新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步章末素養(yǎng)提升課件新人教A版必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步章末素養(yǎng)提升|體系構(gòu)建||核心歸納|1．柱體、錐體、臺(tái)體和球體的側(cè)面積和體積公式2．空間中線線關(guān)系空間中兩條直線的位置關(guān)系有且只有相交、平行、異面三種情況．兩直線垂直有“相交垂直”與“異面垂直”兩種情況．(1)證明線線平行的方法①線線平行的定義；②基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行；③線面平行的性質(zhì)定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b；④線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，b⊥α?a∥b；⑤面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b．(2)證明線線垂直的方法①線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角(在研究異面直線所成的角時(shí)，要通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線)；②線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b?α?a⊥b；③線面垂直的性質(zhì)：a⊥α，b∥α?a⊥b．3．空間中線面關(guān)系直線與平面之間的位置關(guān)系有且只有線在面內(nèi)、線面相交、平行三種．(1)證明直線與平面平行的方法①線面平行的定義；②判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α；③平面與平面平行的性質(zhì)：α∥β，a?α?a∥β．(2)證明直線與平面垂直的方法①線面垂直的定義；③判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；④面面平行的性質(zhì)定理：α∥β，a⊥α?a⊥β；⑤面面垂直的性質(zhì)定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β．4．空間中面面關(guān)系兩個(gè)平面之間的位置關(guān)系有且只有平行、相交兩種．(1)證明面面平行的方法①面面平行的定義；②面面平行的判定定理：a∥β，b∥β，a?α，b?α，a∩b＝A?α∥β；③線面垂直的性質(zhì)定理：a⊥α，a⊥β?α∥β；④基本事實(shí)4的推廣：α∥γ，β∥γ?α∥β．(2)證明面面垂直的方法①面面垂直的定義：兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角；②面面垂直的判定定理：a⊥β，a?α?α⊥β．|思想方法|化歸與轉(zhuǎn)化思想【思想方法解讀】本章中，轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)得淋漓盡致，比如求體積、距離有時(shí)要用到頂點(diǎn)的轉(zhuǎn)化，球的切接問(wèn)題要將空間幾何圖形轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形，位置關(guān)系的證明、空間角的求解轉(zhuǎn)化到三角形中求解，等等．【答案】C1．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝1，則點(diǎn)B到平面D1AC的距離等于 (

)【答案】B★與球有關(guān)的組合體中高維與低維的轉(zhuǎn)化已知三棱錐A－BCD中，△ABD與△BCD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形且二面角A－BD－C為直二面角，則三棱錐A－BCD的外接球的表面積為

