八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（人教版）：分式的運(yùn)算（教師版）

專題15.2分式的運(yùn)算目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1、掌握分式的四則運(yùn)算法則、運(yùn)算順序、運(yùn)算律；2、正確使用分式的四則運(yùn)算；3、掌握零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義和運(yùn)算；及小于1的科學(xué)計(jì)數(shù)法。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01分式的乘除知識(shí)點(diǎn)分式是分?jǐn)?shù)的擴(kuò)展，因此分式的運(yùn)算法則與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算法則類似：1）分式的乘法乘法法則：分式乘分式，用分子的積作為積的分子，分母的積作為積的分母．用式子表示為：．2）分式的除法除法法則：分式除以分式，把除式的分子、分母顛倒位置后與被除式相乘．用式子表示為：．3）分式的乘方乘方法則：分式的乘方，把分子、分母分別乘方．用式子表示為：為正整數(shù)，．【知識(shí)拓展1】分式的乘法例1．（2022·山東·泰安市八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】約去分子分母的公因式即可得到答案．【詳解】解：故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的乘法運(yùn)算和約分，掌握“約分即是約去分子分母的公因式”是解本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·湖南·新化縣八年級(jí)期中）計(jì)算：的正確結(jié)果是（

）A．2 B．2b C．-2b D．-2ab2【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘法運(yùn)算運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：,故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的乘除運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的乘除運(yùn)算法則．【知識(shí)拓展2】分式的除法例2．（2022·綿陽市八年級(jí)單元測(cè)試）化簡(jiǎn)，正確結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的除法進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：原式＝，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2.（2022·浙江·寧波外國(guó)語學(xué)校七年級(jí)期中）化簡(jiǎn)：÷＝_____．【答案】【分析】先進(jìn)行因式分解，把除法變成乘法，進(jìn)行約分即可．【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了分式的除法運(yùn)算，熟練掌握除法法則是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】分式的乘方例3．（2022·江西宜春·八年級(jí)期中）下列計(jì)算中，錯(cuò)誤的是(

)A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)分式的乘法法則計(jì)算，即可求解．【詳解】、，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B、，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；C、，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；D、，故本選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘方運(yùn)算，熟練掌握分式的乘方運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】3．（2022·湖南·新化縣東方文武學(xué)校八年級(jí)期末）計(jì)算分式得（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別給分子、分母運(yùn)用積的乘方運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘方，分式的乘方即給分子、分母分別乘方．【知識(shí)拓展4】分式的乘除乘方混合運(yùn)算例4．（2022·海南·儋州川綿中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先將除法改寫成乘法，在按照分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：==故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的混合運(yùn)算，先將除法改寫成乘法是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】4．（2022·湖北·京山市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先算乘方，再把除法變乘法，最后用乘法進(jìn)行運(yùn)算即可；（2）先把除法變乘法，再因式分解，約分即可；（3）先把除法變乘法，第一個(gè)式子和第二個(gè)式子先因式分解，再約分即可．（1）解：原式；（2）原式；（3）原式．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解，分式的化簡(jiǎn)，其中準(zhǔn)確使用公式是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)02分式的加減知識(shí)點(diǎn)1）分式的加減①同分母的分式相加減法則：分母不變，分子相加減．用式子表示為：．②異分母的分式相加減法則：先通分，變?yōu)橥帜傅姆质?，然后再加減．用式子表示為：．2）分式的混合運(yùn)算含有分式的乘方、乘除、加減的多種運(yùn)算叫做分式的混合運(yùn)算．混合運(yùn)算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減．有括號(hào)的，先算括號(hào)里的．注：上述所有計(jì)算中，結(jié)果中分子、分母可約分的，需進(jìn)行約分化為最簡(jiǎn)分式【知識(shí)拓展1】分式的加減（同分母）例1．（2022·山東·濟(jì)寧八年級(jí)階段練習(xí)）分式①；②；③中，計(jì)算結(jié)果是整式的序號(hào)_______．【答案】①③【分析】根據(jù)各項(xiàng)化簡(jiǎn)得到的結(jié)果，即可做出判斷．【詳解】解：①原式，滿足題意；②原式，不合題意；③原式，符合題意；則計(jì)算結(jié)果是整式的是：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法，熟練掌握運(yùn)算法則是解決本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】1．（2022·湖南·新化縣八年級(jí)期中）計(jì)算（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母分式的減法法則計(jì)算即可．【詳解】解：．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，同分母分?jǐn)?shù)加減法，分母不變，分子相加減．【知識(shí)拓展2】分式的加減（異分母）例2．（2022·江蘇連云港·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)1；(2)【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加法法則求出即可；（2）先把異分母的分式轉(zhuǎn)化成同分母的分式，再根據(jù)同分母分式的減法法則求出即可．（1）解：，===1；（2）解：.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減法則，能靈活運(yùn)用分式的加減法則進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2.（2022·浙江·七年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)，得（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】異分母分式加減法法則：把分母不相同的幾個(gè)分式化成分母相同的分式，叫做通分，經(jīng)過通分，異分母分式的加減就轉(zhuǎn)化為同分母分式的加減．【詳解】解：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減運(yùn)算．熟練掌握通分和分式的加減運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展3】分式的混合運(yùn)算例3．（2022·湖南長(zhǎng)沙·七年級(jí)階段練習(xí)）已知，其中，，，為常數(shù)，則______．【答案】6【分析】由于，利用這個(gè)等式首先把已知等式右邊通分化簡(jiǎn)，然后利用分母相同，分式的值相等即可得到分子相等，由此即可得到關(guān)于、、、的方程組，解方程組即可求解．【詳解】解：，且，當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，②

