2023年新高考數(shù)學(xué)一模試題匯編14 統(tǒng)計(jì)（解析版）

專題14統(tǒng)計(jì)

一、單選題

1.（2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模）某工廠隨機(jī)抽取20名工人,對(duì)他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)如下表,

則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）

件數(shù)7891011

人數(shù)37541

A.8.5B.9C.9.5D.10

【答案】C

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的求法求解即可.

【詳解】抽取的工人總數(shù)為20,20X75%=15,

那么第75百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)從小到大排序的第15項(xiàng)與第16項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，

第15項(xiàng)與第16項(xiàng)數(shù)據(jù)分別為9,10,

所以第75百分位數(shù)是誓=9.5,

故選:C.

2.（2023?山東威海?統(tǒng)考一模）隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和人民生活水平的提高，我國的旅游業(yè)也得到了極大的發(fā)

展.據(jù)國家統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站數(shù)據(jù)顯示，近十年我國國內(nèi)游客人數(shù)（單位：百萬）折線圖如圖所示，則下列結(jié)論不

正確的是（）

7000

6000

5000

4000

3000

2000

1000

0

2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年2021年

------?國內(nèi)游客（百萬人次）

-------城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客（百萬人次）

……—農(nóng)村居民國內(nèi)游客（百萬人次）

A.近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)

B.近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差

C.2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)占比逐年增加

D.近十年，農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的75%分位數(shù)為1535

【答案】D

【分析】對(duì)于選項(xiàng)A：根據(jù)圖分析得出近十年，每一年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)都比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)

多，即可判斷;

對(duì)于選項(xiàng)B：根據(jù)圖分析近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的波動(dòng)比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的波動(dòng)大，根據(jù)

方差的意義即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)C：根據(jù)圖分析2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)每年都比農(nóng)村居民國內(nèi)游

客人數(shù)增長多，即可判斷；

對(duì)于選項(xiàng)D：根據(jù)分位數(shù)的求法得出近I?年，農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的75%分位數(shù)即可判斷.

【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由圖得，近十年，每一年城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)都比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)多，

則近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的平均數(shù)，

故A正確；

對(duì)于選項(xiàng)B：由圖得，近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的波動(dòng)比農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的波動(dòng)大，

根據(jù)方差的意義可得近十年，城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差大于農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的方差，

故B正確；

對(duì)于選項(xiàng)C：由圖得，2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)每年都比農(nóng)村居民國內(nèi)游客

人數(shù)增長多，

則2012年到2019年，國內(nèi)游客中城鎮(zhèn)居民國內(nèi)游客人數(shù)占比逐年增加，

故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D：近十年，農(nóng)村居民國內(nèi)游客人數(shù)的75%分位數(shù)為：1324,

故D錯(cuò)誤；

故選：D.

3.（2023?廣東梅州?統(tǒng)考一模）為了了解小學(xué)生的體能情況，抽取了某小學(xué)四年級(jí)100名學(xué)生進(jìn)行一分鐘

跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，繪制如下頻率分布直方圖.根據(jù)此圖，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

B?估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的一分鐘跳繩的平均次數(shù)超過125

C.估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)學(xué)生的一分鐘跳繩次數(shù)的中位數(shù)約為119

D.四年級(jí)學(xué)生一分鐘跳繩超過125次以上優(yōu)秀，則估計(jì)該小學(xué)四年級(jí)優(yōu)秀率為35%

【答案】B

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖矩形面積和等于1可得X=O.015,經(jīng)計(jì)算可得平均數(shù)為120.5,中位數(shù)約為

119,優(yōu)秀率為35%即可得出正確選項(xiàng).

【詳解】根據(jù)題意可得(0.005X3+0.01+2x+0.02+0.025)X10=1,可得X=O.015,故A正確；

根據(jù)頻率分布直方圖可得其平均數(shù)為

90X0.05+100X0.15+110X0.2+120×0.25+130X0.15+140X0.1+150X0.05+160X0.05=

120.5,所以B錯(cuò)誤；

由頻率分布直方圖可知，(0.005+0.015+0.02)x10=0.4,而0.4+0.25>0.5,

所以中位數(shù)落在區(qū)間［115,125)∣?,設(shè)中位數(shù)為α,貝∣J(α-115)X0.025=0.5-0.4,可得α=119,所以

C正確；

由圖可知，超過125次以上的頻率為(0.15+0.1+0.05+0.05)X10=0.35,所以優(yōu)秀率為35%,即D正

確.

