初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)《銳角三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)2

PAGEPAGE1《銳角三角函數(shù)》教學(xué)設(shè)計(jì)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)：初步了解正弦、余弦、正切概念．能較正確地用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比．熟記30°、45°、60°角的三角函數(shù)，并能根據(jù)這些值說出對(duì)應(yīng)的銳角度數(shù)．重點(diǎn)難點(diǎn)：正弦，余弦，正切概念．用含有幾個(gè)字母的符號(hào)組sinA、cosA、tanA表示正弦，余弦，正切．二、知識(shí)概覽圖銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)的定義：銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)銳角三角函數(shù)特殊角的三角函數(shù)值同角、互為余角的三角函數(shù)關(guān)系sin2A＋cos2A同角、互為余角的三角函數(shù)關(guān)系sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA銳角三角函數(shù)值的變化情況及取值范圍正弦(正切)值隨角度的增大而增大銳角三角函數(shù)值的變化情況及取值范圍余弦值隨角度的增大而減小O＜sinα＜1，0＜cosα＜1(0°＜α＜90°)tanα＞0(0°＜α＜90°)，三、新課導(dǎo)引生活鏈接：為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在°，為了使出水口的高度為35m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管?這個(gè)問題可以歸結(jié)為：如右圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝35m，求AB．根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，即，可得AB＝2BC＝70m，也就是說，需要準(zhǔn)備70m長的水管．在上面的問題中，如果使出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長的水管?四、教材精華知識(shí)點(diǎn)1．當(dāng)銳角A的大小確定后，它所在的直角三角形每兩邊所構(gòu)成的比都有唯一確定的值．(1)任意畫一個(gè)銳角A，在銳角A的一邊上任取一點(diǎn)B，自點(diǎn)B向另一邊作垂線，垂足為C，從而得到一個(gè)Rt△ABC，如圖28－1所示．Rt△ABC中的三條邊每兩邊構(gòu)成一個(gè)比，一共可以得到如下六個(gè)比例式：．(2)在銳角A的AB邊上再另取一點(diǎn)B1，自點(diǎn)B1向另一邊作垂線，垂足為C1，從而得到另一個(gè)Rt△AB1C1，Rt△AB1C1中的三條邊也構(gòu)成如下六個(gè)比例式：，．那么由兩個(gè)直角三角形所得到的對(duì)應(yīng)比有怎樣的關(guān)系呢?∵BC⊥AC，B1C1⊥AC1，∴BC∥B1C1，∴Rt△ABC∽R(shí)t△AB1∴…都為定值．∵點(diǎn)B1在AB邊上是任取的，∴前面的操作方法具有普遍性．∴當(dāng)銳角A的大小確定后，它所在的直角三角形每兩邊所構(gòu)成的比都有唯一確定的值．知識(shí)點(diǎn)2．正弦和余弦的定義．由知識(shí)點(diǎn)1可知，當(dāng)銳角A固定時(shí)，∠A的對(duì)邊與斜邊的比值是一個(gè)固定的值，∠A的鄰邊與斜邊的比值也是一個(gè)固定的值．在Rt△ABC中，設(shè)∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別為a，b，c，如圖28－2所示．(1)我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦．記作sinA，即sinA＝．(2)我們把銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦．記作cosA，即cosA＝．拓展：(1)正弦、余弦都是一個(gè)比值，是沒有單位的數(shù)值．(2)正弦、余弦只與角的大小有關(guān)，而與三角形的大小無關(guān)．