人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè) 空間向量的應(yīng)用 同步練習(xí)（含解析）

人教A版(2019)選擇性必修第一冊(cè)1.4空間向量的應(yīng)用

同步練習(xí)

一、單選題

1.平面ɑ的一個(gè)法向量是〃=(；,T,；),平面夕的一個(gè)法向量是加=(-3,6,-2),則平

面α與平面夕的關(guān)系是()

A.平行B.重合C.平行或重合D.垂直

2.在空間直角坐標(biāo)系中，若直線/的方向向量為a=(l,-2,l),平面α的法向量為

”=(2,3,4),則()

A.IHaB.ILaC.IUa或IHaD./與α斜交

3.在空間直角坐標(biāo)系內(nèi)，平面α經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A(l,0,2),8(0,l,0),C(-2,l,l),向量

”=(1,/1,〃)是平面&的一個(gè)法向量，則2+〃=()

A.-7B.-5C.5D.7

4.設(shè)“?、”是空間中兩條不同的直線，夕是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的

是()

A.若TnJ_a,"，β,m±n,則a，

B.若機(jī)ua,nuβ,allβ,則〃“/“

C.若m〃a,n//β,aLβ,則

D.若，"ua,nuB,mllβ,n∕∕a,則

5.在正方體ABCO-AGq中，E,F,G分別是A%CR,AR的中點(diǎn)，貝∣J

()

A.AC〃平面EFGB.AC〃平面EFG

C.B,C±5pgEFGD.BD15FffiEFG

6.若在正方體ABCD-A&C'。'中，點(diǎn)E是88'的中點(diǎn)，則二面角E-AD-O的平面

角的正切值為().

A.√2B.2C.√5D.2√2

7.直角梯形ABa)中，48〃￡>。,48=4,?！?gt;=2,4。=2夜,8。1.48,后是邊48的中

點(diǎn)，將三角形ADE沿OE折疊到AQE位置，使得二面角A-OE-B的大小為120,

則異面直線A。與CE所成角的余弦值為（）

A.-B.巫C.—D.-

4444

8.已知四棱錐P-ABCR底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，△皿）是以AZ）為斜邊的等腰直

角三角形，AB，平面融。，點(diǎn)E是線段PD上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），若線A8段上存在

點(diǎn)尸（不含端點(diǎn)），使得異面直線PA與“'成30。的角，則線段PE長(zhǎng)的取值范圍是

（）

9.已知直線/過(guò)定點(diǎn)A（2,3,l）,且方向向量為S=（（U,1）,則點(diǎn)P（4,3,2）至（H的距離為

（）

A.在B.立C.叵DY

222

10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸在正方體ABCO-ABCA的對(duì)角線BR（不含端點(diǎn)）上.設(shè)您=2,若

NAPC為鈍角，則實(shí)數(shù)4的取值范圍為（）

A.詞B.（o,；）C.朗D.朋

11.如圖，已知正方體ABCo-44G2的棱長(zhǎng)為2,M,N分別為BB-8的中

點(diǎn).有下列結(jié)論:

□三棱錐A-MNq在平面。。CC上的正投影圖為等腰三角形;

□直線MN〃平面A

口在棱8C上存在一點(diǎn)E,使得平面AE4，平面MN8；

口若/為棱”8的中點(diǎn)，且三棱錐NHS的各頂點(diǎn)均在同一求面上，則該球的體積

為>∕6π.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是()

A.OB.C.2D.3

12.如圖，在圓錐SO中,AB,CO為底面圓的兩條直徑，ABCD=O,且

ab^d'So=OB=3,SE=?SB,異面直線Se與。E所成角的正切值為(

)

二、填空題

13.已知α=(0,l,l),b=(1,1,0),c=(1,0,1)分別是平面α,β,y的法向量,則α,β,γ≡

個(gè)平面中互相垂直的有對(duì).

14.如圖所示，點(diǎn)A、B、C分別在空間直角坐標(biāo)系。-盯Z的三條坐標(biāo)軸上，

OC=(0,0,2),平面ABC的一個(gè)法向量為"=(2,1,2),平面ABC與平面43。的夾角為

θ,則CoSθ=.

