.

時間活動項目

上午iWi空拓展旱地冰壺

下午甜品派對花樣水餃

13.如圖，在。。中，已知半徑為5,弦力B的長為8,那么圓心。到4B的距離為

B

14.為測量河寬康康采用如下方法：如圖，從點4出發(fā)沿垂直于A8的方

向前行45米到達點C,繼續(xù)沿2D方向前行15米到達點0,再沿垂直于4D的

方向前行到達點E，使B,C,E三點共線.已知DE=20米，則河寬4B=

m.

15.如圖，二次函數為=+c與一次函數為>2=爪比+n的圖象相交于4,B兩點，則不等式X?+

bx+c<mx+n的解為.

16.四巧板由一塊長方形分成的四塊不規(guī)則圖形組成，如圖1所示.其中有大小不同的直角梯形兩塊，等腰直

角三角形一塊，凹五邊形一塊，這幾個多邊形的內角除直角外，其余為45?；?35。的角，康康用這副四巧

板拼成了如圖2所示的T形(BC豐DF).

(1)設4B=1,則HE=.

(2)若"T"形中的線段AG=DM,那么圖1中的長方形的長與寬的比值是

圖1圖2

三、解答題：本題共8小題，共66分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題8分)

計算：|-/2|-2sin45°+20220.

18.(本小題8分)

如圖，A/IBC是格點三角形.

⑴將圖1中的AABC繞點B順時針旋轉90。，得AaiBiCi，請在圖1中畫出

(2)在圖2中畫出與AABC相似但相似比不為1的格點△人282。2?

19.(本小題8分)

如圖，點4(一1,0),8(2,-3)都在二次函數37=。/+6%-3的圖象上.

(1)求a,6的值.

(2)若二次函數的圖象經過點(-2,月)，(0,y2)>(|，、3)，比較為，內，%的大小，并簡述理由.

20.(本小題8分)

在一個不透明的盒子里裝有紅、白兩種顏色的球共10個，這些球除顏色外都相同.小穎將球攪勻，從盒子

里隨機摸出一個球記下顏色后，再把球放回盒子，不斷重復上述過程.下表是多次摸球試驗中的一組統(tǒng)計

數據:

摸球的次數幾10020030050080010003000

摸到白球的次數6651241783024815991803

摸到白球的頻率;0.650.620.5930.6040.6010.5990.601

(1)請估計：當n很大時，摸到白球的頻率將會接近(精確到0.1)；

(2)若從盒子里隨機摸出一個球，則摸到白球的概率的估計值是；

(3)小明用轉盤來代替摸球做試驗.如圖是一個可以自由轉動的轉盤，小明將轉盤分為紅色、白色2個扇形

區(qū)域，轉動轉盤，當轉盤停止后，指針落在白色區(qū)域的概率與摸球試驗中摸到白球的概率相同.請你在轉

盤上用文字“紅色”、“白色”注明兩個區(qū)域的顏色，并求出白色區(qū)域的扇形的圓心角的度數.

21.(本小題8分)

如圖1.在△ABC中，^ABC=120°,AB=BC=1.

（1）求ac長.

（2）如圖2,若點。是AC上一動點（不與4、C重合），在BC上取一點E,使NBDE=30。.

①求證：4ABDFCDE.

②設=BE=y,求y關于％的函數表達式及自變量工的取值范圍，并求出當力。為何值時，BE的值最

小？

圖1

22.（本小題8分）

如圖，在ATIBC中，AB=AC,以48為直徑的半圓。分別交BC,2C于點D,E,連結E8,OD,DE.

(1)求證：OD1.EB.

(2)若DE=/10，AB=10,求4E的長.

23.（本小題8分）

如圖，在矩形力BCD中，。為對角線BD的中點，F為BC邊上一動點，將△4BF沿力F折疊得到△APF.若直線

PF恒過點0,直線FP,力。交于點E.

（1）求證：0E=OF.