(3)sinA，cosA是整體符號(hào)，不能寫成sin·A，cos·A．(4)當(dāng)用三個(gè)字母表示角時(shí)，角的符號(hào)“∠”不能省略，如sin∠ABC．(5)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA(6)三角函數(shù)還可以表示成sinα，cosβ等．探究交流：計(jì)算30°，45°，60°角的正弦、余弦值．點(diǎn)撥：如圖28－3所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠B＝60°．由在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可知BC＝AB，再由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，得AB2＝AC2＋(AB)2，即AC2＝AB2，∴AC＝AB，∴sinA＝，cosA＝即sin30°＝，cos30°＝．類似地，sin60°＝，cos60°＝．如圖28－4所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°．∴CB＝CA，由勾股定理AB2＝BC2＋AC2，得AB＝BC＝AC，即．∴sinA＝，cosA＝，即sin45°＝cos45°＝．知識(shí)點(diǎn)3．正切的定義．由知識(shí)點(diǎn)1可知，當(dāng)銳角A固定時(shí)，∠A的對(duì)邊與鄰邊的比值是一個(gè)固定的值，如圖28－5所示．在Rt△ABC中，把銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切．記作tanA，即tanA＝．拓展：(1)正切是一個(gè)比值，是一個(gè)沒有單位的數(shù)值．(2)正切只與角的大小有關(guān)，而與三角形的大小無關(guān)．(3)tanA是整體符號(hào)，不能寫成tan·A．(4)當(dāng)用三個(gè)字母表示角時(shí)，角的符號(hào)“∠”不能省略，如tan∠ABC．(5)tan2A表示(tanA)2，而不能寫成tanA2(6)三角函數(shù)也可以表示成tanα等．探究交流：計(jì)算30°，45°，60°角的正切值．點(diǎn)撥：如圖28－6所示，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°．∴BC＝AB，AC＝AB；∴tanA＝．類似地，tanB＝．即tan30°＝，tan60°＝．如圖28－7所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，∠B＝45°．∴∠A＝∠B，∴CA＝CB，∴tanA＝＝1，tanB＝＝1，即tan45°＝1．知識(shí)點(diǎn)4．銳角三角函數(shù)的定義．銳角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．(1)三角函數(shù)的實(shí)質(zhì)是一個(gè)比值，這些比值只與角的大小有關(guān)，當(dāng)角的大小確定時(shí)，它的三角函數(shù)值就確定了，也就是說，三角函數(shù)值隨角度的變化而變化．(2)由定義可知，0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0．令y＝sinA，y＝cosA，y＝tanA，則函數(shù)中自變量的取值范圍均為0°＜A＜90°．函數(shù)的增減性分別為：①y＝sinA在自變量的取值范圍內(nèi)，y隨A的增大而增大．②y＝cosA在自變量的取值范圍內(nèi)，y隨A的增大而減?。踶＝tanA在自變量的取值范圍內(nèi)，y隨A的增大而增大．(3)常見的特殊角的三角函數(shù)值如下表：銳角α三角函數(shù)30°45°60°sinαcosαtanα1拓展：(1)銳角的三個(gè)三角函數(shù)都是一個(gè)比值．當(dāng)銳角不變時(shí)，該角的正弦、余弦、正切值也不變．(2)銳角的三角函數(shù)值與角的兩邊的長短無關(guān)．(3)當(dāng)銳角A所在的三角形不是直角三角形時(shí)，可適當(dāng)?shù)刈鬏o助線，構(gòu)造出直角三角形，從而求出sinA，cosA，tanA．知識(shí)點(diǎn)5．同角三角函數(shù)之間的關(guān)系．如圖28－8所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，令∠A＝α，則sinα＝，cosa＝，tanα＝．(1)平方關(guān)系．∵sin2α＋cos2α＝()2＋()2＝，又∵a2＋b2＝c2，∴sin2α＋cos2α＝＝1．(2)商數(shù)關(guān)系．