15.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(l,2,0),W0,l,0),P(2,2,2),則P到直線AB的距離為

16.如圖，在棱長(zhǎng)為4的正方體48CD-AEGA中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段

RE上，點(diǎn)尸到直線CG的距離的最小值為1

17.如圖，在正四棱柱43CO-ABep中，底面邊長(zhǎng)為2,直線CG與平面AC"所成

三、解答題

18.如圖，四邊形ABCz）中，滿足AB〃CD,ZABC=90°,AB=I,BC=√3,

CD=2,將.84C沿AC翻折至aPAC,使得叩=2.

(□)求直線C。與平面24。所成角的正弦值.

19.如圖，在長(zhǎng)方體ABCf>-AAGR中，點(diǎn)E,F分別在棱。R,3B∣上，且2。E=EA,

(1)證明：點(diǎn)G在平面A￡尸內(nèi)；

(2)若AB=2,AD=I,AA=3,求二面角A-E尸-4的正弦值.

20.如圖所示，在三棱柱4BC-AB∣G中，ABlAC,AB=AC,四邊形8CC∣片為菱

TT

形，BC=2,ABCC,=-,。為BC的中點(diǎn).

(1)證明：Aa，平面AOB：

(2)若AG=2,求二面角G-A與-C的余弦值.

21.已知直三棱柱ABC-ASC中，側(cè)面44蜴8為正方形，AB=BC=2,E,尸分別

為AC和Ca的中點(diǎn)，。為棱ABl上的點(diǎn)?BF±AiB,

(1)證明：BFLDE；

(2)當(dāng)印。為何值時(shí)，面BBCC與面JDEe所成的二面角的正弦值最小?

參考答案：

1.C由題設(shè)知機(jī)=Y”,根據(jù)空間向量共線定理，即可判斷平面α與平面夕的位置關(guān)系.

【詳解】平面α的一個(gè)法向量是平面夕的一個(gè)法向量是“=(-3,6,-2),

.*?m=-6〃，

???平面α與平面尸的關(guān)系是平行或重合.

故選：C.

2.C由a.〃=o可得al”，所以∕ue或〃∕α,即可得正確選項(xiàng).

【詳解】直線/的方向向量為α=(L-2,1),平面α的法向量為〃=(2,3,4),

因?yàn)椤?”=(2,3,4)?(1,-2,1)=2-6+4=0,

所以a_L〃，

所以/Ua或IHa,

故選：C.

3.D求出AB=(-l,l,-2),BC=(-2,0,1),利用與〃=(LZM數(shù)量積為0,求解即可.

【詳解】AB=(-1,1,-2),BC=(-2,0,1)

n?AB=—1+4—2〃=0

n?BC=-2+//=0

可得〃=2,2=5,λ+μ=1

故選：D

4.A利用空間向量法可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)已知條件判斷線線、面面位置關(guān)系，可判斷

BCD選項(xiàng)的正誤.

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)直線機(jī)、〃的方向向量分別為：、V，

因?yàn)閙,α,Cβ,則平面ɑ的一個(gè)法向量為；，平面口的一個(gè)法向量為v，

因?yàn)閙_L〃，則“_Lv,故A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，若〃zuɑ,nuβ,a!∕β,則用、〃平行或異面，B錯(cuò)；

對(duì)于C選項(xiàng)，若〃〃夕，Sβ,則小、”的位置關(guān)系不確定，C錯(cuò)；

對(duì)于D選項(xiàng)，若機(jī)uα,nuβ,mllβ,nila,則a、4平行或相交，D錯(cuò).

故選：A.

答案第1頁(yè)，共26頁(yè)

5.A取CC、BC、AB的中點(diǎn)分別記為H、I、J,畫出圖形根據(jù)線面平行的判定定理及

空間向量法證明即可；

【詳解】解：取CC、BC、AB的中點(diǎn)分別記為“、/、J,連接廠”、HI,IJ、EJ,

根據(jù)正方體的性質(zhì)可得面EFG即為平面EGFHIJ,

對(duì)于A：如圖1,ACIIIJ,ACN平面EFG,〃u平面EFG,所以AC//平面瓦G,故A

正確;

圖2

對(duì)于B：如圖2,在平面AQCB中，ACGl=K,則AC平面EFG=K,所以B錯(cuò)

誤；

答案第2頁(yè)，共26頁(yè)

∕∣

D?

