北師大版七年級數(shù)學(xué)下冊同步精講精練1.5-1.6乘法公式-【題型技巧培優(yōu)系列】(原卷版+解析)

1.5-1.6乘法公式知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一平方差公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2兩個式子的和與兩個式子的差的乘積，等于這兩個數(shù)的平方差。注：=1\*GB3①字母a、b僅是一個表達(dá)式，即可以表示一個數(shù)字、一個字母，也可以表示單項式、多項式。=2\*GB3②在套用平方差公式時，要依據(jù)公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“-”的處理。知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二完全平方公式完全平方和（差）公式：完全平方和（差）公式：等于兩式平方和加（減）2倍的積注：=1\*GB3①a、b僅是一個符號，可以表示數(shù)、字母、單項式或多項式；=2\*GB3②使用公式時，一定要先變形成符合公式的形式拓展：利用可推導(dǎo)除一些變式=1\*GB3①=2\*GB3②注：變式無需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結(jié)合推導(dǎo)出來。題型一乘法公式的基本運(yùn)算【例題1】下列運(yùn)算正確的是（）A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2解題技巧提煉套用公式公式的前提是式子滿足公式形式。當(dāng)題目中的形式比較復(fù)雜，不能直接套用公式時，我們可以將式子拆分，或者部分套用公式，或者對式子進(jìn)行一定的變形【變式1-1】計算的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．【變式1-2】下列各式不能運(yùn)用平方差公式計算的是（）A．B．C．D．【變式1-3】下列關(guān)系式中，正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2【變式1-4】下列乘法運(yùn)算中，不能用平方差公式計算的是（）A．（m+1）（﹣1+m） B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c） C．2021×2019 D．（x﹣3y）（3y﹣x）【變式1-5】下列各式，能用平方差公式計算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（13a+1）（題型二完全平方公式（求系數(shù)的值）【例題2】若多項式4x2﹣mx+9是完全平方式，則m的值是（）A．6 B．12 C．±12 D．±6解題技巧提煉根據(jù)完全平方公式推斷出多項式里各項的系數(shù).【變式2-1】如果，那么a、b的值分別為（）A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25【變式2-2】如果x2+8x+m2是一個完全平方式，那么m的值是（）A．4 B．16 C．±4 D．±16【變式2-3】已知是一個關(guān)于x的完全平方式，則常數(shù)n=_______．【變式2-4】已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k為常數(shù)），則常數(shù)k的值為．【變式2-5】若x2﹣2（m﹣1）x+4是一個完全平方式，則m＝．題型三完全平方公式的幾何背景【例題3】有A，B兩個正方形，按圖甲所示將B放在A的內(nèi)部，按圖乙所示將A，B并列放置構(gòu)造新的正方形．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為3和16，則正方形A，B的面積之和為（）A．13 B．19 C．11 D．21解題技巧提煉兩個三項式相乘，若直接觀察題目的結(jié)構(gòu)無法找到合適的公式套用，這時需要作合理的裂項，添加括號，再利用整體思想套用公式，這時應(yīng)用乘法公式解題的基本技巧?！咀兪?-1】用4塊完全相同的長方形拼成如圖所示的正方形，用不同的方法計算圖中陰影部分的面積，可得到一個關(guān)于a，b的等式為（）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【變式3-2】現(xiàn)有四個大小相同的長方形，可拼成如圖1和圖2所示的圖形，在拼圖2時，中間留下了一個邊長為4的小正方形，則每個小長方形的面積是（）A．3 B．6 C．12 D．18【變式3-3】有兩個正方形A，B．現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后，構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，若三個正方形A和兩個正方形B，如圖丙擺放，則陰影部分的面積為（）A．28 B．29 C．30 D．31【變式3-4】圖①是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖②那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是（）A．