∵，tanα＝，∴＝tanα．拓展：對(duì)公式sin2α＋cos2α＝1(α為銳角)的理解與應(yīng)用要注意：sin2α代表的含義是sinα的平方(即比值的平方)，書寫格式應(yīng)為sin2α，而不是sinα2．知識(shí)點(diǎn)6．互為余角的三角函數(shù)關(guān)系．觀察下列等式：sin30°=cos60°＝，sin45°＝cos45°＝．cos30°=sin60°＝，cos45°＝sin45°＝．不難發(fā)現(xiàn)等式有下面三個(gè)特點(diǎn)：(1)三角函數(shù)名稱互換，即正弦變余弦，余弦變正弦；(2)角度互余；(3)三角函數(shù)值相等．上述規(guī)律可以推廣到任意銳角，即sinA＝cos(90°－A)，cosA＝sin(90°－A)．用語言敘述上述規(guī)律為：任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值．拓展：對(duì)公式sinA＝cos(90°－A)和cosA＝sin(90°－A)的理解要注意以下兩點(diǎn)：(1)∠A為銳角．規(guī)律方法小結(jié)：求銳角三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)構(gòu)造一個(gè)直角三角形，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解決數(shù)量問題．五、課堂檢測(cè)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，則cosB的值為()A．B．0C．D．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則BC：AC等于()A．3：4B．4：3C．3：5D．4：53．在Rt△ABC中，如果各邊都縮小4倍，則銳角A的正切值()A．縮小4倍B．?dāng)U大4倍C．沒有變化D．不能確定4．如圖28－10所示，在Rt△OPQ中，求sinP，cosP，sinQ，cosQ的值．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5．(1)求AB的長；(2)求sinA，cosA的值；(3)求sin2A＋cos2(4)比較sinA與cosB的大??；(5)比較tanA與的大小．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，則cosB的值為()A．B．C．D．7．sin30°＋cos60°－cos45°－tan60°·tan30°＝．8．若sinα＝2m－3(α為銳角)，求m9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(3，0)和點(diǎn)B(0，－4)，則cos∠OAB等于()A．B．－C．0D．10．如圖28－12所示，已知△ABC的兩邊長AC＝3，AB＝5，且第三邊長BC為關(guān)于x的方程x2－4x＋m＝0的兩個(gè)正整數(shù)根之一，求sinA的值．11．已知關(guān)于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的兩個(gè)根分別是一個(gè)直角三角形兩銳角的余弦值，且－n＝，求m，n的值．12．已知△ABC的三邊a，b，c中，b＝5，c＝3，銳角θ的正弦值是關(guān)于x的方程5x2－15x－ax＋3a＝0的一個(gè)根，試求a13．已知0°＜θ＜90°，且關(guān)于x的方程x2－2xtanθ－3＝0的兩個(gè)根的平方和等于10，求以tanθ，為根的一元二次方程．14．如圖28－13所示，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB－AC＝2－，求BC的長．15．如圖28－14所示，在菱形ABCD中，AE⊥BC于E，EC＝1，sinB＝，求四邊形AECD的周長．16．用幾何方法求tan15°的值．17．曙光中學(xué)有一塊三角形形狀的花圃，現(xiàn)可直接測(cè)得∠A＝30°，AC＝40米，BC＝2518．閱讀下面的材料，再回答問題．三角函數(shù)中有常用公式：sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，求sin(A＋B)的值．例如：sin75°＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos45°sin30°＝．試用公式cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB求cos75°的值．19．