2015-2023學(xué)年上海市某中學(xué)高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷合集（含詳解）

近9年復(fù)旦附中高一上學(xué)期數(shù)學(xué)期中考試卷合集

2022-2023學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷..........2

2022-2023學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考參考答案...........5

2021-2022學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷.........20

2021-2022學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考參考答案.........23

2020-2021學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷.........34

2020-2021學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考參考答案.........37

2019-2020學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷.........51

2019-2020學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考參考答案.........54

2018-2019學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷.........67

2018-2019學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷.........70

2017-2018學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷.........84

2017-2018學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考參考答案.........87

2016-2017學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷........101

2016-2017學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考參考答案.........104

2015-2016學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷.........114

2015-2016學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考參考答案.........117

2014-2015學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷........128

2014-2015學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考參考答案........131

2022-2023學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷

2022.10

一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每

題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置接填寫(xiě)結(jié)果.

1.己知'={1?},3={a,a+l}若4=B,則。=.

2.不等式卜一"〉”一1的解集為.

1

y-----/

3.函數(shù)1一""的定義域?yàn)?

4.設(shè)a,bwR.已知關(guān)于x的不等式52-58+6>0的解集為I34人則不等式

ax2+5x+b<0的解集為.

5,函數(shù)'=/（"）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（x）=f+x,（%>0）,則

〃x）=__________

_x-\

6.函數(shù)）x—b的圖像關(guān)于點(diǎn)G，c）中心對(duì)稱(chēng)，則b+c=.

=,/x/|-|</（X）

7.己知函數(shù)丁一,I町是定義在R上的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，則不等式的解

集為.

X2-flX+1>0

j。

8.設(shè)關(guān)于x的不等式組〔X-+4的解集為R,則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

2+上

9.已知I2）,則x1-2%的最小值為.

10.函數(shù)y=/（力的定義域?yàn)閇T0）U（0,i,]其圖象上任一點(diǎn)尸GM滿(mǎn)足兇+3=1.命

題：

①函數(shù)，=/（x）-定是偶函數(shù)；

②函數(shù)y=/（x）可能既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；

③函數(shù)，=/（力可以是奇函數(shù)；

④函數(shù)，=/（"）是偶函數(shù)，則值域是[T°）或（°』；

⑤若函數(shù)，=/（"）值域是（T'l）,則、=/（*）一定是奇函數(shù).

其中正確命題的序號(hào)是.（填上所有正確的序號(hào)）

11.對(duì)一切實(shí)數(shù)X不等式卜一4+|2"-1|?5恒成立，則°的取值范圍為.

12.考慮集合5={1，2,3「-,8}的非空子集，若其子集中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)不少于偶數(shù)個(gè)數(shù)，則

稱(chēng)這個(gè)子集叫做“奇子集”，則S的“奇子集”的個(gè)數(shù)為.

二、選擇題（本大題共4題，滿(mǎn)分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選

項(xiàng)，考生應(yīng)答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.下列四組函數(shù)中，同組的兩個(gè)函數(shù)是相同的函數(shù)是（）

A./（'）=（，）,g（x）=xB.f（x）=丘,g（x）=x

C./（%）=—.g（x）=xD.〃x）=G，g（x）=x

14.若0〉a>b,Q>c>d,則下列不等式成立的是（）

Aa+c>b+dB.a—c>b-d

,,ab

C.ac>bdD.—>一

cd

15.己知M={-1,0,1},N={x|x["},則以下結(jié)論正確的是（）

A.MwNB.MjNC.NjMD.

McN=M

16.已知對(duì)任意xs[l,2]及_ye[2,3],不等式肛<ax?+2/恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是（）

,35_

A.—---B.—3<n<-1C.a>—3D.a2—1

9

三、解答題（本大題共有5題，滿(mǎn)分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)

位置寫(xiě)出必要的步驟.

17.命題甲：關(guān)于x的不等式Y(jié)+（a-l）x+a2?0的解集是空集.命題乙：函數(shù)

y=-1）X為單調(diào)遞減函數(shù).

（1）若命題甲、命題乙中至少有一個(gè)真，求a的取值范圍；

（2）求a的取值范圍，使命題甲是命題乙的必要條件.