a(chǎn)b B．a(chǎn)2+2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2 D．a(chǎn)2﹣2ab+b2【變式3-5】如圖，正方形ABCD，根據(jù)圖形寫出一個正確的等式：________．題型四平方差公式的幾何背景【例題4】如圖1，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一個梯形（如圖2），利用這兩個圖形的面積，可以驗證的等式是（）A．a(chǎn)2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）解題技巧提煉兩個三項式相乘，若直接觀察題目的結(jié)構(gòu)無法找到合適的公式套用，這時需要作合理的裂項，添加括號，再利用整體思想套用公式，這時應(yīng)用乘法公式解題的基本技巧。【變式4-1】如圖1，將一個大長方形沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示圖形，正好是邊長為x的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形（陰影部分）．這兩個圖能解釋下列哪個等式（）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x【變式4-2】如圖（1），從邊長為a的大正方形的四個角中挖去四個邊長為b的小正方形后，將剩余的部分剪拼成一個長方形，如圖（2），通過計算陰影部分的面積可以得到（）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2 B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2 C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【變式4-3】我們經(jīng)常利用圖形描述問題和分析問題．借助直觀的幾何圖形，把問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路．（1）在整式乘法公式的學(xué)習(xí)中，小明為了解釋某一公式，構(gòu)造了幾何圖形，如圖1所示，先畫了邊長為a，b的大小兩個正方形，再延長小正方形的兩邊，把大正方形分割為四部分，并分別標(biāo)記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后補(bǔ)出圖形Ⅴ．顯然圖形Ⅴ與圖形Ⅳ的面積相等，所以圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面積和與圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面積和相等，從而驗證了公式．則小明驗證的公式是；（2）計算：（x+a）（x+b）=；請畫圖說明這個等式．【變式4-4】從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C、a2+ab=a（a+b）（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②計算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【變式4-5】如圖1，將邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形，再沿圖中的虛線剪開，然后按圖2所示進(jìn)行拼接，請根據(jù)圖形的面積寫出一個含字母a，b的等式．題型五乘法公式（求代數(shù)式的值）【例題5】若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．（1）求（x﹣2）（y+2）的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．解題技巧提煉利用乘法公式進(jìn)行變形，將各自的值代入計算即可求出值【變式5-1】已知，，則的值為______．【變式5-2】已知，則__________．【變式5-3】已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，則xy＝．【變式5-4】已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，則a2+b2的值為．【變式5-5】已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代數(shù)式的值：（1）ab；（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．題型六乘法公式的綜合運(yùn)算【例題6】實(shí)踐與探索如圖1，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）請應(yīng)用這個公式完成下列各題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝．②計算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．解題技巧提煉綜合分析后進(jìn)行求解【變式6-1】（閱讀理解）“若滿足，求的值”．解：設(shè)，，則，，．（解決問題）（1）若滿足，則的值為________；（2）若滿足，則的值為___________；（3）如圖，正方形的邊長為，，，長方形的面積是200，四邊形和都是正方形，四邊形是長方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個具體的數(shù)值）．【變式6-2】學(xué)習(xí)《乘法公式》時可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積，可以得到一個等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問題．（1）如圖1，是由邊長為a、b的正方形和長為a、寬為b的長方形拼成的大長方形，由圖1可得等式：；（2）知識遷移：①如圖2，是用2個小正方體和6個小長方體拼成的一個大正方體，類比（1），用不同的方法表示這個大正方體的體積，可得等式：；②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代數(shù)式a3＋b3的值．【變式6-3】【閱讀理解】我們知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，所以ab=(a+b)利用上面乘法公式的變形有時能進(jìn)行簡化計算．例：51×49=(51+49【發(fā)現(xiàn)運(yùn)用】根據(jù)閱讀解答問題（1）填空：102×98＝2﹣2；（2）請運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：19.2×20.8．【變式6-4】我們將（a+b）2＝a2+2ab+b2進(jìn)行變形，如：a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，ab=(a+b（1）已知a2+b2＝8，（a+b）2＝48，則ab＝．（2）已知，若x滿足（25﹣x）（x﹣10）＝﹣15，求（25﹣x）2+（x﹣10）2的值．（3）如圖，四邊形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD＝AC，BE＝BC，連接CD，CE，若AC?BC＝10，則圖中陰影部分的面積為．【變式6-5】數(shù)學(xué)活動課上，老師準(zhǔn)備了若干個如圖1的三種紙片，A種紙片是邊長為a的正方形，B種紙片是邊長為b的正方形，C種紙片是長為b，寬為a的長方形．并用A種紙片一張，B種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形．（1）請用兩種不同的方法求圖2大正方形的面積：方法1：；方法2：；（2）觀察圖2，請你寫出代數(shù)式：（a+b）2，a2+b2，ab之間的等量關(guān)系；（3）根據(jù)（2）題中的等量關(guān)系，解決如下問題：①已知：a+b＝5，（a﹣b）2＝13，求ab的值；②已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝5，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值．1.5-1.6乘法公式知識點(diǎn)一知識點(diǎn)一平方差公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2兩個式子的和與兩個式子的差的乘積，等于這兩個數(shù)的平方差。注：=1\*GB3①字母a、b僅是一個表達(dá)式，即可以表示一個數(shù)字、一個字母，也可以表示單項式、多項式。=2\*GB3②在套用平方差公式時，要依據(jù)公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“-”的處理。知識點(diǎn)二知識點(diǎn)二完全平方公式完全平方和（差）公式：完全平方和（差）公式：等于兩式平方和加（減）2倍的積注：=1\*GB3①a、b僅是一個符號，可以表示數(shù)、字母、單項式或多項式；=2\*GB3②使用公式時，一定要先變形成符合公式的形式拓展：利用可推導(dǎo)除一些變式=1\*GB3①=2\*GB3②注：變式無需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結(jié)合推導(dǎo)出來。題型一乘法公式的基本運(yùn)算【例題1】下列運(yùn)算正確的是（）A．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2 C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2【分析】根據(jù)完全平方公式和平方差公式逐個判斷即可．【解答】解：A、結(jié)果是x2﹣y2，原計算正確，故本選項符合題意；B、結(jié)果是x2﹣2xy+y2，原計算錯誤，故本選項不符合題意；C、結(jié)果是x2+2xy+y2，原計算錯誤，故本選項不符合題意；D、結(jié)果是y2﹣x2，原計算錯誤，故本選項不符合題意；故選：A．