5

對(duì)于C、D：如圖3,B盧工平面EGFHL/,因?yàn)檫^(guò)平面EG"/〃外一點(diǎn)作坊(。)僅能作

一條垂線垂直該平面，故C、D錯(cuò)誤；

其中8。_L平面EGFHIJ可按如下證明：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則。(0,2,0),4(2,0,2),￡(0,0,1),G((M,2),F(L2,2),

所以=(2,-2,2),EG=(0,l,l),EF=(1,2,1),

所以E>4?EG=0,DB,?EF=2×l+2×(-2)÷2×l=0,即Dg_LEG,DBi±EF,

又EGEF=E,EG,EFu平面瓦6,所以BQL平面EFG；

故選：A

6.B建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解二面角的余弦值，進(jìn)而求出正切值.

【詳解】以/為坐標(biāo)原點(diǎn)，/8所在直線為X軸，ZO所在直線為V軸，AA'所在直線為Z軸

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為。，則A'(0,0,a),Zy(O,α,a),

答案第3頁(yè)，共26頁(yè)

m?A!E=ax——Z=O,

I)(0,6Z,0),設(shè)平面E4'θ'的法向量為加=(x,y,z),貝∣J,2,解得：y=。，

in?A,D,=ay=O

令x=l,則z=2,所以"z=(l,0,2),平面AfXO的法向量為〃=(1,0,0),設(shè)二面角

同”|∣(1,0,2)QO,0)L際

石一AD-O的平面角為6,可以看出為銳角，則COs。=

麗—一忑一^τ,m

=2.

7.D建立空間直角坐標(biāo)系求解即可

【詳解】建如圖所示空間直角坐標(biāo)系，得4便，-1，0)，D(0,0,2),E(0,0,0),C(0,2,2),所

以AO=卜K,L2),EC=(0,2,2),所以COSAaEC=^il=篇=|.

答案第4頁(yè)，共26頁(yè)

故選：D

8.B先依題意建立空間直角坐標(biāo)系，用未知量設(shè)點(diǎn)E,F,注意范圍，利用異面直線上4與

E尸成角構(gòu)建關(guān)系，解出范圍即可.

【詳解】由△以￡)是以AO為斜邊的等腰直角三角形，ABL平面R4E>,取AD中點(diǎn)G,

建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

依題意G(0,0,0),A(l,0,0),Q(T,0,0),8(1,2,0),P(0,0,1),設(shè)F(l,y,O),,設(shè)

￡)E=XZ)P=X(I,O,l)=(x,O,x),O<x<l,故E(x-l,O,x),EF-(2-x,y,-x)

又以=(1,0,-1),異面直線E4與EF成30°的角,故??司=網(wǎng).同cos30。,

即2=0xJ(2-xy+y2+χ2χ3,SP∕=-2(X-1)2+∣,0<X<1,故0,∣L又

23L?/

0<y<2,故yeO,".

故選：B.

9.A本題首先可根據(jù)題意得出AP,然后求出IAPl與APX百，最后根據(jù)空間點(diǎn)到直線的距

離公式即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)锳(2,3,l),P(4,3,2),所以”=(2,0,1),

則kH=石，4尸?4當(dāng)，

由點(diǎn)到直線的距離公式得∣AP∣l"?代=N1,

V1M2

故選：A.

10.C建立空間直角坐標(biāo)系,

答案第5頁(yè)，共26頁(yè)

【詳解】由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-小，用坐標(biāo)法計(jì)算，利用NAPC不

是平角，可得ZAPC為鈍角等價(jià)于CoSNAPC<0,即尸A?PC<0,即可求出實(shí)數(shù)2的取值

范圍.

設(shè)正方體ABCO-AMGA的棱長(zhǎng)為1,

則有A(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),￡>(0,0,1)

□D1B=(1,1,-1),□設(shè)RP=(ZX,-2),

□B4=PD1+DlA=(-Λ-ΛΛ)+(l,0,-l)=(l-Λ-Λ,Λ-l),

PC=PD1+D1C=(-λ,-λ,2)+(0,1,-1)=(-2,1-Λ,Λ-1),

由圖知ZAPC不是平角，匚ZAPC為鈍角等價(jià)于8SZAPC<0,

∏PAPC<O,

(1—Λ)(-+(―Λ)(l—A)+(A-1)=—1)(3Λ—1)<O,

解得(<∕l<l

□4的取值范圍是d

故選：C.