故選：B

二、多選題

4.(2023?山東淄博?統(tǒng)考一模)某學(xué)校為普及安全知識(shí)，對(duì)本校1500名高一學(xué)生開展了一次校園安全知識(shí)

競賽答題活動(dòng)(滿分為100分).現(xiàn)從中隨機(jī)抽取100名學(xué)生的得分進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，整理得到如圖所示的頻率

分布直方圖，則根據(jù)該直方圖，下列結(jié)論正確的是()

頻率4

組距

0.032........-1—

0.028---------

X------------------------------

0.013------------------

0.010——I—

5060708090100?

A.圖中X的值為0.016

B.估計(jì)該校高一大約有77%的學(xué)生競賽得分介于60至90之間

C.該校高一學(xué)生競賽得分不小于90的人數(shù)估計(jì)為195人

D.該校高一學(xué)生競賽得分的第75百分位數(shù)估計(jì)大于80

【答案】BCD

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖性質(zhì)可得X=0.017,判斷A錯(cuò)誤；計(jì)算出得分介于60至90之間的頻率，

判斷B正確；利用1500乘以得分不小于90頻率，判斷C正確；計(jì)算得分介于50至80之間的頻率判斷D

正確.

【詳解】由頻率分布直方圖性質(zhì)可得：

(0.01+0.013+X+0.028+0.032)×10=1,解得X=O.017,故A錯(cuò)誤；

得分介于60至90之間的頻率為(0.028+0.032+0.017)×10=0.77,故B正確；

得分不小于90的人數(shù)估計(jì)為1500X0.013×10=195,故C正確；

得分介于50至80之間的頻率為0.01×10+0.028×10+0.032×10=0,7<0.75,故D正確.

故選：BCD.

5.(2023?山東荷澤?統(tǒng)考一模)為了解學(xué)生的身體狀況，某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，

這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)(單位：千克)全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，

A.頻率分布直方圖中α的值為0.04

B.這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為20

C.這100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5

D.據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為61.25

【答案】ACD

【分析】利用頻率之和為1可判斷選項(xiàng)A,利用頻率與頻數(shù)的關(guān)系即可判斷選項(xiàng)B,利用頻率分布直方圖

中眾數(shù)的計(jì)算方法求解眾數(shù)，即可判斷選項(xiàng)C,由百分位數(shù)的計(jì)算方法求解，即可判斷選項(xiàng)D.

【詳解】解：由(0.01+0.07+0.06+α+0.02)x5=l,解得α=0.04,故選項(xiàng)A正確；

體重不低于60千克的頻率為(0.04+0.02)×5=0.3,

所以這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為0.3X100=30人，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

Ioo名學(xué)生體重的眾數(shù)約為罟=52.5,故選項(xiàng)C正確；

因?yàn)轶w重:不低于60千克的頻率為0.3,而體重在［60,65)的頻率為0.04X5=0.2,

所以計(jì)該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為60+5X；=61.25,故選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

6.(2023?湖南長沙?統(tǒng)考一模)自然環(huán)境中，大氣壓受到各種因素的影響，如溫度、濕度、風(fēng)速和海拔等

方面的改變，都將導(dǎo)致大氣壓發(fā)生相應(yīng)的變化，其中以海拔的影響最為顯著.下圖是根據(jù)一組觀測數(shù)據(jù)得

到海拔6千米?15千米的大氣壓強(qiáng)散點(diǎn)圖,根據(jù)一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為yι=-4.0x+68.5,

決定系數(shù)為暇=0.99；根據(jù)非線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y2=132.9e-°?i63χ,決定系數(shù)為形=

0.99,則下列說法正確的是()

八大氣壓強(qiáng)(kPa)

、M=-4.Ox+68.5

46504UT?,2=0,99

063x

y2=132.9e^'

10.2

ZIIII1I1IIII??

Ov5678910111213141516

海拔高度(km)

A.由散點(diǎn)圖可知，大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)

B.由方程y】=-4.0x+68.5可知，海拔每升高1千米，大氣壓強(qiáng)必定降低4.0kPa

C.由方程y】=-4.0x+68.5可知，樣本點(diǎn)(11,22.6)的殘差為一1.9

D.對(duì)比兩個(gè)回歸模型，結(jié)合實(shí)際情況，方程=132.9e-0i63χ的預(yù)報(bào)效果更好

【答案】ACD

【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖即可得出A項(xiàng)：根據(jù)回歸方程的含義可判斷B項(xiàng)；根據(jù)殘差計(jì)算公式求出殘差，可判

斷C項(xiàng)；根據(jù)實(shí)際大氣壓強(qiáng)不能為負(fù)，可判斷D項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由圖象知，海拔高度越高，大氣壓強(qiáng)越低，所以大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)，故A