當(dāng)時(shí)，③∵,即∴④聯(lián)立解之得、、，．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了部分分式的計(jì)算，題目比較復(fù)雜，解題時(shí)首先正確理解題意，然后根據(jù)題意列出關(guān)于、、、的方程組即可解決問題．【即學(xué)即練】3．（2022·河北唐山·八年級(jí)期末）由值的正負(fù)可以比較與的大小，下列正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)， B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)， D．當(dāng)時(shí)，【答案】C【分析】將c=?3和0分別代入A中計(jì)算求值即可判斷出選項(xiàng)A，B的對(duì)錯(cuò)；當(dāng)c<?3和c<0時(shí)計(jì)算的正負(fù)，即可判斷出選項(xiàng)C，D的對(duì)錯(cuò)．【詳解】解：A選項(xiàng)，當(dāng)c=?3時(shí)，分式無意義，故該選項(xiàng)不符合題意；B選項(xiàng)，當(dāng)c=0時(shí)，，故該選項(xiàng)不符合題意；C選項(xiàng)，∵c<?3，∴3+c<0，c<0，∴3(3+c)<0，∴，∴，故該選項(xiàng)符合題意；D選項(xiàng)，當(dāng)c<0時(shí)，∵3(3+c)的正負(fù)無法確定，∴A與的大小就無法確定，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，分式的加減法，通過作差法比較大小是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展4】分式的化簡(jiǎn)求值例4．（2022·廣西貴港·八年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值(1)，其中；(2)，其中a滿足．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）先算括號(hào)，再算除法，能因式分解的先進(jìn)行因式分解，進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，再代值求解即可；（2）利用整體通分法，先算括號(hào)，再算除法進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用整體思想求值．【詳解】（1）解：原式；當(dāng)時(shí)，原式；（2）解：原式，∵，∴，當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查分式的化簡(jiǎn)求值．根據(jù)分式的運(yùn)算法則正確的進(jìn)行化簡(jiǎn)，是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2022·江蘇·八年級(jí)階段練習(xí)）先化簡(jiǎn)，再?gòu)末?≤a≤2中選取一個(gè)合適的整數(shù)代入求值．【答案】，a=1時(shí)，原式=【分析】根據(jù)分式的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再代入使分母有意義的值即可求解．【詳解】解：原式＝=＝＝∵a≠2，a≠0，a≠-1，a≠?2，且﹣2≤a≤2，a取整式，∴a＝1∴當(dāng)a=1時(shí)，原式＝【點(diǎn)睛】此題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟知分式的運(yùn)算法則，取值時(shí)忽略分母為0或被除式為0是解題的易錯(cuò)點(diǎn)．知識(shí)點(diǎn)03整數(shù)指數(shù)冪知識(shí)點(diǎn)【知識(shí)拓展1】零指數(shù)冪與負(fù)指數(shù)冪例1．（2022·廣西桂林·八年級(jí)期中）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵，注意零指數(shù)冪的結(jié)果為零．【即學(xué)即練1】1．（2022·湖南·新化縣東方文武學(xué)校八年級(jí)期中）計(jì)算：；【答案】【分析】根據(jù)化簡(jiǎn)絕對(duì)值，有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)冪，零次冪進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，掌握化簡(jiǎn)絕對(duì)值，有理數(shù)的乘方，負(fù)整數(shù)冪，零次冪是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】科學(xué)記數(shù)法表示除法例2．（2022·河北·廊坊市八年級(jí)階段練習(xí)）_____．【答案】【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的除法法則計(jì)算即可求解．【詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了單項(xiàng)式的除法，單項(xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式．【即學(xué)即練2】2．（2022·山東·煙臺(tái)市期中）福山新華書店新進(jìn)了一批圖書，甲、乙兩種書的進(jìn)價(jià)分別為4元/本、10元/本．現(xiàn)購(gòu)進(jìn)m本甲種書和n本乙種書，共付款Q元．(1)用含m，n的代數(shù)式表示Q；(2)若共購(gòu)進(jìn)5×104本甲種書及3×103本乙種書，用科學(xué)記數(shù)法表示Q的值；(3)若P=4×1012，求的值（結(jié)果用科學(xué)記數(shù)法表示）．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由總付款=甲書進(jìn)價(jià)×甲書數(shù)量+乙書進(jìn)價(jià)×乙書數(shù)量，即可求得Q．（2）將代入（1）式，計(jì)算化簡(jiǎn)后用科學(xué)記數(shù)法表示即可．(1)解：由題意得，；(2)解：將代入，得：；(3)解：．【點(diǎn)睛】本題考查了用字母表示數(shù)，同底數(shù)冪的乘法，除法，科學(xué)記數(shù)法，在解題中要注意正確計(jì)算以及代數(shù)式的正確書寫．【知識(shí)拓展3】科學(xué)記數(shù)法相關(guān)問題例3．（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)階段練習(xí)）某種細(xì)菌直徑約為0.00000067mm，若將0.00000067mm用科學(xué)記數(shù)法表示為mm（n為負(fù)整數(shù)），則n的值為（