18.已知/（x）=1+—L的定義域?yàn)閇1,2].

XX+1

（1）若/'（X）=■!■+—0—為正，求。的取值范圍；

XX+1

（2）若/'（x）=L+，一嚴(yán)格單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

XX+1

19.某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷(xiāo)售量產(chǎn)萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等）與促銷(xiāo)費(fèi)用1萬(wàn)元滿(mǎn)足

尸=?（其中Q.x,“，a為正常數(shù)）.己知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本6（尸+萬(wàn)元（不

＜20）

含促銷(xiāo)費(fèi)用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為4+—元/件.

[P）

（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；

（2）促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大？

20已知函數(shù)/（x）=（x_a）2+|x|,（aeR）.

（1）若4=1時(shí)，求方程/（力=1的解；

（2）討論/（x）的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（3）求/（x）的最小值g（a）的表達(dá)式.

21.給定無(wú)理數(shù)若正整數(shù)a,h,c,d滿(mǎn)足

bd

ricac

（1）試比較三數(shù)幺上，，的大小；

b+dbd

（2）證明存在兩組不完全相同的正整數(shù)a,b,c,d滿(mǎn)足q＜。＜￡且從一ad=l；

ba

（3）若bc—ad=l,證明下面三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立

a1八a+c、1c1

①"片存②京-忑而萬(wàn)③7一”標(biāo)

2022-2023學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考參考答案

一、填空題（本大題共有12題，滿(mǎn)分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每

題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置接填寫(xiě)結(jié)果.

1,己知/={L2},8={a,a+l},若4=3,則”.

【答案】1

【分析】根據(jù)集合2=3,則集合中的所以元素均相同，即可列方程求解。的值.

【詳解】解：己知/={1,2},8={a,a+l}.若4=8，

Q=1Q=2

所以〈1C，解得a=l,或{1「無(wú)解

。+1=2［a+l=l

綜上，a=1.

故答案為：1.

2.不等式,一1|>》一1的解集為.

【答案】（-8,1）

【分析】根據(jù)去絕對(duì)值的方法求解不等式即可.

【詳解】解：當(dāng)X-12O時(shí)，不等式,一1|>》一1為,一1|=》一1>》一1,此時(shí)不等式無(wú)解;

當(dāng)x-l<0時(shí)，不等式-l為=解得X<1.

所以，不等式的解集為（-8,1）

故答案為：

3.函數(shù)y=--的定義域?yàn)開(kāi)_______________

1—yjX

【答案】［l,2）u（2,+?）

【分析】根據(jù)根號(hào)下的數(shù)大于等于0,分母不為零，即可求出定義域.

x-l>0X>1

【詳解】由題意可知

xw2

所以函數(shù)y的定義域?yàn)椋踠,2）U（2,+8）.

故答案為：［1,2）U（2,+8）.

4.設(shè)a,beR.已知關(guān)于x的不等式62一58+6>0的解集為（一m，則不等式

ax2+5x+b<0的解集為.

【答案】‘8，一力。11,+00]

【分析】先由不等式ax?-5x+b>0的解集為1-求出實(shí)數(shù)。，6的值，再求不等式

ax2+5x4-6<0的解集.

【詳解】：不等式ax2-5x+h>0的解集為

21

，方程ax?一5工+6=0的兩根分別為王=—，工2=:，且。<0

34

由韋達(dá)定理可知，

a=—12

解得

b=2

???將。，b代入不等式+得一12%2+5工+2<0，

即12%2-5x—2>0

=（3x—2）（4x+l）>0

1仆.

???不等式ax1+5x+6<0的解集為-00,------

4【3J

1

故答案為:-00,----噌--收.

4

5.函數(shù)歹=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(x)=%2+x,(x〉0),則

%）=

2-

—X+x,x<0

【答案】/(x)=<

x2+x,x>0

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義/(-x)=-/(X)，求解函數(shù)的解析式.

【詳解】???函數(shù)J=/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，.,./(0)=0

Vx<0,-x>0,則=

又/(T)=-/(X),

.?"(x)=-/(—x)=-x2+x,將。代入可得,0也滿(mǎn)足該式,

.,*/(X)=_/(一%)=+x,X<0.