解題技巧提煉套用公式公式的前提是式子滿足公式形式。當(dāng)題目中的形式比較復(fù)雜，不能直接套用公式時，我們可以將式子拆分，或者部分套用公式，或者對式子進(jìn)行一定的變形【變式1-1】計算的正確結(jié)果是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平方差公式計算即可判斷．【解析】．故選：B．【變式1-2】下列各式不能運(yùn)用平方差公式計算的是（）A．B．C．D．【分析】運(yùn)用平方差公式時，關(guān)鍵要找相同項和相反項，其結(jié)果是相同項的平方減去相反項的平方．【解析】解：、兩項都是相同的項，不能運(yùn)用平方差公式；、、中均存在相同和相反的項，故選：．【變式1-3】下列關(guān)系式中，正確的是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2【分析】根據(jù)完全平方公式判斷即可．【解答】解：A選項，原式＝a2﹣2ab+b2，故該選項計算錯誤；B選項，原式＝﹣（a+b）2＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故該選項計算錯誤；C選項，原式＝a2+2ab+b2，故該選項計算錯誤；D選項，原式＝[﹣（a+b）]2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，故該選項計算正確；故選：D．【變式1-4】下列乘法運(yùn)算中，不能用平方差公式計算的是（）A．（m+1）（﹣1+m） B．（2a+3b﹣5c）（2a﹣3b﹣5c） C．2021×2019 D．（x﹣3y）（3y﹣x）【分析】平方差公式，要求有一項完全相同，另一項互為相反項．根據(jù)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)解答即可．【解答】解：不能用平方差公式計算的是（x﹣3y）（3y﹣x）＝（x﹣3y）×[﹣（x﹣3y）]＝﹣（x﹣3y）2，故選：D．【變式1-5】下列各式，能用平方差公式計算的是（）A．（2a+b）（2b﹣a） B．（﹣a﹣2b）（﹣a+2b） C．（2a﹣3b）（﹣2a+3b） D．（13a+1）（【分析】只有相同項，沒有相反項，不符合平方差公式，故本選項不符合題意；【解答】解：A．既沒有相同項，也沒有相反項，不能用平方差公式進(jìn)行計算，故本選項不符合題意；B．原式＝﹣（2b+a）（2b﹣a），符合平方差公式，故本選項符合題意；C．原式＝﹣（2a﹣3b）（2a﹣3b），只有相同項，沒有相反項，不符合平方差公式，故本選項不符合題意；D．原式＝﹣（13a+1）（故選：B．題型二完全平方公式（求系數(shù)的值）【例題2】若多項式4x2﹣mx+9是完全平方式，則m的值是（）A．6 B．12 C．±12 D．±6【分析】根據(jù)完全平方公式得到4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，從而得到m的值．【解答】解：∵多項式4x2﹣mx+9是一個完全平方式，∴4x2﹣mx+9＝（2x﹣3）2或4x2﹣mx+9＝（2x+3）2，即4x2﹣mx+9＝x2﹣12x+9或4x2﹣mx+9＝x2+12x+9，∴m＝12或m＝﹣12，故選：C．解題技巧提煉根據(jù)完全平方公式推斷出多項式里各項的系數(shù).【變式2-1】如果，那么a、b的值分別為（）A．2；4 B．5；-25 C．-2；25 D．-5；25【分析】已知等式左邊利用完全平方公式展開，再利用多項式相等的條件求出a與b的值即可．【解析】已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2-10x+b，可得2a=-10，a2=b，解得：a=-5，b=25，故選D．【變式2-2】如果x2+8x+m2是一個完全平方式，那么m的值是（）A．4 B．16 C．±4 D．±16【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可求出m的值．【解答】解：∵x2+8x+m2是一個完全平方式，∴m2＝16，解得：m＝±4．故選：C．【變式2-3】已知是一個關(guān)于x的完全平方式，則常數(shù)n=_______．【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出n的值．【解析】解：∵25x2＋20（n?1）x＋8n是一個關(guān)于x的完全平方式，25x2＋20（n?1）x＋8n＝（5x）2＋2×5x×2（n?1）＋（2）2，∴2（n?1）=±2，解得：n＝2±，故答案為：2±．【變式2-4】已知：（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2（m、k為常數(shù)），則常數(shù)k的值為±4．【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征判斷即可確定出k的值．【解答】解：∵（x﹣my）2＝x2+kxy+4y2＝x2+kxy+（2y）2（m、k為常數(shù)），∴m＝±2，∴（x±2y）2＝x2±4xy+4y2＝x2+kxy+4y2，∴k＝±4．故答案為：±4．【變式2-5】若x2﹣2（m﹣1）x+4是一個完全平方式，則m＝3或﹣1．