九年級數(shù)學上冊講義（人教版）：旋轉章末復習（教師版）

第18課旋轉章末復習課程標準（1）通過具體實例認識旋轉，探索它的基本性質，理解對應點到旋轉中心的距離相等、對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等的性質．（2）通過具體實例認識中心對稱，探索它的基本性質，理解對應點所連線段被對稱中心平分的性質，了解平行四邊形、圓是中心對稱圖形．（3）能夠按要求作出簡單平面圖形旋轉后的圖形，欣賞旋轉在現(xiàn)實生活中的應用．（4）探索圖形之間的變化關系(軸對稱、平移、旋轉及其組合)，靈活運用軸對稱、平移和旋轉的組合進行圖案設計．知識點01旋轉1．旋轉的概念把一個圖形繞著某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉.點O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角(如∠AOA′),如果圖形上的點A經過旋轉變?yōu)辄cA′，那么，這兩個點叫做這個旋轉的對應點.【注意】旋轉的三個要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度.2．旋轉的性質:(1)對應點到旋轉中心的距離相等(OA=OA′)；(2)對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；(3)旋轉前、后的圖形全等；【注意】圖形繞某一點旋轉，既可以按順時針旋轉也可以按逆時針旋轉.3．旋轉的作圖:在畫旋轉圖形時，首先確定旋轉中心，其次確定圖形的關鍵點，再將這些關鍵沿指定的方向旋轉指定的角度，然后連接對應的部分，形成相應的圖形．【注意】作圖的步驟：(1)連接圖形中的每一個關鍵點與旋轉中心；(2)把連線按要求(順時針或逆時針)繞旋轉中心旋轉一定的角度(旋轉角)；(3)在角的一邊上截取關鍵點到旋轉中心的距離，得到各點的對應點；(4)連接所得到的各對應點.知識點02特殊的旋轉—中心對稱1．中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心．這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點．【注意】(1)有兩個圖形，能夠完全重合，即形狀大小都相同；(2)位置必須滿足一個條件：將其中一個圖形繞著某一個點旋轉180°能夠與另一個圖形重合(全等圖形不一定是中心對稱的，而中心對稱的兩個圖形一定是全等的).2．中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心．【注意】(1)中心對稱圖形指的是一個圖形；(2)線段，平行四邊形，圓等等都是中心對稱圖形.知識點03平移、軸對稱、旋轉之間的對比平移軸對稱旋轉相同點都是全等變換(合同變換)，即變換前后的圖形全等．不

同

點定義把一個圖形沿某一方向移動一定距離的圖形變換．把一個圖形沿著某一條直線折疊的圖形變換．把一個圖形繞著某一定點轉動一個角度的圖形變換．圖形要素平移方向

平移距離對稱軸旋轉中心、旋轉方向、旋轉角度性質連接各組對應點的線段平行(或共線)且相等．任意一對對應點所連線段被對稱軸垂直平分．對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角都等于旋轉角．對應線段平行(或共線)且相等．任意一對對應點所連線段被對稱軸垂直平分．*對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，即：對應點與旋轉中心連線所成的角彼此相等．考法01旋轉【典例1】如圖，將△ABC繞著點C順時針旋轉后得到．若，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由旋轉的性質得：，，，，，故選：C．【即學即練】如圖，將30°的直角板繞點B按順時針轉動一個角度到的位置，使得點、、在同一條直線上，那么這個角度等于（

）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】D【詳解】解：三角板中∠ABC=60°，旋轉角是，則=180°-60°=120°．這個旋轉角度等于120°．故選：D．【典例2】如圖，將繞點逆時針旋轉得到，點恰好在邊上．已知，，則的長是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵將△OAB繞點O按逆時針方向旋轉至，∴，∴，∴=4-1=3（cm），故選：C．【即學即練】如圖，在△AOB中，AO＝1．將△AOB繞點O逆時針方向旋轉90°，得到△A′OB′，連接AA′．則線段AA′的長為（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】解：由旋轉可知∠AOA′=90°，AO=A′O=1，∴，故選：B考法02中心對稱【典例3】如圖，與關于點成中心對稱，則下列結論不成立的是（

）A．點與點是對稱點 B．C． D．【答案】D【詳解】解：與△關于點成中心對稱，點與是一組對稱點，，，A，B，C都不合題意．與不是對應角，不成立．故選：D．【即學即練】如圖，與關于O成中心對稱，下列結論中不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：∵對應點的連線被對稱中心平分，∴，，即B、D正確，∵成中心對稱圖形的兩個圖形是全等形，∴對應線段相等，即，∴C正確，故選A．【典例4】下列圖案是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A、是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故A選項不合題意；B、是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故B選項不合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D、是中心對稱圖形，是軸對稱圖形，故D選項不合題意；故選：C．【即學即練】下面撲克牌中，是中心對稱圖形的是(

