高二下學(xué)期第一次周考數(shù)學(xué)試題

高二（下）第一次周考數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘，滿分：150分）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．函數(shù)的圖象如圖所示，則與的大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．2．已知函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．73．已知向量，則在上的投影為（

）A． B． C． D．4．已知，則的值為（

）A．－2aB．2aC．a(chǎn)D．5．設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0，且g(－3)＝0，則不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)6．過(guò)點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則四邊形的面積為（

）A．4 B． C．8 D．7．若點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最小值為（

）A． B． C． D．8．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9．下列求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．10．曲線的一條切線平行于直線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)可能為（

）A． B． C． D．11．若是區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值可以是（

）A． B． C．3 D．412．已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有恒成立，則下列不等式一定成立的是（

）A．B．C．D．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．已知，則．14．設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為.15．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則.16．已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，則以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn)．四、解答題（本大題共6小題，第17題10分，第18-22題每題12分，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)成文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．在等差數(shù)列中，．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．已知函數(shù)(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．19．已知拋物線與直線相切．(1)求拋物線C的方程；(2)已知過(guò)點(diǎn)且不與x軸垂直的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．若，求弦的中點(diǎn)到直線的距離．20．已知圓C的圓心在直線上，且過(guò)，兩點(diǎn).(1)求圓C的方程；(2)已知l：，若直線l與圓C相切，求實(shí)數(shù)m的值.21．如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，四邊形為矩形，，且平面平面.(1)求與平面所成角的余弦值；(2)求平面與平面夾角的大??；22．已知函數(shù)（）．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，解不等式．2024學(xué)年度高二（下）第一次周考數(shù)學(xué)試題參考答案：1．A【詳解】與分別表示在和處切線的斜率，由圖象得，且在處切線的斜率比處切線斜率小，所以；2．B【詳解】由得，令，得，解得，3．C【詳解】易知，所以在上的投影為.4．B【詳解】.5．D.解析：∵[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，∴當(dāng)x<0時(shí)，[f(x)g(x)]′>0，∴f(x)g(x)在(－∞，0)上是增函數(shù)，又g(－3)＝0，∴f(－3)g(－3)＝0.∴當(dāng)x∈(－∞，－3)時(shí)，f(x)g(x)<0；當(dāng)x∈(－3,0)時(shí)，f(x)g(x)>0.又∵f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴f(x)g(x)在R上是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．∴當(dāng)x∈(0,3)時(shí)，f(x)g(x)<0.6．C【詳解】由，得,則圓心，則，則，則四邊形的面積為.7．B【詳解】由函數(shù)，可得，令，可得，因?yàn)?，可得，則，即平行于直線且與曲線相切的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由點(diǎn)到直線的距離公式，可得點(diǎn)到直線的距離為.8．C【詳解】以題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，，所以,,設(shè),則,而,所以點(diǎn)到直線的投影數(shù)量的絕對(duì)值為,所以點(diǎn)到直線的距離為，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即點(diǎn)到直線的距離最小值為，9．BCD【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)公式可得，故B正確；對(duì)于，故C正確；對(duì)于，故D正確.10．AB【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，則，由題意可知：，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；11．CD【詳解】由題意，，令，解得，令，解得或，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞減，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則或或，解得或或，即或.12．BD【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，對(duì)于AB選項(xiàng)，，即，可得，A錯(cuò)B對(duì)；對(duì)于CD選項(xiàng)，，即，D對(duì)，C無(wú)法判斷.13．2【詳解】由，所以.14．/【詳解】因?yàn)?，所以，則，因?yàn)橹本€的斜率，所以.15．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，知，依題意，，解得，所以.16．【詳解】設(shè)是以為直徑的圓上任意的一點(diǎn)，，則，，因?yàn)?，則，即，所以圓的方程為，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，則直線方程為，聯(lián)立，消去，得，則，故，所以，，所以圓的方程可表示為，即，令，解得，此時(shí)該圓恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，則圓的方程為，此時(shí)該圓過(guò)定點(diǎn)；綜上，該圓過(guò)定點(diǎn).故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.17．(1)(2)【詳解】（1）設(shè)的公差為，則，解得，所以；（2）由（1）知，所以．18．(1)(2)單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為.【詳解】（1），則，則切線的斜率，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2），則，由，可得或；由，可得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．19．(1)(2)．【詳解】（1）聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，即，令，因?yàn)?，解得，故拋物線C的方程為．（2）點(diǎn)即為拋物線C的焦點(diǎn)，設(shè)A的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為，則，故，則弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，故弦的中點(diǎn)到直線的距離是．20．(1)（或）(2)或【詳解】（1）方法一：設(shè)圓心C的坐標(biāo)為，則，又，則，即，解得，，所以圓C的半徑，所以圓C的方程是（或）.方法二：AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，則AB的中垂線方程為.則，解得，所以圓心C的坐標(biāo)為，所以圓C的半徑，所以圓C的方程是（或）.（2）設(shè)圓心C到直線的距離為d，由題意可得，平方整理后可得，解得或.21．(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，且，平面平面，所以平面，又四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，設(shè)，則，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，易知平面的一個(gè)法向量是，設(shè)與平面所成的角為，所以，所以.（2）易知，所以，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則即令，則，所以，所以，故平面與平面的夾角為.22．(1)答案見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）∵，∴（）．令，其．①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，∴對(duì)恒成立，故在上遞增；②當(dāng)，即時(shí)，方程的兩個(gè)根分別是，．若，則，，故時(shí)，；