2024年導(dǎo)數(shù)的概念及其意義高二數(shù)學(xué)寒假練習(xí)

第07講導(dǎo)數(shù)的概念及其意義

Ass(/o+A。一s(/o)

（2）一般地，設(shè)物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是s=s（。，則物體在加到拓十加這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為

At~Nt.

如果△/無(wú)限趨近于。時(shí)，瓦無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)。，我們就說(shuō)當(dāng)加趨近于0時(shí)，刀的極限是這時(shí)。就

「As「s?o+A。-s?o)

是物體在時(shí)刻/=加時(shí)的瞬時(shí)速度,即瞬時(shí)速度v=-

如氏=啊R—-

知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的平均變化率

函數(shù)y=/（x）從加到&的平均變化率

獨(dú)於2)-/(?)

（1）定義式:

AxX2~X\,

（2）實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的增量與自變量的增量之比.

（3）作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間［不，句上變化的快慢.

（4）幾何意義：已知Pi（xi,/（尤I））,「2（血，五&））是函數(shù)y=/i＞）的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化率2=.、）二表

示割線尸1尸2的斜率.

知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)

如果當(dāng)Ax-0時(shí)，平均變化率%無(wú)限趨近于一個(gè)確定的值，即總有極限，則稱y=Ax）在x=xo處可導(dǎo)，并

把這個(gè)確定的值叫做尸危）在x=xo處的導(dǎo)數(shù)（也稱為瞬時(shí)變化率），記作f（X0）或y'lmj即,（X0）=煙盒

..八xo+Ax)一大尤0)

hm

Ax-0Ax

知識(shí)點(diǎn)4割線斜率與切線斜率

設(shè)函數(shù)y=/（x）的圖象如圖所示，直線4B是過(guò)點(diǎn)A（xo,人物））與點(diǎn)BCro+Ax,Kxo+Ax））的一條割線，此割線

的斜率是吃,Nro+Ar）—/（xo）

Ax

當(dāng)點(diǎn)B沿曲線趨近于點(diǎn)A時(shí)，割線AB繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)動(dòng)，它的極限位置為直線A。，直線AD叫做此曲線在點(diǎn)A

處的切線.于是，當(dāng)Ax-0時(shí)，害I線AB的斜率無(wú)限趨近于過(guò)點(diǎn)A的切線AD的斜率k,即k^f'

/xo+At）—/（無(wú)o）

Ax

知識(shí)點(diǎn)5導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/（x）在點(diǎn)彳=加處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線>=兀0在點(diǎn)P（xo,八項(xiàng)））處的切線的斜率.也就是說(shuō)，曲線

y=A尤）在點(diǎn)P（xo,"o））處的切線的斜率是f（無(wú)0）.相應(yīng)地,切線方程為y—/Uo）=1'（xo）切一尤0）.

知識(shí)點(diǎn)6導(dǎo)函數(shù)的定義

從求函數(shù)?x）在冗=刀0處導(dǎo)數(shù)的過(guò)程可以看出，當(dāng)工=沏時(shí),/（X。）是一個(gè)唯一確定的數(shù).這樣，當(dāng)X變化時(shí)，

y=f'（%）就是X的函數(shù)，我們稱它為y=/U）的導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù)）.y=/U）的導(dǎo)函數(shù)記作（x）或y',即/（x）

lim通+的一演

=yAJLOAx

規(guī)律總結(jié)：

1.（1）用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟

①求函數(shù)的增量Ay=/（xo+Ax）—Xxo）;

②求平均變化率%=於°+黑一曲）;

③求極限同加

（2）瞬時(shí)變化率的變形形式

..A^o+Ax）-/（xo）

螞瓦

14普皿

Ax—O-Ax

］曲?+小）—危。）

Ax-0n\x

-xo+Ax）―/（尤o—Ax）

-螞2Ax

=/（尤（））?

區(qū)別聯(lián)系

f（xo），（xo）是具體的值，是數(shù)值在X=Xo處的導(dǎo)數(shù)/（Xo）是導(dǎo)函數(shù)

（X）在x=xo處的函數(shù)值，因此求函

f（x）r（%）是函數(shù)人X）在某區(qū)間/上每一點(diǎn)都

數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，一般先求導(dǎo)函

存在導(dǎo)數(shù)而定義的一個(gè)新函數(shù),是函數(shù)數(shù)，再計(jì)算導(dǎo)函數(shù)在這一點(diǎn)的函數(shù)值

2【考點(diǎn)剖析】化率

1.（2023春?陜西延安?高二校考階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=Y+2,則該函數(shù)在區(qū)間［1,3］上的平均變化率為

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x）=d+2,

所以該函數(shù)在區(qū)間［L3］上的平均變化率為

/（3）-/（1）32+2-（『+2）/

3-12

故選：A

2.（2023秋?上海黃浦?高二上海市大同中學(xué)?？计谀┰O(shè)函數(shù)=當(dāng)自變量x由1變到11時(shí)，函

數(shù)的平均變化率是.

【答案】2.1

【分析】根據(jù)平均變化率的定義直接求解即可.

