數(shù)列壓軸題詳解

高考遞推數(shù)列題型分類歸納解析數(shù)列中的精品類型1，利用累加法(逐差相加法)求解。例:數(shù)列滿足，，求。解：由條件知：分別令，代入上式得個等式累加之，即所以，變式:〔2004，全國I，個理22．本小題總分值14分〕數(shù)列，且a2k=a2k－1+(－1)k,a2k+1=a2k+3k,其中k=1,2,3,…….〔I〕求a3,a5；〔II〕求{an}的通項(xiàng)公式.解：，，即，…………將以上k個式子相加，得將代入，得，。經(jīng)檢驗(yàn)也適合，類型2利用累乘法(逐商相乘法)求解。例:數(shù)列滿足，，求。解：由條件知，分別令，代入上式得個等式累乘之，即又，例:，，求。解：。變式:〔2004，全國I,理15．〕數(shù)列{an}，滿足a1=1，(n≥2)，那么{an}的通項(xiàng)解：由，得，用此式減去式，得當(dāng)時，，即，又，，將以上n個式子相乘，得類型3〔其中p，q均為常數(shù)，〕解〔待定系數(shù)法〕：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例:數(shù)列中，，，求.解：設(shè)遞推公式可以轉(zhuǎn)化為即.故遞推公式為,令，那么,且.所以是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，那么,所以.變式:〔2006.福建.理22.本小題總分值14分〕數(shù)列滿足〔I〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔II〕假設(shè)數(shù)列{bn}滿足；證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列〔Ⅲ〕證明：〔I〕解： 是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 即 〔II〕證法一： ① ② ②－①，得 即 ③－④，得 即 是等差數(shù)列 證法二：同證法一，得 令得 設(shè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 〔1〕當(dāng)時，等式成立 〔2〕假設(shè)當(dāng)時，那么 這就是說，當(dāng)時，等式也成立 根據(jù)〔1〕和〔2〕，可知對任何都成立 是等差數(shù)列 〔III〕證明： 變式:遞推式：。解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異．類型4〔其中p，q均為常數(shù)，〕?！不?其中p，q,r均為常數(shù)〕。解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列〔其中〕，得：再待定系數(shù)法解決。例:數(shù)列中，,，求。解：在兩邊乘以得：令，那么,解之得：所以變式:〔2006，全國I,理22,本小題總分值12分〕設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，〔Ⅰ〕求首項(xiàng)與通項(xiàng)；〔Ⅱ〕設(shè)，，證明：解：〔I〕當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，利用〔其中p，q均為常數(shù)，〕。〔或,其中p，q,r均為常數(shù)〕的方法，解之得：(Ⅱ)將代入①得Sn=eq\f(4,3)×(4n－2n)－eq\f(1,3)×2n+1+eq\f(2,3)=eq\f(1,3)×(2n+1－1)(2n+1－2)=eq\f(2,3)×(2n+1－1)(2n－1)Tn=eq\f(2n,Sn)=eq\f(3,2)×eq\f(2n,(2n+1－1)(2n－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n+1－1))所以,=eq\f(3,2)eq\f(1,2i－1)－eq\f(1,2i+1－1))=eq\f(3,2)×(eq\f(1,21－1)－eq\f(1,2i+1－1))<eq\f(3,2)類型5遞推公式為〔其中p，q均為常數(shù)〕解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足類型5遞推公式為〔其中p，q均為常數(shù)〕解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。假設(shè)是特征方程的兩個根，當(dāng)時，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定〔即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組〕；當(dāng)時，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中A，B由決定〔即把和，代入，得到關(guān)于A、B的方程組〕。解法一〔待定系數(shù)——迭加法〕:數(shù)列：，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。由，得，且。那么數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二〔特征根法〕：數(shù)列：，的特征方程是：。