項(xiàng)正確；

對(duì)于B項(xiàng)，回歸直線得到的數(shù)據(jù)為估計(jì)值，而非精確值，故B項(xiàng)錯(cuò)誤：

對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)X=Il時(shí)，%=-4.0×11+68.5=24.5,又由散點(diǎn)圖知觀測值為22.6,所以樣本點(diǎn)(11,22.6)

的殘差為22.6-24.5=-1.9,故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D項(xiàng)，隨著海拔高度的增加，大氣壓強(qiáng)越來越小，但不可能為負(fù)數(shù)，因此方程=132.9e-°i63χ的預(yù)

報(bào)效果更好，故D項(xiàng)正確.

故選：ACD.

7.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考一模）中國共產(chǎn)次全國代表大會(huì)的報(bào)告中，一組組數(shù)據(jù)折射出新時(shí)代十

年的非凡成就，數(shù)字的背后是無數(shù)的付出，更是開啟新征程的希望.首場新聞發(fā)布會(huì)指出近十年我國

居民生活水平進(jìn)一步提高，其中2017年全國居民恩格爾系數(shù)為29.39%,這是歷史上中國恩格爾系數(shù)首次

跌破30%.恩格爾系數(shù)是由德國統(tǒng)計(jì)學(xué)家恩斯特?恩格爾提出的，計(jì)算公式是“恩格爾系數(shù)=筆寢X

總支出金額

100%”.恩格爾系數(shù)是國際上通用的衡量居民生活水平高低的一項(xiàng)重要指標(biāo)，一般隨居民家庭收入和生活水

平的提高而下降，恩格爾系數(shù)達(dá)60%以上為貧困，50%~60%為溫飽，40%~50%為小康，30%~40%為富裕，

低于30%為最富裕.如圖是近十年我國農(nóng)村與城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)折線圖，由圖可知（）

一▲…農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)（％）T-城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)（%）

36r~~

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24_____

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32

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JQ1____

JU-----■

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OQ_________Z

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N97/_--_--_--_-_--

OA______

2012201320142015201620172018201920202021

A.城鎮(zhèn)居民2015年開始進(jìn)入“最富?！彼?/p>

B.農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)低于32%

C.城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的第45百分位數(shù)高于29%

D.全國居民恩格爾系數(shù)等于農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)

【答案】AC

【分析】根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖一一分析即可.

【詳解】解：對(duì)于A：從折線統(tǒng)計(jì)圖可知2015年開始城鎮(zhèn)居民的恩格爾系數(shù)均低于30%,即從2015年開

始進(jìn)入“最富裕”水平，故A正確；

對(duì)于B：農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)只有2017、2018、2019這三年在30%?32%之間，

其余年份均大于32%,且2012、2013這兩年大于（等于）34%,

故農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)高于32%,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C：城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)從小到大排列（所對(duì)應(yīng)的年份）前5位分別為2019、2018、2017、2021、2020,

因?yàn)?0X45%=4.5,所以第45百分位數(shù)為第5位，即2020年的恩格爾系數(shù)，由圖可知2020年的恩格爾系

數(shù)高于29%,故C正確；

對(duì)于D：由于無法確定農(nóng)村居民與城鎮(zhèn)居民的比例，顯然農(nóng)村居民占比要大于50%,

故不能用農(nóng)村居民恩格爾系數(shù)和城鎮(zhèn)居民恩格爾系數(shù)的平均數(shù)作為全國居民恩格爾系數(shù)，故D錯(cuò)誤；

故選：AC

8.(2023?重慶?統(tǒng)考一模)已知兩組樣本數(shù)據(jù)Xι,x2,χ3,X4,&和yi，y2>y31y41y5的均值和方差分別為無歹和

2

Sl,S22,若Xj+%=100且々>=1,2,3,4,5),則()

2222

A.X>yB.X+y=100C.s1>s2D.s1=S2

【答案】ABD

【分析】A選項(xiàng)，利用平均數(shù)的定義得到寵>夕，x+y=100,AB正確；

22

利用方差的定義及計(jì)算方法，得到Si=s2,D正確.

因?yàn)閍?>%(i=1,2,3,4,5),所以元>y，A正確；

_,_x+x+x+x+×5,y1+y2+y3+y4+y5

X+y1=--2-------3-----§4--------------+---------------5--------------

31+y1+X2+y2+%3+y3+X4+y4+K5+y5_500

2_(Xl-元)2+3-元)2+(小一元)2+Qt―元)2+—君2

222-

x1—2x1x+X+X2—2X2X+X+???+X52X5X+x

22

同理可得：S2=心境--y=詠三四』1)2+?+(100Ts)Z_(100_/

50000—200(x∣+XZ+…+久5)+2+&2+…+Xg

-(100-x)

=10000-200x+———+久21+???+%-------10000+200-_?:

Xlz+gz+..?+XSZ于2

2

故Sl=S22,C錯(cuò)誤，D正確.