【詳解】函數(shù)/（x）=f-1,當(dāng)自變量了由1變到1.1時(shí)，函數(shù)的平均變化率為

1.12-1-（12-1）0.21「

---------------------------------------------------------2.1,

1.1-10.10.1

故答案為：2.1.

3.（2023秋?上海浦東新?高二上海南匯中學(xué)?？计谀┤艉瘮?shù)/（x）=x2-m2在區(qū)間［2,〃上的平均變化率為5,

貝曠=.

【答案】3

【分析】利用函數(shù)平均變化率的計(jì)算公式計(jì)算.

【詳解】解：函數(shù)/（x）=爐"在區(qū)間［21上的平均變化率為〃'）一/⑵="一"一C一"廠）=5,

t—2t—2

解得t=3.

故答案為：3.

4.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）某機(jī)械廠生產(chǎn)一種木材旋切機(jī)，已知總利潤(rùn)c（單位：元）與產(chǎn)量x（單位：臺(tái)）

之間的關(guān)系式為C（x）=-2f+7000x+600,則產(chǎn)量由1000臺(tái)提高到1500臺(tái)時(shí)，總利潤(rùn)的平均變化率為

______元/臺(tái).

【答案】2000

【分析】根據(jù)平均變化率的公式結(jié)合題意直接求解即可.

【詳解】當(dāng)產(chǎn)量由1000臺(tái)提高到1500臺(tái)時(shí)，總利潤(rùn)的平均變化率為

c（1500）-c（1000）6000600-5000600/一公、

—........——--------=--------------------------=2000（兀/臺(tái)）.

1500-1000500

故答案為：2000

5.（2023秋?北京順義?高二統(tǒng)考期末）降低室內(nèi)微生物密度的有效方法是定時(shí)給室內(nèi)注入新鮮空氣，即開(kāi)窗

通風(fēng)換氣.在某室內(nèi)，空氣中微生物密度（c）隨開(kāi)窗通風(fēng)換氣時(shí)間G）的關(guān)系如下圖所示.則下列時(shí)間段內(nèi)，

空氣中微生物密度變化的平均速度最快的是（）

A.[5,10]B.[5,15]C.[5,20]D.[5,35]

【答案】C

【分析】連接圖上的點(diǎn)，利用直線的斜率與平均變化率的定義判斷即可；

【詳解】解：如圖分別令f=5、二=10、7=15、1=20、"35所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A、B、C、D、E,

由圖可知。>>★IC>^AE>^AD>

所以[5,20]內(nèi)空氣中微生物密度變化的平均速度最快；

故選：C

6.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示為物體甲、乙在時(shí)間0至療范圍內(nèi)路程的變化情況，下列說(shuō)法正確的序

號(hào)是.

①在0到％范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；

②在J時(shí)刻，甲的瞬時(shí)速度等于乙的瞬時(shí)速度；

③在2至M范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度；

④在0至此范圍內(nèi)，甲的平均速度大于乙的平均速度.

【答案】③④

【分析】根據(jù)平均速度的公式判斷①③④，從而①錯(cuò)誤，③④正確；

根據(jù)瞬時(shí)速度與切線斜率的關(guān)系作出判斷②錯(cuò)誤；

【詳解】在。到范圍內(nèi)，甲、乙的平均速度都為D=｝，故①錯(cuò)誤.

瞬時(shí)速度為切線斜率，故②錯(cuò)誤.

在%到％范圍內(nèi)，甲的平均速度為產(chǎn)子，乙的平均速度為沖白，因?yàn)镾2-s0>S[-s°>0,f|T°>0,所

以字二子>?二?，故③正確.同理④正確.

G—"o%一%

故答案為：③④.

7.(2023?全國(guó)?高二假期作業(yè))吹氣球時(shí)，記氣球的半徑r與體積V之間的函數(shù)關(guān)系為r(V),/(V)為《V)

的導(dǎo)函數(shù).已知r")在OWVW3上的圖像如圖所示，若則下列結(jié)論正確的是()

Ar(l)-r(O)；r(2)-r(l)

,1-02-1

B./(1)</(2)

c/廠+匕)/(匕)+「(匕)

D.存在％?匕匕)，使得/(%)=粵平)

【答案】D

【分析】A：設(shè)tana='⑴一'⑼,tan0='(2)f⑴,由圖得々>。，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

1-02-1

B:根據(jù)圖像和導(dǎo)數(shù)的幾何意義得/(1)>/(2),所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C:設(shè)耳=0,匕=3,r(I)>所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D:結(jié)合圖像和導(dǎo)數(shù)的幾何意義可以判斷該選項(xiàng)正確.

【詳解】解：A：設(shè)tana='⑴—⑼，tan?！耿艻Q,由圖得口>。，

1-02-1

所以tana>tan。,所以工⑴一'⑼」(2)—(1],所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

1-02-1

B:由圖得圖像上點(diǎn)的切線的斜率越來(lái)越小，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得廠'(1)>/(2),所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C:設(shè)匕=0,匕=3,“乂詈卜槨,也受四=竽，因?yàn)闃∫粡S(0)>r(3)

所以“|)>號(hào)，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D:I?：")表示A(K,r(匕)),2(%,廠(匕))兩點(diǎn)之間的斜率，/(%)表示C(%/(%))處切線的斜率，由于

%一匕

%4九%)，

所以可以平移直線AB使之和曲線相切，切點(diǎn)就是點(diǎn)C,所以該選項(xiàng)正確.