）A．-5 B．-6 C．-7 D．-8【答案】C【詳解】解：∵0.00000067mm=6.7×10-7∴n=-7故選：C【即學(xué)即練3】3．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)大瀝謝邊南橋?qū)W校七年級(jí)期中）納米是一種長(zhǎng)度單位，它用來表示微小的長(zhǎng)度，1納米=米．某細(xì)胞的直徑是1000納米，用科學(xué)記數(shù)法表示該細(xì)胞的直徑為（

）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為的形式，其中，n為整數(shù)，確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值大于等于10時(shí)，n是正數(shù)，當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值小于1時(shí)n是負(fù)數(shù)；由此進(jìn)行求解即可得到答案．【詳解】解：米，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的定義．能力拓展能力拓展考法01分式的應(yīng)用【典例1】（2022·江蘇·鹽城市毓龍路實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）【生活觀察】甲、乙兩人買水果，甲習(xí)慣買一定質(zhì)量的水果，乙習(xí)慣買一定金額的水果，兩人每次買水果的單價(jià)相同，例如：第一次水果單價(jià)6元/千克質(zhì)量金額甲5千克30元乙5千克30元第二次：水果單價(jià)4元/千克質(zhì)量金額甲5千克元乙千克30元(1)完成上表；(2)計(jì)算甲兩次買水果的均價(jià)和乙兩次買水果的均價(jià)．（均價(jià)＝總金額÷總質(zhì)量）【數(shù)學(xué)思考】設(shè)甲每次買質(zhì)量為m千克的水果，乙每次買金額為n元的水果，兩次的單價(jià)分別是a元/千克、b元/千克，用含有m、n、a、b的式子，分別表示出甲、乙兩次買水果的均價(jià)、，比較、的大小，并說明理由．【知識(shí)遷移】某船在相距為s的甲、乙兩碼頭間往返航行一次．在沒有水流時(shí)，船的速度為v，所需時(shí)間為；如果水流速度為p時(shí)（p＜v），船順?biāo)叫兴俣葹椋╲+p），逆水航行速度為（v﹣p），所需時(shí)間為．請(qǐng)借鑒上面的研究經(jīng)驗(yàn)，比較、的大小，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)甲兩次買水果的均價(jià)為5元/千克，乙兩次買水果的均價(jià)為元/千克；數(shù)學(xué)思考：，，，理由見解析；知識(shí)遷移：，理由見解析【分析】（1）根據(jù)金額等于質(zhì)量乘以單價(jià)、質(zhì)量等于金額除以單價(jià)即可得；（2）根據(jù)均價(jià)＝總金額÷總質(zhì)量進(jìn)行計(jì)算即可得；數(shù)學(xué)思考：根據(jù)均價(jià)＝總金額÷總質(zhì)量分別求出、，再根據(jù)分式的減法法則計(jì)算，利用完全平方公式進(jìn)行化簡(jiǎn)即可得出答案；知識(shí)遷移：先根據(jù)時(shí)間等于路程除以速度分別求出，，再根據(jù)分式的減法法則計(jì)算，由此即可得．（1）解：甲第二次買水果的金額為（元），乙第二次買水果的質(zhì)量為（千克）．則完成表格如下：水果單價(jià)4元/千克質(zhì)量金額甲5千克20元乙千克30元（2）解：甲兩次買水果的均價(jià)為（元/千克），乙兩次買水果的均價(jià)為（元/千克）；數(shù)學(xué)思考：，，則即；知識(shí)遷移：由題意可知，，，則，，，，即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減運(yùn)算和完全平方公式在計(jì)算中的應(yīng)用，本題計(jì)算量較大，熟練掌握均價(jià)＝總金額÷總質(zhì)量的基本計(jì)算方法是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·全國(guó)·八年級(jí)單元測(cè)試）某飛行器在相距為m的甲、乙兩站間往返飛行．