【分析】根據(jù)完全平方公式得出2（m﹣1）x＝±2?x?2，求出m即可．【解答】解：∵x2﹣2（m﹣1）x+4是一個完全平方式，∴﹣2（m﹣1）x＝±2?x?2，解得：m＝3或﹣1．故答案為：3或﹣1．題型三完全平方公式的幾何背景【例題3】有A，B兩個正方形，按圖甲所示將B放在A的內(nèi)部，按圖乙所示將A，B并列放置構(gòu)造新的正方形．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為3和16，則正方形A，B的面積之和為（）A．13 B．19 C．11 D．21【分析】設(shè)A，B兩個正方形的邊長各為a、b，則由題意得（a﹣b）2＝3，（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝16，所以正方形A，B的面積之和為a2+b2＝（a﹣b）2+2ab，代入即可計算出結(jié)果．【解答】解：設(shè)A，B兩個正方形的邊長各為a、b，則圖甲得（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝3，由圖乙得（a+b）2﹣（a2+b2）＝（a2+2ab+b2）﹣（a2+b2）＝2ab＝16，∴正方形A，B的面積之和為，a2+b2＝（a2﹣2ab+b2）+2ab＝（a﹣b）2+2ab＝3+16＝19，故選：B．解題技巧提煉兩個三項式相乘，若直接觀察題目的結(jié)構(gòu)無法找到合適的公式套用，這時需要作合理的裂項，添加括號，再利用整體思想套用公式，這時應(yīng)用乘法公式解題的基本技巧。【變式3-1】用4塊完全相同的長方形拼成如圖所示的正方形，用不同的方法計算圖中陰影部分的面積，可得到一個關(guān)于a，b的等式為（）A．4a（a+b）＝4a2+4ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab【分析】由觀察圖形可得陰影部分的面積為4ab，也可以表示為（a+b）2﹣（a﹣b）2，可得結(jié)果．【解答】解：∵圖形中大正方形的面積為（a+b）2，中間空白正方形的面積為（a﹣b）2，∴圖中陰影部分的面積為（a+b）2﹣（a﹣b）2，又∵圖中陰影部分的面積還可表示為4ab，∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，故選：D．【變式3-2】現(xiàn)有四個大小相同的長方形，可拼成如圖1和圖2所示的圖形，在拼圖2時，中間留下了一個邊長為4的小正方形，則每個小長方形的面積是（）A．3 B．6 C．12 D．18【分析】設(shè)小長方形的長為a，寬為b，由圖1可得a＝3b，則（a﹣b）2＝4b2＝16，解得b＝2即可就得最后結(jié)果．【解答】解：設(shè)小長方形的長為a，寬為b，由圖1可得a＝3b，則（a﹣b）2＝（3b﹣b）2＝（2b）2＝4b2＝42＝16，解得b＝2或b＝﹣2（不合題意，舍去），∴每個小長方形的面積為，ab＝3b?b＝3×22＝12，故選：C．【變式3-3】有兩個正方形A，B．現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后，構(gòu)造新的正方形得圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和12，若三個正方形A和兩個正方形B，如圖丙擺放，則陰影部分的面積為（）A．28 B．29 C．30 D．31【分析】設(shè)正方形A，B的邊長各為a、b（a＞b），得圖甲中陰影部分的面積為（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，可解得a﹣b＝1，圖乙中陰影部分的面積為（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝1+2×12＝25，可得a+b＝5，所以圖丙中陰影部分的面積為（2a+b）2﹣（3a2+2b2）＝a2+4ab﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+4ab，代入就可計算出結(jié)果．【解答】解：設(shè)正方形A，B的邊長各為a、b（a＞b），得圖甲中陰影部分的面積為（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2＝1，解得a﹣b＝1或a﹣b＝﹣1（舍去），圖乙中陰影部分的面積為（a+b）2﹣（a2+b2）＝2ab＝12，可得（a+b）2＝a2+2ab+b2＝a2﹣2ab+b2+4ab＝（a﹣b）2+4ab＝1+2×12＝25，解得a+b＝5或a+b＝﹣5（舍去），∴圖丙中陰影部分的面積為（2a+b）2﹣（3a2+2b2）＝a2+4ab﹣b2＝（a+b）（a﹣b）+2×2ab＝5×1+2×12＝5+24＝29，故選：B．【變式3-4】圖①是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，用剪刀沿圖中虛線（對稱軸）剪開，把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長方形，然后按圖②那樣拼成一個正方形，則中間空的部分的面積是（）A．a(chǎn)b B．a(chǎn)2+2ab+b2 C．a(chǎn)2﹣b2 D．