H.D對(duì)于口,根據(jù)正投影的特點(diǎn)，作出投影圖形，證明并判斷正投影圖形；對(duì)于□,以點(diǎn)

。為原點(diǎn)，分別以D4,3C,3R所在直線為χ∕,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求平面AOG的

法向量，得出法向量與MN不垂直，進(jìn)而得到結(jié)論錯(cuò)誤；對(duì)于□,運(yùn)用向量的坐標(biāo)表示證

明線面垂直，進(jìn)而得出面面垂直；對(duì)于口,根據(jù)三棱錐M中的幾何特征，找出外接球

答案第6頁(yè)，共26頁(yè)

球心。，進(jìn)而求出外接球半徑，得出外接球體積.

【詳解】對(duì)于「，設(shè)CG的中點(diǎn)為M∣,連接/%,DlMl,NM1,

M為8月的中點(diǎn)，.?.A卬/4G〃"陷，

又ARJ?平面qocc∣,??.平面AoCG,

.??點(diǎn)A,M在平面OQCG上的正投影分別為Q,M∣,

且點(diǎn)R,N在平面。QCG上的正投影分別為其本身，

???三棱錐A-MNq在平面2。Ca上的正投影圖為QMN,

又DlN=DM=H^=瓜

即?AMA為等腰三角形，口正確；

對(duì)于□,以點(diǎn)。為原點(diǎn)，分別以D4,QC,Q。所在直線為χ,y,z軸,

則。(0,0,0),A(2,0,2),G(0,2,2),B(2,2,0),A(0,0,2),M(2,2,1),N(OJO),

.?.MN=(-2,-l,-I),DAi=(2,0,2),DC1=(0,2,2),D1B=(2,2,-2),

答案第7頁(yè)，共26頁(yè)

=2x2+0χ2+2χ(-2)=0,.?DβLD?,βpD1B±DAl,

D1BDC1=0×2+2×2+2×(-2)=0,ΛD1BIDC1,即

又DAICDCl=D,D41u平面ADcDGU平面ADC∣,

.?.?出_1平面4℃|,

即AB=(2,2,-2)是平面A1DC1的一個(gè)法向量，

而A8?MN=(-2)x2+(-l)x2+(-l)x(-2)=-4w0,

；.￡)力與MN不垂直，，MN不與平面A。G平行，□錯(cuò)誤；

設(shè)BC的中點(diǎn)為E,連接AE,由□知，E(l,2,0),AE=(-1,2,0),

BN=(-2,-1,0),MN=(-2,-LT),

AEBN=(T)X(-2)+2x(T)+0=0,..AELBN,即AE_LBN,

AEMN=(-l)×(-2)+2×(-l)+0=0,.?,AElMN^即AELMZV,

又BNCMN=N,BNU平面MNB,MNU平面MNB,

.?.AE，平面MM3,又AEU平面AEB∣,.?.平面AEBj平面MNB,□正確;

對(duì)于□,如圖，

答案第8頁(yè)，共26頁(yè)

若F為棱的中點(diǎn)，又N為梭CD的中點(diǎn)、，：.NFVBC,

8。_1平面448與，，板_1平面448用，

MRU平面AABSN尸，MF,

又MBYBN,:.RtNFM和RtAMBN有公共的斜邊MN,

設(shè)MN的中點(diǎn)為O,則點(diǎn)。到M,N,B,F的距離相等，

為三棱錐M-M右外接球的球心，MN為該球的直徑，

.?.2R≈BC2+CN2+BM2=√4+l+4≈√6-R=誓

44?！??L

該球的體積為V=—兀R'=—X—π=√6π,□正確.

33[2)

綜上所述，正確的結(jié)論為□□□.

故選：D.

12.D以O(shè)D,。民OS為x,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求異面直線所成的角

的余弦值，再得正弦值.

【詳解】由題意以0Q，OB,OS為x,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

A(0,-3,0),B(0,3,0),C(-3,0,0),5(0,0,3),

又SE=N,

4

1139

OE=05+SE=OS+-SB=(0,0,3)+-(0,3,-3)=(0,-,-),

4444

SC=(-3,0,-3),

_Z7

0e5c3√5

貝∣Jcos<OE,SC>=ii'ii=-——?一

。耶C3√iθ×3√2^7o^

4

設(shè)異面直線SC與OE所成角為。，則COSe=gs<OE,SC>∣=*,，為銳角,

答案第9頁(yè)，共26頁(yè)

√55

J55Sineι∩√11

sin^=—,所以tanα=--=?=-.

10cos6>3√53

?

