湖南省益陽市四季紅鎮(zhèn)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析

湖南省益陽市四季紅鎮(zhèn)中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知f(x)＝x3的所有切線中，滿足斜率等于1的切線有()A．1條B．2條

C．多于兩條

D．以上都不對(duì)參考答案：B2.若函數(shù)和的定義域、值域都是，則不等式有解的充要條件是（

）A．

B．有無窮多個(gè)，使得C．

D．參考答案：A3.在等比數(shù)列{an}中，a5a7=2，a2+a10=3，則=（）A．2 B． C．2或 D．﹣2或﹣參考答案：C【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得出a5a7=a2a10，由題設(shè)可推斷a2和a10是方程x2﹣3x+2=0的兩根，求得a2和a10，進(jìn)而求得q8代入即可．【解答】解：∵a5a7=a2a10=2，且a2+a10=3，∴a2和a10是方程x2﹣3x+2=0的兩根，解得a2=2，a10=1或a2=1，a10=2，則或q8=2，∴=或2，故選：C．4.在中，已知，，則的值為

A.

B.

C.

D.參考答案：D略5.已知隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N（3，1），且P（2≤x≤4）=0.6828，則P（x＞4）=（）A．0.1585 B．0.1586 C．0.1587 D．0.1588參考答案：B【考點(diǎn)】CP：正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性計(jì)算．【解答】解：P（x＞4）=（1﹣P（2≤x≤4））=（1﹣0.6828）=0.1586．故選：B．6.設(shè)是函數(shù)定義在(0,+∞)上的導(dǎo)函數(shù)，滿足，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.參考答案：B【分析】由題意構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式和導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)可確定函數(shù)的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性即可確定題中所給的不等式是否正確.【詳解】是函數(shù)定義在（0，+∞）上的導(dǎo)函數(shù)，滿足，可得，令，則，∴函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增．∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，正確構(gòu)造函數(shù)，熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．7.若實(shí)數(shù)a，b滿足，則的最大值為（）A．1 B． C． D．2參考答案：C【考點(diǎn)】簡單線性規(guī)劃．【專題】計(jì)算題；作圖題；不等式的解法及應(yīng)用；直線與圓．【分析】由題意作平面區(qū)域，化簡=+，從而可知是過原點(diǎn)與陰影內(nèi)的點(diǎn)的直線的斜率的倒數(shù)，從而解得．【解答】解：由題意作平面區(qū)域如下，，=+，是過原點(diǎn)與陰影內(nèi)的點(diǎn)的直線的斜率的倒數(shù)，故當(dāng)過點(diǎn)A（，）時(shí)，kOA==3，故此時(shí)有最小值，此時(shí)有最大值=+=+=，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線性規(guī)劃的應(yīng)用及直線的斜率的應(yīng)用，同時(shí)考查了化簡運(yùn)算．8.命題1

長方體中，必存在到各頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)；

命題2

長方體中，必存在到各棱距離相等的點(diǎn)；

命題3

長方體中，必存在到各面距離相等的點(diǎn)。

以上三個(gè)命題中正確的有

(A)0個(gè)

(B)1個(gè)

(C)2個(gè)

(D)3個(gè)參考答案：B9.關(guān)于正態(tài)曲線性質(zhì)的描述，正確的是（

）①曲線關(guān)于直線對(duì)稱，并且曲線在軸上方；②曲線關(guān)于軸對(duì)稱，且曲線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)是；③曲線最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，且曲線沒有最低點(diǎn)；④當(dāng)越大，曲線越“高瘦”，當(dāng)越小，曲線越“矮胖”。A．①②

B．①③

C．②③

D．③④

參考答案：B略10.設(shè)變量x，y滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋3y的最小值為 ()．A．6

B．7

C．8

D．23參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知方程有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

。參考答案：12.比較大?。?/p>

參考答案：13.直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為

▲

.參考答案：略14.已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過點(diǎn)A（2，3），則過兩點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直線方程為．參考答案：2x+3y+1=0考點(diǎn)：直線的兩點(diǎn)式方程．專題：計(jì)算題．分析：把點(diǎn)A（2，3）代入線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的方程，即兩點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2）的坐標(biāo)都適合方程2x+3y+1=0，從而得到點(diǎn)（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程．解答：解：∵A（2，3）是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點(diǎn)，∴2a1+3b1+1=0，且2a2+3b2+1=0，即兩點(diǎn)P1（a1，b1），P2（a2，b2）的坐標(biāo)都適合方程2x+3y+1=0，∴兩點(diǎn)（a1，b1）和（a2，b2）都在同一條直線2x+3y+1=0上，故點(diǎn)（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程是2x+3y+1=0，故答案為：2x+3y+1=0．點(diǎn)評(píng)：本題考查兩直線交點(diǎn)的坐標(biāo)和點(diǎn)在直線上的條件．15.將正整數(shù)1，2，3，…按照如圖的規(guī)律排列，則100應(yīng)在第列．參考答案：14【考點(diǎn)】歸納推理．【專題】推理和證明．【分析】先找到數(shù)的分布規(guī)律，求出第n列結(jié)束的時(shí)候一共出現(xiàn)的數(shù)的個(gè)數(shù)，每一列的數(shù)字都是從大大小按排列的，且每一列的數(shù)字個(gè)數(shù)等于列數(shù)，繼而求出答案．【解答】解：由排列的規(guī)律可得，第n列結(jié)束的時(shí)候排了1+2+3+…+n﹣1=n（n+1）個(gè)數(shù)．每一列的數(shù)字都是從大大小按排列的，且每一列的數(shù)字個(gè)數(shù)等于列數(shù)，而第13列的第一個(gè)數(shù)字是13×（13+1）=91，第14列的第一個(gè)數(shù)字是14×（14+1）=105，故100應(yīng)在第14列．故答案為：14【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了數(shù)字的變化規(guī)律，借助于一個(gè)三角形數(shù)陣考查數(shù)列的應(yīng)用，是道基礎(chǔ)題16.若f(x)=x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍是_