a(chǎn)2﹣2ab+b2【分析】先求出正方形的邊長，繼而得出面積，然后根據(jù)空白部分的面積=正方形的面積-矩形的面積即可得出答案．【解析】圖（1）是一個長為2a，寬為2b（a＞b）的長方形，∴正方形的邊長為：a+b，∴正方形的面積為（a+b）2，∵原矩形的面積為4ab，∴中間空的部分的面積=（a+b）2﹣4ab=a2﹣2ab+b2．故選：D．【變式3-5】如圖，正方形ABCD，根據(jù)圖形寫出一個正確的等式：________．【分析】根據(jù)圖形，從兩個角度計算面積即可求出答案.【解析】解：（a+b+· `1）2=a2+2ab+b2故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2題型四平方差公式的幾何背景【例題4】如圖1，在邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b（b＜a）的小正方形，把剩下部分拼成一個梯形（如圖2），利用這兩個圖形的面積，可以驗證的等式是（）A．a(chǎn)2+b2＝（a+b）（a﹣b） B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【分析】分別表示圖1、圖2中陰影部分的面積，根據(jù)兩者面積相等，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵圖1中的陰影部分面積為：a2﹣b2，圖2中陰影部分面積為：12（2b+2a）（a﹣b∴a2﹣b2=12（2b+2a）（a﹣b），即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣故選：D．解題技巧提煉兩個三項式相乘，若直接觀察題目的結(jié)構(gòu)無法找到合適的公式套用，這時需要作合理的裂項，添加括號，再利用整體思想套用公式，這時應(yīng)用乘法公式解題的基本技巧。【變式4-1】如圖1，將一個大長方形沿虛線剪開，得到兩個長方形，再將這兩個長方形拼成圖2所示圖形，正好是邊長為x的大正方形剪去一個邊長為1的小正方形（陰影部分）．這兩個圖能解釋下列哪個等式（）A．（x﹣1）2＝x2﹣2x+1 B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1 C．（x+1）2＝x2+2x+1 D．x（x﹣1）＝x2﹣x【分析】用代數(shù)式分別表示出圖1和圖2中白色部分的面積，由此得出等量關(guān)系即可．【解答】解：圖1的面積為：（x+1）（x﹣1），圖2中白色部分的面積為：x2﹣1，∴（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1，故選：B．【變式4-2】如圖（1），從邊長為a的大正方形的四個角中挖去四個邊長為b的小正方形后，將剩余的部分剪拼成一個長方形，如圖（2），通過計算陰影部分的面積可以得到（）A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+b2 B．（a+2b）2＝a2+4ab+b2 C．（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2【分析】利用大正方形面積減去4個小正方形面積即可得出圖（1）中陰影部分的面積；根據(jù)矩形的面積公式可得圖（2）的面積，據(jù)此可得結(jié)果．【解答】解：圖（1）中陰影部分的面積為：a2﹣4b2；圖（2）中長方形的長是a+2b，寬是a﹣2b，面積是（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2，∴（a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2．故選：C．【變式4-3】我們經(jīng)常利用圖形描述問題和分析問題．借助直觀的幾何圖形，把問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路．（1）在整式乘法公式的學(xué)習(xí)中，小明為了解釋某一公式，構(gòu)造了幾何圖形，如圖1所示，先畫了邊長為a，b的大小兩個正方形，再延長小正方形的兩邊，把大正方形分割為四部分，并分別標(biāo)記為Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，然后補(bǔ)出圖形Ⅴ．顯然圖形Ⅴ與圖形Ⅳ的面積相等，所以圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ的面積和與圖形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面積和相等，從而驗證了公式．則小明驗證的公式是；（2）計算：（x+a）（x+b）=；請畫圖說明這個等式．【分析】（1）根據(jù)各部分的面積以及兩種方式的面積相等的關(guān)系即可解答；（2）將（x+a）（x+b）展開即可；畫一個長為x+b，寬x+a的長方形即可．【解析】解：（1），故答案為；（2），故答案為：，畫圖如下：【變式4-4】從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形（如圖1），然后將剩余部分拼成一個長方形（如圖2）．