故選：D.

13.0計(jì)算每?jī)蓚€(gè)向量的數(shù)量積，判斷該兩個(gè)向量是否垂直，可得答案.

【詳解】因?yàn)椤?A=(0,1,1)?(1,1,0)=1≠0,

α-c=(04,l)?(l,0,l)=l≠0,

b`e=(LLO),(1,0,1)=1≠O.

所以a,b,C中任意兩個(gè)向量都不垂直，即α,β,y中任意兩個(gè)平面都不垂直.

故答案為：0.

14.；分析可知平面AB。的一個(gè)法向量為OC,利用空間向量法可求得COSe的值.

【詳解】由題意可知，平面A3。的一個(gè)法向量為OC=(0,0,2),所以，

|。。〃|42

CoSg=7——j-Λ=------=-.

∣OC∣?τ∣Λ∣2x33

故答案為：-.

15.邁利用點(diǎn)到直線距離的向量公式即可求解.

2

【詳解】依題意得"=(T,T0),”=(1,0,2)

答案第10頁(yè)，共26頁(yè)

/?2___________

則P到直線A8的距離為d=AP2-華華=Q=逑

?lU^lP22

故答案為：—

2

16.生叵##金石建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求出點(diǎn)尸到直線CG距離的函數(shù)關(guān)

系，再求其最小值作答.

【詳解】在正方體A8CO-A4G2中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,4,0),D1(0,0,4),E(2,4,0),C1(0,4,4),CE=(2,0,0),CC1=(0,0,4),ED1=(-2,-4,4)-

因點(diǎn)P在線段。E上，則/le[0,l],EP=ZEA=(-2ZYZ44),

CP=CE+EP=(2-2λ,-4λ,4Λ),向量CP在向量CG上投影長(zhǎng)為d=∣笠：：/=4Λ,

ICCll

而ICPl=J(2-2/1)2+(Tziy+(42)2,則點(diǎn)P到直線CG的距離

h=JICPI2-/=2√5Λ2-22+l=2^5(Λ-∣)2+^>竽，當(dāng)且僅當(dāng)2=?時(shí)取“=”，

所以點(diǎn)P到直線CG的距離的最小值為逑.

5

故答案為：拽

5

17.4以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4,OC,。R所在直線分別為X軸，V軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，設(shè)?！?“，求出平面ACA的一個(gè)法向量”，則cos<〃,CG>=g,則可以得到答案.

【詳解】解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4，。。，。。所在直線分別為X軸，V軸，Z軸建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)Z>2=",則A(2,0,0),C(0,2,0),D1(0,0,a),故AC=(-2,2,0),Aq=(-2,0,4),

答案第11頁(yè)，共26頁(yè)

CC1=(0,0,a)f

設(shè)平面A。的一個(gè)法向量為〃=("z),則;MTX2;11可取〃=卜』5

n?CCi22

.,cos<n,CC.>=-----------=「——=’?一一

故∣“"CCJ〃J.+2j2"+4，

又直線CG與平面ACR所成角的正弦值為?,

21

'詬τ7Γ3'解得"4?

故答案為：4.

本題考查根據(jù)線面角，利用向量法求柱體的高，屬于中檔題.

18.(□)證明見解析；(□)—.(□)過(guò)B作BOIAC,垂足為0,連PO,DO,作

5

DElAC,垂足為E,易得POLAC,通過(guò)勾股定理可得POj_OD,即可得PO_L平面

ACD,進(jìn)而可得結(jié)果；

(□)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，平面小。的法向量，利用向量法即可得結(jié)果.

【詳解】(□)過(guò)8作B0J_AC,垂足為0,連P。，D0,則尸OLAC,

作Z)EJ_AC,垂足為E,貝IJf)E=,OE=—,DO—^??

22

所以PO?+。。?=pf)2,即PO_LO￡)

又ACCDO=O,所以PO_L平面ACD,

又POU平面PAC,

所以平面PACj?平面ACD；

答案第12頁(yè)，共26頁(yè)

(□)以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，oc,BO所在的直線為X,y軸建立空間直角坐標(biāo)系

則A,；,0,0）,C[1,0,0茶,6,θ],H0,0,E

（2）[2J

1萬(wàn)

AP?n=-a+-c=0

設(shè)平面PAD的法向量為n=(。也C),則22

AD?n=a+?/?/?=0

取法向量;（后-1,7）,CD=（-l,√3,θ）

設(shè)直線C。與平面A4O所成角為，,

則Sinθ=∣cos<CD,n>∣=-??-.