,。又由，于是故例:數(shù)列中，,,，求。解：由可轉(zhuǎn)化為即或這里不妨選用〔當(dāng)然也可選用，大家可以試一試〕，那么是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,所以,應(yīng)用類型1的方法，分別令，代入上式得個等式累加之，即又，所以。變式:〔2006，福建,文,22,本小題總分值14分〕數(shù)列滿足〔I〕證明：數(shù)列是等比數(shù)列； 〔II〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔III〕假設(shè)數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列〔I〕證明：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列〔II〕解：由〔I〕得〔III〕證明：①②②－①，得即③④④－③，得即是等差數(shù)列類型6遞推公式為與的關(guān)系式。(或)解法一般利用與消去或與消去進(jìn)行求解。例：數(shù)列前n項(xiàng)和.〔1〕求與的關(guān)系；〔2〕求通項(xiàng)公式.解：〔1〕由得：于是所以.〔2〕應(yīng)用類型4〔〔其中p，q均為常數(shù)，〕〕的方法，上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以變式:〔2006，陜西,理,20本小題總分值12分)正項(xiàng)數(shù)列{an}，其前n項(xiàng)和Sn滿足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an解:∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②由①－②得10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0∵an+an－1>0，∴an－an－1=5(n≥2)當(dāng)a1=3時，a3=13，a15=73a1，a3，a15不成等比數(shù)列∴當(dāng)a1=2時，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3變式:(2005,江西,文,22．本小題總分值14分〕數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn－Sn－2=3求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.解：，，兩邊同乘以，可得令…………又，，，。類型7解法：待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與遞推式比擬，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例:設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得…〔１〕那么,又，故代入〔１〕得說明：〔1〕假設(shè)為的二次式，那么可設(shè);(2)此題也可由,〔〕兩式相減得轉(zhuǎn)化為求之.變式:〔2006，山東,文,22,本小題總分值14分〕數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令(Ⅱ)求數(shù)列(Ⅲ)設(shè)的前n項(xiàng)和,是否存在實(shí)數(shù)，使得數(shù)列為等差數(shù)列？假設(shè)存在，試求出假設(shè)不存在,那么說明理由解：〔=1\*ROMANI〕由得又是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列〔=2\*ROMANII〕由〔=1\*ROMANI〕知，將以上各式相加得：〔=3\*ROMANIII〕解法一：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件是、是常數(shù)即又當(dāng)且僅當(dāng)，即時，數(shù)列為等差數(shù)列解法二：存在，使數(shù)列是等差數(shù)列由〔=1\*ROMANI〕、〔=2\*ROMANII〕知，又當(dāng)且僅當(dāng)時，數(shù)列是等差數(shù)列類型8解法：兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例：數(shù)列｛｝中，，求數(shù)列解：由兩邊取對數(shù)得，令，那么，再利用待定系數(shù)法解得：。變式:〔2005，江西,理,21．本小題總分值12分〕數(shù)列〔1〕證明〔2〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：用數(shù)學(xué)歸納法并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性證明：〔1〕方法一用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時，∴，命題正確.2°假設(shè)n=k時有那么而又∴時命題正確.