-x2+x,x<0

故答案為：/(x)=<

x2>0

1

6.函數(shù)v=——的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,c)中心對(duì)稱(chēng)，則6+c=

x-b

【答案】4

【分析】根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心求得Ac,從而求得b+c.

x-1_(x-b)+b-1

【詳解】函數(shù)y1+—的圖像關(guān)于點(diǎn)(3,c)中心對(duì)稱(chēng),

x-hx-hx-h

[3-6=0

所以《,解得b=3,c=l,

c=l

所以6+c=4.

故答案為：4

1

7.己知函數(shù)y=/(x)是定義在R上的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，則不等式了</(x)的解

x-l

集為

【答案】

【分析】根據(jù)單調(diào)性得出」一〉x,再分類(lèi)討論x結(jié)合一元二次不等式的解法求解即可.

x-1

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)是定義在R上的嚴(yán)格單調(diào)遞減函數(shù)，所以一L—〉x

x-l

當(dāng)x〉l時(shí)，即X-,解得仆<￥

當(dāng)X<1時(shí)，x(x—l)>l,即/一》一1>0,解得X〈上且1

2

綜上，不等式/</(x)的解集為

故答案為:

x~一ax+120

8.設(shè)關(guān)于x的不等式組，1的解集為R,則實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

->0

lx+a

【答案】（0,2]

【分析】不等式組解集為R，即該不等式組內(nèi)的兩個(gè)不等式解集均為R,由此求解即可.

x~-tzx+1>0

【詳解】不等式組41的解集為R,

-->0

\x+a

即不等式QX+120與不等式?—>0的解集均為R，

x+a

對(duì)于不等式V一批+120,若其解集為R,則有△1=。2-440,

解得-2WaW2,

對(duì)于不等式一—>0,等價(jià)于x2+a〉0,若其解集為R，則有△?=-4。<0,

X+。

解得Q>0，

f—2<a<2

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為§>0,即（z0,2].

故答案為：（0,2].

9.已知?jiǎng)t2+二_的最小值為

<2）x1-2%---------

【答案】25

2a

【分析】先判斷一+-----得每一項(xiàng)均為正，然后利用兩個(gè)分布的關(guān)系得2x+（l-2x）=1,

x1-2%

利用均值不等式計(jì)算即可.

【詳解】因?yàn)樗詌—2x>0,

29

--1------

xl-2x

212x

衛(wèi)匚＞0,所以2。一2司+18xN2l（_）x_Jj^=12,當(dāng)2（l—2x）=18七

l-2xxl-2x-Vxl-2xxl-2x

即時(shí)，等號(hào)成立,所以1自=4+―+需+92,所吟含

的最小值為25.

故答案為：25

10.函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)閇T0)U(0,l],其圖象上任一點(diǎn)尸(XJ)滿(mǎn)足卜|+3=1.命

題：

①函數(shù)y=/(x)一定是偶函數(shù)；

②函數(shù)v=/(x)可能既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)；

③函數(shù)y=/(X)可以是奇函數(shù)；

④函數(shù)y=/")是偶函數(shù)，則值域是或(0』]；

⑤若函數(shù)y=/(x)值域是(一1,1),則丁=/(x)一定是奇函數(shù).

其中正確命題的序號(hào)是.(填上所有正確的序號(hào))

【答案】③⑤

【分析】結(jié)合/(x)的奇偶性、值域等知識(shí)確定正確答案.

【詳解】由于/(x)的定義域是[-1,0)U(0,1],

則x#0,忖+回=1,3=1-兇。1,>?0±1,所以④錯(cuò)誤.

當(dāng)》=±1時(shí)，卜|+3=1，3=1-國(guó)=0/=0,

(—1<x<0

當(dāng)《人時(shí)，-x+y=l,y=x+l,

卜>0

[―1<x<0

當(dāng)《八時(shí)，一工一》=1,歹=一工一1,

[八0

[0<%<1

當(dāng)，時(shí)，x+y=l,y=-x+l,

卜>0

[0<%<1

當(dāng)《時(shí)，x-y=\,y=x-\,

3<0

所以/(x)的圖象有如下四種情況：

根據(jù)圖象可知③⑤正確，①②④

故答案為：

11.對(duì)一切實(shí)數(shù)x不等式,一a|+|2x—1|25恒成立，則°的取值范圍為.