（2）若點P在矩形48CD內，

①當。E=5時，求4E長.

②當。E=2PE時，求啜的值.

24.（本小題10分）

康康發(fā)現超市里有一種長方體包裝的果凍禮盒，四個果陳連續(xù)放置（如圖2）.每個果凍高為6on,底面直徑

為4cm,其軸截面的輪廓可近似地看作一段拋物線，如圖1所示.

（1）在圖2中建立合適的平面直角坐標系，并求出左側第一條拋物線的函數表達式.

（2）為了節(jié)省包裝成本，康廉設計了一種新的包裝方案，將相鄰的果凍上下顛倒放置（相鄰果凍緊貼于一

點，

但果凍之間無擠壓），如圖3所示.

①康康發(fā)現相鄰兩條緊貼于一點的拋物線成中心對稱.請在你建立的坐標系中，求左側兩條拋物線的對稱

中心的坐標.

②按照康康的方案，包裝盒的長度節(jié)省了多少厘米？

圖3

答案和解析

1.【答案】A

【解析】解:4一匹馬奔跑的速度是100米/秒，是不可能事件，不符合題意；

8射擊運動員射擊一次，命中10環(huán)，是隨機事件，不符合題意；

C班里有兩名同學的生日在同一天，是隨機事件，不符合題意；

D在地面上向空中拋擲一石塊，石塊終將落下，是必然事件，符合題意.

故選：A.

根據事件發(fā)生的可能性大小判斷即可.

本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機事件的概念，必然事件是指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；

不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生

也可能不發(fā)生的事件.

2.【答案】B

【解析】解：W=M

b3

.a+b_2+3_5

~b~=—=3*

故選：B.

根據合比性質即可求解.

本題考查了比例的基本性質，是基礎題，掌握合比性質：若5=則牛=字是解題的關鍵.

Daba

3.【答案】D

【解析】解：乙4是前所對的圓周角，NBOC是詫所對的圓心角，乙4=45。，

.-.乙BOC=2ZX=2x45°=90°.

故選：D.

直接根據圓周角定理進行解答即可.

本題考查三角形的外接圓與外心，圓心角，弧，弦之間的格線，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周

角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.

4.【答案】A

【解析】解：???DE〃BB,

AED~AACB,

tAE_AD

ACAB

AE_AD

?t?,

ECDB

,AE_3

.?.—=一,

84

??.AE=6.

故選：A.

證明△AEDsAACB,利用相似三角形的性質得出槳=*，進而求出若=黑，再代入計算即可.

ACABECDB

此題考查了相似三角形的判定和性質，熟練利用相似三角形的判定和性質定理是解題關鍵.

5.【答案】B

【解析】解：半徑為6,圓心角為120。所對的弧長為二臀=4兀.

loll

故選：B.

根據弧長公式求出答案即可.

本題考查了弧長的計算，能熟記弧長公式是解此題的關鍵，注意：圓心角為汨，半徑為r的扇形的弧長為

nnr

180,

6.【答案】D

【解析】解：將拋物線y=-3/向右平移1個單位，再向上平移2個單位后，得到的新的拋物線的解析式

為：y=-3(%-I)2+2.

故選：D.

根據二次函數圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行解答即可.

本題考查了二次函數的圖象與幾何變換，熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減是解題的關鍵.

7.【答案】A

【解析】解:設運動員高度下降了久(6)，

由題意可知：sina=―,

AD

■■■h=200sina,

故選：A.

根據銳角三角函數的定義即可求出答案.

本題考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是正確理解銳角三角函數的定義，本題屬于基礎題型.

8.【答案】C

【解析】解：,?,矩形窗框的周長為8?n,AB為xm,

8-3x32I4

y=X?—^―=--Xz+4%.

故選：C.

由題意可知窗戶的透光面積為長方形，根據4B為和得出4。長為寧小，根據長方形的面積公式即可得

到y(tǒng)和久的函數關系式.