（1）上述操作能驗證的等式是；（請選擇正確的一個）A、a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2B、a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C、a2+ab=a（a+b）（2）應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：①已知x2﹣4y2=12，x+2y=4，求x﹣2y的值．②計算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）根據(jù)兩個圖形中陰影部分的面積相等，即可列出等式；（2）①把x2﹣4y2利用（1）的結(jié)論寫成兩個式子相乘的形式，然后把x+2y=4代入即可求解；②利用（1）的結(jié)論化成式子相乘的形式即可求解．【解析】解：（1）第一個圖形中陰影部分的面積是a2﹣b2，第二個圖形的面積是（a+b）（a﹣b），則a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．故答案是B；（2）①∵x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y），∴12=4（x﹣2y）得：x﹣2y=3；②原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）=×=．【變式4-5】如圖1，將邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形，再沿圖中的虛線剪開，然后按圖2所示進(jìn)行拼接，請根據(jù)圖形的面積寫出一個含字母a，b的等式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．【分析】分別表示出兩個圖形的面積，再根據(jù)面積相等得出等式即可．【解答】解：圖1面積為a2﹣b2，圖2的面積為（a+b）（a﹣b），因此有：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．題型五乘法公式（求代數(shù)式的值）【例題5】若xy＝﹣1，且x﹣y＝3．（1）求（x﹣2）（y+2）的值；（2）求x2﹣xy+y2的值．【分析】（1）原式利用多項式乘以多項式法則計算，將各自的值代入計算即可求出值；（2）原式利用完全平方公式變形，將各自的值代入計算即可求出值．【解答】解：（1）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，∴（x﹣2）（y+2）＝xy+2（x﹣y）﹣4＝﹣1+6﹣4＝1；（2）∵xy＝﹣1，x﹣y＝3，∴x2﹣xy+y2＝（x﹣y）2+xy＝9+（﹣1）＝8．解題技巧提煉利用乘法公式進(jìn)行變形，將各自的值代入計算即可求出值【變式5-1】已知，，則的值為______．【分析】根據(jù)題意直接利用完全平方公式將原式變形，進(jìn)而計算即可得出答案．【解析】解：∵（x-y）2=25，∴x2-2xy+y2=25，∵xy=14，∴x2+y2=25+2xy=25+28=53．故答案為：53．【變式5-2】已知，則__________．【分析】利用完全平方公式化簡，然后將代入計算即可得出結(jié)果?！窘馕觥拷猓寒?dāng)時，原式．故答案為：2．【變式5-3】已知（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，則xy＝5．【分析】由（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy進(jìn)行解答．【解答】解：∵（2x+y）2＝58，（2x﹣y）2＝18，∴（2x+y）2﹣（2x﹣y）2＝4×2xy，∴58﹣18＝8xy，∴xy＝5．故答案是：5．【變式5-4】已知a﹣b＝9，ab＝﹣14，則a2+b2的值為53．【分析】運(yùn)用完全平方公式（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab可解決此題．【解答】解：∵a﹣b＝9，ab＝﹣14，∴（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝a2+b2﹣2×（﹣14）＝81．∴a2+b2＝81+（﹣28）＝53．故答案為53．【變式5-5】已知：a﹣b＝6，a2+b2＝20，求下列代數(shù)式的值：（1）ab；（2）﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3．【分析】（1）把a(bǔ)﹣b＝6兩邊平方，展開，即可求出ab的值；（2）先分解因式，再整體代入求出即可．【解答】解：（1）∵a﹣b＝6，a2+b2＝20，∴（a﹣b）2＝36，∴a2﹣2ab+b2＝36，∴﹣2ab＝36﹣20＝16，∴ab＝﹣8；（2）∵a2+b2＝20，ab＝﹣8，∴﹣a3b﹣2a2b2﹣ab3＝﹣ab（a2+2ab+b2）＝﹣（﹣8）×（20﹣16）＝32．題型六乘法公式的綜合運(yùn)算【例題6】實(shí)踐與探索如圖1，邊長為a的大正方形有一個邊長為b的小正方形，把圖1中的陰影部分拼成一個長方形（如圖2所示）．（1）上述操作能驗證的等式是A；（請選擇正確的一個）A．a(chǎn)2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）B．