(91「11、

【答案】一一；U—,+°0

I2J12)

【分析】首先將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最小值問(wèn)題，然后分類(lèi)討論求函數(shù)最小值即可.

【詳解】設(shè)/(x)=|x-4+|2x—1|,則“對(duì)一切實(shí)數(shù)x不等式|X-4+|2X-1|25恒成立”

等價(jià)于“/(x)mmN5”

-3%+。+1,x<a

當(dāng)時(shí)，/(x)=?—x+l—a,a<x<1,此時(shí)/(x/m=/(；)=；一4，則;一。25,

3x——1,x>一

2

9

解得Q<—.

2

當(dāng)。=—時(shí)，/(x)=x---1-|2x—11=3x>5,即x—2—,不可能恒成立，不符

2211223

合題意.

-3x+a+\,x<-

2

此時(shí)]_則a-125,

當(dāng)時(shí)，/(%)=<x+a-l,^<x<a,/(x)min

22

3x-a-\,x>a

解得

2

綜上所述，°的取值范圍為卜叫一|U'刃］

故答案為：（一°°,-gu萬(wàn)葉00）

12.考慮集合S={1,2,3,…,8}的非空子集，若其子集中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)不少于偶數(shù)個(gè)數(shù)，則

稱(chēng)這個(gè)子集叫做“奇子集”，則S的“奇子集”的個(gè)數(shù)為.

【答案】162

【分析】分類(lèi)討論，考慮子集中的奇數(shù)個(gè)數(shù)一定時(shí)，偶數(shù)的個(gè)數(shù)的可能的情況，將每種情況

的自己個(gè)數(shù)相加，可得答案.

【詳解】由題意知S={1,2,3,…,8}的元素中有4個(gè)奇數(shù)和4個(gè)偶數(shù)，

當(dāng)子集中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)為1個(gè)時(shí)，S的“奇子集”的個(gè)數(shù)為C；（C：+C；）=20個(gè)；

當(dāng)子集中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)為2個(gè)時(shí)，S的“奇子集”的個(gè)數(shù)為?：（《+?,+仁）=66個(gè)；

當(dāng)子集中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)為3個(gè)時(shí)，S的“奇子集”的個(gè)數(shù)為C：（C：+C：+C；+C：）=60個(gè)；

當(dāng)子集中的奇數(shù)的個(gè)數(shù)為4個(gè)時(shí)，S的“奇子集”的個(gè)數(shù)為C：（C：+C；+C；+C：+C：）=16個(gè)；

故5的“奇子集”的個(gè)數(shù)為20+66+60+16=162,

故答案為：162.

二、選擇題（本大題共4題，滿(mǎn)分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選

項(xiàng)，考生應(yīng)答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.

13.下列四組函數(shù)中，同組的兩個(gè)函數(shù)是相同的函數(shù)是（）

A.=,g(x)=xB./(力=丘，g(x)=x

C./(%)=—,g(x)=xD./(x)=E，g(x)=x

【答案】B

【分析】根據(jù)相等函數(shù)必須滿(mǎn)足定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，值域相同即可解決.

【詳解】A./(x)=(L)的定義域?yàn)閧x|x*O},g(x)=x的定義域?yàn)镽,它們的定義域

不同，不是相同函數(shù)；

B./(x)=3F=x的定義域?yàn)镽，g(x)=x的定義域?yàn)镽,它們的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)

系也相同，故它們是相同函數(shù)；

丫2

C.〃》)=上的定義域?yàn)閧刈》#0},g(x)=x的定義域?yàn)镽,它們的定義域不同，不是相

X

同函數(shù)；

D./"(x)=G'=忖的定義域?yàn)镽,g(x)=x的定義域?yàn)镽,它們的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)

系不同，不是相同函數(shù)；

故選：B.

14.若0>Q〉6,0>c>d,則下列不等式成立的是()

A.o+c>b+dB.a-c>b-d

,,ah

C.ac>bdD.—>一

cd

【答案】A

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A,取特值可判斷B,C,D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?>a>b,0>c>d,所以a+c>6+d,故A正確；

對(duì)于B,若6=-3,。=-2,"=-4,。=-1,則。一。二-1,6-1=1,故B正確；

對(duì)于C,若6=-3,。=-2,1=-4,。=-1,則ac=2,6d=12,故C不正確；

對(duì)于D,若b=-3,a=—2,d=—3,c=—2,則@=1,2=1,故D不正確.

cd

故選：A.