在沒有風(fēng)時(shí)，飛行器的速度為v，往返所需時(shí)間為；如果風(fēng)速度為，則飛行器順風(fēng)飛行速度為，逆風(fēng)飛行速度為，往返所需時(shí)間為．則、的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．無法確定【答案】A【分析】直接根據(jù)題意表示出，的值，進(jìn)而利用分式的性質(zhì)的計(jì)算求出答案．【詳解】解：∵=，=，∴==，∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了列代數(shù)式，熟練的掌握正確的分式加減運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·四川成都·八年級(jí)期中）如圖，“豐收1號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為a米的正方形減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1米的正方形蓄水池后余下的部分，“豐收2號(hào)”小麥的試驗(yàn)田是邊長(zhǎng)為米的正方形，兩塊試驗(yàn)田的小麥都收獲了m千克．則高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量多幾分之幾？多的這個(gè)值是______．【答案】【分析】先用含a的式子表示出兩塊試驗(yàn)田的面積，再由高產(chǎn)量的減去低產(chǎn)量，從而可求解．【詳解】解：由題意得：“豐收1號(hào)”的單位面積產(chǎn)量為：，“豐收2號(hào)”的單位面積產(chǎn)量為：，∴，即高的單位面積產(chǎn)量比低的單位面積產(chǎn)量多．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意列出正確的式子求解．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·湖南衡陽·八年級(jí)期末）計(jì)算的結(jié)果是（）A． B． C． D．0【答案】C【分析】根據(jù)分式的乘法運(yùn)算法則來求解．【詳解】解：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式乘法的運(yùn)算法則，理解約分是解答關(guān)鍵．2.（2022·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）計(jì)算的結(jié)果為（

）A． B．m C． D．【答案】A【分析】直接進(jìn)行分式的除法運(yùn)算，把除法轉(zhuǎn)為乘法后，最后要注意將結(jié)果進(jìn)行約分．【詳解】解：，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的除法，熟練掌握分式的除法法則是解題的關(guān)鍵．3．（2022·湖南·岳陽縣八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：，結(jié)果為（）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同分母分式相加減法則計(jì)算，即可求解．【詳解】解：故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了同分母分式相加減，熟練掌握同分母分式相加減法則是解題的關(guān)鍵．4．（2022·海南·八年級(jí)期末）化簡(jiǎn)