(

)【答案】D★平行、垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化如圖，已知直角梯形ABCD中，E為CD邊中點(diǎn)，且AE⊥CD，又G，F(xiàn)分別為DA，EC的中點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC．(1)求證：AE⊥平面CDE；(2)求證：FG∥平面BCD；(3)在線段AE上找一點(diǎn)R，使得平面BDR⊥平面DCB，并說(shuō)明理由．(1)證明：由已知得DE⊥AE，AE⊥EC．因?yàn)镈E∩EC＝E，所以AE⊥平面CDE．(2)證明：如圖，取AB的中點(diǎn)H，連接GH，F(xiàn)H，所以GH∥BD，F(xiàn)H∥BC．因?yàn)镚H?平面BCD，BD?平面BCD，所以GH∥平面BCD．同理FH∥平面BCD，又GH∩FH＝H，所以平面FHG∥平面BCD．因?yàn)镚F?平面FHG，所以GF∥平面BCD．(3)解：取線段AE的中點(diǎn)R，則平面BDR⊥平面DCB．理由如下：取線段DC的中點(diǎn)M，取線段DB的中點(diǎn)S，所以四邊形MERS是平行四邊形，所以RS∥ME．在△DEC中，ED＝EC，M是CD的中點(diǎn)，所以EM⊥DC．由(1)知AE⊥平面CDE，AE∥BC，所以BC⊥平面CDE．因?yàn)镋M?平面CDE，所以EM⊥BC．因?yàn)锽C∩CD＝C，所以EM⊥平面BCD．因?yàn)镋M∥RS，所以RS⊥平面BCD．因?yàn)镽S?平面BDR，所以平面BDR⊥平面DCB．(1)求證：CD⊥平面P′AD．(2)在線段P′D上是否存在一點(diǎn)Q，使得CQ∥平面BDT？若存在，指出點(diǎn)Q的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．(1)證明：由△P′AD是正三角形及四邊形ABCD是正方形，得P′A＝AB＝2．在△P′AB中，P′A2＋AB2＝8＝P′B2，則AB⊥P′A．在正方形ABCD中，AB⊥AD，P′A∩AD＝A，P′A，AD?平面P′AD，于是AB⊥平面P′AD．而CD∥AB，所以CD⊥平面PAD．(2)解：當(dāng)Q為線段P′D的中點(diǎn)時(shí)，CQ∥平面BDT，證明如下：如圖，取P′T的中點(diǎn)N，連接CQ，NQ，CN，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OT，于是NQ∥TD．而TD?平面BDT，NQ?平面BDT，因此NQ∥平面BDT．依題意，T為P′A上一點(diǎn)，且滿足P′T＝2AT，則T為NA中點(diǎn)．因?yàn)镺為AC中點(diǎn)，即有OT∥CN．而TO?平面BDT，CN?平面BDT，所以CN∥平面BDT．因?yàn)镃N∩NQ＝N，CN，NQ?平面CQN，所以平面CQN∥平面BDT．又因?yàn)镃Q?平面CQN，則CQ∥平面BDT，所以Q為線段P′D的中點(diǎn)時(shí)，CQ∥平面BDT．★化歸與轉(zhuǎn)化思想在求解空間角中的應(yīng)用(1)求異面直線PA與BC所成角的正切值；(2)求證：平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．(1)解：在四棱錐P－ABCD中，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC．故∠PAD為異面直線PA與BC所成的角(或其補(bǔ)角)．又因?yàn)锳D⊥PD，所以異面直線PA與BC所成角的正切值為2．(2)證明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD．又因?yàn)锳D⊥PD，CD∩PD＝D，所以AD⊥平面PDC．而AD?平面ABCD，所以平面PDC⊥平面ABCD．(3)解：在平面PDC內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥CD交直線CD于點(diǎn)E，連接EB，如圖．由于平面PDC⊥平面ABCD，而直線CD是平面PDC與平面ABCD的交線，故PE⊥平面ABCD．由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角．4．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB＝∠ABC＝90°，且AB＝BC＝2AD＝2，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等邊三角形．(1)求證：BD⊥PC；(2)求二面角B－PC－D的大?。?1)證明：如圖，取AB的中點(diǎn)O，連接PO，CO．因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，所以PO⊥AB．又因?yàn)閭?cè)面PAB⊥底面ABCD，所以PO⊥底面ABCD．又因?yàn)锽D?平面ABCD，所以PO⊥BD．又因?yàn)锳B＝BC＝2AD＝2，∠ABC＝∠DAB＝90°，所以△DAB≌△OBC．所以∠BCO＝∠ABD，所以BD⊥OC．又因?yàn)镺C，PO?平面POC，OC∩PO＝O，所以BD⊥平面POC．又因?yàn)镻C?平面POC，所以BD⊥PC．(2)解：如圖，取PC的中點(diǎn)E，連接BE，DE．因?yàn)镻B＝BC，所以BE⊥PC．又因?yàn)锽D⊥PC，BE∩BD＝B，所以PC⊥平面BDE．所以PC⊥DE，所以∠BED是二面角B－PC－D的平面角．因?yàn)锽C⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，平面PAB⊥平面ABCD，所以BC⊥平面PAB．又因?yàn)锳D∥BC，所以AD⊥平面PAB．所以BC⊥PB，AD⊥PA．即二面角B－PC－D的大小為90°．|鏈接高考|【答案】B空間幾何體的表面積與體積【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三棱錐體積的求解，換頂點(diǎn)的應(yīng)用是求解問(wèn)題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

(2022年天津)如圖，“十字歇山”是由兩個(gè)直三棱柱重疊后的景象，重疊后的底面為正方形，直三棱柱的底面是頂角為120°，腰為3的等腰三角形，則該幾何體的體積為 (

)A．23 B．24C．26 D．27【答案】D【解析】如圖，該組合體由直三棱柱AFD－BHC和直三棱柱AEB－DGC組成，且ABCD為正方形，設(shè)重疊后的EG與FH交點(diǎn)為I，作HM⊥CB于點(diǎn)M．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合體結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)及體積的求法，需要具備一定的直觀想象能力，屬于中檔題．【答案】A

【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的表面積求解，同時(shí)還涉及了正弦定理的運(yùn)用，考查了運(yùn)算求解能力，對(duì)空間想象能力要求較高，屬于較難題目．

