人教版初二數(shù)學(xué)知識點歸納

初二數(shù)學(xué)（上）應(yīng)知應(yīng)會的知識點

因式分解

1.因式分解：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解；

注意：因式分解與乘法是相反的兩個轉(zhuǎn)化.

2.因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分組分解法”、“十字相乘法”.

3.公因式的確定：系數(shù)的最大公約數(shù)?相同因式的最低次事.

注意公式：a+b=b+a；a-b=-（b-a）；（a-b）2=（b-a）2；（a-b）3=-（b-a）3.

4.因式分解的公式：

⑴平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2,a2-2ab+b2=（a-b）2.

5.因式分解的注意事項：

（1）選擇因式分解方法的一般次序是：一提取、二公式、三分組、四十字；

（2）使用因式分解公式時要特別注意公式中的字母都具有整體性；

（3）因式分解的最后結(jié)果要求分解到每一個因式都不能分解為止；

（4）因式分解的最后結(jié)果要求每一個因式的首項符號為正；

（5）因式分解的最后結(jié)果要求加以整理；

（6）因式分解的最后結(jié)果要求相同因式寫成乘方的形式.

6.因式分解的解題技巧：（1）換位整理，加括號或去括號整理；（2）提負(fù)號；（3）全

變號；（4）換元；（5）配方；（6）把相同的式子看作整體；（7）靈活分組；（8）提取

分?jǐn)?shù)系數(shù)；（9）展開部分括號或全部括號；（10）拆項或補(bǔ)項.

7.完全平方式：能化為（m+n）2的多項式叫完全平方式；對于二次三項式x2+px+q,

M=q

有“x2+pxy是完全平方式121

分式

1.分式：一般地，用A、B表示兩個整式，A+B就可以表示為的形式，如果B中含

有字母，式子叫做分式.

'整式

有理式

分式

2.有理式：整式與分式統(tǒng)稱有理式；即

3.對于分式的兩個重要判斷：（1）若分式的分母為零，則分式無意義，反之有意義;

（2）若分式的分子為零，而分母不為零，則分式的值為零；注意：若分式的分子為零,

而分母也為零，則分式無意義.

4.分式的基本性質(zhì)與應(yīng)用：

（1）若分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不為零的整式，分式的值不變；

（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值

不變；

一分子一分子分子分子

即-分母分母-分母分母

(3)繁分式化簡時，采用分子分母同乘小分母的最小公倍數(shù)的方法，比較簡單.

5.分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分；注意：分

式約分前經(jīng)常需要先因式分解.

6.最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式，這個分式叫做最簡分式；注意：分

式計算的最后結(jié)果要求化為最簡分式.

ac_acac_ad_ad

7.分式的乘除法法則：bdbd'b-dbebe.

(n為正整數(shù))

8.分式的乘方：b，＞

9.負(fù)整指數(shù)計算法則：

1

(1)公式：aO=l(aWO),a-n=a"(aWO)；

(2)正整指數(shù)的運算法則都可用于負(fù)整指數(shù)計算;

(3)公式：一,廣一0；

(4)公式：(-1)-2=1,(-1)-3—1.

10.分式的通分：根據(jù)分式的基本性質(zhì)，把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式

相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先確定最簡公分母.

11.最簡公分母的確定：系數(shù)的最小公倍數(shù)?相同因式的最高次幕.

a,ba±_b___a____c*a_d—|—b_e.-a-d±-J-bc.-------

12.同分母與異分母的分式加減法法則：「cc'b-dbd-bdbd.

13.含有字母系數(shù)的一元一次方程：在方程ax+b=O(aWO)中,x是未知數(shù),a和b是用字

母表示的已知數(shù)，對x來說，字母a是x的系數(shù)，叫做字母系數(shù)，字母b是常數(shù)項，

我們稱它為含有字母系數(shù)的一元一次方程.注意：在字母方程中，一般用a、b、c等表示

已知數(shù)，用x、y、z等表示未知數(shù).

14.公式變形：把一個公式從一種形式變換成另一種形式，叫做公式變形；注意：公

式變形的本質(zhì)就是解含有字母系數(shù)的方程.特別要注意：字母方程兩邊同時乘以含字母

的代數(shù)式時，一般需要先確認(rèn)這個代數(shù)式的值不為0.

15.分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程；注意：以前學(xué)過的，分母里

不含未知數(shù)的方程是整式方程.