故選：ABD

9.(2023?遼寧盤錦?一模)下列說法中正確的是()

A.一組數(shù)據(jù)7,8,8,9,11,13,15,17,20,22的第80百分位數(shù)為17

B.若隨機(jī)變量f~N(3,c√),且P(f<6)=0.84,則P(3<f<6)=0.34.

C.袋中裝有除顏色外完全相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從袋中不放回的依次抽取2個(gè)球.記事件4=｛第

一次抽到的是白球｝,事件B=｛第二次抽到的是白球｝,貝IJP(BlA)=I

D.已知變量x、y線性相關(guān)，由樣本數(shù)據(jù)算得線性回歸方程是y=0.4x+a,且由樣本數(shù)據(jù)算得元=4,y=3.7,

則a=2.1

【答案】BD

【分析】根據(jù)第P百分位數(shù)的計(jì)算公式可判斷A項(xiàng)；根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可求解，判斷B項(xiàng)；根據(jù)條件

概率的公式P(BM)=?黑求解相應(yīng)概率，可判斷C項(xiàng)；將(無歷代入回歸方程，即可判斷D項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A,共有IO個(gè)數(shù)，10X80%=8,所以數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為17和20的平均數(shù)，即為18.5,

故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)殡S機(jī)變量6~N(3R2),且P(f<6)=0.84,

所以P(f≤O)=P(f≥6)=0.16,

所以P(O<f<6)=1-0.16-0.16=0.68,

所以P(3<f<6)=∣P(0<f<6)=∣×0.68=0.34,故B正確；

對(duì)于C,由題意可知P(4)=,=g=∣×?=?

Vg??V5Xb

所以P(BM)=需=/故C錯(cuò)誤：

對(duì)于D,因?yàn)榫€性回歸方程是9=0.4x+式經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心(元》),所以有3.7=0.4x4+a,解得式=2.1,

故D正確.

故選：BD.

10.(2023?湖南湘潭?統(tǒng)考二模)為了解某班學(xué)生每周課外活動(dòng)的時(shí)間，甲同學(xué)調(diào)查了10名男生，其平均

數(shù)為9,方差為11；乙同學(xué)調(diào)查了10名女生，其平均數(shù)為7,方差為8.若將甲、乙兩名同學(xué)調(diào)查的學(xué)生

合在一起組成一個(gè)容量為20的樣本，則該樣本數(shù)據(jù)的()

A.平均數(shù)為8.5B.平均數(shù)為8C.方差為10.5D.方差為10

【答案】BC

【分析】根據(jù)平均數(shù)和方差的定義計(jì)算求解即可.

【詳解】由題意，該樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)五=嘴黑Z=8,

方差N=^×[11+(9-8)2]+^×[8+(7-8)2]=10.5.

故選：BC

三、填空題

??.（2023?福建?統(tǒng)考一模）以下為甲、乙兩組按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：

甲組：14,30,37,a,41,52,53,55,58,80；

乙組：17,22,32,43,45,49,b,56.

若甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)和乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則4α-b=.

【答案】100

【分析】根據(jù)百分位數(shù)和平均數(shù)的定義即可列出式子計(jì)算求解.

【詳解】因?yàn)?0X40%=4,甲組數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為第四個(gè)數(shù)和第五個(gè)數(shù)的平均數(shù),

乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為U+22+32±4尹45邙9+b+5.*

根據(jù)題意得'="+22+32+43+45+49+b+56,解得：

+164b+264,

28

所以4α-b=100,

故答案為：100.

12.（2023?湖南岳陽?統(tǒng)考一模）已知某車間在上半年的六個(gè)月中，每個(gè)月的銷售額y（萬元）與月份X（X=

1,234,5,6）滿足線性回歸方程9=1.21x+28.765,則該車間上半年的總銷售額約為.萬元.

【答案】198

【分析】根據(jù)線性回歸方程，分別將X的值代入，結(jié)果相加，即可得答案.