(2022年乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則

(

)A．平面B1EF⊥平面BDD1

B．平面B1EF⊥平面A1BDC．平面B1EF∥平面A1AC

D．平面B1EF∥平面A1C1D【答案】A點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【解析】對(duì)于A，由于E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，則EF∥AC，又∵AC⊥BD，AC⊥DD1，BD∩DD1＝D，且BD，DD1?平面BDD1，∴AC⊥平面BDD1，則EF⊥平面BDD1，又∵EF?平面B1EF，∴平面B1EF⊥平面BDD1，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，平面B1EF⊥平面BDD1，而平面BDD1∩平面A1BD＝BD，在該正方體中，試想D1運(yùn)動(dòng)至A1時(shí)，平面B1EF不可能與平面A1BD垂直，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，在平面ABB1A1上，易知AA1與B1E必相交，故平面B1EF與平面A1AC不平行，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知平面AB1C∥平面A1C1D，而平面AB1C與平面B1EF有公共點(diǎn)B1，故平面B1EF與平面A1C1D不可能平行，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系，考查邏輯推理能力，屬于中檔題．

(2019年北京)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)判斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α．以其中的兩個(gè)判斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)正確的命題：________________．【答案】若l⊥m，l⊥α，則m∥α(若m∥α，l⊥α，則l⊥m)【解析】從三個(gè)論斷中選兩個(gè)作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，共有三種可能．其中①③?②，②③?①是正確的命題，①②?③是錯(cuò)誤的命題，故可填“若l⊥m，l⊥α，則m∥α”或“若m∥α，l⊥α，則l⊥m”．【點(diǎn)評(píng)】本題是結(jié)論開(kāi)放的填空題，解題時(shí)要有合理的分析和判斷，要求推理的每一步都正確無(wú)誤．

(多選)(2022年新高考Ⅱ)如圖，四邊形ABCD為正方形，ED⊥平面ABCD，F(xiàn)B∥ED，AB＝ED＝2FB，記三棱錐E－ACD，F(xiàn)－ABC，F(xiàn)－ACE的體積分別為V1，V2，V3，則(

)A．V3＝2V2

B．V3＝2V1C．V3＝V1＋V2

D．2V3＝3V1【答案】CD平行、垂直的證明及空間角的計(jì)算【點(diǎn)評(píng)】直接由體積公式計(jì)算V1，V2．連接BD交AC于點(diǎn)M，連接EM，F(xiàn)M，由V3＝VA－EFM＋VC－EFM計(jì)算出V3，依次判斷選項(xiàng)即可．(1)證明：如圖，在Rt△ABC中，作FH⊥AB，垂足為H，設(shè)AH＝x，則HB＝2－x，因?yàn)镕H∥CB，所以Rt△AHF∽R(shí)t△ABC，又因?yàn)椤螧FH＝∠FBO，BF⊥AO，所以∠AOB＝∠FBH，且∠BHF＝∠OBA＝90°，所以Rt△BHF∽R(shí)t△OBA，即AH＝1，所以H是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)．又因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以EF∥PC，同理，DO∥PC，所以EF∥DO．又因?yàn)镋F?平面ADO，DO?平面ADO，所以EF∥平面ADO．(2)解：過(guò)點(diǎn)P作PM垂直FO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M(圖略)，因?yàn)镻B＝PC，O是BC中點(diǎn)，所以PO⊥BC．因?yàn)锳B⊥BC，OF∥AB，所以O(shè)F⊥BC．又因?yàn)镻O∩OF＝O，PO，OF?平面POF，所以BC⊥平面POF．又因?yàn)镻M?平面POF，所以BC⊥PM．又因?yàn)锽C∩FM＝O，BC，F(xiàn)M?平面ABC，所以PM⊥平面ABC，即三棱錐P－ABC的高為PM．因?yàn)椤螾OF＝120°，所以∠POM＝60°，【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面平行的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了幾何體體積計(jì)算問(wèn)題，是中檔題．

(2023年甲卷)在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，A1C⊥底面ABC，∠ACB＝90°，A1到平面BCC1B1的距離為1．(1)求證：AC＝A1C；(2)若直線AA1與BB1距離為2，求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值．(1)證明：(方法一)取CC1的中點(diǎn)O，連接A1O，∵A1C⊥底面ABC，AC?底面ABC，

∵點(diǎn)A1到平面BCC1B1的距離為1，點(diǎn)O∈平面BCC1B1，且A1O＝1，∴A1O⊥平面BCC1B1，∴A1O⊥CC1．∵O為CC1的中點(diǎn)，∴A1C＝A1C1＝AC