故選：D

考點(diǎn)二瞬時(shí)變化率理解

8.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）某物體的運(yùn)動(dòng)路程s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)s（。=/+r+l

表示，則該物體在t=ls時(shí)的瞬時(shí)速度為（）

A.Om/sB.Im/sC.2m/sD.3m/s

【答案】D

【分析】根據(jù)瞬時(shí)速度的概念即可利用平均速度取極限求解.

【詳解】該物體在時(shí)間段［U+加］上的平均速度為

竺=s（l+&）s⑴=（1+加）+（1+4）+1―02+1+1）=3+加,當(dāng)加無(wú)限趨近于0時(shí)，3+4無(wú)限趨近于3,

即該物體在t=ls時(shí)的瞬時(shí)速度為3m/s.

故選：D

9.（2023秋?廣東廣州?高二統(tǒng)考期末）在一次高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，某運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的重心相對(duì)于水面的

高度/?（單位：m）與起跳后的時(shí)間單位：s）存在函數(shù)關(guān)系〃（r）=-4.9〃+4&+ll.該運(yùn)動(dòng)員在r=ls時(shí)的

瞬時(shí)速度（單位：m/s）為（）

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

【答案】D

【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后把r=l代入即可求解.

【詳解】解：因?yàn)樾簦?-4.9/+4&+11,

所以〃（力=一9&+4.8,

令7=1,得瞬時(shí)速度為-5.

故選：D.

10.（2023秋?江西撫州?高二南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某跳水運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)跳板后，他達(dá)到的高度與時(shí)

間的函數(shù)關(guān)系式是2）=10-4.9/+8t（距離單位：米，時(shí)間單位：秒），則他在0.25秒時(shí)的瞬時(shí)速度為（）

A.6.75米/秒B.6.55米/秒C.5.75米/秒D.5.55米/秒

【答案】D

【分析】依據(jù)瞬時(shí)速度定義利用極限去求他在0.25秒時(shí)的瞬時(shí)速度即可

10-4.9(0.25+Ax)2+8(0.25+Ar)-[10-4.9x0.252+8x0.25]

[詳解]lim/X0,25+Ar)-W25)

-AxAx->0Ax

則他在0.25秒時(shí)的瞬時(shí)速度為5.55米/秒

故選:D

11.(2023秋?北京?高二北京市第一六一中學(xué)校考期中)已知函數(shù)y=的圖象如圖所示，函數(shù)y=的

導(dǎo)數(shù)為y=/'(x)，則()

A./'(2)</Q)<f(3)—f(2)B.4(3)<尸(2)<9(3)-6(2)

C./,(2)</(3)-/(2)</,(3)D./,(3)</(3)-/(2)</,(2)

【答案】D

【分析】結(jié)合/■")圖象以及導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得正確答案.

【詳解】由/(X)圖象可知/⑶<"3)一"2)<〃2),

即〃3)</■⑶-〃2)</(2).

故選：D

12.(2023秋?北京大興?高二統(tǒng)考期末)為響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排號(hào)召，甲、乙兩個(gè)工廠進(jìn)行了污水排放治理，

已知某月內(nèi)兩廠污水的排放量W與時(shí)間f的關(guān)系圖如圖所示(辦為月末時(shí)間).則該月內(nèi)：①甲廠污水排放

量逐漸減少；②乙廠的污水排放量比甲廠減少得更多；③乙廠總比甲廠的污水排放量減少得更快.其中正確

說(shuō)法的序號(hào)是。

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】根據(jù)圖形逐一分析各個(gè)命題即可得出答案.

【詳解】解：由圖可知，甲廠污水排放量逐漸減少，故①正確；

乙廠的污水排放量比甲廠減少得更多，故②正確，

在接近辦時(shí)，甲工廠污水排放量減少得比乙的更加快，故③錯(cuò)誤.

故選：A.

13.(2023秋?海南?高二海南華僑中學(xué)?？计谀?李華在參加一次同學(xué)聚會(huì)時(shí)，用如圖所示的圓口杯喝飲料，

他想：如果向杯子中倒飲料的速度一定(即單位時(shí)間內(nèi)倒入的飲料量相同)，那么杯子中飲料的高度/7是關(guān)

于時(shí)間r的函數(shù)則函數(shù)乂。的圖象可能是()

【答案】B

【分析】根據(jù)杯子的形狀特點(diǎn)和函數(shù)圖象的增長(zhǎng)速度即可判斷.

【詳解】由于杯子的形狀是下面稍窄上面稍寬，所以剛開(kāi)始飲料的高度增長(zhǎng)相對(duì)較快，后面飲料的高度增加就

越來(lái)越慢，所以B的圖象的增長(zhǎng)趨勢(shì)與飲料高度增長(zhǎng)的情形較一致，

故選：B

考點(diǎn)三導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)）的理解

14.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)/（無(wú)）在點(diǎn)無(wú)處附近有定義，且“尤0+以）-〃/）=4—+力（-）2,4/為常

數(shù)，則（）

A./（x）=?B.f\x）=bC.f\x0）=aY）.f'（x0）=b

【答案】C

【分析】由導(dǎo)函數(shù)的定義可得選項(xiàng).