16.分式方程的增根：在解分式方程時，為了去分母，方程的兩邊同乘以了含有未知

數(shù)的代數(shù)式，所以可能產(chǎn)生增根，故分式方程必須驗增根；注意：在解方程時，方程

的兩邊一般不要同時除以含未知數(shù)的代數(shù)式，因為可能丟根.

17.分式方程驗增根的方法：把分式方程求出的根代入最簡公分母（或分式方程的每

個分母），若值為零，求出的根是增根，這時原方程無解；若值不為零，求出的根是原

方程的解；注意：由此可判斷，使分母的值為零的未知數(shù)的值可能是原方程的增根.

18.分式方程的應(yīng)用：歹吩式方程解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的方法一樣，但需

要增加“驗增根”的程序.

數(shù)的開方

1.平方根的定義：若x2=&那么x叫a的平方根，（即a的平方根是x）；注意：（1）a

叫x的平方數(shù)，（2）已知x求a叫乘方，已知a求x叫開方，乘方與開方互為逆運算.

2.平方根的性質(zhì)：

（1）正數(shù)的平方根是一對相反數(shù)；

（2）0的平方根還是0；

（3）負(fù)數(shù)沒有平方根.

3.平方根的表示方法：a的平方根表示為和.注意：可以看作是一個數(shù)，也可以認(rèn)為是

一個數(shù)開二次方的運算

4.算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方才艮叫a的算術(shù)平方根，表示為.注意：0的算術(shù)平方

根還是0.

5.三個重要非負(fù)數(shù)：a2》0,|a|20,20.注意：非負(fù)數(shù)之和為0,說明它們都是0.

6.兩個重要公式：

（1）㈣2=a；（a20）

后=圖=卜（a-0）

⑵"11l-a（a<0）

7.立方根的定義：若x3=%那么x叫a的立方根，（即a的立方根是x）.注意：⑴a

叫x的立方數(shù)；（2）a的立方根表示為；即把a(bǔ)開三次方.

8.立方根的性質(zhì)：

（1）正數(shù)的立方根是一個正數(shù)；

（2）0的立方根還是0；

（3）負(fù)數(shù)的立方根是一個負(fù)數(shù).

9.立方根的特性：仁=-我.

10.無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).注意：和開方開不盡的數(shù)是無理數(shù).

11.實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù).

.正有理數(shù).

有理數(shù)■0有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)

實數(shù)?負(fù)有理數(shù)

‘正無理數(shù)'

無理數(shù)＜，無限不循環(huán)小數(shù)

.負(fù)無理數(shù),

12.實數(shù)的分類：（1）（2）

‘正實數(shù)

實數(shù)-0

.負(fù)實數(shù).

13.數(shù)軸的性質(zhì)：數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng).

14.無理數(shù)的近似值：實數(shù)計算的結(jié)果中若含有無理數(shù)且題目無近似要求，則結(jié)果應(yīng)