19.(1)證明見解析；(2)亞1.(1)方法一:連接C∣E、C1F,證明出四邊形4EC7為平

7

行四邊形，進(jìn)而可證得點(diǎn)G在平面AEF內(nèi);

(2)方法一：以點(diǎn)G為坐標(biāo)原點(diǎn)，Ca、C即CC所在直線分別為X、y、Z軸建立空

間直角坐標(biāo)系G-Λ>7,利用空間向量法可計(jì)算出二面角A-E尸-A的余弦值，進(jìn)而可求得

二面角A-EF-A的正弦值.

答案第13頁(yè)，共26頁(yè)

【詳解】（I）［方法一］【最優(yōu)解】：利用平面基本事實(shí)的推論

在棱CG上取點(diǎn)G,使得GG=；CG,連接。G、FG、C∣E、C1F,如圖1所示.

圖1

在長(zhǎng)方體ABCD-ABC。中，BFIICG,BF=CG,所以四邊形BCGP為平行四邊形，則

BC/1FG,BC=FG,而BC=40,BC〃AD,所以A￡>〃FGAo=FG,所以四邊形D4FG

為平行四邊形，即有AΛ7ΛDG,同理可證四邊形OECQ為平行四邊形，.?.CE〃OG,

.■.C.EIIAF,因此點(diǎn)Cl在平面AEF內(nèi).

［方法二］:空間向量共線定理

圖2

以GR,GA,GC分別為X軸，y軸，Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖2所示.

答案第14頁(yè)，共26頁(yè)

設(shè)ClDι=a,C［B］=b,C］C=3c,則C∣((),(),0),E(4,0,2c),F(0,6,c),A(4,6,3c).

所以C∣E=(4,0,2c),E4=3,0,2c).故GE=E4.所以A尸〃C∣E,點(diǎn)G在平面AEF內(nèi).

［方法三］：平面向量基本定理

同方法二建系，并得G(0，°，°)，E(a，0,2c),F(0,b,c),A(a,b,3c),

所以GE=(α,0,2c),G尸=(O,b,c),GA=(α,6,3c).

故GA=CE+C∕.所以點(diǎn)G在平面AEF內(nèi).

［方法四］：

根據(jù)題意，如圖3,設(shè)AR=4,A片=2∕J,AA=3C.

AFU平面AEF,

ABlU平面A再GP.

GeAF,GeAlBl,

所以Ge平面AE尸,Ge平面AB∣CQ∣口.

延長(zhǎng)AE交4。于，，同理He平面AEF,H∈平面AiBtClDl□.

由□□得，平面4E尸平面ABCQ=GH.

答案第15頁(yè)，共26頁(yè)

連接GH,GG,"G，根據(jù)相似三角形知識(shí)可得Gq=b,DtH=2a.

在町GB0中，GG=Ja2+從.

同理，在RfGR”中，QH=2y∣a2+b2.

圖4

如圖4,在用AGH中，GW≈3√4Z2+?2-

所以G"=C∣G+C∣H,即G,C1,〃三點(diǎn)共線.

因?yàn)镚"u平面A￡F,所以GU平面AEF,得證.

［方法五］：

如圖5,連接。尸上綜。片，則四邊形DEB/為平行四邊形，設(shè)。片與E尸相交于點(diǎn)。，則

。為EF,。Bl的中點(diǎn).聯(lián)結(jié)AC∣,由長(zhǎng)方體知識(shí)知，體對(duì)角線交于一點(diǎn)，且為它們的中點(diǎn)，

即AcJBA=。，則AG經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，故點(diǎn)Cl在平面AEF內(nèi).

答案第16頁(yè)，共26頁(yè)

B

(2)［方法一］【最優(yōu)解】：坐標(biāo)法

以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，CR、QB∣、GC所在直線分別為X、y、Z軸建立如下圖所示的空

間直角坐標(biāo)系G-孫Z,如圖2.