(1)如圖28－18所示，在△ABC中，∠B，∠C均為銳角，其對(duì)邊分別為b，c，求證；(2)在△ABC中，AB＝，AC＝，∠B＝45°，則這樣的△ABC有幾個(gè)?請(qǐng)作出來(不寫作法和理由)，并求出∠C的度數(shù)．參考答案課堂檢測(cè)1．分析由勾股定理可知AB＝＝5，根據(jù)余弦的定義可知cosB＝，即cosB＝＝．故選B．2．分析根據(jù)題意畫出圖形，如圖28－9所示，由正弦的定義可知sinA＝，即sinA＝＝，故可設(shè)BC＝3k，AB＝5k(k＞0)，由勾股定理可知AC＝＝＝4k，∴BC：AC＝(3k)：(4k)＝3：4．故選A．解題策略：本題中BC：AC的值實(shí)際上是∠A的正切值，即tanA，可借助圖形來解決問題．3．分析銳角A的正切值是一個(gè)比值，它只與∠A的大小有關(guān)，而與△ABC的大小無關(guān)．故選C．4．分析無論直角三角形如何放置，其頂點(diǎn)字母如何標(biāo)記，正弦值總是等于這個(gè)銳角的對(duì)邊比斜邊，余弦值總是等于這個(gè)銳角的鄰邊比斜邊，本題已知直角邊長，應(yīng)先求斜邊長．解：在Rt△OPQ中，∠O＝90°，OP＝，OQ＝2，由勾股定理，得PQ＝，∴sinP＝，cosP＝，同理，sinQ＝，cosQ＝．解題策略：此類問題考查的是三角函數(shù)的定義與特征，數(shù)形結(jié)合思想是解決此類問題時(shí)常用的思想方法．5．解：(1)∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，∴AB＝＝13．(2)sinA＝＝，cosA＝＝．(3)sin2A＋cos2A＝()2＋()2＝＝1(4)∵cosB＝＝，∴sinA＝cosB．(5)∵tanA＝＝，＝，∴tanA＝．解題策略解答本題的關(guān)鍵是正確理解銳角三角函數(shù)的概念，并找準(zhǔn)相應(yīng)的邊．6．分析利用特殊角的三角函數(shù)值即可求得cosB的值．在Rt△ABC中，∵sinA＝，∴∠A＝60°，∠B＝30°，∴cosB＝cos30°＝．故選C．解題策略任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值，即sinA＝cos(90°－A)．任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值，即cosA＝sin(90°－A)，同時(shí)有sin2α＋cos2α＝1(α為銳角)，tanα＝．7．分析sin30°＋cos60°－cos45°－tan60°·tan30°＝＋－－×＝1－－1＝－．故填－．解題策略解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值．8．分析由α為銳角，0＜sinα＜1，知0＜2m－3＜1，由此可求得m解：∵0°＜α＜90°，∴0＜sinα＜1，即0＜2m－3＜1，∴＜m＜2．解題策略當(dāng)α為銳角時(shí)，正弦值隨著a的增大(或減小)而增大(或減小)；余弦值隨著α的增大(或減小)而減小(或增大)．9．分析如圖28－11所示，易知OA＝3，OB＝4，則AB＝＝5，此時(shí)cos∠OAB＝．故選C．解題策略本題從表面上看是三角函數(shù)與平面直角坐標(biāo)系的綜合應(yīng)用，實(shí)際上還是在直角三角形中研究邊與角的關(guān)系，注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來求解．10．解：設(shè)x1，x2是關(guān)于x的方程x2－4x＋m＝0的兩個(gè)正整數(shù)根，由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1＋x2＝4，x1x2＝m．又∵x是正整數(shù)，∴x1＝1，x2＝3，或x1＝x2＝2，或x1＝3，x2＝1，∴BC只能取1，2，3．根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系可知5－3＜BC＜5＋3，即2＜BC＜8，∴BC＝3．過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，∴AC＝BC＝3，AD＝AB＝×5＝2.5．在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，CA＝3，AD＝2.5，∴CD＝，∴sinA＝．解題策略解題的關(guān)鍵是先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出BC的值，再構(gòu)造直角三角形求出sinA的值．11．分析利用兩銳角的余弦值、根與系數(shù)的關(guān)系組成方程組，求得m，n的值，再檢驗(yàn)m，n是否符號(hào)題意．