八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講義（人教版）：因式分解（學(xué)生版）

專題14.3因式分解目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航1、了解因式分解的意義，以及它與整式乘法的關(guān)系；2、能確定多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，會(huì)用提公因式法將多項(xiàng)式分解因式；3、能運(yùn)用平方差公式、完全平方公式把簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解；4、會(huì)綜合運(yùn)用提公因式法和公式法（平方差、完全平方）把多項(xiàng)式分解因式；5、熟練掌握首項(xiàng)系數(shù)為1的形如x2+(p+q)x+pq型的二次三項(xiàng)式的因式分解；6、熟練掌握好簡(jiǎn)單的分組分解法。知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)01因式分解知識(shí)點(diǎn)1.因式分解的概念定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成了幾個(gè)整式的積的形式，這樣的式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2.因式分解的方法1）因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；注意:挖掘隱含公因式;有時(shí)，公因式有顯性完全相同類型，也有隱性互為相反數(shù)的類型。提取公因數(shù)時(shí)，最好能一次性提取完。②運(yùn)用公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)注意：對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解中，當(dāng)公式法不能匹配時(shí)，十字相乘就是我們的首選方法。④分組分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)一般地，分組分解分為三步：1）將原式的項(xiàng)適當(dāng)分組；2）對(duì)每一組進(jìn)行處理（因式分解）；3）將經(jīng)過處理后的每一組當(dāng)作一項(xiàng)，再進(jìn)行分解。注：分組方法往往不唯一，但殊途同歸。有時(shí)，分組不當(dāng)會(huì)導(dǎo)致因式分解無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行，此刻切不可氣餒，可再嘗試新的分組方法，也許“驚喜”就在后面。3.因式分解的一般步驟①如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提取公因式。②在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒有公因式的情況下，觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)：2項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法分解因式；3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式；4項(xiàng)式及以上的可以嘗試分組分解法分解因式③分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。【知識(shí)拓展1】因式分解的概念及意義例1．（2022·深圳市龍崗區(qū)八年級(jí)期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（??）A． B．C． D．【即學(xué)即練】1．（2022·山東·初二期中）已知多項(xiàng)式x2+ax﹣6因式分解的結(jié)果為（x+2）（x+b），則a+b的值為（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．42．（2022·沙坪壩·重慶南開中學(xué)）在中，若有一個(gè)因式為，則k的值為（）A．2 B． C．6 D．【知識(shí)拓展2】提公因式法例2．（2022·陜西榆林·八年級(jí)期末）用提公因式法分解因式時(shí)，應(yīng)提取的公因式是（）A． B． C． D．【即學(xué)即練】3．（2022·江蘇常州·期中）把多項(xiàng)式-16x3+40x2y提出一個(gè)公因式-8x2后，另一個(gè)因式是______．4.（2022·山西平定·期中）因式分解：（x+2）x﹣x﹣2=_____．【知識(shí)拓展3】公式法例3．（2022·江蘇沭陽(yáng)·期中）把下列各式因式分解：（1）（2）【即學(xué)即練3】5．（2022·浙江上虞·）下列多項(xiàng)式：①；②；③；④；⑤．能用公式法分解因式的是（）A．①③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②③④⑤6．（2022·河北永年·期末）下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（）A． B． C． D．【知識(shí)拓展4】十字相乘法例4．（2022·四川·八年級(jí)期中）由整式的乘法運(yùn)算法則可得由于我們道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得．通過觀察可如可把中的著作是未知數(shù)．、、、在作常數(shù)的二次三項(xiàng)式：通過觀察可知此種因式分解是把二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸鈦?lái)湊一次項(xiàng)的系數(shù)．