本題考查了根據實際問題列二次函數關系式，用含工的代數式表示出豎直的一邊長是解題的關鍵.

9.【答案】C

【解析】解：由作圖可得4E平分NB4C,AB=AD,

,?1AB-AD,Z.BAE=Z.DAE,AE=AE,

.■.ABAE=ADAE(SAS~),

乙BAE=/.CAE,故A正確；

???4ABC=90°,ZC=30°,

???AC=2AB,Z.BAC=60°,

.-./.BAE=ADAE=30°=",

：.AE=EC,故B正確，

???AB=AD,AC=228,

AD=CD,

.??點。為AC的中點，

DE垂直平分線段AC,故8正確；

在△ABC和△EDC中，ZC=ZC,/.ABC=/.EDC=90°,

:.xABCs&EDC,

AB__AC_B￡

~DE~~EC~~DC

裊cos30o=苧，DC^^AC,

巾

京BC一_「

.SAABC=(73)2=3,

S〉EDC

?沁亞—a故c錯誤,

S^ABC

Z.ABE=/.ABC，/.BAE=ZC，

:.?ABEs&CBA,

AB2=BE-BC,故選項。正確，

故選：C.

證明ABAE三△￡ME(SAS),即可推出4,8正確，證明可得。正確，證明

EDC,推出零=等=蓋，可得C錯誤.

DEECDC

本題考查相似三角形的判定與性質，線段垂直平分線的性質，含30。角的直角三角形，解答的關鍵是對相

似三角形的判定條件與性質的掌握與靈活運用.

10.【答案】B

【解析】解：???二次函數y=Q—a)2+1,

.,.當x=a時，該函數取得最小值1,

??,當―1<x<2時，y的最小值為a+1,

.,.當a<-l時，*=-1時取得最小值，此時(-1-a/+1=a+1,該方程無解；

當-lWaW2時，乂=a時取得最小值，此時l=a+l,得a=0；

當a>2時，當x=2時取得最小值，此時(2-a)2+1=a+1,得a=4；

故選：B.

根據二次函數的性質和分類討論的方法，可以求得a的值.

本題考查二次函數的性質、二次函數的最值，解答本題的關鍵是明確題意，利用二次函數的性質和分類討

論的方法解答.

n.【答案】(0,1)

【解析】解：二次函數y=/+i的圖象的頂點坐標是(0,1).

故答案為：(0,1).

根據頂點式解析式寫出頂點坐標即可.

本題考查了二次函數的性質，熟練掌握頂點式解析式是解題的關鍵.

12.【答案】j

【解析】解：根據題意得，“高空拓展”和“甜品派對”，“高空拓展”和“花樣水餃”，“高空拓展”

和“甜品派對”，“高空拓展”和“花樣水餃”一共有4種情況，其中上午抽到“旱地冰壺”，下午抽到

“甜品派對”的有1種情況，

故九(1)班同學上午抽到“旱地冰壺”，下午抽到“甜品派對”的概率是"

4

故答案為："

根據概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數；②符合條件的情況數目；二者的比值就是其發(fā)生的概

率.

此題考查概率的求法：如果一個事件有71種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件力出現小種可能,

那么事件a的概率p（a）=；.

13.【答案】3

【解析】解：作。C14B于C,連結04如圖,

0C1AB,

11

..."=BC="B=/X8=4,

在RtzMOC中，0A=5,

0C=0A2-AC2=V52-42=3,

即圓心。到48的距離為3.

故答案為：3.

作。C14B于C,連接04根據垂徑定理得到AC=BC=1AB=4,然后在Rt△20C中利用勾股定理計算

0C即可.

本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定理.

14.【答案】60

【解析】解：如圖，AC=45m,CD=15m,DE=20m,

???ABLAD,DE1AD,

AB//DE,

.?.△XBC'-ADEC,

tAB_AC日n”_20

???=即芯=15,

解得ZB=60,

即河寬AB為607n.

故答案為：60.