【詳解】解：因?yàn)?（Xo+Ax）-/■（尤o）=aAr+6（Ar）2,a,6為常數(shù)，所以

'/（4+板）一/（尤0）

")=典=lim(a+b^x\=a

Ax—\7

故選：c.

15.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)f（x）在x=x0處可導(dǎo)，則2%/（%+?―/（/）的結(jié)果（）.

A.與％,/i均無(wú)關(guān)B.僅與毛有關(guān)，而與/i無(wú)關(guān)

C.僅與/I有關(guān)，而與與無(wú)關(guān)D.與不,/?均有關(guān)

【答案】B

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可求解.

【詳解】解：因?yàn)閘im〃x°+［一〃/)=尸(%),

20h\"

所以結(jié)果僅與與有關(guān)，而與"無(wú)關(guān)，

故選：B.

16.(2023秋?廣西河池?高二校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)y=在x=x0處的導(dǎo)數(shù)可表示為此f，即().

，x

A.f(x0)=f(x0+Ax)-f(x0)B./(o)=lim[/(A：o+Ax)-/(xo)]

〃%+Ax)-〃Xo)

C.r(xo)=D.尸(%)="%+")-/小)

Ax—^0AxAx

【答案】C

【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義直接選擇即可.

【詳解】y'Lf是((X。)的另一種記法，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義可知C正確.

故選：C

考點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)定義中的極限的簡(jiǎn)單計(jì)算

17.(2023,高二課時(shí)練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=G?+2,若/'(—1)=3,則。=.

【答案】1

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出f(x),再將尸-1代入計(jì)算即可.

222

【詳解】解:因?yàn)?(x)=lim包=limg+&)3+2-*+2)=iim(3^+2ax-Ax+Ax)=3ax,

AxAX-OAx.Hi

/.r(-l)=3o=3,

??6Z—1.

故答案為：1

18.(2023秋?廣東深圳?高二深圳市寶安第一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥?已知函數(shù)/'(x)=x2+l,則

-Ax

A.2B.4C.6D.8

【答案】D

【分析】根據(jù)瞬時(shí)變化率的定義計(jì)算可得;

【詳解】解：因?yàn)椤▁)=f+l,

所以lim"2+AX）-八2-Ax）=Um（2+AxRl-（2心）一

-°Ax-Ax

故選：D

19.（2023春?陜西渭南?高二統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)〃x）在x=l處的導(dǎo)數(shù)為2,則螞/Q+/T（D=（）

2

A.2B.IC.-D.6

3

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即得.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)“力在x=1處的導(dǎo)數(shù)為2,

所以lim⑴=/⑴=2.

Axf0Ax

故選：A.

20.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）已知1面41）一川+盤）=3,則/⑺在x=l處的導(dǎo)數(shù)r（1）=（）

■f0Ax

A.-IB.IC.-3D.3

【答案】c

【分析】根據(jù)條件可得出lim"+---⑴=_3,即可得出f'（l）的值.

【詳解】lim/a）-/a^）=_Hm/（i+Ax）-/（i）=31r（1）=lim/a+Ax）-/（i）=_3

—一°Ax―一。AxAx

故選：c

考點(diǎn)五利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線方程

（一）求曲線切線的斜率或傾斜角

21.（2023春.湖南株洲?高二?？计谥校┤簟?則/⑺在x=l處的切線的斜率為.

【答案】2

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可直接求解.

【詳解】由題意知，f'M=2x,得，⑴=2,

所以曲線在x=l處的切線斜率為2.

故答案為：2.

22.（2023秋?四川資陽(yáng)?高二?？计谥校┤鐖D，直線/是曲線y=/（x）在點(diǎn)（4"（4））處的切線，則/（4）+八4）的

值等于.

【答案】y

【分析】由函數(shù)的圖像可得/(4)=5,以及直線I過(guò)點(diǎn)(0,3)和(4,5),由直線的斜率公式可得直線I的斜率k,

進(jìn)而由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得了'(4)的值，將求得的/(4)與廣(4)的值相加即可.

【詳解】由函數(shù)的圖像可得44)=5,直線/過(guò)點(diǎn)(0,3)和(4,5),則直線/的斜率左=/弓，

又由直線/是曲線y=在點(diǎn)(4"(4))處的切線，則:(4)=1,

所以/(4)+/'(4)=5+；=￡.

故答案為：—

23.(2023春?云南昆明?高二石林彝族自治縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí))曲線y=g1+2在點(diǎn)處的切線

的傾斜角為()

,3"e兀2?—n

A.—B.-C.—D.一

4433

【答案】A

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到點(diǎn)處切線的斜率，再根據(jù)斜率求傾斜角即可.

【詳解】y'=x,所以在點(diǎn)處的切線的斜率為-1,傾斜角為今.

故選：A.

4

24.(2023?高二課時(shí)練習(xí))已知點(diǎn)P在曲線＞=不一上，a為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角，求a的取值

e+1

范圍.