15.已知"={—1,0,1},N={x|x[M},則以下結(jié)論正確的是()

A.MwNB.M三NC.N口MD.

McN=M

【答案】A

【分析】由X屋/知X為集合"的子集，集合N為集合”的所有子集構(gòu)成的集合，從而

確定集合〃與集合N的關(guān)系.

【詳解】由xu/知x為集合M的子集，

即x可取元素為0,{-1},{1},{0},{-1,1},{-1,0},{0,1},{-1,0,1},

所以M={-1,0,1}是集合N的一個(gè)元素，即MeN,

故選：A

16.已知對(duì)任意xe[l,2]及yw[2,3],不等式肛4ax?+2_/恒成立，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍

是()

,35

A.-l<a<——B.-3<a<-lC.a>-3D.a>-\

9

【答案】D

【分析】應(yīng)用參變分離法有a之上―理■恒成立，令，=[e[l,3]結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求右

XXX

側(cè)的取值范圍，只需a2(2-%)max即可確定范圍.

Xx~

【詳解】由題設(shè)，“2也W二=2一年恒成立，

XXX

令/=^w[l,3],則/(f)=Z-2/=—2(/—!)2+'w[—15,-1],

x48

所以只需a2/(f)1rax即可，故a2—1.

故選：D

三、解答題(本大題共有5題，滿(mǎn)分76分)解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)

位置寫(xiě)出必要的步驟.

17.命題甲：關(guān)于x的不等式f+(a-1)》+/40的解集是空集.命題乙：函數(shù)

、=(/一1卜為單調(diào)遞減函數(shù).

(1)若命題甲、命題乙中至少有一個(gè)真，求a的取值范圍；

(2)求a的取值范圍，使命題甲是命題乙的必要條件.

【答案】(1)"-I;

1,

(2)-<a<\.

3

【分析】(1)先求解命題甲、乙分別為真命題時(shí)a的取值范圍，再求解甲、乙都是假命題a

的取值范圍，求解對(duì)應(yīng)補(bǔ)集即可；

(2)即命題乙為真命題可推出命題甲為真命題，結(jié)合命題甲、乙分別為真命題時(shí)a的取值

范圍，分析求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題意，若命題甲為真命題，即關(guān)于X的不等式x2+(a-l)x+a2?0的解集是空集，

即A=("l)2-4a2＜0=3/+2"1〉0"(3"1)(。+1)〉0,

解得：或。＜一1;

3

若命題乙為真命題，即函數(shù)卜=(42-1)X為單調(diào)遞減函數(shù)，

即-1=(〃+1)(〃-1)＜0,解得：一

若甲、乙都是假命題，則一且4W一1或即q=—1,

3

故若命題甲、命題乙中至少有一個(gè)真，。的取值范圍是“N-1.

【小問(wèn)2詳解】

由題意，命題甲是命題乙的必要條件，

即命題乙為真命題可推出命題甲為真命題，

由(1)命題乙為真命題，即-命題甲為真命題，即或。＜-1,

3

由于。{。|4＞；或〃＜一1}={〃|；＜。＜1}

故當(dāng),＜。＜1時(shí)，命題乙可推出命題甲，即命題甲是命題乙的必要條件.

3

18.已知〃x)='+—嘰的定義域?yàn)閇1,2].

XX+1

(1)若/'(x)='+q為正，求“的取值范圍；

XX+1

(2)若/'(x)=L+/一嚴(yán)格單調(diào)遞增，求a的取值范圍.

xx+1

3

【答案】(1)a＞——

2

(2)a＜-4

X+1

【分析】(1)利用參數(shù)分離思想將題目轉(zhuǎn)化為------成立，進(jìn)而求解.

X

(2)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，將題目轉(zhuǎn)化為Vxe[l,2],有恒成立，進(jìn)

而求解.