該用無理數(shù)表示；如果題目有近似要求，則結(jié)果應(yīng)該用無理數(shù)的近似值表示.注意：（1）

近似計算時，中間過程要多保留一位；（2）要求記憶：應(yīng)=141473=1.732

V5=2.236

三角形

幾何A級概念：（要求深刻理解、熟練運用、主要用于幾何證明）

1.三角形的角平分線定義：A幾何表達(dá)式舉例：

三角形的一個角的平分線與這個角的對（1）：AD平分NBAC

邊相交，這個角的頂點和交點之間的線:.ZBAD=ZCAD

段叫做三角形的角平分線.（如圖）BDC（2）VZBAD=ZCAD

，AD是角平分線

2.三角形的中線定義：幾何表達(dá)式舉例：

在三角形中，連結(jié)一個頂點和它的對邊A⑴?.?AD是三角形的中線

的中點的線段叫做三角形的中線.（如:.BD=CD

圖）?。?）BD=CD

BDC，AD是三角形的中線

3.三角形的高線定義：幾何表達(dá)式舉例：

從三角形的一個頂點向它的對邊畫垂A⑴：AD是AABC的高

線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的/.ZADB=90o

高線.八(2),.,ZADB=90°

（如圖）BDC，AD是AABC的高

※爾三角形的三邊關(guān)系定理：幾何表秘舉例：

三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形A(1)VAB+BOAC

A

的兩邊之差小于第三邊.（如圖）

(2)AB-BC<AC

5.等腰三角形的定義：幾何表達(dá)式舉例：

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角A（1）'.?△ABC是等腰三角形

形.（如圖）:.AB=AC

（2）VAB=AC

BAC...△ABC是等腰三角形

6.等邊三角形的定義：幾何表達(dá)式舉例：

有三條邊相等的三角形叫做等邊三角⑴,.,△ABC是等邊三角形

A

形.（如圖）/.AB=BC=AC

⑵?.?AB=BC=AC

A.'.△ABC是等邊三角形

7.三角形的內(nèi)角和定理及推論：幾何表達(dá)式舉例：

（1）三角形的內(nèi)角和180°；（如圖）(1)VZA+ZB+ZC=180°

*

（2）直角三角形的兩個銳角互余；（如圖）??

（3）三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；(2)VZC=90°

（如圖）.,.ZA+ZB=90°

X（4）三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)(3)VZACD=ZA+ZB

角.

AA(4)VZACD>ZA

CCBBcu

(1)(2)(3)(4)

8.直角三角形的定義：幾何表達(dá)式舉例：

有一個角是直角的三角形叫直角三（）

A1VZC=90°

角形.（如圖）1.?.△ABC是直角三角形

⑵t?△ABC是直角三角形

CXB

：.ZC=90°

9.等腰直角三角形的定義：幾何表達(dá)式舉例：

兩條直角邊相等的直角三角形叫等（1）VZC=90°CA=CB

腰直角三角形.（如圖）??.△ABC是等腰直角三角形

（2）VAABC是等腰直角三角

A形

/.ZC=90°CA=CB

10.全等三角形的性質(zhì)：幾何表達(dá)式舉例：

（1）全等三角形的對應(yīng)邊相等；（如圖）(1)VAABC^AEFG

（2）全等三角形的對應(yīng)角相等.（如圖）/.AB=EF..........

(2)VAABC^AEFG

AE/.NA=NE..........

BCFG

11.全等三角形的判定：幾何表達(dá)式舉例：

“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.(如圖)(1)VAB=EF

AE,:ZB=ZF

XVBC=FG

(2)AABC^AEFG

⑵...........

AE

KU⑶在RtAABC和RtAEFG中

'：AB=EF

又：AC=EG

CBGF

/.RtAABC^RtAEFG

12.角平分線的性質(zhì)定理及逆定理：幾何表達(dá)式舉例：

（1）在角平分線上的點到角的兩邊(1)：OC平分NAOB

距離相等；（如圖）A又YCDLOACE±OB

（2）到角的兩邊距離相等的點在角:.CD=CE

平分線上.（如圖）(2)VCD1OACE1OB

0EBXVCD=CE

.??OC是角平分線

13.線段垂直平分線的定義：幾何表達(dá)式舉例：

垂直于一條線段且平分這條線段的E⑴,.?EF垂直平分AB

直線，叫做這條線段的垂直平分線.AEFIABOA=OB

A0B

（如圖）（2）VEFlABOA=OB

F...EF是AB的垂直平分線

14.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆幾何表達(dá)式舉例：

定理：（1）VMN是線段AB的垂直平

（1）線段垂直平分線上的點和這條分線

線段的兩個端點的距離相等；（如圖），F(xiàn)A=PB

（2）和一條線段的兩個端點的距離⑵?.?RX=PB

相等的點，在這條線段的垂直平分線...點P在線段AB的垂直平分線

上.（如圖）上

15.等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：幾何表達(dá)式朝列：

（1）等腰三角形的兩個底角相等；（即等邊對?等角）（如圖I）(1)VAB=AC

（2）等腰三角形的“頂角平分線、底邊中線、底邊上的高”/.ZB=ZC

三線合一；（如圖）(2)VAB=AC

（3）等邊三角形的各角都相等，并且都是60°.（如圖）又?.?NBAD=NCAD

ABD=CD

AD±BC

??????????????????