_.、「3兀A

【答案】不，無(wú)J

【分析】由題，y=tan?,求出了，結(jié)合均值不等式討論了的值域，即可求得tana的范圍，即可進(jìn)一步求

得a的取值范圍

【詳解】函數(shù)＞=目的導(dǎo)數(shù)為‘一修+1『一x1

e

因?yàn)閑—22、[二=2,所以e*+4+2",

eVeel

所以y'e[-l,0),gptanare[-l,0)；因?yàn)?＜a＜7i,所以24&＜兀，即ae七,兀].

4_4)

(二)求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程

25.(2023春?山西太原?高二太原師范學(xué)院附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí))lim/(5~A2~3=2,/(3)=3,廣⑺在

TX-2

(31(3))處切線方程為()

A.2x+y+9=0B.2x+y-9=0

C.-2x+y+9=0D.-2x+y-9=0

【答案】B

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出((3)=-2再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式公式，即可求解.

【詳解】由已知，lim/(5~~r)~3=2,/(3)=3,令A(yù)x=x—2,

tx-2

：.lim，(33)-/(3)=Um"33一〃3)=一/(3)=2,解(⑶=_2,

—Ax—TO—Ax'7

f(x)在(3,7(3))處切線方程為y-3=-2(x-3),即2x+y-9=0.

故選：B.

26.(2023?全國(guó)?高二假期作業(yè))己知曲線C：/(X)=X2+2X-2

(1)求廣⑴的值；

⑵求曲線C在點(diǎn)尸(1,7(1))處的切線方程.

【答案】⑴/⑴=4

(2)4x-y-3=0

【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)公式求解；(2)根據(jù)切點(diǎn)處函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于切線的斜率以及切點(diǎn)在曲線上也在切線上的

原理求解..

【詳解】(1)由題得尸(x)=2x+2,所以八1)=4.

(2)因?yàn)椋?尸(1)=4"(1)=1,

所以，切線方程為=

即4x-y-3=0.

27.(2023春?江蘇蘇州?高二?？茧A段練習(xí))曲線y=x3+l在點(diǎn)(-1,。)處的切線方程為()

A.3光-y+3=0B.3%-y+l=0

C.3%+y+l=0D.3%+y+3=0

【答案】A

【分析】根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.

【詳解】a=(-1)3+1=0,故切點(diǎn)為(T。)，

y=3x2,yu=3,即切線的斜率為3,

所以切線方程為y=3（x+l）,即3尤-y+3=0.

故選：A

28.（2023?全國(guó)?高二假期作業(yè)）函數(shù)/（x）=xe'的圖象在x=l處的切線方程為.

【答案】y=2ex-e

【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.

【詳解】???/'（x）=（x+l）e*,/'（l）=2e,41）=e,.?.函數(shù)/（尤）=xe'在x=1處的切線方程為y=2er-e.

故答案為：y=2ex-e.

（三）求過(guò)一點(diǎn)的切線方程

29.［多選］（2023秋?廣東江門?高二新會(huì)陳經(jīng)綸中學(xué)?？计谥校┮阎€/（x）=2尤3+1.貝|曲線過(guò)點(diǎn)P（1,3）

的切線方程為.（）

A.6x-y—3=0B.3x—2y+3=0C.6x+y-9=0D.3x+2y—9=0

【答案】AB

【分析】設(shè)切點(diǎn)為產(chǎn)（x°,2x；+1）,寫出切線方程，切線過(guò)點(diǎn)（1,3）,求得「即可.

【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為尸（方,2片+1）,

則f（x）=6/,

所以f'（%）=6君,

所以切線方程為k2片-1=6片（x-毛），

因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)（1,3）,

所以3-2片—1=6片（1-毛），即2石一3焉+1=0,

即伍-I）?（24+1）=0,

解得％=1或%=-；,

所以切線方程為6x-y-3=0或3x-2y+3=0,

故選：AB

30.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）過(guò)點(diǎn)M（U）且與曲線相切的直線方程為.

【答案】y-l=O或27x-4y-23=。

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為尸（%,%）,求得/'伉）=3年，列出方程3%=—鼻，求得吃的值，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何

意義，即可求解.

【詳解】由題意，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為P（M，%）,5#1）,則y°=x；+i,

又由函數(shù)〃￡＞=/+1,可得函@）=3J,可得函（0=3爐,所以/優(yōu)）=3%,

根據(jù)斜率公式和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可得3=交?=3*，即3元；=工,

x0-1x0-1x0-1

QQ77

解得毛=0或天弓所以切線的斜率為左=〃0）=0或％=*）=?,

27

所以切線方程為＞一1=0或＞一1=下《—1）,即y-l=O或27x-4y-23=0.

4

故答案為：y-l=。或27x—4y-23=0.

31.（2023秋?廣東茂名?高二統(tǒng)考期中）已知直線/為函數(shù)/。）=尤3+》-16的切線，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則直線/

的方程為.

【答案】y=i3尤

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（為,%）,求導(dǎo)1（x0）=3x：+l,寫出直線/的方程，再根據(jù)直線/過(guò)點(diǎn)（0,0）求解.

【詳解】解：設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（%，%）,

所以直線I的斜率為廣（尤。）=3尤;+1,

所以直線/的方程為y=（3x；+l）（x-xo）+xo+xo-16.

