福建省寧德市霞浦縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

福建省寧德市霞浦縣第二中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.有如下幾個說法：①如果,是方程的兩個實(shí)根且，那么不等式的解集為{x∣};②當(dāng)Δ＝時(shí)，二次不等式的解集為;③與不等式的解集相同；④與的解集相同.其中正確說法的個數(shù)是(

)A．3

B．2

C．1

D．0參考答案：D2.設(shè)△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，則這個三角形的形狀是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形C．等腰直角三角形 D．等邊三角形參考答案：D【考點(diǎn)】數(shù)列與三角函數(shù)的綜合；三角形的形狀判斷．【分析】先由△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求得∠B=60°，∠A+∠C=120°①；再由sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，得sin2B=sinA?sinC，②，①②結(jié)合即可判斷這個三角形的形狀．【解答】解：∵△ABC的三內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，∴∠B=60°，∠A+∠C=120°①；又sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列，∴sin2B=sinA?sinC=，②由①②得：sinA?sin=sinA?（sin120°cosA﹣cos120°sinA）=sin2A+?=sin2A﹣cos2A+=sin（2A﹣30°）+=，∴sin（2A﹣30°）=1，又0°＜∠A＜120°∴∠A=60°．故選D．3.數(shù)列滿足，，且，記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則等于（ ）A.294 B.174 C.470 D.304參考答案：D由得,所以數(shù)列為等差數(shù)列，因此,因此,,選D.

4.函數(shù)y=x2－lnx的單調(diào)遞減區(qū)間為（

）A．(－1,1]

B．(0,1] C．[1,+∞)

D．(0,+∞)參考答案：B∵,∴,由，解得，又，∴故選B．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A無6.下列四個命題：（1）“若x2+y2=0，則實(shí)數(shù)x，y均為0”的逆命題（2）“相似三角形的面積相等”的否命題（3）“A∩B=A，則A?B”逆否命題（4）“末位數(shù)不是0的數(shù)可被3整除”的逆否命題，其中真命題為（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（3）（4）參考答案：C【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】寫出原命題的逆命題，可判斷（1）；寫出原命題的否命題，可判斷（2）；寫出原命題的逆否命題，可判斷（3）；寫出原命題的逆否命題，可判斷（4）；【解答】解：（1）“若x2+y2=0，則實(shí)數(shù)x，y均為0”的逆命題為“若實(shí)數(shù)x，y均為0，則x2+y2=0”為真命題；（2）“相似三角形的面積相等”的否命題為“不相似三角形的面積不相等”為假命題；（3）“A∩B=A，則A?B”為真命題，故其逆否命題也為真命題；（4）“末位數(shù)不是0的數(shù)可被3整除”為假命題，故其的逆否命題也為假命題，故選：C7.在等差數(shù)列{an}中，S10=120，那么a1+a10的值是（） A．12 B．24 C．36 D．48參考答案：B【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【專題】計(jì)算題． 【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，項(xiàng)數(shù)之和為11的兩項(xiàng)之和都相等，即可求出a1+a10的值． 【解答】解：S10=a1+a2+…+a10=（a1+a10）+（a2+a9）+（a3+a8）+（a4+a7）+（a5+a6）=5（a1+a10）=120 所以a1+a10=24 故選B 【點(diǎn)評】考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)，做題時(shí)學(xué)生要會把前10項(xiàng)結(jié)合變形．8.觀察下列各式：，則的末四位數(shù)字為A.3125

B.5625

C.0625

D.8125（

）參考答案：A9.已知橢圓與拋物線的交點(diǎn)為A，B，A，B連線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F，且線段AB的長度等于橢圓的短軸長，則橢圓的離心率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B分析：由題意求得點(diǎn)A,B的坐標(biāo)后代入橢圓的方程，可得間的關(guān)系式，于是可得橢圓的離心率．詳解：由題意得拋物線的焦點(diǎn)為，∵連線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且，∴點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，不妨設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為．由點(diǎn)B在拋物線上可得，∴，故點(diǎn)B坐標(biāo)為，又點(diǎn)B在橢圓上，∴，整理得，∴．故選B．

10.若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z=2x+y的最大值為（） A．1 B． C． 4 D． 6參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.下列命題：①設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a＜b，則ab2＜a2b；②若a＜b＜0，則；③函數(shù)y=的最小值是2；④若x、y是正數(shù)，且+=1，則xy有最小值16；⑤已知兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足+=1，則x+y的最小值是．其中正確命題的序號是．參考答案：②④【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)；基本不等式．【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；定義法；不等式．【分析】①的結(jié)論不成立，舉出反例即可；②由同號不等式取倒數(shù)法則，知②成立；③④⑤分別利用基本不等式即可判斷．【解答】解：①設(shè)a，b是非零實(shí)數(shù)，若a＜b，則ab2＜a2b，此結(jié)論不成立，反例：令a=﹣10，b=﹣1，則ab2=﹣10＞a2b=﹣100，故①不成立；②若a＜b＜0，由同號不等式取倒數(shù)法則，知＞，故②成立；③函數(shù)y==+≥2的前提條件是=1，∵≥2，∴函數(shù)y的最小值不是2，故③不正確；④∵x、y是正數(shù)，且+=1，∴1=+≥2，∴≤∴xy≥16，故④正確，⑤兩個正實(shí)數(shù)x，y滿足+=1，∴=1﹣=，即y=＞0，∴x＞2，∴y+x=x+=x﹣2++2=x﹣2++3≥2+3，當(dāng)且僅當(dāng)x=2+，y=+1時(shí)取等號，故⑤不正確，故答案為：②④．【點(diǎn)評】本題考查命題的真假判斷，解題時(shí)要注意同號不等式取倒數(shù)法則、均值不等式成立的條件等知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用．12.已知α、β是不同的兩個平面，直線a?α，直線b?β，命題p：a與b沒有公共點(diǎn)；命題q：α∥β，則p是q的