【小問(wèn)1詳解】

由題意知，Vxe[l,2],有,+，—>（）恒成立，

XX+1

等價(jià)于Vxe[l,2],有q>—±±1=—1—,恒成立，即1—

XXVX，max

1113

又函數(shù)N=-1——在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增，故為ax=-1——=即a>——

x222

所以〃的取值范圍是a>-士3

2

【小問(wèn)2詳解】

由/（x）='+-^-,求導(dǎo)/'（^^=一^一；^^7

v7xx+1x（x+1）

由題意知，Vxe[l,2],有/'（x）20恒成立，

2

X+1)x~+2x+1

即。<一即?！?/p>

X2X2

又函數(shù)y==-(/+1)2,其中.,在區(qū)間上單調(diào)遞減，

2J\_2J

故Mnin=一4，即aWT

所以。的取值范圍是aW-4

19.某公司生產(chǎn)的某批產(chǎn)品的銷(xiāo)售量P萬(wàn)件（生產(chǎn)量與銷(xiāo)售量相等）與促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元滿(mǎn)足

尸=節(jié)2（其中0..%”，。為正常數(shù)）.己知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本6（尸+"）萬(wàn)元（不

（20）

含促銷(xiāo)費(fèi)用），產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為4+—元/件.

、P?

（1）將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；

（2）促銷(xiāo)費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大？

243

【答案】（I）夕=19——---XQ,A；,a）；

x+22

（2）當(dāng)a...2時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入2萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大；當(dāng)a<2時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入a

萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大.

（1）根據(jù)產(chǎn)品的利潤(rùn)=銷(xiāo)售額-產(chǎn)品的成本建立函數(shù)關(guān)系；

（2）利用導(dǎo)數(shù)基本不等式可求出該函數(shù)的最值，注意等號(hào)成立的條件.

201

【詳解】解：(1)由題意知，歹=(4+—)p-x-6(p+—)

將〃=x千+代2入化簡(jiǎn)得：y=19—二24—3〃)；

4x+22

(2)y=22--(-^+x+2\.22-3j^-x(x+2)=10,

2x+2Vx+2

當(dāng)且僅當(dāng)一包=x+2,即x=2時(shí)，上式取等號(hào)；

x+2

當(dāng)a..2時(shí)，促銷(xiāo)費(fèi)用投入2萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大;

:.a<2時(shí)，函數(shù)在［0,?上單調(diào)遞增，

??.x=a時(shí)，函數(shù)有最大值.即促銷(xiāo)費(fèi)用投入。萬(wàn)元時(shí)，該公司的利潤(rùn)最大.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，以及基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用，同

時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

20.已知函數(shù)/(x)=(x-ay+W，(?eR).

(1)若a=l時(shí)，求方程/")=1的解；

(2)討論/(x)的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(3)求/(x)的最小值g(a)的表達(dá)式.

【答案】(1){051}

(2)當(dāng)4=0時(shí)，/(X)為偶函數(shù)；當(dāng)4H0時(shí)，/(X)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

-a——,.3a—<-----

42

【分析】(1)分段解方程即可；

(2)分類(lèi)，根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)及定義判斷可得；

(3)分類(lèi)討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其單調(diào)性，然后可得最小值.

【小問(wèn)1詳解】

x--x+l,x>0

若4=］時(shí)，/(x)=(x-l)'+|x|=<

x2-3x+l,x<0

當(dāng)XNO時(shí)，解/(x)=x2_x+i=i,得x=o或x=l,

當(dāng)x<0時(shí)，解/(x)=--3x+l=1,得x=O(舍去)或x=3(舍去),

綜上，方程/")=1的解集為{0,1}

【小問(wèn)2詳解】

函數(shù)"X)的定義域?yàn)镽,

當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=x2+|x|,此時(shí)/(-x)=/(x),為偶函數(shù);

當(dāng)時(shí)，易知/(0)=。2。0,故不是奇函數(shù),

/(x)=(x-a)2+|x|=<x~—(2a—l)x+ci~,x>0

x2-(2a+l)x+a2,x<0

若/(x)為偶函數(shù)，則當(dāng)x>0時(shí)?，/(—x)=爐+(2a+l)x+1=/(x)=/一(2。-l)x+1恒

成立，整理得4*=0恒成立，故。=0(矛盾)，所以此時(shí)/(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函

數(shù).