此分解過程可以用十字相乘的形式形象地表示成如圖，此分解過程可形象地表述為“堅(jiān)乘得首、尾，叉乘湊中項(xiàng)，這種分解的方法稱為十字相乘法．如：將二次三項(xiàng)式的二項(xiàng)式系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)分別進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖，則．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：(1)用十字相乘法因式分解：；(2)用十字相乘法因式分解：；(3)結(jié)合本題知識(shí)，因式分解：．【即學(xué)即練4】7．（2022·江西撫州·八年級(jí)期中）分解因式：___________．8．（2022·廣東·揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解．例如：將式子x2＋3x＋2因式分解．分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2＝1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問題：(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；(2)填空：若x2＋px－8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)p的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；【知識(shí)拓展5】分組分解法例5．（2022·綿陽(yáng)市八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）（1）（______）（______）（______）（______）（______）；（2）（______）（______）（______）（______）（______）（______）（______）；（3）在多項(xiàng)式①；②；③；④中，能用分成三項(xiàng)一組和一項(xiàng)一組的方法分解因式的是（只寫式子序號(hào)）________．【即學(xué)即練5】9．（2022·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期中）先閱讀下列材料：我們已經(jīng)學(xué)過將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法、十字相乘法等等．分組分解法：將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：拆項(xiàng)法：將一個(gè)多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法．如：請(qǐng)你仿照以上方法，探索并解決下列問題：(1)分解因式：；(2)分解因式：；(3)若三邊、、滿足，試判斷的形狀．10．（2022·廣東揭陽(yáng)·八年級(jí)期末）閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來(lái)分解用提公因式法和公式法無(wú)法直接分解的多項(xiàng)式，比如：四項(xiàng)的多項(xiàng)式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進(jìn)行分組分解．例1：“兩兩分組”：解：原式例2：“三一分組”：解：原式歸納總結(jié)：用分組分解法分解因式要先恰當(dāng)分組，然后用提公因式法或運(yùn)用公式法繼續(xù)分解．請(qǐng)同學(xué)們?cè)陂喿x材料的啟發(fā)下，解答下列問題：(1)分解因式：①；②；(2)已知的三邊a，b，c滿足，試判斷的形狀．【知識(shí)拓展6】因式分解的應(yīng)用例6.（2022·沙坪壩·課時(shí)練習(xí)）若正整數(shù)是4的倍數(shù)，那么規(guī)定正整數(shù)為“四季數(shù)”，例如：64是4的倍數(shù)，所以64是“四季數(shù)”．（1）已知正整數(shù)是任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差，求證：是“四季數(shù)”；（2）已知一個(gè)兩位正整數(shù)（，其中，為自然數(shù)），將其個(gè)位上的數(shù)字與十位上的數(shù)字交換，得到新數(shù)，若與的差是“四季數(shù)”，請(qǐng)求出所有符合條件的兩位正整數(shù)．【即學(xué)即練5】11．（2022·江蘇南京·初一期中）如圖，正方形紙片甲、丙的邊長(zhǎng)分別是a、b，長(zhǎng)方形紙片乙的長(zhǎng)和寬分別為a和b（a＞b）．現(xiàn)有這三種紙片各6張，取其中的若干張（三種圖形都要取到）拼成一個(gè)新的正方形，拼成的不同正方形的個(gè)數(shù)為_____．12.（2022?乳山市期中）【閱讀材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．【問題解決】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個(gè)整數(shù)的平方．能力拓展能力拓展考法01利用因式分解求值【典例1】（2022·廣東·平洲一中八年級(jí)階段練習(xí)）已知，則代數(shù)式的值為（

