湖北省荊州市胡集中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖北省荊州市胡集中學(xué)2022年高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知a＜b，則下列不等式正確的是（）A． B．1﹣a＞1﹣b C．a(chǎn)2＞b2 D．2a＞2b參考答案：B【考點(diǎn)】不等式比較大小；不等關(guān)系與不等式．【分析】利用不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴1﹣a＞1﹣b．故選B．2.已知直線a，b及平面a，若a∥a，bìa，則“a，b共面”是“a∥b”的A．充分不必要條件

B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：C3.設(shè)都為正數(shù)，那么用反證法證明“三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2“時(shí)，正確的反設(shè)是這三個(gè)數(shù)(

)A．都不大于2

B．都不小于2

C.至少有一個(gè)不大于2

D．都小于2參考答案：D4.容量為100的樣本，其數(shù)據(jù)分布在[2,18]，將樣本數(shù)據(jù)分為4組：[2,6)，[6,10)，[10,14)，[14,18]，得到頻率分布直方圖如圖所示.則下列說(shuō)法不正確的是(

)A.樣本數(shù)據(jù)分布在[6,10)的頻率為0.32B.樣本數(shù)據(jù)分布在[10,14)的頻數(shù)為40C.樣本數(shù)據(jù)分布在[2,10)的頻數(shù)為40D.估計(jì)總體數(shù)據(jù)大約有10%分布在[10,14)參考答案：D5.計(jì)算機(jī)執(zhí)行下面的程序段后，輸出的結(jié)果是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B6.已知一組正數(shù)的方差為，則數(shù)據(jù)的平均數(shù)為（

）

A．2

B．3

C．4

D．6[參考答案：C7.設(shè)F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．若在雙曲線右支上存在點(diǎn)P，滿足|PF2|=|F1F2|，且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的漸近線方程為(

)A．3x±4y=0 B．3x±5y=0 C．4x±3y=0 D．5x±4y=0參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】利用題設(shè)條件和雙曲線性質(zhì)在三角形中尋找等量關(guān)系，得出a與b之間的等量關(guān)系，可知答案選C，【解答】解：依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一個(gè)等腰三角形，F(xiàn)2在直線PF1的投影是其中點(diǎn)，由勾股定理知可知|PF1|=2=4b根據(jù)雙曲定義可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴雙曲線漸近線方程為y=±x，即4x±3y=0故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角與雙曲線的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，突出了對(duì)計(jì)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)能力的考查，屬中檔題8.（文科做）橢圓2x2+3y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)(

)A．（0，） B．（0，±1） C．（±1，0） D．（，0）參考答案：D【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】先把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再確定其幾何量，從而求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：∵∴橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且∴∴故橢圓2x2+3y2=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題以橢圓方程為載體，考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是把橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程．9.拋物線x2=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A． B． C．（0，1） D．（1，0）參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求出p值，判斷拋物線x2=2y的開(kāi)口方向及焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，從而寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：∵拋物線x2=2y中，p=1，∴=，∵焦點(diǎn)在y軸上，開(kāi)口向上，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線x2=2py的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），屬基礎(chǔ)題．10.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查預(yù)測(cè)，某商場(chǎng)在未來(lái)的10年，計(jì)算機(jī)銷售量從臺(tái)開(kāi)始，每年以10%的速度增長(zhǎng),則該商場(chǎng)在未來(lái)的這10年大約可以銷售計(jì)算機(jī)總量為(

)A．

B．C．D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且Sn=n2﹣3n+3，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式．【分析】利用遞推關(guān)系n=1時(shí)，a1=S1；n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1．即可得出．【解答】解：n=1時(shí)，a1=S1=1；n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=n2﹣3n+3﹣[（n﹣1）2﹣3（n﹣1）+3]=2n﹣4，∴an=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．12.數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對(duì)任意的m，n∈N*都有，則等于

參考答案：數(shù)列{an}滿足a1＝1，且對(duì)任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，則等于 ()解析令m＝1得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，上述n－1個(gè)式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，＝＝13.已知，若(a，t,n為正實(shí)數(shù),），通過(guò)歸納推理，可推測(cè)a，t的值，則