綜上，當(dāng)a=0時(shí)，/(x)為偶函數(shù)：

當(dāng)時(shí)，/(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).

【小問(wèn)3詳解】

x2—(2(?—l)x+q-,x〉0

f(x)=(x-a)2+|x[=<

x2~[2a+l)x+a2,x<0

2a—12。+1

易知,-----<------

22

當(dāng)號(hào)口K0,即aK—g時(shí)，/(x)在(—8,網(wǎng)上§上單調(diào)遞減，在(笥1,0)和［0,+00)上

單調(diào)遞增，易知/(x)圖象連續(xù)，所以/(x)在(日也,+8)上單調(diào)遞增，故此時(shí)/(x)的

□rr、r/?/2。+1、，2。+1、2-｛、/2。+1、)1

最小值為f(---)=(――_(z2a+1)(—~

當(dāng)夫二1>0,即a>g時(shí)，/(x)在(―8,0)和［0,與口)上單調(diào)遞減，在(受1,+8)上

r\［

單調(diào)遞增，易知/(X)圖象連續(xù)，所以/(X)在(-哈干-)上單調(diào)遞增，故此時(shí)/(X)的最

,/七二1、/2a—1、2I\/2Q—1、21

小值為f(――)=(2)~一(2〃一1)(——)+Q-=a—w;

當(dāng)(l?o〈等1,即—時(shí)，/(X)在(—8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)

遞增，故此時(shí)/(x)的最小值為/(0)=/.

,11

綜上，g{a}^la~,--<a<-

11

一。---,Q<——

42

21.給定無(wú)理數(shù)6e(O,l).若正整數(shù)a,h,c,d滿(mǎn)足@<e<￡.

bd

(i)試比較三數(shù)空￡,--二的大??；

b+dbd

(2)證明存在兩組不完全相同的正整數(shù)a,b,c,d滿(mǎn)足q<。<￡且曲—ad=l；

bd

(3)若be—ad=1,證明下面三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立

a1八a+c、1c1

①”正夜7②第一忑而斤③，一小標(biāo)

aa+cc

【答案】(1)—<-——-<—；

bb+dd

(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】(1)由題得bc〉at/,再利用作差法比較得解；

(2)構(gòu)造數(shù)列1,—，—，…,—,---，…即得證;

23kk+\

(3)利用反證法證明，一竺€［避二L」)，①，［立二±1).②，兩式相加即得證.

b+d2b+d2

【小問(wèn)1詳解】

解：由題得巴<￡,所以6c>ad.

bd

a+cabe-ad八a+ca

--------=------->0,----->——

b+db(b+d)b…b+db'

a+ccad-be八Q+CC

=-----------<0,<——

b+dd--(b+d)d'b+d--d

。a+cc

所以一<-----<-.

hbtdd

【小問(wèn)2詳解】

構(gòu)造數(shù)列，｝..,5之,

對(duì)任意的6e(0,l),3k,-<0<-,

人+1k

此時(shí)可取a=c=\,b=k+\,d=k即可.

【小問(wèn)3詳解】

利用反證法，假設(shè)都成立,

a|Q+c八1

--------=---------2“-------

b+dhh+dbb+d

111

所以(b+d)b—J?/>2下(b+d?'

.b+db,匚

所ccr以)-----+-----<V5,

bb+d

設(shè)工=，€（0,1），所以/?.叵4<f<l,所以上w［避二Ll）.①

b+dt2b+d2

ca+ca+ca+c11

\>\^--0\+\e-------—7=---F-7=--------

db+d匕+”ab+d-Jsd2布(b+d)?,

111

歷以(b+d)b~4sd2+VJ(b+d)2'

g、ib+ddr-

所以——+-~-<V5,

db+d

所以一,1)?②

b+d

①+②得「”+二47之遙—1>1矛盾.

b+db+d

所以三個(gè)不等式中至少有一個(gè)不成立

2021-2022學(xué)年上海復(fù)旦附中高一上期中考數(shù)學(xué)試卷

一、填空題(本大題共12題，滿(mǎn)分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分)

1.設(shè)xCR,貝卜是“主工<o”的條件.

x-2

2.若集合x(chóng)€Z},N={y[y=-2?+3,xGZ},則MON=.