［詳解】由題意可得該車間上半年的總銷售額約為:

1.21(1+2+3+4+5+6)+28.765×6=25.41+172.59=198(萬元),

故答案為：198

四、解答題

13.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考一模）某學(xué)校研究性學(xué)習(xí)小組在學(xué)習(xí)生物遺傳學(xué)的過程中，為驗(yàn)證高爾頓提出的

關(guān)于兒子成年后身高y（單位：cm）與父親身高X（單位：cm）之間的關(guān)系及存在的遺傳規(guī)律，隨機(jī)抽取

了5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)，如下表：

父親身高工160170175185190

兒子身高y170174175180186

（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于X的線性回歸方程，并利用回歸直線方程分別確定兒子比父親高和兒子比父親

矮的條件，由此可得到怎樣的遺傳規(guī)律？

⑵記備="=y,?-品-①（i=1,2,…,n）,其中%?為觀測值，%為預(yù)測值，a為對(duì)應(yīng)（Xi,%）的殘塞求

(1)中兒子身高的殘差的和、并探究這個(gè)結(jié)果是否對(duì)任意具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量都成立？若成立加

以證明；若不成立說明理由.

參考數(shù)據(jù)及公式：∑f=1xi=880,猶=155450,∑f=1yi=885E=IXiyi=156045

【答案】(l)5>=0.5x+89,x<178時(shí)，兒子比父親高：x>178時(shí)，兒子比父親矮，

兒子身高有一個(gè)回歸，回歸到全種群平均高度的趨勢.

(2)0；任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量∑Nι6j=0,證明見解析

【分析】(1)根據(jù)已知求得回歸方程的系數(shù)，即可得回歸方程，解不等式可得到結(jié)論；

(2)結(jié)合題中數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，可求得兒子身高的殘差的和，從而可得結(jié)論，結(jié)合回歸方程系數(shù)的計(jì)算公

式即可證明.

156045-5×176×177156045-155760衿=0.5,a=y-bx=177-0.5×176=89,所以回歸直線方程為

155450-5×1762155450-154880

y=0.5%+89,

令0.5x+89-x>0得x<178,即x<178時(shí)，兒子比父親高；

令0.5x-89-x<0得x>178,即x>178時(shí)，兒子比父親矮，

可得當(dāng)父親身高較高時(shí)，兒子平均身高要矮于父親，即兒子身高有一個(gè)回歸，回歸到全種群平均高度的趨

勢.

(2)由夕=0.5X+89可得%=0.5X160+89=169,%=174,%=176.5,y4=181.5,ys=184,

所以∑f=ι%=885,

又∑Mι'i=885,所以手=iei=∑?=1(yi-yi)=∑≡=1yi-∑f=iyi=0,

結(jié)論：對(duì)任意具有線性相關(guān)關(guān)系的變量∑kια=O,

證明：∑L1K=∑kι(%—%)=Σ^1(y;-bxi-α)=Σ"=1y,?-b∑JL1xi-na=ny-nbx-n(y-bx~)=

0.

14.(2023?山東威海?統(tǒng)考一模)第五屆中國國際進(jìn)口博覽會(huì)于2022年11月4日在上海開幕，本次進(jìn)口博

覽會(huì)共有145個(gè)國家、地區(qū)和國際組織參展，企業(yè)商業(yè)展延續(xù)食品及農(nóng)產(chǎn)品、汽車、技術(shù)裝備、消費(fèi)品、

醫(yī)療器械及醫(yī)藥保健、服務(wù)貿(mào)易六大展區(qū)設(shè)置.進(jìn)口博覽會(huì)的舉辦向世界展示了中國擴(kuò)大開放的決心與自信、

氣魄與擔(dān)當(dāng).為調(diào)查上海地區(qū)大學(xué)生對(duì)進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置的了解情況，從上海各高校抽取400名學(xué)生進(jìn)行

問卷調(diào)查，得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

男女總計(jì)

了解80

不了解160

總計(jì)200400

(1)完成上述2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為上海地區(qū)大學(xué)生對(duì)進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置的了解情

況與性別有關(guān);

(2)據(jù)調(diào)查，上海某高校學(xué)生會(huì)宣傳部6人中有3人了解進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置情況，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取

4人參加進(jìn)口博覽會(huì)志愿服務(wù)，設(shè)抽取的人中了解進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置情況的人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)

學(xué)期望.

參考公式：片=Μ詈篇詢，n=a+b+c+d.

參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k)0.100.050.010.0050.001

k2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有99.9%的把握

(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望E(X)=2

【分析】(1)先根據(jù)已知完善2x2列聯(lián)表，再根據(jù)表中數(shù)據(jù)求出K2,從而比較K2與k值查表得出答案:

(2)根據(jù)已知結(jié)合離散型隨機(jī)分布的分布列與數(shù)學(xué)期望求法得出答案.