先證明△ABCFDEC,然后利用相似三角形的性質得到槳=縱即第=管，則根據比例的性質求出力8

DEDC4515

即可.

本題考查了相似三角形的應用：常常構造“4”型或“X”型相似圖，利用三角形相似的性質，對應邊成比

例可求出河的寬度.

15.【答案】一1〈尤<3

【解析】解：由圖象可知，力與丫2圖象的交點的橫坐標為-1和3，

?當—1<%<3時，力的圖象在光的圖象的下方，

二不等式/+bx+c<mx+n的解為一1<x<3.

故答案為：一1<%<3.

由圖象可知，為與力圖象的交點的橫坐標為-1和3，當-l<x<3時，為的圖象在弦的圖象的下方，即可

得答案.

本題考查二次函數與不等式（組），能夠利用函數圖象判斷兩個函數的大小關系是解題的關鍵.

16.【答案】724AA2

【解析】解：（1）是等腰直角三角形，且4B=1,

AC=V-2>

???/-ACB=乙DEH="AH,

：.AHIICE,AC//EH,

.??四邊形2CEH是平行四邊形，

HE=AC—

故答案為：72;

（2）如圖1,

圖1

設28=a,則AC=DH=AE=42a，

由圖2可知：EH=72a,

???AG=DM=CN,

CN=AH+GH=2<2a.

:?如圖1，AN=4”a,

.?.圖1中的長方形的長與寬的比=AN：AB=4^a-.a=

(1)根據等腰直角三角形的性質和勾股定理可得4c=2,證明四邊形4CE”是平行四邊形，可得結論；

(2)設4B=a,貝必C=DH=4E=計算4V的長，可得長與寬的比值.

本題考查直角梯形，四巧板，等腰直角三角形，圖形的拼剪等知識，解題的關鍵是學會動手操作，培養(yǎng)動

手能力.

17.【答案】解：原式—2x與+1

=V-2—+1

=1.

【解析】根據絕對值的性質、特殊角的銳角三角函數值、零指數累的意義即可求出答案.

本題考查絕對值的性質、特殊角的銳角三角函數值、零指數幕的意義，本題屬于基礎題型.

18.【答案】解:⑴如圖1,△4/16即為所求.

(2)如圖2,△力2鳥2c2即為所求.

【解析】(1)根據旋轉的性質作圖即可.

(2)根據相似的性質，作AABC與小乙⑶2c2的相似比

為1：2即可.

本題考查作圖-旋轉變換、相似變換，熟練掌握旋轉

與相似的性質是解答本題的關鍵.

19.【答案】解：(1).??點2(-1,0),B(2,-3)都在二次函數y=a/+bx-3的圖象上.

(CL-b-3=0

???(4。+2/)-3=-3'

解得：胃=1于

3=-2

???a=1,b=—2；

(2);a=1,b=—2,

???y=M_2%—3=(%—l)2—4,

???對稱軸為直線％=1,

???a=1>0,在對稱軸的右側y隨工的增大而增大，

???(一2/1)關于對稱軸的對稱點(4ji),(0〃2)關于對稱軸的對稱點(2/2)，

2<|<4,

???y2<y3<yi-

【解析】(1)利用待定系數法解答即可；

(2)求得拋物線的對稱軸，利用二次函數圖象的性質和拋物線上點的坐標的特征解答即可得出結論.

本題主要考查了二次函數的圖象與系數的關系，二次函數圖象上點的坐標的特征，待定系數法，數形結合

法，利用待定系數法和數形結合法解答是解題的關鍵.

20.【答案】解：(1)0.6；

(2)0.6；

⑶???摸到白球的頻率約為0.6,

???轉盤中白色區(qū)域的扇形的圓心角的度數為360。、0.6=216°,如圖所示：

【解析】解：(1)、?摸到白球的頻率約為0.6,

.?.當n很大時，摸到白球的頻率約為0.6,

故答案為：0.6；

⑵???摸到白球的頻率約為0.6,

???從盒子里隨機摸出一個球，則摸到白球的概率的估計值是0.6,

故答案為：0.6；

⑶???摸到白球的頻率約為0.6,

???轉盤中白色區(qū)域的扇形的圓心角的度數為360。、0.6=216°,如圖所示:

(1)根據表中的數據，估計得出摸到白球的頻率.