3.已知集合4={》|?+◎+3=0},且滿(mǎn)足1%,則集合4的子集個(gè)數(shù)為.

4.關(guān)于x的一元二次不等式x2-8x+aW0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則。的取值范圍

是.

5.若關(guān)于x的方程/-6+2=0的一根大于1,另一根小于1,則實(shí)數(shù)4的取值范圍

為,

6.已知函數(shù)/(x)=|x-1|+1存在兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為.

7.已知x>0,y>0,且工+2/=孫，若不等式x+2y)"?2-2”?恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍

為.

8.已知定義在R上的函數(shù)滿(mǎn)足f(x)=/(2-x),且f(x+3)為奇函數(shù)，當(dāng)虻口，3)時(shí)，

f(x)=X,則/(-1)=.

222

9.若已知a,b,c均為正數(shù)，則4a+b+c的最小值為.

ab+bc

10.設(shè)函數(shù)f(x)=(x2-l)2爭(zhēng)乂2-1|+k，當(dāng)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)達(dá)到最大值時(shí)，實(shí)數(shù)左

的取值范圍為_(kāi)___.

11.函數(shù)f(x)=V2x-l+\歷三的值域?yàn)?

12.對(duì)于實(shí)數(shù)a,b€R,函數(shù)f(x)=|axd+b|在區(qū)間虻口，2]上的最大值記為M(a,b),

MCa,b)的最小值為.

二、選擇題(本大題共4題，每題5分，共20分)

13.已知命題“存在x6{x[l<x<3},使等式--“X-1=0成立”是假命題，則實(shí)數(shù)"?的

取值范圍()

A.母，+8)B.(-8,0)U[A,+8)

C.(-8,0]D.(-8,0]U[A,4-00)

3

14.判斷下列選項(xiàng)中正確的是()

A.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-80)U(0,+8)

f（x）-fCX）

B.若對(duì)于區(qū)間/上的函數(shù)/（x）,滿(mǎn)足對(duì)于任意的XI，X2已，-----i------->0>則

x2-xl

函數(shù)/（X）在/上是增函數(shù)

C.已知xWO時(shí)，f（x）=x］，則f（二）=-x+工

XXX

D.已知/（x+1）=，+2x+2,則f（x）=x2+l

15.對(duì)于實(shí)數(shù)x,y,記d（x,y）J"x2+y,x#y,下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）

［0,x=y

A.對(duì)于任意實(shí)數(shù)，x<y<zfd（x,y）+d（y,z）Nd（x,z）

B.對(duì)于任意實(shí)數(shù)xWy,d（x,y）20,其中d（x,y）=0成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y

a,a》b

C.對(duì)于任意實(shí)數(shù)xVyVz,〃7〃x{d(x,y),d(y,z)}W"(x,z),其中111ax(a,b)二

b,a<b

D.對(duì)于任意實(shí)數(shù)xVy,存在正實(shí)數(shù)廠和實(shí)數(shù)z,使得d（x,z）>尸且d（y,z）>r

2

16.已知a>OfbER,若x>0時(shí)，關(guān)于x的不等式（ox-1）（x+bx-4）20恒成立，則

a

的最小值是（）

A.V2B.2V2C.4D.4V2

三、解答題（本大題共5題，共76分）

17.（14分）已知集合人={x產(chǎn)?<1，xfR}，集合8={x||x-a|W2,x€R}.

x+1

（1）求集合/;

（2）若BC=B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

18.（14分）已知關(guān)于x的二次方程/+2/%+加=0.

（1）若方程有兩根，其中一根在區(qū)間（-1,0）內(nèi)，另一根在區(qū)間（0,1）內(nèi)，求機(jī)的

取值范圍；

（2）若方程兩根均在區(qū)間［-1,1］內(nèi)，求機(jī)的取值范圍.

19.（14分）雙H^一期間，商戶(hù)為攬客擬定商品按夕（元/斤）銷(xiāo)售，售價(jià)隨時(shí)間x6［0,1］變

化的關(guān)系為y=/（x）,且在［0,1］上是嚴(yán)格減函數(shù).

（1）姚女士需要在x=0和