條件．參考答案：必要不充分【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【分析】a與b沒有公共點(diǎn)，則a與b所在的平面β可能平行，也可能相交（交點(diǎn)不在直線b上）；但α∥β，則面面平行的性質(zhì)定理，我們易得a與b平行或異面．結(jié)合充要條件定義即可得到結(jié)論．【解答】解：∵a與b沒有公共點(diǎn)時(shí)，a與b所在的平面β可能平行，也可能相交（交點(diǎn)不在直線b上）；∴命題p：a與b沒有公共點(diǎn)?命題q：α∥β，為假命題；又∵α∥β時(shí)，a與b平行或異面，即a與b沒有公共點(diǎn)∴命題q：α∥β?命題p：a與b沒有公共點(diǎn)，為真命題；故p是q的必要不充分條件故答案：必要不充分【點(diǎn)評】本題考查的知識點(diǎn)是必要條件、充分條件與充要條件的判斷，我們先判斷p?q與q?p的真假，再根據(jù)充要條件的定義給出結(jié)論．13.已知過兩點(diǎn)的直線的斜率為1，則=

▲

．參考答案：-414.的____________.（從“充分不必要條件”，“必要不充分條件”，“充要條件”，“既不充分又不必要條件”選出恰當(dāng)?shù)男问教羁眨﹨⒖即鸢福撼浞植槐匾獥l件15.已知某拍賣行組織拍賣的6幅名畫中，有2幅是贗品．某人在這次拍賣中隨機(jī)買入了兩幅畫，則此人買入的兩幅畫中恰有一幅畫是贗品的概率為________.參考答案：16.函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線所對應(yīng)的一次函數(shù)的零點(diǎn)為，其中.若，則的值是______．參考答案：17.命題“若a＞2，則a2＞4”的逆否命題可表述為：

參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x2+3x+a（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，求不等式f（x）＞2的解集（2）若對任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；一元二次不等式的解法．【分析】（1）直接利用二次不等式轉(zhuǎn)化求解即可．（2）利用函數(shù)恒成立，分離變量，利用函數(shù)的最值求解即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=﹣2時(shí)，不等式f（x）＞2可化為x2+3x﹣4＞0，解得{x|x＜﹣4或x＞1}…（2）若對任意的x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，則a＞﹣x2﹣3x在x∈[1，+∞）恒成立，設(shè)g（x）=﹣x2﹣3x則g（x）在區(qū)間x∈[1，+∞）上為減函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)g（x）取最大值為﹣4，∴a得取值范圍為{a|a＞﹣4}

…．19.（12分）已知雙曲線的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為。（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與該雙曲線相交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)坐標(biāo)為，求的取值范圍。參考答案：略20.（12分）求關(guān)于x的方程ax2-(a2+a+1)x+a+1=0至少有一個正根的充要條件.

參考答案：解方法一

若a=0，則方程變?yōu)?x+1=0,x=1滿足條件，若a≠0，則方程至少有一個正根等價(jià)于或或-1<a<0或a>0.綜上：方程至少有一正根的充要條件是a>-1.方法二

若a=0，則方程即為-x+1=0,∴x=1滿足條件；若a≠0，∵Δ=(a2+a+1)2-4a(a+1)=(a2+a)2+2(a2+a)+1-4a(a+1)=(a2+a)2-2a(a+1)+1=(a2+a-1)2≥0，∴方程一定有兩個實(shí)根.故而當(dāng)方程沒有正根時(shí)，應(yīng)有解得a≤-1,∴至少有一正根時(shí)應(yīng)滿足a>-1且a≠0,綜上：方程有一正根的充要條件是a>-1.

21.解關(guān)于x的不等式＜1．參考答案：【考點(diǎn)】其他不等式的解法．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】不等式＜1可化為：﹣1=＜0，分別討論a﹣1與0的關(guān)系，與2的關(guān)系，可得不同情況下不等式的解集．【解答】解：不等式＜1可化為：﹣1=＜0，若a﹣1=0，即a=1，解得：x∈（﹣∞，2）；若a﹣1＞0，即a＞1，解得：x∈（，2）；若﹣1＜a﹣1≤0，即0＜a≤1，解得：x∈（﹣∞，2）∪（，+∞），若a﹣1＜﹣1，即a＜0，解得：x∈（﹣∞，）∪（2，+∞）．【點(diǎn)評】本題考查的是分式不等式的解法，分類討論思想，難度中檔．

22．已知數(shù)列{an}滿足sn=且a1=3，令bn=（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）令cn=，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn≤M對?n∈N?都成立，求M的最小值．【答案】【解析】【考點(diǎn)】數(shù)列的求和．【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）數(shù)列{an}滿足sn=，利用當(dāng)n≥2時(shí)，an=sn﹣sn﹣1化為nan+1﹣（n+1）an+1=0，由于bn=，可得an=nbn，代入可得bn+1﹣bn=﹣=．即可得出．（2）由（1）可得：bn==．可得an=2n+1．cn==，即可得出數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，利用不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】解：（1）∵數(shù)列{an}滿足sn=，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an=sn﹣sn﹣1=﹣，化為nan+1﹣（n+1）an+1=0，∵bn=，∴an=nbn，∴n（n+1）bn+1﹣n（n+1）bn+1=0，∴bn+1﹣b