則A(2,l,3)?A(24,0),E(Zo,2)、F(OJl),

AE=(0,7,-1),AF=(-2,0,-2),AE=(O,T,2),Λ1F=(-2,0,l),

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為m=(Xl,,z∣),

tn`AE=0-z∣=0

,得取Zl=-I,得Xl=X=I,則m=(l,l,-1),

m`AF=0-2x1-2z1=0

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為“=(々42*2)，

=-

n?A,E0[y?+2z,=0,x

由?八，得?八，取Z2=2,得％=1，%=4,則〃=(1,4,2,

7

〃?A∕=0[-2Λ2+z2=0'，

inn35/7

cos<m,n>=1---1=—7=—7=------

∕ni∣?in∣√3×√217,

2

設(shè)二面角A-EF-Ai的平面角為夕，貝∣J∣coSq=sin。=?/l-eosθ???.

因此，二面角A-EF-A的正弦值為叵.

7

［方法二］：定義法

答案第17頁(yè)，共26頁(yè)

B

圖6

在,.AE尸中，AE=y∣2,AF=2^2,EF=√5+T=√6,SPAE2+EF2=AF2>所以

AElEF.在AEF中，AE=AF=石，如圖6,設(shè)EEAF的中點(diǎn)分別為Λ/,N,連接

AlM,MN,AtN,則4W，EF,MNlEF,所以NAMN為二面角A-EF-A的平面角.

22

在，AMN中，MN=^-,AiM=y∣AlF-MFA1N=√5.

1+7_5

所以cosNAMN=3京拒=-y-,則SinZA1MN==年.

2X—X---

22

［方法三］:向量法

答案第18頁(yè)，共26頁(yè)

R

圖7

由題意得AE=JlAF=JAF=AE=石,M=#，

由于+￡尸=A尸，所以4E_LEF.

如圖7,在平面AE尸內(nèi)作A1GJ.E尸，垂足為G,

則以與GA的夾角即為二面角A-EF-A的大小.

22O2

由∕?=A￡+EG+G41,^AAt'=AE'+EG'+GA,^+2AEEG+2EGGA,+2AEGA,.

其中，EG=W?,AG=半，解得AE?GA=Lcos(AE,GΛl)=-^.

所以二面角A-EF-A的正弦值叵.

7

［方法四］:三面角公式

由題易得，E4=√2,M=2√2,re=√6,E41=√5,E4l=√5.

EA1+E^-AA^(√2)2+(√5)2-32-JlO

所以COSNAE4=

l2E4?E4,—-2√2?^10

fi?2+EF。-A尸(夜)2+(卡)2一(2夜)2

cosZAEF==0,SinNAE'F=I

2EAEF2√2?√6

設(shè)夕為二面角A-E尸-A的平面角，由二面角的三個(gè)面角公式，得

答案第19頁(yè)，共26頁(yè)

_cosZAEA.-cosZAEF?cosNAEF=普*所以Sine二年

cosθ=--------------------------------------------

sinZΛEF?sinZΛ1EF

【整體點(diǎn)評(píng)】（1）方法一：通過(guò)證明直線GE//AF,根據(jù)平面的基本事實(shí)二的推論即可證

出，思路直接，簡(jiǎn)單明了，是通性通法，也是最優(yōu)解；方法二：利用空間向量基本定理證

明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事實(shí)三通過(guò)證明三點(diǎn)共線

說(shuō)明點(diǎn)在平面內(nèi)；方法五：利用平面的基本事實(shí)以及平行四邊形的對(duì)角線和長(zhǎng)方體的體對(duì)

角線互相平分即可證出.

（2）方法一：利用建立空間直角坐標(biāo)系，由兩個(gè)平面的法向量的夾角和二面角的關(guān)系求

出；方法二：利用二面角的定義結(jié)合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的

兩個(gè)向量夾角和二面角的關(guān)系即可求出，為最優(yōu)解；方法四：利用三面角的余弦公式即可

求出.

20.（1）證明見解析；（2）叵.（1）證明ADLBG,8。，4G，則gG_L平面ADB

即得證；

（2）取8C中點(diǎn)為E,連結(jié)AE,C1E,證明AEjL平面B8∣CC,以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1E,

BE,AE分別為X,外Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】（1）EtJAB=AC,則有A4=AG,又。為AG的中點(diǎn)，所以AO?LB∣G,

由BC=2,則有BQ=1,BBI=2,

TT

又"BR=/BCG=M

所以BD=QBlB°+BQ?-2B∣B?BQcosg=6,

則可知BOLBG,

又有AQCBD=D,A。,BDU平面AQ8,所以，平面AQ8；

(2)取BC中點(diǎn)為E,連結(jié)AE,C1E,

由A3_LAC,則有AE=：8C=1,

又易知C?E=BD=g,

則有Al+￡?duì)t=4=AC；,所以4E_LGE,

答案第20頁(yè)，共26頁(yè)