由1°、2°知，對一切n∈N時有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1°當(dāng)n=1時，∴；2°假設(shè)n=k時有成立，令，在[0，2]上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時成立，所以對一切〔2〕解法一：所以,又bn=－1，所以解法二：由〔I〕知，，兩邊取以2為底的對數(shù)，令,那么或變式:〔2006,山東,理,22,本小題總分值14分〕a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1解：〔Ⅰ〕由，，兩邊取對數(shù)得，即是公比為2的等比數(shù)列〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知 〔*〕= 由〔*〕式得〔Ⅲ〕，，，又，，又，類型9解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例：數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。解：取倒數(shù)：是等差數(shù)列，變式:〔2006，江西,理,22,本大題總分值14分〕數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1a2……an2解：〔1〕將條件變?yōu)椋?－＝，因此｛1－｝為一個等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1－＝，公比，從而1－＝，據(jù)此得an＝〔n1〕…………1〔2〕證：據(jù)1得，a1a2…an為證a1a2……an2只要證nN時有…………2顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明，對每個nN，有1－〔〕…………3用數(shù)學(xué)歸納法證明3式：n＝1時，3式顯然成立，設(shè)n＝k時，3式成立，即1－〔〕那么當(dāng)n＝k＋1時，〔1－〔〕〕〔〕＝1－〔〕－＋〔〕1－〔＋〕即當(dāng)n＝k＋1時，3式也成立故對一切nN，3式都成立利用3得，1－〔〕＝1－＝1－故2式成立，從而結(jié)論成立類型10解法：如果數(shù)列滿足以下條件：的值且對于，都有〔其中p、q、r、h均為常數(shù)，且〕，那么，可作特征方程,當(dāng)特征方程有且僅有一根時,那么是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩個相異的根、時，那么是等比數(shù)列。例：數(shù)列滿足性質(zhì)：對于且求的通項(xiàng)公式.解:數(shù)列的特征方程為變形得其根為故特征方程有兩個相異的根，使用定理2的第〔2〕局部，那么有∴∴即例：數(shù)列滿足：對于都有〔1〕假設(shè)求〔2〕假設(shè)求〔3〕假設(shè)求〔4〕當(dāng)取哪些值時，無窮數(shù)列不存在？解：作特征方程變形得特征方程有兩個相同的特征根依定理2的第〔1〕局部解答.(1)∵對于都有(2)∵∴令，得.故數(shù)列從第5項(xiàng)開始都不存在，當(dāng)≤4，時，.(3)∵∴∴令那么∴對于∴(4)、顯然當(dāng)時，數(shù)列從第2項(xiàng)開始便不存在.由此題的第〔1〕小題的解答過程知，時，數(shù)列是存在的，當(dāng)時，那么有令那么得且≥2.∴當(dāng)〔其中且N≥2〕時，數(shù)列從第項(xiàng)開始便不存在.于是知：當(dāng)在集合或且≥2}上取值時，無窮數(shù)列都不存在.變式:〔2005，重慶,文,22,本小題總分值12分〕數(shù)列記〔Ⅰ〕求b1、b2、b3、b4的值；〔Ⅱ〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式及數(shù)列的前n項(xiàng)和解法一：由,得,其特征方程為解之得,或,,解法二：〔I〕〔II〕因，故猜測因，〔否那么將代入遞推公式會導(dǎo)致矛盾〕故的等比數(shù)列.,解法三：〔Ⅰ〕由整理得〔Ⅱ〕由所以解法四：〔Ⅰ〕同解法一〔Ⅱ〕從而類型11或解法：這種類型一般可轉(zhuǎn)化為與是等差或等比數(shù)列求解。例：〔I〕在數(shù)列中，，求〔II〕在數(shù)列中，，求類型12歸納猜測法解法：數(shù)學(xué)歸納法變式:〔2006，全國II,理,22,本小題總分值12分〕設(shè)數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1，n＝1，2，3，…〔Ⅰ〕求a1，a2；〔Ⅱ〕｛an｝的通項(xiàng)公式提示:1為方程的根,代入方程可得將n=1和n=2代入上式可得2求出等,可猜測并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，此題主要考察一般數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式間的關(guān)系3方程的根的意義(根代入方程成立)4數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列的通項(xiàng)公式(