【詳解】(1)根據(jù)已知完成2X2列聯(lián)表如下,

男女總計(jì)

了解8040120

不了解120160280

總計(jì)200200400

則K2="。(叱X16。二40R20)2X19.048,

120×280×200×200

則19.048>10.828,則有99.9%的把握認(rèn)為上海地區(qū)大學(xué)生對(duì)進(jìn)口博覽會(huì)展區(qū)設(shè)置的了解情況與性別有關(guān);

(2)根據(jù)題意，X的可能取值為1,2,3,

P(X=I)=等=i,

P(X=2)=等=

P(X=3)=警=?,

則X的分布列為:

X123

131

P(X)

555

則E(X)=1×∣+2×∣+3×∣=2.

15.(2023?山東臨沂?統(tǒng)考一模)為慶祝神舟十四號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，某學(xué)校開展了航天知識(shí)競賽

活動(dòng)，已知所有學(xué)生的成績均位于區(qū)間［60,100］,從中隨機(jī)抽取IO(X)名學(xué)生的競賽成績作為樣本，繪制如

圖所示的頻率分布直方圖.

個(gè)頻率/組距

0.035卜------1-I

?

0.030k—η-

CK60708090100j?

(1)若此次活動(dòng)中獲獎(jiǎng)的學(xué)生占參賽總?cè)藬?shù)30%,試估計(jì)獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線；

(2)采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，從成績不低于80的學(xué)生中隨機(jī)抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取

2人，記成績在［90,100］的人數(shù)為求f的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】⑴82

(2)分布列見解析，i

【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖先判斷出獲獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線所在的區(qū)間，設(shè)為X,則成績在卜,100］的概率為

0.3,列出方程即可得解；

(2)先寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，從而可得分布列，再根據(jù)期望的計(jì)算公式計(jì)算期

望即可.

【詳解】(1)根據(jù)直方圖可知，成績在［80,100］的頻率為(0.025+0.010)X10=0.35,大于0.3,

成績［9(UO0］的頻率為0.1,小于0.2,

因此獲獎(jiǎng)的分?jǐn)?shù)線應(yīng)該介于［80,90)之間，

設(shè)分?jǐn)?shù)線為X∈［80,90),使得成績在出IO0］的概率為0.3,

即(90-X)X0.025+0.010×10=0.3,

可得X=82,

所以獲獎(jiǎng)分?jǐn)?shù)線劃定為82；

(2)成績在18°,9。)的人數(shù)有7X就%=5人，

成績在［90,100］的人數(shù)為7-5=2人，

則f的可能取值為0,1,2,

PG=O)=警=≡.

k-7?

P-警=余

P(f=2)=等/

f的分布列為

012

10101

P

2Λ2121

.?.數(shù)學(xué)期望E(f)=θx∕+lx芫+2x(=：.

16.(2023?山東?日照一模)由中央電視臺(tái)綜合頻道(CCTV-I)和唯眾傳媒聯(lián)合制作的《開講啦》是中國

首檔青年電視公開課.每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事，分享他們對(duì)于生活和生命的感悟，給予

中國青年現(xiàn)實(shí)的討論和心靈的滋養(yǎng)，討論青年們的人生問題，同時(shí)也在討論青春中國的社會(huì)問題，受到了

青年觀眾的喜愛.為了了解觀眾對(duì)節(jié)目的喜愛程度，電視臺(tái)隨機(jī)調(diào)查了A,8兩個(gè)地區(qū)的100名觀眾，得

到如下所示的2x2列聯(lián)表.

非常喜歡喜歡合計(jì)

A3015

Bxy

合計(jì)

已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機(jī)抽取1名，該觀眾來自B地區(qū)且喜愛程度為“非常喜歡”的概率為0.35.

(1)現(xiàn)從100名觀眾中根據(jù)喜愛程度用分層抽樣的方法抽取20名進(jìn)行問卷調(diào)查，則應(yīng)抽取喜愛程度為“非常

喜歡”的A,8地區(qū)的人數(shù)各是多少？

(2)完成上述表格，并根據(jù)表格判斷是否有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

(3)若以抽樣調(diào)查的頻率為概率,從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人,設(shè)抽到喜愛程度為“非常喜歡”的觀眾的人數(shù)為X,

求X的分布列和期望.

附：K'盛篝2"=α+b+c+d,

2

P(K≥k0)0.050.0100.001

k03.8416.63510.828

【答案】(1)從A地抽取6人，從B地抽取7人.

(2)沒有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

(3)分布列見解析，期望為2.

【分析】(I)求出X的值，由分層抽樣在各層的抽樣比相同可得結(jié)果.