解：設(shè)方程x2＋mx＋n＝0的兩個(gè)根分別為cosα，cosβ(α＋β＝90°)，由根與系數(shù)的關(guān)系得∵α＋β＝90°，∴cosβ＝sinα，∴將①兩邊同時(shí)平方，得1＋2sinαcosα＝m2，③把②代入③，得1＋2·n＝m2，∴m2－2n－1＝0．④又∵－n＝，即m＋5n－1＝0，⑤∴解得或當(dāng)m1＝1，n1＝0時(shí)，sinα＋cosα＝－m＝－1＜0，應(yīng)舍去，即解題策略此題綜合運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系以及銳角的三角函數(shù)值來求解．12．分析對(duì)于a，實(shí)際上有兩個(gè)限制條件：(1)a是△ABC的一邊，則5－3＜a＜5＋3，即2＜a＜8；(2)由5x2－15x－ax＋3a＝0，得(x－3)(5x－a)＝0，因?yàn)閟inθ是該方程的根，所以必有5sinθ－a＝0，即a＝5sinθ，再由sinθ來確定a解：由5x2－15x－ax＋3a＝0，得(x－3)(5x－a)＝0∴x1＝3，x2＝．∵sinθ是該方程的根，且0＜sinθ＜1(θ是銳角)，∴＝sinθ，即a＝5sinθ，∴0＜a＜5．①又∵a是△ABC的一邊，∴b－c＜a＜b＋c，即5－3＜a＜5＋3，∴2＜a＜8，②由①②得a的取值范圍是2＜a＜5．解題策略此題綜合運(yùn)用了銳角正弦值的取值范圍以及三角形的三邊關(guān)系，這些都是確定不等關(guān)系的依據(jù)．13．分析構(gòu)造一元二次方程的關(guān)鍵是求tanθ＋和tanθ·的值，故應(yīng)由已知條件求出θ的度數(shù)．解：設(shè)x1，x2是方程x2－2xtanθ－3＝0的兩個(gè)根．由根與系數(shù)的關(guān)系可知x1＋x2＝2tanθ，x1x2＝－3．∵x12＋x22＝10，∴(x1＋x2)2－2x1x2＝10，即(2tanθ)2－2×(－3)＝10，∴4tan2θ＝4，tanθ＝±1．又∵0°＜θ＜90°，∴tanθ＝－1不符合題意，舍去，∴tanθ＝1，θ＝45°，∴＝＝＝，∴tanθ＋＝1＋，tanθ·＝1×＝，∴以tanθ，為根的一元二次方程是x2－(1＋)x＋＝0．解題策略此類題是銳角三角函數(shù)與一元二次方程的有關(guān)知識(shí)相結(jié)合的題目，主要考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．14．分析BC不在直角三角形中，故應(yīng)作輔助線將其轉(zhuǎn)化到直角三角形中，因此可作AD⊥BC，垂足為D，此時(shí)分BC的兩條線段CD，BD可分別在Rt△ACD和Rt△ADB中求得．解：過A作AD⊥BC，垂足為D．在Rt△ACD中，sinC＝，∠C＝45°，∴AD＝AC·sinC＝AC·sin45°＝AC．①在Rt△ADB中，sinB＝，∠B＝30°，∴＝sin30°，∴AD＝AB·sin30°＝AB．②由①②可知AC＝AB，∴AB＝AC③又∵AB－AC＝2－，∴AC－AC＝2－，∴AC＝．∵cosC＝，∴CD＝AC·cosC＝·cos45°＝×＝1．∵cosB＝，∴BD＝AC·cosB＝×·cos30°＝2×＝．∴BC=CD＋DB=1＋．解題策略對(duì)于非直角三角形，常通過添加輔助線構(gòu)造直角三角形來求解．15．分析要求四邊形的周長，就要知道各邊長，利用勾股定理及三角函數(shù)值可求得各邊長．解：在菱形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA．∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°．在Rt△ABE中，sinB＝，設(shè)AE＝5x，則AB＝13x，由勾股定理得BE＝12x，∵EC＝1，∴BC－BE＝1，即AB－BE＝1，∴13x－12x＝1，x＝1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝13，AE＝5，EC＝1，∴四邊形AECD的周長為AE＋EC＋CD＋DA＝5＋1＋13＋13＝32．解題策略解此類問題時(shí)，首先應(yīng)明確所求的邊(或角)在哪個(gè)三角形中，然后根據(jù)圖形并結(jié)合已知條件選擇合適的方法來求解．16．分析同求30°，45°，60°角的三角函數(shù)值一樣，要把15°角放在一個(gè)直角三角形中，如圖28－15所示，考慮到15°＝×30°，所以可以通過構(gòu)造∠BDC＝30°，從而表示出各邊長．解：作如圖28－15所示的直角三角形，使∠C＝90°，∠A＝15°，在AC上取一點(diǎn)D，使∠BDC＝30°，∵∠BDC＝∠A＋∠DBA，∴∠DBA＝15°，∴DA＝DB．設(shè)BC＝x，則BD＝DA