)A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵A中撲克牌不符合中心對稱圖形的定義，∴A不是中心對稱圖形；∵B中撲克牌符合中心對稱圖形的定義，∴B是中心對稱圖形；∵C中撲克牌不符合中心對稱圖形的定義，∴C不是中心對稱圖形；∵D中撲克牌不符合中心對稱圖形的定義，∴D不是中心對稱圖形；故選：B．考法03關于原點對稱的點的坐標【典例5】在平面直角坐標系中，點P（7，6）關于原點的對稱點P′的坐標為（

）A．P′（7，6） B．P′（-7，6） C．P′（7，-6） D．P′（-7，-6）【答案】D【詳解】解：根據(jù)關于原點對稱的點的坐標的特點，點（7，6）關于原點的對稱的點的坐標是（-7，-6），故選：D．【即學即練】平面直角坐標系內，與點P(﹣3，2)關于原點對稱的點的坐標是(

)A．(3，-2) B．(2，-3) C．(2，3) D．(﹣3，2)【答案】A【詳解】解：與點P(-3，2)關于原點對稱的點的坐標是(3，-2)，故選：A．【典例6】在平面直角坐標系中，點與點關于原點對稱，則m的值是（

）A．3 B．2 C． D．【答案】D【詳解】解：∵點A（2，m）與點B（n，3）關于坐標原點對稱，∴m＝?3，故選：D．【即學即練】已知點與點關于原點對稱，則a與b的值分別為（

）A．－3；1 B．－1；3 C．1；－3 D．3；－1【答案】B【詳解】解：點與點關于原點對稱，解得：．故選：B．題組A基礎過關練1．北京冬奧會將于2022年2月4日在北京和張家口聯(lián)合舉行，如圖是冬奧會的吉祥物“冰墩墩”，將最左邊圖片按順時針方向旋轉后得到的圖片是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：如圖所示：“冰墩墩”圖片按順時針方向旋轉90°后得到的圖片是：．故選：D．2．下列圖形中，是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：A、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B、是中心對稱圖形，故本選項符合題意；C、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；D、不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：B．3．在平面直角坐標系中，點A(5，m)與點B(-5，-3)關于原點對稱，則m的值為（）A．3 B．-3 C．5 D．-5【答案】A【詳解】解：∵點A(5，m)與點B(-5，-3)關于原點對稱，∴點A的坐標為：，即m為3，故選A．4．如圖所示，在方格紙中，三角形ABC經過變換得到三角形DEF，下列對變換過程敘述正確的是（

）A．把三角形ABC向左平移8格，再逆時針旋轉90°B．把三角形ABC繞點C逆時針旋轉90°，再向左平移8格C．把三角形ABC向左平移8格，再順時針旋轉90°D．把三角形ABC繞點C順時針旋轉90°，再向左平移8格【答案】D【詳解】解：根據(jù)圖象，△ABC繞著點A順時針方向90°旋轉與△DEF形狀相同，再向左平移8格就可以與△DEF重合．故選：D．5．如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉35°得到△DEC，邊ED，AC相交于點F，若∠A=30°，則∠AFD的度數(shù)為（

）A．65° B．15° C．115° D．75°【答案】A【詳解】解：∵將△ABC繞點C順時針旋轉35°得到△DEC，∴∠ACD=35°，∠A=∠D=30°，∴∠AFD=∠ACD+∠D=35°+30°=65°，故選：A．6．如圖，在中，，．將繞點O逆時針方向旋轉90°，得到，連接．則線段的長為（

）A． B．2.5 C． D．【答案】C【詳解】解：由旋轉的性質可知，，=90°，∴是等腰直角三角形，∴；故選：C．7．如圖，將繞著點順時針旋轉，得到，若，，則旋轉角度是______．【答案】70°##70度【詳解】解：∵∠AOB=40°，∠BOC=30°，∴∠AOC=70°，∵將△AOB繞著點O順時針旋轉，得到△COD，∴旋轉角為∠AOC=70°，故答案為：70°．8．如圖，將繞點逆時針旋轉得到，點和點是對應點，若，則_______．【答案】2【詳解】解：∵將繞點A逆時針旋轉60°得到，∴．∵，∴．故答案為：2．9．如圖所示，正方形網格中，為格點三角形（即三角形的頂點都在格點上）．(1)把沿方向平移后，點移到點，在網格中畫出平移后得到的；(2)把繞點按逆時針方向旋轉，在網格中畫出旋轉后的．【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】（1）解：如圖所示：即為所求；（2）如圖所示：即為所求．10．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，以C為旋轉中心，旋轉一定角度后成△A′B′C，此時B′落在斜邊AB上，試確定∠ACA′，∠BB′C的度數(shù)．