）A．2020 B．2024 C．2021 D．2034變式1．（2022·甘肅·臨澤二中八年級(jí)期末）已知a?b=3，ab=2，則的值為____________．變式2．（2022?淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．考法02利用因式分解判斷三角形的形狀【典例2】（2022·湖南天元·初一開學(xué)考試）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無(wú)法分解，如，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了。過程為：；這種分解因式的方法叫做分組分解法，利用這種方法解決下列問題：（1）分解因式：；（2）三邊a，b，c滿足，判斷的形狀.變式1．（2022·河北河間·初二期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無(wú)法分解,如,我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn),前兩項(xiàng)符合平方差公式,后兩項(xiàng)可提取公因式,前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式,然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了,過程為：，這種分解因式的方法叫分組分解法，利用這種方法解決下列問題．(1)分解因式：；(2)△ABC三邊a、b、c滿足，判斷△ABC的形狀．變式2．（2022·廣東龍崗·初二期中）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多項(xiàng)式只單純用上述方法就無(wú)法分解，如x2﹣2xy+y2﹣16，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子，會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合，再應(yīng)用平方差公式進(jìn)行分解．過程如下：x2﹣2xy+y2﹣16＝（x﹣y）2一16＝（x﹣y+4）（x﹣y﹣4）這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：（1）9a2+4b2﹣25m2﹣n2+12ab+10mn；（2）已知a、b、c分別是△ABC三邊的長(zhǎng)且2a2+b2+c2﹣2a（b+c）＝0，請(qǐng)判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·隆昌市知行中學(xué)月考）下列從左邊到右邊的變形，是因式分解的是（）A． B．C． D．2．（2022·四川武侯·）把多項(xiàng)式a3b4﹣abnc因式分解時(shí)，提取的公因式是ab4，則n的值可能為（）A．5 B．3 C．2 D．13．（2022·浙江杭州·七年級(jí)期中）下列各式中，能用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）A． B． C． D．4.（2022·全國(guó)七年級(jí)專題練習(xí)）下列各式不能運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解的是（）A．B．C．D．5．（2022·貴州·仁懷市周林學(xué)校八年級(jí)期末）若，，則___．6．（2022·貴陽(yáng)初二期末）已知，，則代數(shù)式的值是________．8．（2021·常德市淮陽(yáng)中學(xué)初一期中）若多項(xiàng)式可以因式分解成，那么a=_____．6．（2021·湖南荷塘·七年級(jí)期末）分解因式：_________．7．（2022·重慶北碚·八年級(jí)開學(xué)考試）因式分解：（1）x2+5x﹣6．（2）x3﹣4xy2．8．（2022·山西呂梁·八年級(jí)期末）閱讀以下材料，并解決問題：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項(xiàng)式則不能直接用上述兩種方法進(jìn)行分解，比如多項(xiàng)式．．這樣我們就需要結(jié)合式子特點(diǎn)，探究新的分解方法．仔細(xì)觀察這個(gè)四項(xiàng)式，會(huì)發(fā)現(xiàn)：若把它的前兩項(xiàng)結(jié)合為一組符合平方差公式特點(diǎn)，把它的后兩項(xiàng)結(jié)合為一組可提取公因式，而且對(duì)前后兩組分別進(jìn)行因式分解后會(huì)出現(xiàn)新的公因式，提取新的公因式就可以完成對(duì)整個(gè)式子的因式分解．具體過程如下：例1：……分成兩組………………分別分解………提取公因式完成分解像這種將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，進(jìn)行分解因式的方法叫做分組分解法．分組分解法一般是針對(duì)四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，關(guān)鍵在恰當(dāng)分組，分組須有“預(yù)見性”，預(yù)見下一步能繼續(xù)分解，直到完成分解．(1)材料例1中，分組的目的是_________________．(2)若要將以下多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，怎樣分組比較合適？__________________；__________________．(3)利用分組分解法進(jìn)行因式分解：．9．（2022·重慶·八年級(jí)階段練習(xí)）因式分解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)．10．（2022·江西撫州·八年級(jí)期末）閱讀與思考：分組分解法指通過分組分解的方式來(lái)分解用提公因式法和公式法無(wú)法直接分解的多項(xiàng)式，比如：四項(xiàng)的多項(xiàng)式一般按照“兩兩”分組或“三一”分組，進(jìn)行分組分解．例1：“兩兩分組”：解：原式例2：“三一分組”：解：原式歸納總結(jié)：用分組分解法分解因式要先恰當(dāng)分組，然后用提公因式法或運(yùn)用公式法繼續(xù)分解．請(qǐng)同學(xué)們?cè)陂喿x材料的啟發(fā)下，解答下列問題：（1）分解因式：①；②；（2）已知的三邊滿足，試判斷的形狀．