又直線/過(guò)點(diǎn)（0,。），

所以（3x：+1）（0—x0）+XQ+x0-16=0,

整理得第=-8,解得毛=-2,

所以%=（-2y+（-2）-16=-26,

直線/的斜率〃=13,

所以直線/的方程為＞=13尤，

故答案為：y=13元.

32.（2023秋?湖南郴州?高二統(tǒng)考期末）過(guò)點(diǎn)（0涉）作曲線y=e，的切線有且只有兩條，則b的取值范圍為（）

A.(0,1)B.(-oo,l)C.(-oo,l]D.(0,1]

【答案】A

【分析】設(shè)切點(diǎn)尸小，幾)，進(jìn)而求得切線方程，進(jìn)而得到6=(l-x0)e-，構(gòu)造函數(shù)g(x)=(l-x)e”分析

g(x)=(l-x)ex的單調(diào)性與取值范圍即可判斷6=(1-有且僅有兩根時(shí)b的取值范圍即可

【詳解】設(shè)切點(diǎn)為戶(知幾)，y'=e',故過(guò)戶(如兒)的切線方程為y-e為=△(x—x°),即y=e*x+(l-%)e%.

故6=(l-%)e&有且僅有兩根.設(shè)g(x)=(l-x)e",則g〈x)=—xe，，令g〈x)>0蒯x<0,令g'(x)<0則x>0,

旦g(O)=e°=l,又當(dāng)x<0時(shí),g(x)>0,g(l)=0.故6=(1-%)留有且僅有兩根則b的取值范圍為(0,1)

故選：A

考點(diǎn)六已知切線(斜率)求參數(shù)

33.(2023春?陜西咸陽(yáng)?高二?？计谥?已知函數(shù)/(尤)=++3x-2在點(diǎn)(2"(2))處的切線斜率為7,則實(shí)數(shù)

a的值為.

【答案】1

【分析】求導(dǎo)數(shù)，代入切點(diǎn)可得答案.

【詳解】因?yàn)?'(X)=2G+3,所以由題意得2qx2+3=7,解得a=L

故答案為：1

34.(2023秋?新疆?高二克拉瑪依市高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí))若函數(shù)了(幻=尤+2111%在》=1處的切線方程為

y=ax+b,貝i]a+2A=.

【答案】-1

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)圖象切線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出切線方程，轉(zhuǎn)化為斜截式即可求解.

2

【詳解】r(x)=l+J所以尸⑴=1+2=3,所以切線的斜率為3,

x

又因?yàn)?)=1+0=1,所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為(口)，

所以切線方程為k1=3。-1)即y=3x-2,

所以。=3,6=-2,所以。+2b=-1.

故答案為:-1.

35.(2023?全國(guó)?高二假期作業(yè))曲線y=Y+依+6在點(diǎn)處的切線方程為尤-y+l=0,則a,b的值分

別為()

A.-1,IB.-1,-IC.1,ID.1,-1

【答案】C

【分析】根據(jù)切點(diǎn)和斜率求得切線方程.

【詳解】依題意，切點(diǎn)為斜率為1,

y=x1+ax+b,y,=2x+a,

所以]:一1,解得q=],6=L

[2x0+a=1

故選：C

36.（2023秋?云南大理?高二?？茧A段練習(xí)）若曲線y=x"+l（ae&在點(diǎn)（1,2）處的切線與直線尤+2y=0垂

直，則”.

【答案】2

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.

【詳解】依題意，切線的斜率為2,y'=axa-x,a-la-1=2^a=2.

故答案為：2

考點(diǎn)七求切點(diǎn)坐標(biāo)

1Q

37.【多選】（2023?全國(guó)?高二假期作業(yè)）在曲線=：上切線的傾斜角為（"的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

A.（1,1）B.^2,2}D,（2，i）

【答案】AB

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到所求切點(diǎn)

3

【詳解】切線的斜率％=tanj乃=-1,

設(shè)切點(diǎn)為（不，%），則/'（無(wú)o）=T,

又r（x）=g

所以-J=T，

xo

所以%=1或％=T,

所以切點(diǎn)坐標(biāo)為（LI）或

故選：AB.

38.【多選】（2023,高二課時(shí)練習(xí)）曲線〃x）=x3-x+3在點(diǎn)尸處的切線平行于直線y=2尤-1,則點(diǎn)尸的坐

標(biāo)可能為（）

A.（1,3）B.（O,3）C.（2,9）D.（-1,3）

【答案】AD

【分析】設(shè)切點(diǎn)P（%,君-%+3）.利用導(dǎo)數(shù)表示切線的斜率，列方程即可求解.

【詳解】設(shè)切點(diǎn)尸（內(nèi),片-/+3）.

因?yàn)榍€“X）在點(diǎn)尸處的切線的斜率左=/'宙）=3需-1=2,所以不=±1,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1,3）或

故選：AD.

39.（2023秋?四川雅安?高二統(tǒng)考期末）曲線y=g/-31nx在點(diǎn)P處的切線與直線x+2y-2=0垂直，則點(diǎn)

尸的橫坐標(biāo)為（）

A.eB.ic.3D.2e

【答案】C

【分析】設(shè)切點(diǎn)求得y=g尤2-31nx的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線垂直的條件可得加，即

為點(diǎn)尸的橫坐標(biāo).