【答案】∠ACA′＝60°，∠BB′C＝60°【詳解】解：∵以點C為旋轉中心，將△ABC旋轉到△A'B'C的位置；∴B′C＝BC；∵∠B＝60°，∴△BB′C是等邊三角形；∴∠BB′C＝60°，∴∠BCB′＝60°，∴∠ACA′＝60°．題組B能力提升練1．下列3×3網格中，陰影部分是中心對稱圖形的是（）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：A．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C．是中心對稱圖形，故此選項符合題意；D．不是中心對稱圖形，故此選項不合題意．故選：C．2．如圖，將繞點按逆時針方向旋轉得到若點剛好落在邊上，且，若，則旋轉的角度為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，，，將繞點按逆時針方向旋轉得到，，旋轉的角度為，故選：B．3．如圖，點O為矩形ABCD的對稱中心，AD＞AB，點E從點B出發(fā)（不含點B）沿BC向點C運動，移動到點C停止，延長EO交AD于點F，則四邊形BEDF形狀的變化依次為（

）A．平行四邊形→菱形→正方形→矩形B．平行四邊形→正方形→菱形→矩形C．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形D．平行四邊形→正方形→平行四邊形一矩形【答案】C【詳解】解：連接BD．∵點O為矩形ABCD的對稱中心，∴BD經過點O，OD＝OB，ADBC，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DFBE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，觀察圖形可知，四邊形BEDF形狀的變化依次為平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形．故選：C．4．點M位于平面直角坐標系第四象限，且到x軸的距離是5，到y(tǒng)軸的距離是2，則點M關于原點對稱的的坐標是（）A．（2，－5） B．（－2，5） C．（5，－2） D．（－5，2）【答案】B【詳解】解：∵M到x軸的距離為5，到y(tǒng)軸的距離為2，∴M縱坐標可能為±5，橫坐標可能為±2，∵點M在第四象限，∴M坐標為（2，?5）．∴點M關于原點對稱的的坐標是（?2，5）．故選：B．5．如圖，邊長為1的正方形繞點A逆時針旋轉得到正方形，連接，則的長是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【詳解】如圖所示，連接、∵四邊形是四邊形逆時針旋轉∴，∴是等邊三角形∴在中，∴故選：B．6．已知如圖，長方形ABCD繞點D順時針旋轉90°形成了長方形EFGD，若AG=m，CE=n，則長方形ABCD的面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵長方形ABCD繞點D順時針旋轉90°形成了長方形EFGD，∴DE＝DA，DC＝DG，而CE＝n，AG＝m，∴CD﹣AD＝n，CD+AD＝m，∴CD，AD，∴長方形ABCD的面積＝CD?AD?．故選：B．7．已知平面直角坐標系內有一點，聯(lián)結，將線段繞著點旋轉度，點落在點的位置，則的坐標為______．【答案】或##或【詳解】解：如圖，過點作軸于點，軸于點，則①將線段繞著點順時針旋轉度時，∵將線段繞著點旋轉度，點落在點的位置，∴，，又，∴，所以∵，∴，,∴,，∴，同理可得，將線段繞著點逆時針旋轉度時，的坐標為，綜上，的坐標為或．故答案為：或．8．如圖，直線a、b垂直相交于點O，曲線C關于點O成中心對稱，點A的對稱點是點，AB⊥a于點B，于點D．若OB＝4，OD＝3，則陰影部分的面積之和為___．【答案】12【詳解】解：如圖，∵直線a、b垂直相交于點O，曲線C關于點O成中心對稱，點A的對稱點是點，AB⊥a于點B，A'D⊥b于點D，OB＝4，OD＝3，∴AB＝3，∴圖形①與圖形②面積相等，∴陰影部分的面積之和＝矩形ABOE的面積＝3×4＝12．故答案為：12．9．在平面直角坐標系中，△ABC的位置如圖所示（每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形）．(1)將△ABC沿x軸方向向左平移6個單位，畫出平移后得到的．(2)將△ABC繞著點A順時針旋轉90°，畫出旋轉后得到的．(3)直接寫出點的坐標．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求．（2）解：如圖所示，即為所求．（3）解：根據(jù)題意得：．10．把直角三角形OAB與直角三角形O'CD如圖1放置，直角頂點O與O′重合在一起，點D在OB上，∠B＝30°，∠C＝45°．現(xiàn)將△O'CD固定，△OAB繞點O順時針旋轉，旋轉角α（0°≤α＜90°），OB與DC交于點E．(1)如圖2，在旋轉過程中，若OA∥CD時，則α＝______；若AB∥OC時，則α＝______；請寫出證明過程；(2)如圖2，在旋轉過程中，當△ODE有兩個角相等時，α＝______；請說明理由．【答案】(1)45°，60°，證明見詳解(2)45°或67.5°，理由見解析【詳解】（1）根據(jù)題意有∠AOB=90°，∵∠AOB=90°，∠B=30°，∠C=45°，∴∠DOC=90°，∠A=60°，∴∠CDO=45°，當時，如圖2中，∠AOD＝∠CDO＝45°，∴∠DOE=∠AOB-∠AOD=45°．∵∠DOE=α，∴α＝45°．當時，如圖3中，∠A+∠AOC＝180°，∵∠COD=90°，∠AOC=∠AOD+∠COD，∠A=60°，∴∠AOD=180°-∠A-∠COD，∴∠AOD＝30°，∴∠DOE=∠AOB-∠AOD＝60°，∵∠DOE=α，∴α＝60°故答案為：45°，60°．（2）根據(jù)（1）可知∠CDO=45°，當∠D＝∠DOE＝45°時，∵∠DOE=α，∴α＝45°，當∠DOE＝∠DEO時，則在△DOE中，∠DOE=(180°-∠ODC)=67.5°，∴∠DOE=α＝45°，即α＝67.5°，故答案為：45°或67.5°．題組C培優(yōu)拔尖練1．下列剪紙作品中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：A．既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；B．既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C．是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D．既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選：C．2．如圖，正方形的邊長為，將正方形繞原點O順時針旋轉45°，則點B的對應點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接OB，∵正方形ABCD繞原點O順時針旋轉45°，∴，，∴，∴△為等腰直角三角形，點在y軸上，∵，∴=2，∴（0，2），故選：D．3．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，點D是AB邊上一點，且AD∶BD＝1∶2，將△ACD繞點C順時針旋轉至△BCE，連接DE，則線段DE的長為（）A．3 B．2 C． D．2【答案】C【詳解】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，∴AB＝3，∠A＝∠ABC＝45°，∵AD：BD＝1：2，∴AD＝，BD＝，由旋轉的性質可知：△ACD≌△BCE，∴∠ACD＝∠BCE，AD＝BE＝，∠A＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝∠ABC＋∠CBE＝90°，∴DE＝，故選：C．4．如圖，中，，將繞點逆時針方向旋轉得到此時恰好點在上，交于點，則與的面積之比為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：，，，將繞點逆時針方向旋轉得到，，，是等邊三角形，，，，設，則，，，，與的面積之比為．故選：D．5．已知點經變換后到點B，下面的說法正確的是（