題組B能力提升練1．（2022·安徽合肥·七年級(jí)期末）若多項(xiàng)式可分解為，且，，均為整數(shù)，則的值是（）A．2 B．4 C． D．1．（2022·山東沂源·初二期中）設(shè)a，b，c是的三條邊，且，則這個(gè)三角形是A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形2．（2022·樹德中學(xué)期中）如果，，那么______.3．（2022·張家界市民族中學(xué)初一期末）甲、乙兩個(gè)同學(xué)分解因式x2+ax+b時(shí)，甲看錯(cuò)了b，分解結(jié)果為(x+2)(x+4)；乙看錯(cuò)了a，分解結(jié)果為(x+1)(x+9)，則a-b的值是__________．4．（2022·江蘇金壇·七年級(jí)期末）因式分解：__________．5．（2022·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下面材料完成分解因式．型式子的因式分解．這樣，我們得到．利用上式可以將某些二鎰項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式分解因式．例把分解因式分析：中的二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)，一次項(xiàng)系數(shù)，這是一個(gè)型式子．解：請(qǐng)仿照上面的方法將下列多項(xiàng)式分解因式．(1)(2)6．（2022·湖南岳陽(yáng)·七年級(jí)期末）閱讀理解題由多項(xiàng)式乘法：，將該式從右到左使用，即可進(jìn)行因式分解的公式：．示例：分解因式：．分解因式：．多項(xiàng)式的特征是二次項(xiàng)系數(shù)為1，常數(shù)項(xiàng)為兩數(shù)之積，一次項(xiàng)系數(shù)為這兩數(shù)之和．（1）嘗試：分解因式：（______）（______）；（2）應(yīng)用：請(qǐng)用上述方法將多項(xiàng)式：、進(jìn)行因式分解．7．（2022·重慶·八年級(jí)專題練習(xí)）觀察猜想：如圖，大長(zhǎng)方形是由四個(gè)小長(zhǎng)方形拼成的，請(qǐng)根據(jù)此圖填空：說(shuō)理驗(yàn)證：事實(shí)上，我們也可以用如下方法進(jìn)行變形：于是，我們可以利用上面的方法進(jìn)行多項(xiàng)式的因式分解．嘗試運(yùn)用：例題把分解因式．解：．請(qǐng)利用上述方法將下列多項(xiàng)式分解因式：（1）；（2）．8．（2022·廣東河源·八年級(jí)期末）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法．但有更多的多項(xiàng)式只用上述方法就無(wú)法分解，如，我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公因式，前后兩部分分別分解因式后會(huì)產(chǎn)生公因式，然后提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式了．過程為：．這種分解因式的方法叫分組分解法．利用這種方法解決下列問題：(1)分解因式；(2)已知：，．求：的值．(3)三邊a，b，c滿足，判斷的形狀．9．（2022·河北滄州·七年級(jí)期末）閱讀下列材料：因式分解的常用方法有提公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式僅用上述方法就無(wú)法分解，如．我們細(xì)心觀察這個(gè)式子就會(huì)發(fā)現(xiàn)，前三項(xiàng)符合完全平方公式，進(jìn)行變形后可以與第四項(xiàng)結(jié)合再運(yùn)用平方差公式進(jìn)行分解．過程如下：．這種因式分解的方法叫分組分解法．利用這種分組的思想方法解決下列問題：(1)因式分解：；(2)因式分解：；(3)△ABC三邊a、b、c滿足，判斷△ABC的形狀并說(shuō)明理由．10．（2022·山東章丘·初二期末）閱讀下面的材料：常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解．如x2－4y2－2x＋4y，細(xì)心觀察這個(gè)式子，會(huì)發(fā)現(xiàn)前兩項(xiàng)符合平方差公式，后兩項(xiàng)可提取公園式，前、后兩部分分別分解因式后又出現(xiàn)新的公因式，提取公因式就可以完成整個(gè)式子的分解因式．具體過程如下：x2－4y2－2x＋4y＝(x2－4y2)－(2x－4y)＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．像這種將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后，進(jìn)行分解因式的方法叫做分組分解法．利用分組分解法解決下面的問題：（1）分解因式：x2－2xy＋y2－4：（2）已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足a2－ab－ac＋bc＝0，判斷△ABC的形狀并說(shuō)明理由．11．（2022·山東平陰·）王老師安排喜歡探究問題的小明同學(xué)解決某個(gè)問題前，先讓小明看了一個(gè)有解答過程的例題．例：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0．即：（m＋n）2＋（n－3）2＝0，∴m＋n＝0，n－3＝0，∴m＝－3，n＝3．為什么要對(duì)2n2進(jìn)行了拆項(xiàng)呢？聰明的小明理解了例題解決問題的方法，很快解決了下面兩個(gè)問題．相信你也能很好的解決下面的這兩個(gè)問題，請(qǐng)寫出你的解題過程．（1）若x2－4xy＋5y2＋2y＋1＝0，求xy的值；（2）已知a、b、c是等腰△ABC的三邊長(zhǎng)，且滿足a2－10a＋b2－12b＋61＝0，求此三角形的周長(zhǎng)．