(2)補(bǔ)全2X2列聯(lián)表，再根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)求解即可.

(3)由題意知X?8(3,|),進(jìn)而根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可.

【詳解】(1)由題意得磊=0.35,解得X=35,

所以應(yīng)從A地抽取30xj=6(人)，從B地抽取35x2=7(人).

100100

(2)完成表格如下：

非常喜歡:卜歡合計(jì)

A301545

B352055

合計(jì)6535100

零假設(shè)為飛：觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)無關(guān).

K2=%]—但=坨?01<3841,

65×35×45×5S1001''

所以沒有95%的把握認(rèn)為觀眾的喜愛程度與所在地區(qū)有關(guān)系.

(3)從A地區(qū)隨機(jī)抽取1人，抽到的觀眾的喜愛程度為“非常喜歡”的概率為*=

453

從A地區(qū)隨機(jī)抽取3人，則X?B(3,∣),X的所有可能取值為0,I,2,3,

則P(X=0)=Q)3=?,

P(X=D=G(I)1ɑ)2=|，

P(x=2)=c塞yG)W

P(X=3)=(∣y=??

所以X的分布列為

X0123

1248

P

279927

方法LE(X)=0×?+l×∣+2×i+3×?=2.

方法2：E(X)=np=3×I=2.

17.(2023?廣東汕頭?統(tǒng)考一模)2023年1月14日，翹首以盼的汕頭鎮(zhèn)邦美食街開街啦！近年來，汕頭多

措并舉，提升汕頭美食品牌，推動(dòng)潮汕菜產(chǎn)業(yè)做大做強(qiáng)，鎮(zhèn)邦美食街的建成開街，是汕頭美食產(chǎn)業(yè)的又一

里程碑，同時(shí)“舌尖汕頭”——汕頭美食地圖同步上線，以微信小程序的形式面向游客，并通過意見反饋功

能收集游客滿意度調(diào)查問卷.

(1)現(xiàn)將游客按年齡段分為老中青三個(gè)群體，通過問卷數(shù)據(jù)分析顯示，老年群體中有56%的游客給予好評(píng),

中年群體有65%的游客給予好評(píng)，青年群體中有70%的游客給予好評(píng)，且老中青三個(gè)群體游客人數(shù)之比為

5:6:9,從這三個(gè)群體中隨機(jī)抽取1名游客，求該游客給予好評(píng)的概率.

(2)鎮(zhèn)邦美食街共有20多家餐飲單位進(jìn)駐，為維護(hù)市場價(jià)格秩序，營造公平競爭良好環(huán)境，汕頭市監(jiān)管部門

到鎮(zhèn)邦美食街舉辦餐飲明碼標(biāo)價(jià)現(xiàn)場指導(dǎo)會(huì)，現(xiàn)針對(duì)明碼標(biāo)價(jià)指導(dǎo)會(huì)前、會(huì)后游客滿意度進(jìn)行問卷回訪調(diào)

查，統(tǒng)計(jì)了IOO名游客的數(shù)據(jù),列出如下2X2列聯(lián)表:

對(duì)鎮(zhèn)邦美食街餐飲價(jià)格是否滿意明碼標(biāo)價(jià)指導(dǎo)會(huì)前明碼標(biāo)價(jià)指導(dǎo)會(huì)后合計(jì)

滿意285785

不滿意12315

合計(jì)4060100

請根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)判斷游客對(duì)汕頭鎮(zhèn)邦美食街餐飲價(jià)格滿意度與監(jiān)管部門舉辦明碼

標(biāo)價(jià)現(xiàn)場指導(dǎo)會(huì)是否有關(guān)聯(lián).

▲參考公式：#2=（計(jì)二黑；：?短.，"α+b+c+d

2

P(x≥xa)=a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【答案】（1）0.65

（2）有關(guān)聯(lián)

【分析】（1）設(shè)游客總?cè)藬?shù)為小，分別求出老、中、青年人的人數(shù)，即可得到給予好評(píng)的人數(shù)，最后根據(jù)

古典概型的概率公式計(jì)算可得；

（2）根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)求出卡方，即可判斷.