又可知AELBC,AECClE=E,AE,C∣EU平面88CiC,則4七，平面BBC∣C,

如圖，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，C1E,BE,AE分別為X,y,Z軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

有C(O,T,0),4(6,2,0),^(√3,1,1),8(0,1,0),D(√3,l,0),

由AxDHAE,則有A1D±平面BB1C1C,

所以A3,80,

又BZ)J.B∣C∣,AiDB1C1=D,

所以8。，平面ABCI,

所以平面的法向量為(，

AB1C1BD=6,0,0)

設(shè)平面ABG的法向量為;;=(χ,y,z),

CJ"?CB∣=OCnla+3y=0

則有i八，即廠，

［小C4l=O∣^√3x÷2y+z=O

可?。?(-3,G,√5),

記二面角G-AB「C為凡

->→I---

,Cn-BD√15

貝πIJCoSe=—~—=—.

1∏I∣BD∣5

故二面角G-A4-C的余弦值為巫.

21.(1)證明見解析；(2)B1D=I(1)方法二：通過(guò)已知條件，確定三條互相垂直的直

線，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量證明線線垂直；

答案第21頁(yè)，共26頁(yè)

（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的平面角的余弦值最大，進(jìn)

而可以確定出答案；

【詳解】（1）［方法一］：幾何法

因?yàn)樗?/p>

又因?yàn)锳B,BB∣,BFCBBI=B,所以AB，平面8CG5.又因?yàn)锳B=3C=2,構(gòu)造正方

體ABCG-AAGa,如圖所示，

A1Dn

過(guò)E作48的平行線分別與4G,8C交于其中點(diǎn)M,N,連接AM,B∣N,

因?yàn)镋,尸分別為AC和CG的中點(diǎn)，所以N是BC的中點(diǎn)，

易證RtBCF=RtB1BN,則NCBF=ZBBiN.

又因?yàn)镹BBlN+ZB∣NB=90。，所以NCBF+NB∣NB=90°,BFlBtN.

又因?yàn)锽F±4B∣,B∣NABI=BI,所以BFL平面AMN用.

又因?yàn)镋r）U平面AMNBI,所以BFLDE.

I方法二］【最優(yōu)解】：向量法

因?yàn)槿庵鵄BC-AqG是直三棱柱，二8片，底面ABC,.??B41A3

AtB1//AB,BFIA1B1,.-.BFlAB,又BqCBF=BABj_平面BCe內(nèi).所以

BA,BC,BBl兩兩垂直.

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以BABC,B與所在直線為X,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

答案第22頁(yè)，共26頁(yè)

.?.B(0,0,0),Λ(2,0,0),C(0,2,0),B1(0,0,2),A(2,0,2),C1(0,2,2),E(l,l,0),F(0,2,l).

由題設(shè)O(4,0,2)(0≤α≤2).

因?yàn)?F=(0,2,l),OE=(I-a,—2),

所以8F?OE=Oχ(l-a)+2χl+lx(-2)=0,所以3尸_LE)E.

I方法三因?yàn)锳IBWAB,所以BEJ_A8,故3尸44=°，BFAB=O,所

以BF?ED=BF(EB+BB[+BQ)=BF-B∣D+BF(EB+BB)=BF,EB+BF?BB、

=BF?--BA--BC?+BF-BB.=--BF-BA--BF-BC+BF-BB=--BF-BC+BF-BB

I22)122'12'1

]121

=-^∣BF∣-∣BC∣cosZFBC+∣BF∣?∣Bβl∣cosZFBBl=--×√5×2×-^+√5×2×-^=0,所以

BF±ED.

(2)I方法一]【最優(yōu)解】：向量法

設(shè)平面OFE的法向量為M=(X,y,z),

因?yàn)樗?(一1,1,1),Z)E=(I一2),

.?m-EF=0hX+y+z=O

頭jw?OE=θ'F`In∣(l-α)x+y-2z=0'

令z=2-α,則〃z=(3,l+a,2-")

因?yàn)槠矫鍮CC14的法向量為54=(2,0,0),

設(shè)平面BCGq與平面DEF的二面角的平面角為巴

答案第23頁(yè)，共