參考答案：或17.把正偶數(shù)數(shù)列{2n}的各項(xiàng)從小到大依次排成如圖的三角形數(shù)陣，記M（r，t）表示該數(shù)陣中第r行的第t個(gè)數(shù)，則數(shù)陣中的數(shù)2012對(duì)應(yīng)于．參考答案：第45行的第16個(gè)數(shù)【考點(diǎn)】F1：歸納推理．【分析】由圖可得數(shù)陣中的前n行共有1+2+3+…+n=項(xiàng)，進(jìn)而可得偶數(shù)2012對(duì)應(yīng)的位置．【解答】解：由數(shù)陣的排列規(guī)律知，數(shù)陣中的前n行共有1+2+3+…+n=項(xiàng)，當(dāng)n=44時(shí)，共有990項(xiàng)，又?jǐn)?shù)陣中的偶數(shù)2012是數(shù)列{an}的第1006項(xiàng)，且+16=1006，因此2012是數(shù)陣中第45行的第16個(gè)數(shù)，故答案為第45行的第16個(gè)數(shù)．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知圓過兩點(diǎn)，且圓心在上．(1)求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，是圓的兩條切線，為切點(diǎn)，求四邊形面積的最小值．參考答案：解(1)設(shè)圓M的方程為：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，解得：a＝b＝1，r＝2，故所求圓M的方程為：(x－1)2＋(y－1)2＝4.因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直線3x＋4y＋8＝0上找一點(diǎn)P，使19.已知復(fù)數(shù)(其中i是虛數(shù)單位，)．（1）若復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)，求x的值；（2）若函數(shù)與的圖象有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）化簡得到，由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)可得的值.（2）算出，因一元二次方程在有解，利用判別式可得的取值范圍.【詳解】（1）∵，且復(fù)數(shù)為純虛數(shù)∴，解得

（2）由（1）知函數(shù)

又函數(shù)與的圖象有公共點(diǎn)

∴方程有解，即方程有解

∴

∴或

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】（1）復(fù)數(shù)，①若，則為實(shí)數(shù)；②若，則為虛數(shù)，特別地，如果，則為純虛數(shù)．（2）對(duì)于含參數(shù)的一元二次不等式的恒成立問題，注意區(qū)分變量的范圍，如果范圍為，則可以利用判別式來處理，如果范圍不是，則可轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)的最值或用參變分離來考慮.20.（13分）如圖，在直三棱柱中，，分別是棱上的點(diǎn)（點(diǎn)

不同于點(diǎn)），且為的中點(diǎn)．求證：（1）平面平面；（2）直線平面．參考答案：（1）∵是直三棱柱，∴平面。

又∵平面，∴。

又∵平面，∴平面。

又∵平面，∴平面平面。

（2）∵，為的中點(diǎn)，∴。

又∵平面，且平面，∴。

又∵平面，，∴平面。

由（1）知，平面，∴∥。

又∵平面平面，∴直線平面略21.（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講

如圖，AB為半圓O的直徑，點(diǎn)C在半圓O上方，連結(jié)AC交半圓O于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作線段AB的垂線CE，垂足為E．

求證：B，C，D，E四點(diǎn)共圓．參考答案：證明：如圖，連結(jié)BD，

因?yàn)锳B為半圓O的直徑，

所以∠ADB為直角，即有∠CDB為直角，

…………4分

又CE為線段AB的垂線，

所以∠CEB為直角，所以∠CDB＝∠CEB

…………8分

故B，C，D，E四點(diǎn)共圓．

…………10分

22.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．（Ⅰ）求證：a，b，c成等比數(shù)列；（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面積S．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；解三角形．【分析】（I）由已知，利用三角函數(shù)的切化弦的原則可得，sinB（sinAcosC+sinCcosA）=sinAsinC，利用兩角和的正弦公式及三角形的內(nèi)角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可證（II）由已知結(jié)合余弦定理可求cosB，利用同角平方關(guān)系可求sinB，代入三角形的面積公式S=可求．【解答】（I）證明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC∴sinB（）=∴sinB