(3)是等邊三角形

.,.ZA=ZB=ZC=60°

16.等腰三角形的判定定理及推論：幾何表達(dá)式舉例：

（1）如果一個三角形有兩個角都相等，那么這兩個角所對邊(1)VZB=ZC

也相等；（即等角對等邊）（如圖）:.AB=AC

（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形；（如圖）(2)VZA=ZB=ZC

（3）有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；（如圖）.?.△ABC是等邊三角形

（4）在直角三角形中，如果有一個角等于30°,那么它所對(3)VZA=60°

的直角邊是斜邊的一半.（如圖）XVAB=AC

.?.△ABC是等邊三角形

(4)\'ZC=90°ZB=30°

/.AC=AB

17.關(guān)于軸對稱的定理幾何表達(dá)式舉例：

（1）關(guān)于某條直線對稱的兩個圖形(1)VAABC>AEGF關(guān)于

是全等形；（如圖）MN軸對稱

（2）如果兩個圖形關(guān)于某條直線對.'.△ABC4AEGF

稱，那么對稱軸是對應(yīng)點連線的垂(2)VAABC>AEGF關(guān)于

直平分線.（如圖）MN軸對稱

/.OA=OEMN±AE

18.勾股定理及逆定理：幾何表達(dá)式舉例：

（1）直角三角形的兩直角邊a、b（1）?「△ABC是直角三角形

的平方和等于斜邊c的平方，即/.e.a2+b2=c2

a2+b2=c2；（如圖）（2）\ea2+b2=c2

（2）如果三角形的三邊長有下面關(guān).?.△ABC是直角三角形

系:a2+b2=c2,那么這個三角形是直C

角三角形.（如圖）

19.Rt△斜邊中線定理及逆定理：幾何表達(dá)式舉例：

（1）直角三角形中，斜邊上的中線?.'△ABC是直角三角形

是斜邊的一半；（如圖）?.?D是AB的中點

（2）如果三角形一邊上的中線是這/.CD=AB

邊的一半，那么這個三角形是直角X（2）,/CD=AD=BD

三角形.（如圖）C：B.?.△ABC是直角三角形

幾何B級概念：（要求理解、會講、會用，主要用于填空和選擇題）

一基本概念：

三角形、不等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形、三角形的外角、全等三角形、角

平分線的集合定義、原命題、逆命題、逆定理、尺規(guī)作圖、輔助線、線段垂直平分線

的集合定義、軸對稱的定義、軸對稱圖形的定義、勾股數(shù).

二常識:

1.三角形中，第三邊長的判斷：另兩邊之差〈第三邊〈另兩邊之和.

2.三角形中，有三條角平分線、三條中線、三條高線，它們都分別交于一點，其中前

兩個交點都在三角形內(nèi)，而第三個交點可在三角形內(nèi)，三角形上，三角形外.注意：三

角形的角平分線、中線、高線都是線段.

3.如圖，三角形中，有一個重要的面積等式，即：若CD±AB,BE±CA,則

CD-AB=BE?CA.

4.三角形能否成立的條件是：最長邊（另兩邊之和.

5.直角三角形能否成立的條件是：最長邊的平方等于另兩邊的平方和.

6.分別含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.

7.如圖，雙垂圖形中，有兩個重要的性質(zhì)，即：

（1）AC-CB=CD-AB；（2）Z1=ZB,Z2=ZA.

8.三角形中，最多有一個內(nèi)角是鈍角，但最少有兩個外角是鈍角.

9.全等三角形中，重合的點是對應(yīng)頂點，對應(yīng)頂點所對的角是對應(yīng)角，對應(yīng)角所對的

邊是對應(yīng)邊.

10.等邊三角形是特殊的等腰三角形.

II.幾何習(xí)題中，”文字?jǐn)⑹鲱}”需要自己畫圖，寫已知、求證、證明.

12.符合“AAA”“SSA”條件的三角形不能判定全等.

13.幾何習(xí)題經(jīng)常用四種方法進(jìn)行分析：（1）分析綜合法；（2）方程分析法；（3）代

入分析法；（4）圖形觀察法.

14.幾何基本作圖分為：（1）作線段等于已知線段；（2）作角等于已知角；（3）作已

知角的平分線；（4）過已知點作已知直線的垂線；（5）作線段的中垂線；（6）過已知

點作已知直線的平行線.

15.會用尺規(guī)完成“SAS”、“ASA”、"AAS"、"SSS"、“HL”、“等腰三角形”、“等邊

三角形”、“等腰直角三角形”的作圖.

16.作圖題在分析過程中，首先要畫出草圖并標(biāo)出字母，然后確定先畫什么，后畫什

么；注意：每步作圖都應(yīng)該是幾何基本作圖.

17.幾何畫圖的類型：（1）估畫圖；（2）工具畫圖；（3）尺規(guī)畫圖.

※建.幾