也可以把分開為,可得解：(Ⅰ)當(dāng)n＝1時，x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝EQ\f(1,2)當(dāng)n＝2時，x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a2－EQ\f(1,2)，于是(a2－EQ\f(1,2))2－a2(a2－EQ\f(1,2))－a2＝0，解得a1＝EQ\f(1,6)(Ⅱ)由題設(shè)(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，即Sn2－2Sn＋1－anSn＝0當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由(Ⅰ)知S1＝a1＝EQ\f(1,2)，S2＝a1＋a2＝EQ\f(1,2)＋EQ\f(1,6)＝EQ\f(2,3)由①可得S3＝EQ\f(3,4)由此猜測Sn＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，………8分下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論(i)n＝1時結(jié)論成立(ii)假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即Sk＝EQ\f(k,k＋1)，當(dāng)n＝k＋1時，由①得Sk＋1＝EQ\f(1,2－S\S\do(k))，即Sk＋1＝EQ\f(k＋1,k＋2)，故n＝k＋1時結(jié)論也成立綜上，由(i)、(ii)可知Sn＝EQ\f(n,n＋1)對所有正整數(shù)n都成立……10分于是當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝EQ\f(n,n＋1)－EQ\f(n－1,n)＝EQ\f(1,n(n＋1))，又n＝1時，a1＝EQ\f(1,2)＝EQ\f(1,1×2)，所以｛an｝的通項(xiàng)公式an＝EQ\f(n,n＋1)，n＝1，2，3，………12分此題難度較大,不過計算較易,數(shù)列的前面一些項(xiàng)的關(guān)系也比擬容易發(fā)現(xiàn)類型13雙數(shù)列型解法：根據(jù)所給兩個數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、累乘、化歸等方法求解。例：數(shù)列中，；數(shù)列中，。當(dāng)時，,，求,.解：因所以即…………〔1〕又因?yàn)樗浴?即………〔2〕由〔1〕、〔2〕得：，類型14周期型解法：由遞推式計算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例：假設(shè)數(shù)列滿足，假設(shè)，那么的值為___________。變式:〔2005，湖南,文，5〕數(shù)列滿足，那么= 〔〕 A．0 B． C． D．打包2根據(jù)數(shù)列遞推公式求取其通項(xiàng)通法總結(jié)數(shù)列的遞推公式，求取其通項(xiàng)公式是數(shù)列中一類常見的題型，這類題型如果單純的看某一個具體的題目，它的求解方法靈活是靈活多變的，構(gòu)造的技巧性也很強(qiáng)，但是此類題目也有很強(qiáng)的規(guī)律性，存在著解決問題的通法，本文就高中數(shù)學(xué)中常見的幾類題型從解決通法上做一總結(jié)，方便于學(xué)生學(xué)習(xí)和老師的教學(xué)，不涉及具體某一題目的獨(dú)特解法與技巧。一、型數(shù)列，〔其中不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的方法是累加法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有將上述個式子累加，變成，進(jìn)而求解。例1.在數(shù)列中,解：依題意有逐項(xiàng)累加有，從而。注：在運(yùn)用累加法時,要特別注意項(xiàng)數(shù),計算時項(xiàng)數(shù)容易出錯.類似題型練習(xí)：滿足，求的通項(xiàng)公式。二、型數(shù)列，〔其中不是常值函數(shù))此類數(shù)列解決的方法是累積法，具體做法是將通項(xiàng)變形為，從而就有將上述個式子累乘，變成，進(jìn)而求解。例2.數(shù)列中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：當(dāng)時，將這個式子累乘，得到，從而，當(dāng)時，，所以。注：在運(yùn)用累乘法時,還是要特別注意項(xiàng)數(shù),計算時項(xiàng)數(shù)容易出錯.類似題型練習(xí)：在數(shù)列中,>0,,求.提示：依題意分解因式可得，而>0,所以，即。三、型數(shù)列此類數(shù)列解決的方法是將其構(gòu)造成一個新的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解，構(gòu)造的方法有兩種，一是待定系數(shù)法構(gòu)造，設(shè)，展開整理，比擬系數(shù)有，所以，所以是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為。