12．（2022·河南鄭州初二期中）閱讀理解：對(duì)于一些次數(shù)較高或者是比較復(fù)雜的式子進(jìn)行因式分解時(shí)，換元法是一種常用的方法，下面是某同學(xué)用換元法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的過程.解：設(shè)原式（第一步）（第二步）（第三步）（第四步）回答下列問題：（1）該同學(xué)第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的__________（填代號(hào)）．A．提取公因式B．平方差公式C．兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式（2）按照“因式分解，必須進(jìn)行到每一個(gè)多項(xiàng)式因式都不能再分解為止”的要求，該多項(xiàng)式分解因式的最后結(jié)果為______________．（3）請(qǐng)你模仿以上方法對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·山東東平縣月考）對(duì)于任何整數(shù)m，多項(xiàng)式都能被（）整除．A．8 B．m C． D．2．（2022·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)初一期末）已知a、b、c是正整數(shù)，a＞b，且a2-ab-ac+bc=11，則a-c等于（）A． B．或 C．1 D．1或113．（2022·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校）閱讀下面材料：分解因式：．因?yàn)椋O(shè)．比較系數(shù)得，．解得．所以．解答下面問題：在有理數(shù)范圍內(nèi)，分解因式________．4．（2022·河南太康·期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，則多項(xiàng)式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值為_____．5．（2022·山東薛城·八年級(jí)期末）整式乘法與多項(xiàng)式因式分解是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩種變形．例如，是單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則；把這個(gè)法則反過來(lái)，得到，這是運(yùn)用提取公因式法把多項(xiàng)式因式分解．又如、是多項(xiàng)式的乘法公式；把這些公式反過來(lái)，得到、，這是運(yùn)用公式法把多項(xiàng)式因式分解．有時(shí)在進(jìn)行因式分解時(shí)，以上方法不能直接運(yùn)用，觀察甲、乙兩名同學(xué)的進(jìn)行的因式分解．甲：（分成兩組）（分別提公因式）乙：（分成兩組）（運(yùn)用公式）請(qǐng)你在他們解法的啟發(fā)下，完成下面的因式分解問題一：因式分解：（1）；（2）．問題二：探究對(duì)、定義一種新運(yùn)算，規(guī)定：（其中，均為非零常數(shù)）．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有理數(shù)、都成立，試探究，的數(shù)量關(guān)系．6．（2022·貴州銅仁·七年級(jí)期中）(1)【閱讀與思考】整式乘法與因式分解是方向相反的變形．如何把二次三項(xiàng)式分解因式呢？我們已經(jīng)知道：．反過來(lái)，就得到：．我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式的二次項(xiàng)的系數(shù)分解成，常數(shù)項(xiàng)分解成，并且把，，，，如圖1所示擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次項(xiàng)系數(shù)，那么就可以分解為，其中，位于圖的上一行，，位于下一行．像這種借助畫十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．例如，將式子分解因式的具體步驟為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即，把常數(shù)項(xiàng)也分解為兩個(gè)因數(shù)的積，即；然后把1，1，2，按圖2所示的擺放，按對(duì)角線交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)，于是就可以分解為．請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：__________．(2)【理解與應(yīng)用】請(qǐng)你仔細(xì)體會(huì)上述方法并嘗試對(duì)下面兩個(gè)二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：①

__________；②

__________．(3)【探究與拓展】對(duì)于形如的關(guān)于，的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來(lái)分解，如圖4．將分解成乘積作為一列，分解成乘積作為第二列，分解成乘積作為第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式，請(qǐng)你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：①

分解因式__________；②

若關(guān)于，的二元二次式可以分解成兩個(gè)一次因式的積，求的值．7．（2022·陜西金臺(tái)·八年級(jí)期末）閱讀下列材料：材料1：將一