）A．點A與點B關于x軸對稱，則點B的坐標為B．點A繞原點按順時針方向旋轉90°后到點B，則點B的坐標為C．點A與點B關于原點中心對稱，則點B的坐標為D．點A先向上平移3個單位，再向右平移4個單位到點B，則點B的坐標為【答案】D【詳解】解：A、點與點關于軸對稱，則點的坐標為，則此項錯誤，不符合題意；B、點繞原點按順時針方向旋轉后到點，則橫、縱坐標互換位置，且縱坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，所以點的坐標為，則此項錯誤，不符合題意；C、點與點關于原點中心對稱，則點的坐標為，則此項錯誤，不符合題意；D、點先向上平移3個單位，再向右平移4個單位到點，則點的坐標為，即為，則此項正確，符合題意；故選：D．6．如圖，點P是在正ABC內一點，，，，將線段AP繞點A逆時針旋轉60°得到線段，連接，．下列結論中正確的是（

）①可以由繞點A逆時針旋轉60°得到；②線段；③四邊形的面積為；④．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】B【詳解】由題意知，，，為等邊三角形，,②正確，又,，，①正確，，又，在中三邊長為3、4、5，這是一組勾股數(shù)，所以為直角三角形=，③錯誤．將△BPC繞點B逆時針旋轉60°得到△BDA，則有△BPC≌△BDA，連接PD，如圖所示：同理可得△BPD是邊長為4的等邊三角形，△APD是直角三角形，且直角邊長為3和4，斜邊長為5，∴，故④正確；故選B．7．如圖，正三角形ABC繞其中心O至少旋轉___度，可與其自身重合．【答案】120【詳解】解：如圖所示：連接OA、OB、OC，正三角形ABC，O為其中