【詳解】（1）解：設(shè)游客總?cè)藬?shù)為m,則老年人有二一m=三?。ㄈ耍?，

5+6+94

中年人有吊山=總血（人），青年人有熹小=5?。ㄈ耍?/p>

所以給予好評(píng)的人數(shù)為56%×-m+65%X—m+70%X—m=0.65τn,

41020

所以從這三個(gè)群體中隨機(jī)抽取1名游客，該游客給予好評(píng)的概率P=—=0.65.

m

（2）解：零假設(shè)為“°：游客對(duì)汕頭鎮(zhèn)邦美食街餐飲價(jià)格滿意度與監(jiān)管部門舉辦明碼標(biāo)價(jià)現(xiàn)場指導(dǎo)會(huì)之間

無關(guān)聯(lián)，

根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到；r2=。11765>10828=

4UXoUXobXlb

根據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷//°不成立，

即認(rèn)為游客對(duì)汕頭鎮(zhèn)邦美食街餐飲價(jià)格滿意度與監(jiān)管部門舉辦明碼標(biāo)價(jià)現(xiàn)場指導(dǎo)會(huì)之間有關(guān)聯(lián)，此推斷犯

錯(cuò)誤的概率不大于0.001.

18.(2023?江蘇南通?統(tǒng)考一模)第二十二屆卡塔爾世界杯足球賽(F∕E4%∕7dC"pQαSr2022)決賽中，阿

根廷隊(duì)通過扣人心弦的點(diǎn)球大戰(zhàn)戰(zhàn)勝了法國隊(duì).某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).足球社團(tuán)為

了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生40

女生30

合計(jì)

(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？

(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門.已知男生進(jìn)球的概率為|,

女生進(jìn)球的概率為右每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bcy)2

(α+b)(c+d)(α+c)(h+d)

P(K2≥k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有

(2)分布列見解析，≡

O

【分析】(1)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法求解；

(2)根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式和離散型隨機(jī)變量的分布列的定義求解.

【詳解】⑴2X2列聯(lián)表如下:

喜歡足球不喜歡足球合計(jì)

男生6040100

女生3070100

合計(jì)90110200

200X(60×70-40×30)2

K2≈18.182>10.828,

100×100×90×110-

??.有99.9%的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)

(2)3人進(jìn)球總次數(shù)f的所有可能取值為0,1,2,3,

,、∕1?211,、2111∕lλ25

PM=。)=Q)X『亙PM=I)=C12了//5XQ)=18

22

,、1211∕2?14,、∕2?12

P(f=2)=C2----+(-)X-=-P(f=3)=(-)X-=-

???f的分布列如下：

???《的數(shù)學(xué)期望:E（《）=lxV+2xg+3x|=￡.

19.（2023?重慶?統(tǒng)考一模）在全民抗擊新冠疫情期間，某校開展了“停課不停學(xué)”活動(dòng)，一個(gè)星期后，某校

隨機(jī)抽取了100名居家學(xué)習(xí)的高二學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到學(xué)生每天學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：h）的頻率分布直

方圖如下，若被抽取的這100名學(xué)生中，每天學(xué)習(xí)時(shí)間不低于8小時(shí)有30人.

個(gè)頻率

組距

4b2

4

22

14

°6.06.57.07.58.08.59.0每天學(xué)習(xí)時(shí)間（h）

（1）求頻率分布直方圖中實(shí)數(shù)”,人的值；

（2）每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6。6.5）的7名學(xué)生中，有4名男生，3名女生，現(xiàn)從中抽2人進(jìn)行電話訪談，已知抽

取的學(xué)生有男生，求抽取的2人恰好為一男一女的概率；

（3）依據(jù)所抽取的樣本，從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）和［7。7.5）的學(xué)生中按比例分層抽樣抽取8人，再從這8

人中選3人進(jìn)行電話訪談，求抽取的3人中每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5）的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（l）α=0.26,h=0.38；

(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為*

4

【分析】(1)根據(jù)圖表得(b+0?22)x0.5xl00=30,解出b值，根據(jù)小矩形面積和為1可求得ɑ值；

(2)首先求得總數(shù)為21種，求出其中有男生的概率為:求出有女生的概率為;，再利用條件概率公式即

可；

(3)求出在各自區(qū)間的人數(shù),設(shè)從8人中抽取的3人每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5)的人數(shù)為X,分X=0,1,2計(jì)算，

最后求出期望值.

【詳解】(1)由(b+0.22)X0.5X100=30,解得b=0.38

???0.5X(0.14+α+0.42+0.58+0.38+0.22)=1,解得α=0.26.

(2)從7名學(xué)生中任選2人進(jìn)行電話訪談種數(shù):喘=21,

記任選2人有男生為事件4則P(Z)=等遇="

記任選2人有女生為事件BJiJP(ZB)=臂=：

則P(BM)=需=∣?

(3)用按比例分層抽樣的方式從每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5)和［7.0,7.5)的學(xué)生中抽取8人，

抽中的8人每天學(xué)習(xí)時(shí)間在［6.0,6.5)的人數(shù)為［X8=