第2章2.1.2同步訓(xùn)練及解析

PAGEPAGE1人教A高中數(shù)學(xué)選修2-3同步訓(xùn)練1．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(ξ＝i)＝a(eq\f(1,3))i，i＝1,2,3，則a的值為()A．1 B.eq\f(9,13)C.eq\f(11,13) D.eq\f(27,13)解析：選D.由P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝1，得(eq\f(1,3)＋eq\f(1,9)＋eq\f(1,27))a＝1，∴a＝eq\f(27,13).2．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量ξ去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(ξ＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選C.設(shè)ξ的分布列為ξ01Pp2p即“ξ＝0”表示試驗(yàn)失敗，“ξ＝1”表示試驗(yàn)成功，設(shè)失敗率為p，則成功率為2p，∴由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3).∴P(ξ＝0)＝eq\f(1,3).3．設(shè)隨機(jī)變量ξ等可能取值1,2,3，…，n，若P(ξ<4)＝0.3，則n的值為()A．3 B．4C．10 D．不確定解析：選C.ξ分布列為ξ123…nPeq\f(1,n)eq\f(1,n)eq\f(1,n)…eq\f(1,n)P(ξ<4)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3＝eq\f(3,10).∴n＝10.4．設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X012P0.50.40.1則P(X<2)＝________.解析：P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝0.5＋0.4＝0.9.答案：0.9一、選擇題1．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p則p的值為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選C.p＝1－eq\f(1,6)－eq\f(1,3)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,3).2．下列各表中可作為隨機(jī)變量X的分布列的是()A.X－101P0.50.30.4B.X123P0.50.8－0.3C.X123P0.20.30.4D.X－101P00.40.6解析：選D.A中0.5＋0.3＋0.4>1，B中－0.3<0，C中0.2＋0.3＋0.4<1.3．某12人的興趣小組中，有5名“三好生”，現(xiàn)從中任意選6人參加競(jìng)賽，用ξ表示這6人中“三好生”的人數(shù)，則下列概率中等于eq\f(C\o\al(3,5)×C\o\al(3,7),C\o\al(6,12))的是()A．P(ξ＝2) B．P(ξ＝3)C．P(ξ≤2) D．P(ξ≤3)解析：選B.設(shè)6人中“三好生”的人數(shù)為k，則其選法數(shù)為Ceq\o\al(k,5)·Ceq\o\al(6－k,7)，當(dāng)k＝3時(shí)，選法數(shù)為Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3,7).4．若P(ξ≤n)＝1－a，P(ξ≥m)＝1－b，其中m＜n，則P(m≤ξ≤n)等于()A．(1－a)(1－b) B．1－a(1－b)C．1－(a＋b) D．1－b(1－a)解析：選C.P(m≤ξ≤n)＝1－P(ξ>n)－P(ξ<m)＝1－[1－(1－a)]－[1－(1－b)]＝1－(a＋b)．5．已知隨機(jī)變量ξ只能取三個(gè)值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則該等差數(shù)列公差的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3，3)) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，1))解析：選B.設(shè)隨機(jī)變量ξ取x1，x2，x3的概率分別為a－d，a，a＋d，則由分布列的性質(zhì)得(a－d)＋a＋(a＋d)＝1，故a＝eq\f(1,3)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0,\f(1,3)＋d≥0))，解得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).6．一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，則P(X＝4)的值為()A.eq\f(1,220) B.eq\f(27,55)C.eq\f(27,220) D.eq\f(21,25)解析：選C.由題意取出的3個(gè)球必為2個(gè)舊球1個(gè)新球，故P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,3)×C\o\al(1,9),C\o\al(3,12))＝eq\f(27,220).二、填空題7．隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ012345Peq\f(1,9)eq\f(2,15)eq\f(7,45)eq\f(8,45)eq\f(1,5)eq\f(2,9)則ξ為奇數(shù)的概率為_(kāi)_______．解析：P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝eq\f(2,15)＋eq\f(8,45)＋eq\f(2,9)＝eq\f(8,15).答案：eq\f(8,15)8．若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，且P(X＝0)＝0.8，P(X＝1)＝0.2.令Y＝3X－2，則P(Y＝－2)＝________.解析：由Y＝－2，且Y＝3X－2，得X＝0，∴P(Y＝－2)＝0.8.答案：0.89．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝eq\f(C,kk＋1)，k＝1,2,3，C為常數(shù)，則P(0.5<X<2.5)＝________.解析：1＝C(eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4))，∴C＝eq\f(4,3).∴P(0.5<X<2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(2,3)＋eq\f(2,9)＝eq\f(8,9).答案：eq\f(8,9)三、解答題10．袋中有1個(gè)白球和4個(gè)黑球，每次從中任取1個(gè)球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球?yàn)橹?，求取球次?shù)X的分布列．解：X的可能取值為1,2,3,4,5，則第1次取到白球的概率為P(X＝1)＝eq\f(1,5)，第2次取到白球的概率為P(X＝2)＝eq\f(4,5)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,5)，第3次取到白球的概率為P(X＝3)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,5)，第4次取到白球的概率為P(X＝4)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,5)，第5次取到白球的概率為P(X＝5)＝eq\f(4,5)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,1)＝eq\f(1,5)，所以X的分布列為X12345Peq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)eq\f(1,5)11.已知隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ－2－10123Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)(1)求η1＝eq\f(1,2)ξ的分布列；(2)求η2＝ξ2的分布列．解：(1)η1＝eq\f(1,2)ξ的分布列為η1－1－eq\f(1,2)0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)Peq\f(1,12)eq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,12)(2)η2＝ξ2的分布列為η20149Peq\f(1,3)eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,12)12.袋中有形狀大小完全相同的4個(gè)紅球，3個(gè)黑球，從袋中隨機(jī)取球，設(shè)取到一個(gè)紅球得2分，取到一個(gè)黑球得1分，從袋中任取4個(gè)球．(1)求得分X的分布列；(2)求得分大于6分的概率．解：(1)從袋中隨機(jī)取4個(gè)球有1紅3黑，2紅2黑，3紅1黑，4紅四種情況，分別得分為5分，6分，7分，8分，故X的可能取值為：5,6,7,8.P(X＝5)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(3,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝6)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝7)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,3),C\o\al(4,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝8)＝eq\f(C\o\al