(2)由表中數據即可得；

(3)根據摸到白球的頻率即可得到轉盤中白色區(qū)域的扇形的圓心角的度數.

本題主要考查了如何利用頻率估計概率，在解題時要注意頻率和概率之間的關系，屬于中考常考題型.

21.【答案】(1)解：作BH12C于H,

NA=%=30°,AC=2AH,

AH=cos300-AB=亨，

，AC=2AH-

(2)①證明：v^BDC=+^ABD,乙BDE=(A,

???乙EDC=Z-ABD,

???Z-A=Z-C,

ABD~ACDE；

②解：,.,XABD~XCDE,

tAD_AB

CECD

.%_1

??1-yV-3—xJ

.y=x2_yJ~^X_|_1(0<%<V~3),

當％=—乎=苧時,y最小為;，

???當4D=學寸，BE最小為

24

【解析】(1)作BH14C于從利用30。角的三角函數可得2”的長，再利用等腰三角形的性質即可；

⑵①根據三角形外角的性質得NEDC=N4BD,且乙4=NC,即可證明結論；

②利用相似三角形的性質和二次函數求最值即可解決問題.

本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質，含30。角的三角函數,

二次函數的性質等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

22.【答案】⑴證明：?.TB=4C,

???乙ABC=Z-C,

OB=OD,

???Z-ABC=Z.ODB,

???Z-ODB=Z.C,

OD//AC,

???AB為直徑，

??.Z.AEB=90°,

BELAC,

???OD//AC,

???OD1EB：

(2)解：如圖，

vOD//AC.。是AB的中點,

??.。是的中點，

???/B是直徑，

???^AEB=90°,

???乙BEC=90°,

1

2-

乙DEC=Z.C,

DE=AHO,

BC=2/10>

AB=AC=10,

Z-B=Z-C,

乙DEC=/-ABC,

Z-C=Z-C,

△DEC~>ABC,

EC_DE日nEC_/To

前=同即云F=

EC=2,

??.AE=AC-EC=10-2=8.

【解析】⑴由等腰三角形的性質得出N2BC=",乙ABC=ODB,進而得出NODB=",可證明。。/

/AC,由圓周角定理得出N4EB=90°,貝UBE1AC,根據平行線的性質可得。。1EB；

(2)由OD〃AC,。是力B的中點，得出。是BC的中點，由圓周角定理NBEC=90。，直角三角形的性質結合

DE=710,得出BC=2j而，繼而證明△DECSAABC,由相似三角形的性質得出EC=2,進而求出4E

的長度.

本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質，相似三角形的判定與性質，掌握等腰三角形的性質，平行線

的判定方法，圓周角定理，相似三角形的判定方法是解決問題的關鍵.

23.【答案】⑴證明：在矩形2BCD中，

???BC//AD,

Z.FBO=/.EDO,

???。為對角線BD的中點，

OB=OD,

Z-FOB=乙EOD,

-.AFOB=AEOD(ASA)f

??.OF=OE：

(2)解：@vOE=5,

.?.OF=OE=5,

??.EF=OE+OF=10,

???BC//AD,

???Z-BFA=Z.FAE,

由折疊可知：^BFA=Z.EFA,

Z.EFA=Z.FAE,

.?.AE=EF=10,

???AE長為10；

②設PE=x,

則OE=2PE=2x=OF,

OP=OE—PE=x,

.?.EF=4x=AE,

由折疊可知：BF=PF=OP+OF—3x,

由(1)知：AFOS=AEOD,

BF=DE=3x,

AD=DE+EA=3x+4x=7x,

???/.CBA=/-