．（結(jié)果用n表示）參考答案：通過(guò)歸納推理，．14.在區(qū)間上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的值介于0到之間的概率為_(kāi)_________參考答案：略15.已知函數(shù)f(x)＝a+是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為：__________參考答案：16.雙曲線的一條漸近線與直線x+2y+1=0垂直，F(xiàn)1，F(xiàn)2為C的焦點(diǎn)，A為雙曲線上一點(diǎn)，若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=．參考答案：【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由兩直線垂直的條件可得漸近線的斜率為2，即有b=2a，再求c=a，運(yùn)用雙曲線的定義和條件，解得三角形AF2F1的三邊，再由余弦定理，即可得到所求值．【解答】解：由于雙曲線的一條漸近線y=x與直線x+2y+1=0垂直，則一條漸近線的斜率為2，即有b=2a，c=a，|F1A|=2|F2A|，且由雙曲線的定義，可得|F1A|﹣|F2A|=2a，解得，|F1A|=4a，|F2A|=2a，又|F1F2|=2c，由余弦定理，可得cos∠AF2F1==，故答案為．17.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，若橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值范圍為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy，過(guò)點(diǎn)P(0，1)且互相垂直的兩條直線分別與圓O：x2＋y2＝4交于點(diǎn)A，B，與圓M：(x－2)2＋(y－1)2＝1交于點(diǎn)C，D。(I)若直線AB的斜率為3，求△ABM的面積；(II)若，求CD的長(zhǎng)；(III)若CD的中點(diǎn)為E，求△ABE面積的取值范圍。參考答案：19.（12分）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a、b、c成等差數(shù)列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判斷△ABC的形狀.（注意：20題在背面）參考答案：∵2cos2B-8cosB+5=0,∴2(2cos2B-1)-8cosB+5=0.∴4cos2B-8cosB+3=0, 即(2cosB-1)(2cosB-3)=0.解得cosB=或cosB=（舍去）.∴cosB=.∵0＜B＜,∴B=.∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a+c=2b.∴cosB===，化簡(jiǎn)得a2+c2-2ac=0,解得a=c.又∵B=，∴△ABC是等邊三角形.20.已知函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；（3）設(shè)函數(shù)，其中b為實(shí)常數(shù)，試討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．參考答案：（1）（2）見(jiàn)證明；（3）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，表示出切點(diǎn)的縱坐標(biāo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列出方程，由此即可求出切點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，列出表格，觀察即可判斷出函數(shù)的最小值，從而證明；（3）根據(jù)題意，構(gòu)造出函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分情況討論b的取值范圍，當(dāng)b≤0，根據(jù)與0的關(guān)系判斷出的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；其次當(dāng)b>0時(shí)，結(jié)合x(chóng)的范圍判斷出函數(shù)的單調(diào)性，這里要注意當(dāng)x>2時(shí)，根據(jù)b的范圍即、和來(lái)判斷的零點(diǎn)，由此即可知的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）．因?yàn)榍芯€過(guò)原點(diǎn)，所以，解得：．（2）設(shè)，則．令，解得．在上變化時(shí)，的變化情況如下表x(0,2)2-0+↘↗所以當(dāng)時(shí)，取得最小值．所以當(dāng)時(shí)，，即．

（3）等價(jià)于，等價(jià)于．注意．令，所以．（I）當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)零點(diǎn)，即在定義域內(nèi)無(wú)零點(diǎn)．（II）當(dāng)時(shí)，（i）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，而，又，所以．又因?yàn)椋渲?，取，表示的整?shù)部分．所以，，由此．由零點(diǎn)存在定理知，在上存在唯一零點(diǎn)．（ii）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，有極小值也是最小值，．①當(dāng)，即時(shí)，在上不存在零點(diǎn)；②當(dāng)，即時(shí)，在上存在唯一零點(diǎn)2；③當(dāng)，即時(shí)，由有，而，所以在上存在唯一零點(diǎn)；又因?yàn)?，．令，其中，，，，所以，因此在上單調(diào)遞增，從而，所以在上單調(diào)遞增，因此，故在上單調(diào)遞增，所以．由上得，由零點(diǎn)存在定理知，在上存在唯一零點(diǎn)，即在上存在唯一零點(diǎn)．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用，比如利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等等，結(jié)合單調(diào)性和零點(diǎn)存在性定理是解決本題的關(guān)鍵.

21.（本小題滿分8分）已知公比q＞1的等比數(shù)列{an}滿足，是和的等差中項(xiàng).求：{an}的通項(xiàng)公式及{an}的前n項(xiàng)和公式.參考答案：