的結(jié)果是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)異分母分式加減運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異分母分式相減，解題的關(guān)鍵是對(duì)分式進(jìn)行通分，將異分母分式變?yōu)橥帜阜质剑?．（2022·湖南·新化縣八年級(jí)期中）2010年，國(guó)外科學(xué)家成功制造出世界上最小的晶體管，只有，請(qǐng)用科學(xué)記數(shù)法表示它的長(zhǎng)度（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為整數(shù)，據(jù)此判斷即可．【詳解】解：．故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，為由原數(shù)左邊起第一個(gè)不為零的數(shù)字前面的的個(gè)數(shù)所決定，確定與的值是解題的關(guān)鍵．6．（2022·山東青島·八年級(jí)期末）某書店庫存一批圖書，其中一種圖書的原價(jià)是每?jī)?cè)元，現(xiàn)每?jī)?cè)降價(jià)元銷售，則這種圖書庫存全部售出時(shí)，其銷售額為元，從降價(jià)銷售開始時(shí)，該書店這種圖書的庫存量是（

）冊(cè)．A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)量＝銷售額÷單價(jià)，從而可列式求解．【詳解】解：這種圖書的庫存量是：（冊(cè)），故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，得到相應(yīng)的等量關(guān)系．7．（2022·四川·仁壽八年級(jí)期中）計(jì)算：＝____________________．【答案】【分析】先把除法轉(zhuǎn)變?yōu)槌朔?，再根?jù)乘法法則計(jì)算．【詳解】解：==．故答案案為．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的乘除混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．（2022·廣西貴港·八年級(jí)期中）計(jì)算：________．【答案】##-0.5【分析】先算乘方，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪，再進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：原式；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的乘方運(yùn)算，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪．熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第八十七中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母乘以（或除以）同一個(gè)不為的整式，分式的值不變，進(jìn)行約分即可；（2）根據(jù)分式的加減法運(yùn)算法則：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)分式的加減法運(yùn)算法則：異分母分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质剑偌訙p，即可得出結(jié)果．（1）解：；（2）解：；（3）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)、分式的加減法，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握分式的加減法法則．10．（2022·福建福州九年級(jí)開學(xué)考試）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x＝3．【答案】，3．【分析】先算括號(hào)內(nèi)的減法，把除法變成乘法，算乘法，最后代入求出即可．【詳解】解：＝＝＝，當(dāng)x＝3時(shí)，原式＝＝3．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算和求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)是解此題的關(guān)鍵．11．（2022·山東威?！て谥校┫然?jiǎn)，再求值：，其中．【答案】，【分析】先將括號(hào)內(nèi)的通分加減，再根據(jù)除以不為零的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，最后約分化簡(jiǎn)即可，把的值代入即可求解．【詳解】解：原式，將代入，得．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡(jiǎn)求值，掌握乘法公式在分式中的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．題組B能力提升練1．（2022·山東·新泰市八年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)結(jié)合乘法公式化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)，乘法公式，熟知分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川·隆昌市知行中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，進(jìn)而根據(jù)分式的性質(zhì)計(jì)算即可【詳解】故選B【點(diǎn)睛】本題考查了分式的性質(zhì)，冪的運(yùn)算，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．3．（2022·河北邢臺(tái)·八年級(jí)階段練習(xí)）若分式“”可以進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，則“○”不可以是（