a(chǎn)2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2C．a(chǎn)2+ab＝a（a+b）（2）請應(yīng)用這個公式完成下列各題：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，則2a﹣b＝4．②計算：1002﹣992+982﹣972+…+42﹣32+22﹣12．【分析】（1）分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積即可得出答案；（2）①利用平方差公式將4a2﹣b2＝（2a+b）（2a﹣b），再代入計算即可；②利用平方差公式將原式轉(zhuǎn)化為1+2+3+…+99+100即可．【解答】解：（1）圖1中陰影部分的面積為兩個正方形的面積差，即a2﹣b2，圖2中的陰影部分是長為（a+b），寬為（a﹣b）的長方形，因此面積為（a+b）（a﹣b），所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案為：A；（2）①∵4a2﹣b2＝24，∴（2a+b）（2a﹣b）＝24，又∵2a+b＝6，∴6（2a﹣b）＝24，即2a﹣b＝4，故答案為：4；②∵1002﹣992＝（100+99）（100﹣99）＝100+99，982﹣972＝（98+97）（98﹣97）＝98+97，…22﹣12＝（2+1）（2﹣1）＝2+1，∴原式＝100+99+98+97+…+4+3+2+1＝5050．解題技巧提煉綜合分析后進(jìn)行求解【變式6-1】（閱讀理解）“若滿足，求的值”．解：設(shè)，，則，，．（解決問題）（1）若滿足，則的值為________；（2）若滿足，則的值為___________；（3）如圖，正方形的邊長為，，，長方形的面積是200，四邊形和都是正方形，四邊形是長方形，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果必須是一個具體的數(shù)值）．【分析】（1）根據(jù)題目所給的方法進(jìn)行計算即可；（2）運(yùn)用題目所給的方法進(jìn)行計算即可；（3）根據(jù)題意易得DG、ED的長，然后結(jié)合圖形及運(yùn)用題目所給的方法求解即可．【解析】（1）解：設(shè)，，則，，，故答案為：140；（2）解：設(shè)，，則，，．（3）解：矩形的面積，設(shè)，，則；∴陰影部分的面積．答：陰影部分的面積為1056．【變式6-2】學(xué)習(xí)《乘法公式》時可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同一個圖形的面積，可以得到一個等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問題．（1）如圖1，是由邊長為a、b的正方形和長為a、寬為b的長方形拼成的大長方形，由圖1可得等式：；（2）知識遷移：①如圖2，是用2個小正方體和6個小長方體拼成的一個大正方體，類比（1），用不同的方法表示這個大正方體的體積，可得等式：；②已知a＋b＝7，a2b＝48，ab2＝36，利用①中所得等式，求代數(shù)式a3＋b3的值．【分析】（1）用兩種不同的方法表示大長方形的面積，可以得到一個等式，（2）①用兩種不同的方法表示大正方體的體積，可以得到一個等式，②利用等式變形，可求出答案．【解析】解：（1）如圖1，整體上長方形的面積為（a＋b）（2a＋b），組成大長方形的六部分的面積和為a2＋a2＋ab＋ab＋ab＋b2＝2a2＋3ab＋b2，因此有（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2，故答案為：（a＋b）（2a＋b）＝2a2＋3ab＋b2；（2）①整體上大正方體的體積為（a＋b）3，組成大正方體的2個小正方體和6個小長方體的體積的和為a3＋3a2b＋3ab2＋b3，因此有，（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，故答案為：（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．②由（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3得，a3＋b3＝（a＋b）3﹣3a2b﹣3ab2＝73﹣3×48﹣3×36＝91．【變式6-3】【閱讀理解】我們知道：（a+b）2＝a2+2ab+b2①，（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2②，①﹣②得：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab，所以ab=(a+b)利用上面乘法公式的變形有時能進(jìn)行簡化計算．例：51×49=(51+49【發(fā)現(xiàn)運(yùn)用】根據(jù)閱讀解答問題（1）填空：102×98＝（102+982）2﹣（102?982）（2）請運(yùn)用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律計算：19.2×20.8．【分析】（1）根據(jù)規(guī)律解答即可；（2）根據(jù)規(guī)