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PAGEPAGE3人教A高中數(shù)學(xué)選修2-3同步訓(xùn)練1.設(shè)隨機變量ξ~N(2,2),則D(eq\f(1,2)ξ)的值為()A.1 B.2C.eq\f(1,2) D.4解析:選C.∵ξ~N(2,2),∴D(ξ)=2.∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))=eq\f(1,22)D(ξ)=eq\f(1,4)×2=eq\f(1,2).2.如圖是當(dāng)σ取三個不同值σ1、σ2、σ3的三種正態(tài)曲線N(0,σ2)的圖象,那么σ1、σ2、σ3的大小關(guān)系是()A.σ1>1>σ2>σ3>0B.0<σ1<σ2<1<σ3C.σ1>σ2>1>σ3>0D.0<σ1<σ2=1<σ3解析:選D.當(dāng)μ=0,σ=1時,正態(tài)曲線f(x)=eq\f(1,\r(2π))e-eq\f(x2,2)在x=0處取最大值eq\f(1,\r(2π)),故σ2=1.由正態(tài)曲線的性質(zhì),當(dāng)μ一定時,曲線的形狀由σ確定,當(dāng)σ越小,曲線越“瘦高”,反之越“矮胖”,故選D.3.已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<2)=()A.0.6 B.0.4C.0.3 D.0.2解析:選C.∵P(ξ<4)=0.8,∴P(ξ>4)=1-0.8=0.2.由題意知圖象的對稱軸為直線x=2,∴P(ξ<0)=P(ξ>4)=0.3.∴P(0<ξ<4)=1-P(ξ<0)-P(ξ>4)=0.6.∴P(0<ξ<2)=eq\f(1,2)P(0<ξ<4)=0.3.4.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9),若P(ξ>c+1)=P(ξ<c-1),則c的值為________.解析:c+1與c-1關(guān)于ξ=2對稱,eq\f(c+1+c-1,2)=2,∴c=2.答案:2一、選擇題1.設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布,且相應(yīng)的概率密度函數(shù)為φ(x)=eq\f(1,\r(6π))e-eq\f(x2-4x+4,6),則()A.μ=2,σ=3 B.μ=3,σ=2C.μ=2,σ=eq\r(3) D.μ=3,σ=eq\r(3)解析:選C.由φ(x)=eq\f(1,\r(2π)×\r(3))eeq\f(-x-22,2\r(3)2),得μ=2,σ=eq\r(3).故選C.2.若隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)=eq\f(1,\r(2π))e-eq\f(x2,2),X在(-2,-1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為p1、p2,則p1、p2的關(guān)系為()A.p1>p2 B.p1<p2C.p1=p2 D.不確定解析:選C.由題意知μ=0,σ=1,所以曲線關(guān)于x=0對稱,所以p1=p2.3.已知隨機變量X~N(μ,σ2),則Y=aX+b服從()A.Y~N(aμ,σ2) B.Y~N(0,1)C.Y~N(eq\f(μ,a),eq\f(σ2,b)) D.Y~N(aμ+b,a2σ2)解析:選D.由X~N(μ,σ2)知E(X)=μ,D(X)=σ2,∴E(aX+b)=aE(X)+b=aμ+b,D(aX+b)=a2D(X)=a2σ2,從而Y~N(aμ+b,a2σ2).4.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),P(X<4)=0.84,則P(X≤0)=()A.0.16 B.0.32C.0.68 D.0.84解析:選A.由X~N(2,σ2),對稱軸為x=2,密度函數(shù)曲線如圖所示,可知P(X≤0)=P(X≥4)=1-P(X<4)=1-0.84=0.16.5.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),已知P(ξ<-1.96)=0.025,則P(|ξ|<1.96)=()A.0.025 B.0.050C.0.950 D.0.975解析:選C.ξ服從正態(tài)分布N(0,1),則P(ξ<1.96)=1-P(ξ≤-1.96),從而P(|ξ|<1.96)=P(-1.96<ξ<1.96)=P(ξ<1.96)-P(ξ≤-1.96)=1-2P(ξ≤-1.96)=1-2×0.025=0.950.故選C.6.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1),若P(ξ>1)=p,則P(-1<ξ<0)=()A.eq\f(1,2)+p B.eq\f(1,2)-pC.1-2p D.1-p解析:選B.P(-1<ξ<0)=eq\f(1,2)P(-1<ξ<1)=eq\f(1,2)[1-2P(ξ>1)]=eq\f(1,2)-P(ξ>1)=eq\f(1,2)-p.二、填空題7.已知正態(tài)分布落在區(qū)間(0.2,+∞)上的概率為0.5,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x=________時,達到最高點.解析:由于正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱且其落在區(qū)間(0.2,+∞)上的概率為0.5,得μ=0.2.答案:0.28.設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),若P(ξ>3)=P(ξ<-1),則E(ξ)=________.解析:ξ~N(μ,σ2),∴μ=eq\f(3+-1,2),∴μ=1,∴E(ξ)=μ=1.答案:19.某種零件的尺寸X(cm)服從正態(tài)分布N(3,1),則不屬于區(qū)間(1,5)這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的________.解析:屬于區(qū)間(μ-2σ,μ+2σ)即區(qū)間(1,5)的取值概率約為95.4%,故不屬于區(qū)間(1,5)這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的1-95.44%=4.56%.答案:4.56%三、解答題10.在一次測試中,測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(2,σ2)(σ>0),若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.2,求:(1)X在(0,4)內(nèi)取值的概率;(2)P(X>4).解:(1)由于X~N(2,σ2),對稱軸x=2,畫出示意圖如圖:∵P(0<X<2)=P(2<X<4),∴P(0<X<4)=2P(0<X<2)=2×0.2=0.4.(2)P(X>4)=eq\f(1,2)[1-P(0<X<4)]=eq\f(1,2)(1-0.4)=0.3.11.某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位:cm)服從正態(tài)分布N(4,0.52),質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機抽查一件,測得它的外直徑為5.7cm,解:由于
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