1Q

【詳解】設(shè)切點(diǎn)P（w）,（機(jī)>0）,y=5九2-3inx的導(dǎo)數(shù)為了二%—

3

可得切線的斜率為％=機(jī)-一，

m

由切線與直線x+2y-2=0垂直，

3

可得加——=2,解得根=3或機(jī)=-1（舍），

m

所以P的橫坐標(biāo)為3,

故選：C

40.（2023秋?廣東珠海?高二統(tǒng)考期末）己知點(diǎn)尸（尤。,%）在曲線C：丁=；/+/-1的圖像上，在點(diǎn)P處的曲

線C的切線與直線/：>=-；》+5垂直，則尸點(diǎn)橫坐標(biāo)與為（）

A.-3或IB.1或3c.-3或-ID.-1或3

【答案】A

【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率與已知直線斜率乘積為-1可得.

【詳解】y=x2+2x,左=%；+2%,

因?yàn)榍芯€與直線/：y=-gx+5垂直，所以上=%+2/=3,解得f=1或%=-3.

故選：A.

考點(diǎn)八兩條曲線的公切線問(wèn)題

41.【多選】(2023秋?河北石家莊?高二統(tǒng)考期末)若兩曲線y=Y-l與y=alnx-l存在公切線，則正實(shí)數(shù)。

的取值可能是()

A.1.2B.4C.5.6D.2e

【答案】ABD

【分析】分別設(shè)切點(diǎn)分別為A(&X),鞏%,%)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別寫出切線方程，由題意切線方程

相同，從而可得出a=Tx；(ln%T)，設(shè)g(x)=4dTdlnx由導(dǎo)數(shù)求出其值域即可.

【詳解】由y=Y-l,則y'=2x,由y=alnx-l,則y'，

X

設(shè)切線與曲線y=V-1相切于點(diǎn)AQ,yJ,則斜率為2百，

所以切線方程為y-(x；T)=2與(x-%),即y=2X]X-l-x；①

設(shè)切線與曲線y=Mnx-l相切于點(diǎn)3(々,%)，則斜率為：一，

X2

貝!J切線方程為y-(〃lnx2—1)="—y=-^x+alnx2-a-l,②

X?X

,2尤=—

根據(jù)題意方程①，②表示同一條直線，貝M%一元

a\nx2-a=-xf

所以a=T%；(ln%2-1)，令g(%)=4%2_4121nx(x>0),

貝！|g'(x)=4x(l—21nx),所以g(x)在(0,人)上單調(diào)遞增,在(血,+(?)上單調(diào)遞減,g(尤)1mx=g(五)=2e,

由題意ae(O,2e].

故答案為：ABD

42.(2023秋?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥?已知曲線/(x)=e"在點(diǎn)P(0J(0))處的切

線也是曲線g(x)=ln(ox)的一條切線，則實(shí)數(shù)。的值為()

ee

A.—B.—C.eD./

32

【答案】D

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出/(X)在點(diǎn)P處的切線方程，再設(shè)＞='+1與y=8(尤)的切點(diǎn)為(狐”)，

即可得到方程，解得加、“，再代入計(jì)算可得；

【詳解】解:因?yàn)椤▁)=e"所以"0)=1,r(x)=e\所以解(0)=1,

所以切線的方程為＞=》+1，

又g(x)=ln(or),所以g'(x)=',

X

設(shè)切線y=x+i與y=g(x)的切點(diǎn)為(九”)，

可得切線的斜率為工=1,即〃?=1,

m

n=m+l=l+l=2,可得切點(diǎn)為(1,2),

所以2=Ina,解得.=

故選：D.

43.(2023秋?陜西安康?高二統(tǒng)考期中)已知函數(shù)〃x)=xlnx,g(x)=ax2-x.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(l,0)存在一條直

線/與曲線y=/(x)和y=g(x)都相切，貝!]。=()

A.-IB.IC.2D.3

【答案】B

【分析】先求得了(X)在A(l,0)處的切線方程，然后與g(x)=4一X聯(lián)立，由△=()求解

【詳解】解析：?."(x)==lnx,.?./'(x)=l+lnx,.?./")=l+lnl=l,.?.曲線y=f(x)在A(L0)

處的切線方程為＞=x-l,由|’2得加-2工+1=0,由A=4—4a=0,解得a=l.

[y=ax~-x

故選:B

等【過(guò)關(guān)檢測(cè)了定義在

1.(2023秋?上海金山?高二上海4R上的可導(dǎo)函數(shù)，若

lim/⑵-/(2+—)」,則廣(2)^cr

?D2Ax2

A.—1B.—C.1D.—

44

【答案】A

【分析】根據(jù)極限與導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算.

［詳解］尸（2）=lim、（2+Ax）-/⑵=_2lim/⑵-/（2+Ax）=_2xl=_1

-x-oAx2Ax2

故選：A.

