第章.4同步訓練及解析

PAGEPAGE3人教A高中數(shù)學選修2-3同步訓練1．設(shè)隨機變量ξ～N(2,2)，則D(eq\f(1,2)ξ)的值為()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D．4解析：選C.∵ξ～N(2,2)，∴D(ξ)＝2.∴Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)ξ))＝eq\f(1,22)D(ξ)＝eq\f(1,4)×2＝eq\f(1,2).2．如圖是當σ取三個不同值σ1、σ2、σ3的三種正態(tài)曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1、σ2、σ3的大小關(guān)系是()A．σ1＞1＞σ2＞σ3＞0B．0＜σ1＜σ2＜1＜σ3C．σ1＞σ2＞1＞σ3＞0D．0＜σ1＜σ2＝1＜σ3解析：選D.當μ＝0，σ＝1時，正態(tài)曲線f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)在x＝0處取最大值eq\f(1,\r(2π))，故σ2＝1.由正態(tài)曲線的性質(zhì)，當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，當σ越小，曲線越“瘦高”，反之越“矮胖”，故選D.3．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)＝()A．0.6 B．0.4C．0.3 D．0.2解析：選C.∵P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ>4)＝1－0.8＝0.2.由題意知圖象的對稱軸為直線x＝2，∴P(ξ<0)＝P(ξ>4)＝0.3.∴P(0<ξ<4)＝1－P(ξ<0)－P(ξ>4)＝0.6.∴P(0<ξ<2)＝eq\f(1,2)P(0<ξ<4)＝0.3.4．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c的值為________．解析：c＋1與c－1關(guān)于ξ＝2對稱，eq\f(c＋1＋c－1,2)＝2，∴c＝2.答案：2一、選擇題1．設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布，且相應(yīng)的概率密度函數(shù)為φ(x)＝eq\f(1,\r(6π))e－eq\f(x2－4x＋4,6)，則()A．μ＝2，σ＝3 B．μ＝3，σ＝2C．μ＝2，σ＝eq\r(3) D．μ＝3，σ＝eq\r(3)解析：選C.由φ(x)＝eq\f(1,\r(2π)×\r(3))eeq\f(－x－22,2\r(3)2)，得μ＝2，σ＝eq\r(3).故選C.2．若隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)＝eq\f(1,\r(2π))e－eq\f(x2,2)，X在(－2，－1)和(1,2)內(nèi)取值的概率分別為p1、p2，則p1、p2的關(guān)系為()A．p1>p2 B．p1<p2C．p1＝p2 D．不確定解析：選C.由題意知μ＝0，σ＝1，所以曲線關(guān)于x＝0對稱，所以p1＝p2.3．已知隨機變量X～N(μ，σ2)，則Y＝aX＋b服從()A．Y～N(aμ，σ2) B．Y～N(0,1)C．Y～N(eq\f(μ,a)，eq\f(σ2,b)) D．Y～N(aμ＋b，a2σ2)解析：選D.由X～N(μ，σ2)知E(X)＝μ，D(X)＝σ2，∴E(aX＋b)＝aE(X)＋b＝aμ＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)＝a2σ2，從而Y～N(aμ＋b，a2σ2)．4．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，P(X<4)＝0.84，則P(X≤0)＝()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.84解析：選A.由X～N(2，σ2)，對稱軸為x＝2，密度函數(shù)曲線如圖所示，可知P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.5．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，則P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975解析：選C.ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，則P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，從而P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.故選C.6．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝p，則P(－1<ξ<0)＝()A.eq\f(1,2)＋p B.eq\f(1,2)－pC．1－2p D．1－p解析：選B.P(－1<ξ<0)＝eq\f(1,2)P(－1<ξ<1)＝eq\f(1,2)[1－2P(ξ>1)]＝eq\f(1,2)－P(ξ>1)＝eq\f(1,2)－p.二、填空題7．已知正態(tài)分布落在區(qū)間(0.2，＋∞)上的概率為0.5，那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x＝________時，達到最高點．解析：由于正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱且其落在區(qū)間(0.2，＋∞)上的概率為0.5，得μ＝0.2.答案：0.28．設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，若P(ξ＞3)＝P(ξ＜－1)，則E(ξ)＝________.解析：ξ～N(μ，σ2)，∴μ＝eq\f(3＋－1,2)，∴μ＝1，∴E(ξ)＝μ＝1.答案：19．某種零件的尺寸X(cm)服從正態(tài)分布N(3,1)，則不屬于區(qū)間(1,5)這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的________．解析：屬于區(qū)間(μ－2σ，μ＋2σ)即區(qū)間(1,5)的取值概率約為95.4%，故不屬于區(qū)間(1,5)這個尺寸范圍的零件數(shù)約占總數(shù)的1－95.44%＝4.56%.答案：4.56%三、解答題10．在一次測試中，測量結(jié)果X服從正態(tài)分布N(2，σ2)(σ>0)，若X在(0,2)內(nèi)取值的概率為0.2，求：(1)X在(0,4)內(nèi)取值的概率；(2)P(X>4)．解：(1)由于X～N(2，σ2)，對稱軸x＝2，畫出示意圖如圖：∵P(0<X<2)＝P(2<X<4)，∴P(0<X<4)＝2P(0<X<2)＝2×0.2＝0.4.(2)P(X>4)＝eq\f(1,2)[1－P(0<X<4)]＝eq\f(1,2)(1－0.4)＝0.3.11．某廠生產(chǎn)的圓柱形零件的外直徑X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(4,0.52)，質(zhì)檢人員從該廠生產(chǎn)的1000件零件中隨機抽查一件，測得它的外直徑為5.7cm，解：由于