二是用做差法直接構(gòu)造，，，兩式相減有，所以是公比為的等比數(shù)列。例3.在數(shù)列中，，當(dāng)時，有，求的通項(xiàng)公式。解法1：設(shè)，即有，比照，得，于是得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，所以有。解法2：由遞推式，得，上述兩式相減，得，因此，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列。所以，即，所以。類似題型練習(xí)：數(shù)列滿足求數(shù)列的通項(xiàng)公式.注：根據(jù)題設(shè)特征恰當(dāng)?shù)貥?gòu)造輔助數(shù)列,利用根本數(shù)列可簡捷地求出通項(xiàng)公式.四．型數(shù)列〔p為常數(shù)〕此類數(shù)列可變形為，那么可用累加法求出，由此求得.例4數(shù)列滿足,求.解:將遞推式兩邊同除以得,設(shè),故有，,從而.注：通過變形,構(gòu)造輔助數(shù)列,轉(zhuǎn)化為根本數(shù)列的問題,是我們求解陌生的遞推關(guān)系式的常用方法.假設(shè)為的一次函數(shù),那么加上關(guān)于的一次函數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列;假設(shè)為的二次函數(shù),那么加上關(guān)于的二次函數(shù)構(gòu)成一個等比數(shù)列.這時我們用待定系數(shù)法來求解.例5．?dāng)?shù)列滿足解:作,那么,代入遞推式中得:.令這時且顯然,,所以.注：通過引入一些待定系數(shù)來轉(zhuǎn)化命題結(jié)構(gòu),經(jīng)過變形和比擬,把問題轉(zhuǎn)化成根本數(shù)列,從而使問題得以解決.類似題型練習(xí)：〔1〕滿足，求。〔2〕數(shù)列，表示其前項(xiàng)和，假設(shè)滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。提示：〔2〕中利用，把條件轉(zhuǎn)化成遞推式。五、型數(shù)列〔為非零常數(shù)〕這種類型的解法是將式子兩邊同時取倒數(shù),把數(shù)列的倒數(shù)看成是一個新數(shù)列,便可順利地轉(zhuǎn)化為型數(shù)列。例6．?dāng)?shù)列滿足,求.解:兩邊取倒數(shù)得:,所以，故有。類似題型練習(xí)：數(shù)列中，，求的通項(xiàng)。六.型數(shù)列〔為常數(shù)〕這種類型的做法是用待定糸數(shù)法設(shè)構(gòu)造等比數(shù)列。例5．?dāng)?shù)列中，且，求.解法略。打包3幾種遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法遞推數(shù)列常常是高考命題的熱點(diǎn)之一.所謂遞推數(shù)列,是指由遞推公式所確定的數(shù)列.由相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系給出的遞推公式稱為一階遞推公式，由相鄰三項(xiàng)的關(guān)系給出的遞推公式稱為二階遞推公式，依次類推.等差數(shù)列和等比數(shù)列是最根本的遞推數(shù)列.遞推數(shù)列根本問題之一是由遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式.下面是常見的遞推數(shù)列及其通項(xiàng)公式的求法．1一階線性遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題一階線性遞推數(shù)列主要有如下幾種形式：〔1〕這類遞推數(shù)列可通過累加法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{f(n)}可求前n項(xiàng)和).當(dāng)為常數(shù)時，通過累加法可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．而當(dāng)為等差數(shù)列時，那么為二階等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式應(yīng)當(dāng)為形式，注意與等差數(shù)列求和公式一般形式的區(qū)別，后者是，其常數(shù)項(xiàng)一定為０．〔2〕這類遞推數(shù)列可通過累乘法而求得其通項(xiàng)公式(數(shù)列{g(n)}可求前n項(xiàng)積).當(dāng)為常數(shù)時，用累乘法可求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式．〔3〕；這類數(shù)列通?？赊D(zhuǎn)化為，或消去常數(shù)轉(zhuǎn)化為二階遞推式.［例１］數(shù)列中，,求的通項(xiàng)公式．［解析］解法一．轉(zhuǎn)化為型遞推數(shù)列．∵∴又，故數(shù)列｛｝是首項(xiàng)為２，公比為２的等比數(shù)列．∴，即．解法二．轉(zhuǎn)化為型遞推數(shù)列．∵=2xn-1+1(