2.（2023春?河北?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖是一個(gè)裝滿水的圓臺(tái)形容器，若在底部開(kāi)一個(gè)孔，并且任意相

等時(shí)間間隔內(nèi)所流出的水體積相等，記容器內(nèi)水面的高度隨時(shí)間f變化的函數(shù)為/?=/?）,定義域?yàn)椤＃?/p>

設(shè)第ED,to±AtwD,ki，k］分別表示/⑺在區(qū)間伍-Af4］,%,力+△4（&>0）上的平均變化率，則（）

A.K>k2B.kt<k2C.匕=^D.無(wú)法確定勺，無(wú)2的大小關(guān)系

【答案】A

【分析】根據(jù)容器形狀，任意相等時(shí)間間隔內(nèi)所流出的水體積相等，水面高度減小越來(lái)越快，還要注意變

化量和變化率是負(fù)數(shù)，可判斷出結(jié)果.

【詳解】由容器的形狀可知，在相同的變化時(shí)間內(nèi)，高度的減小量越來(lái)越大，且高度//的變化率小于0,所

以了⑴在區(qū)間上0-4,to］,%,%+4］（4>。）上的平均變化率由大變小,即左>k2.

故選：A.

3.（2023秋?山東聊城?高二山東聊城一中?？计谥校┰O(shè)AM在x=x°處可導(dǎo)，則lim"%一『）一/（飛）=（）

△x->02Ax

A.-|r（x0）B.2"f）C.r（x0）D.2/（x0）

【答案】A

【分析】變形，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義，計(jì)算出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)橐唬╔）在x=x0處可導(dǎo)，

所以，由導(dǎo)數(shù)的定義可得：Hm.（X。--"/）=的.

―。2Ar-［I2八-Ax）\2'"

故選：A

4.（2023春?江蘇?高三江蘇省新海高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線/與曲線》=5：13天€（0,3萬(wàn)）和曲線>=^

都相切，則直線/的條數(shù)有（）

A.IB.2C.3D.無(wú)數(shù)條

【答案】B

【分析】根據(jù)兩函數(shù)解析式，在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)圖象，對(duì)兩曲線進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義

求出斜率的表達(dá)式，再根據(jù)三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的值域，即可求出公切線與兩曲線的切點(diǎn)位置，進(jìn)而確定

公切線的條數(shù).

【詳解】如圖所示

設(shè)直線/與曲線、=$加,%€（0,3萬(wàn)）的切點(diǎn)為4（%了11再），與曲線y=e'的切點(diǎn)為2（%,e*）,直線/的斜率上;

所以,y'=（sinx）'=cosx,即在點(diǎn)A（X],sinxJ處的斜率為左=cos±,

y'=（e、）'=e',即在點(diǎn)8（無(wú)2,e力處的斜率為7，

得k=cosx1=e九2；

又因?yàn)閏os%e[o,l],e^G（0,-KO）,所以斜率左=cos%=eX2G（0,1]

由cos%e（O,l]得，玉或陽(yáng)e2兀號(hào)）

由e*e（O,l]得，x2G（^O,0）；

因此，存在A（X],sinX[）,%e]。，3和8區(qū)戶），x??（一0，。）使得左=儂占=e*,

即此時(shí)直線A3即為兩條曲線的公切線；

-5兀、

同時(shí)，存在C（Xj,sin尤3）,%e2兀,萬(wàn)J和DQ"e'4）,%e（，》,0）使得k=cosw=e",且e*we也；

所以，直線CO即為異于直線A3的第二條曲線的公切線；

綜上可知，直線/的條數(shù)有2條.

故選：B.

5.（2023春?河北唐山?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若直線3x+y-a=。是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)

a=（）

A.4B.-C.-D.-

2222

【答案】D

【分析】利用導(dǎo)數(shù)，根據(jù)斜率求得切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得

144

【詳解】因?yàn)閥=三d-41nx,所以y'=x--,令x--=-3,即/+3x-4=0,

2xx

得x=l或x=T（舍去），所以切點(diǎn)是[代入3x+y-a=。，

17

3Ha=0,ci——.

22

故選：D

6.（2023春?上海普陀?高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）函數(shù)/（%）=%3—2%在點(diǎn)（1J⑴）處的切線方程為

【答案】》-y-2=0

【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線斜率，即可求解切線方程.

【詳解】因?yàn)椤▁）=x3—2x,所以尸（x）=3f-2,所以f（1）=1

所以在點(diǎn)。，/⑴）處的切線斜率為1,又"1）=1—2=-1,

則在點(diǎn)（L/。））處的切線方程為

y_（_］）=1x（x—1）,y—2=0.

故答案為：x-y-2=0.

7.（2023?高二課時(shí)練習(xí)）某物體的運(yùn)動(dòng)路程s（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）的關(guān)系可用函數(shù)s（。=?+7+1

表示，則物體在Z=0s時(shí)的瞬時(shí)速度為m/s；瞬時(shí)速度為9m/s的時(shí)刻是在t=s時(shí).

【答案】14

【分析】由瞬時(shí)速度的定義可求解.

［詳解］五皿業(yè)*二幽

△90

二lim(。+加『+(。+AQ+1T二lirn(1+Ar)=l,

△—0AZ'

即物體在t=Qs時(shí)的瞬時(shí)速度為1m/s.

設(shè)物體在為時(shí)刻的瞬時(shí)速度為9m/s,

又HmSU+?TGO）=lim⑵+1+加）=