）A．1 B．x C． D．4【答案】C【分析】將1，x，-x，4，逐一代替“○”，分解因式后可以約分化簡(jiǎn)的不合題意，不可以約分化簡(jiǎn)的符合題意．【詳解】A．，可以進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，“○”可以是1，不合題意；B．，可以進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，“○”可以是x，不合題意；C．，不可以進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，“○”不可以是-x，合題意；D．，可以進(jìn)行約分化簡(jiǎn)，“○”可以是4，不合題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的乘法，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握分解因式，約分化簡(jiǎn)．4．（2022·黑龍江·蘭西縣八年級(jí)階段練習(xí)）一件工程甲單獨(dú)做小時(shí)完成，乙單獨(dú)做小時(shí)完成，甲、乙二人合作完成此項(xiàng)工作需要的小時(shí)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】甲、乙合作完成工程的時(shí)間=工作總量÷甲乙工效之和，沒有工作總量，可設(shè)其為1，所以甲、乙合做此項(xiàng)工程所需的時(shí)間為1÷（）=小時(shí)．【詳解】設(shè)工作量為1，由甲1小時(shí)完成，乙1小時(shí)完成，因此甲、乙合作此項(xiàng)工程所需的時(shí)間為1÷（）=小時(shí)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了利用列代數(shù)式（分式），分式的加減乘除運(yùn)算，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量與已知量間的關(guān)系．5．（2022·山東·泰安市泰山區(qū)樹人外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）學(xué)完分式運(yùn)算后，老師出了一道題：化簡(jiǎn)．小明的做法是：原式；小亮的做法是：原式；小芳的做法是：原式．對(duì)于這三名同學(xué)的做法，你的判斷是（

）A．小明的做法正確 B．小亮的做法正確C．小芳的做法正確 D．三名同學(xué)的做法都不正確【答案】C【分析】小明的做法錯(cuò)誤，原因是在把分子相減時(shí)，去括號(hào)沒有改變符號(hào)，而且選擇的方法也不是很合適，小亮的做法錯(cuò)誤，分式的加減運(yùn)算不能去分母，應(yīng)該先通分，小芳的做法是正確的，選擇的方法是合適的，從而可得答案．【詳解】解：∵∴小明與小亮的做法錯(cuò)誤，小芳的做法正確，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的加減運(yùn)算，掌握“異分母分式的加減運(yùn)算的運(yùn)算法則”是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·江蘇·七年級(jí)期末）已知一種細(xì)胞的直徑約為2.13×cm，請(qǐng)問2.13×這個(gè)數(shù)原來的數(shù)是_____．【答案】【分析】利用絕對(duì)值小于1的數(shù)的科學(xué)記數(shù)法的表示方法的逆運(yùn)算求解即可．【詳解】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目考查絕對(duì)值小于1的數(shù)的科學(xué)記數(shù)法的表示方法的逆運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．7．（2022·陜西·西北大學(xué)附中八年級(jí)期中）若，則_________，_________．【答案】

2

1【分析】根據(jù)同分母分式的加減計(jì)算，再按對(duì)應(yīng)項(xiàng)相同可得答案．【詳解】解：∴A=2，B=1故答案為：2，1．【點(diǎn)睛】本題考查分式的加減，解題關(guān)鍵是掌握分式加法的運(yùn)算法則．8．（2022·北京市八年級(jí)期中）老師所留的作業(yè)中有這樣一個(gè)分式的計(jì)算題，甲、乙兩位同學(xué)完成的過程分別如下：甲同學(xué)：=

第一步=

第二步=

第三步乙同學(xué)：=

第一步=

第二步=

第三步老師發(fā)現(xiàn)這兩位同學(xué)的解答過程都有錯(cuò)誤．(1)請(qǐng)你從甲、乙兩位同學(xué)中，選擇一位同學(xué)的解答過程，幫助他分析錯(cuò)因，并加以改正．我選擇______同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析（填“甲”或“乙”）．該同學(xué)的解答從第____步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是_______；(2)請(qǐng)重新寫出完成此題的正確解答過程：【答案】(1)甲，一，通分時(shí)第一個(gè)分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；(2)【分析】（1）根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則即可判斷；（2）根據(jù)分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則重新計(jì)算可得．（1）我選擇甲同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析，該同學(xué)的解答從第一步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是通分時(shí)第一個(gè)分式的分子少乘了x-1；或我選擇乙同學(xué)的解答過程進(jìn)行分析，該同學(xué)的解答從第二步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是直接去掉分母；故答案為：甲，一，通分時(shí)第一個(gè)分式的分子少乘了x-1；（或乙，二，直接去掉分母）；（2）(選甲為例）===【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．9．（2022·廣西寧明·七年級(jí)期末）課堂上，李老師給大家出了這樣一道題：“當(dāng)、、時(shí)，求代數(shù)式的值．”小明一看，“太復(fù)雜了，怎么算呢？”你能幫小明解決這個(gè)問題嗎？請(qǐng)你寫出具體過程．【答案】當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，然后代入求值即可．【詳解】原式＝＝＝＝＝＝，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，熟練運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．10．（2022·浙江·八年級(jí)單元測(cè)試）先閱讀后思考：克糖水中有克糖，且，則糖與糖水的質(zhì)量比為，如果再加克糖，則糖與糖水的質(zhì)量比為，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們：添加糖后，糖水會(huì)更甜，于是有，趣稱“糖水不等式”．請(qǐng)你思考：若能從克糖水中提煉出克糖，則糖水會(huì)變得沒有原來甜，你能得出另外的“糖水不等式”嗎？【答案】【分析】根據(jù)已知條件得出從克糖水中提煉出克糖，則糖與糖水得質(zhì)量比為，再根據(jù)糖水會(huì)變得沒有原來甜得出不等式即可．【詳解】解：從克糖水中提煉出克糖，則糖與糖水的質(zhì)量比為．糖水會(huì)變得沒有原來甜，．【點(diǎn)睛】本題考查了分式的大小比較，能正確根據(jù)題意列出不等式是解決本題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·山東威?！て谥校┰O(shè)，，則，的關(guān)系是(

)A． B．C． D．【答案】C【分析】判斷，的關(guān)系，可以計(jì)算的結(jié)果，由此即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得，，∴，的關(guān)系是互為相反數(shù)，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的加減混合運(yùn)算，掌握分式加減法法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022·湖南·邵陽市八年級(jí)階段練習(xí)）已，則的值是__________．【答案】4【分析】先把等式的右邊通分作分式加法計(jì)算，再根據(jù)對(duì)應(yīng)系數(shù)相等即可得出關(guān)于、、的方程組，求出方程組的解，即可得出答案．【詳解】解：，，，，解得，，．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題考查了分式的加減，根據(jù)恒等式的意義得出關(guān)于、、的方程組是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東·嶧城區(qū)八年級(jí)階段練習(xí)）一船在河流上游A港順流而下直達(dá)B港，用一個(gè)小時(shí)將貨物裝船后返航，已知船在靜水中的速度是50千米/時(shí)，水流速度是x千米/時(shí)，A、B兩地距離為S千米，則該船從A港出發(fā)到返回A港共用多少時(shí)間？______．（只需列式表示，不必化簡(jiǎn)）【答案】時(shí)【分析】根據(jù)題意得：船順流航行的速度為千米/時(shí)，逆流航行的速度為千米/時(shí)，可得到順流航行和逆流航行的時(shí)間，即可求解．【詳解】解：根據(jù)題意得：船順流航行的速度為千米/時(shí)，逆流航行的速度為千米/時(shí)，所以該船從A港出發(fā)到返回A港共用的時(shí)間為時(shí)．故答案為：時(shí)【點(diǎn)睛】本題考查列分式表示實(shí)際問題，理解題意，掌握列分式的基本規(guī)則是解題關(guān)鍵．4．（2022·江蘇·南通八年級(jí)階段練習(xí)）對(duì)x，y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T（x，y）＝axy+bx﹣4（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：T（0，1）＝a×0×1+b×0﹣4＝﹣4．若T（2，1）＝2，T（﹣1，2）＝﹣8．(1)求a，b的值；(2)若T（m，n）＝0（n≠﹣2），①用含n的代數(shù)式表示m；②若m、n均取整數(shù)，求m、n的值；③當(dāng)n取s、t時(shí)，m對(duì)應(yīng)的值為c、d．當(dāng)t＜s＜﹣2時(shí)，試比較c、d的大?。敬鸢浮?1)的值為1，的值為2(2)①；②或或或或或；③【分析】（1）根據(jù)新運(yùn)算的定義和可得一個(gè)關(guān)于的二元一次方程組，解方程組即可得；（2）①先根據(jù)和（1）的結(jié)論即可得；②根據(jù)（2）①可得，再根據(jù)均取整數(shù)進(jìn)行分析即可得；③先求出，，再根據(jù)分式的減法法則可得，然后根據(jù)即可得．（1）解：，，解得，即的值為1，的值為2．（2）解：①由（1）可知，，，，；②由（2）①可知，，取整數(shù)，是