山東省德州市023年高一年級下冊期末考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

高一數(shù)學(xué)試題

2023.7

命題人：劉兆輝王安拓徐慶明馬俊卿趙樂王妍

本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分，第I卷1—3頁，第

n卷頁，共150分，測試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不能答在測試卷上.

第I卷選擇題（共60分）

一、選擇題（本題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.）

1.復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為（-2,-1）,則|z+i|=（）

A.0B.2C.72D.1

2.如圖所示，梯形A'3'C。是平面圖形ABC。用斜二測畫法得到的直觀圖,

A'D'=2B'C'=ZA'B'=],則平面圖形"CD中對角線AC的長度為（）

A.72B.73C.y/5D.5

3.第七次全國人口普查數(shù)據(jù)顯示，德州市各區(qū)縣常住人口數(shù)據(jù)如下圖所示，則這些區(qū)縣的

人口數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為（）

口德城區(qū)

□天衢新區(qū)

口陵城區(qū)

口齊河縣

□樂陵市

□禹城市

□臨邑縣

□寧津縣

□夏津縣

□平原縣

口武城縣

□慶云縣

A.43.86B.48.8C.55.92D.52.36

4.如圖所示正八邊形A8C0EFG",。為正八邊形的中心，且。4=1,則下列選項(xiàng)正確的是

()

B.0E在。"上的投影的數(shù)量為正

2

C.OA-OC=—DH

2

D.ODOG=—

2

5.=貝sin(20+=()

I4)2-sin。I2)

A.-B.-C.-D.-

4488

6.長方體4BC。-ABC。中，4B=8C=4,AA=1,則二面角4-8。-￡的余弦值為()

A.--B.-旦C.-D.顯

9999

7.根據(jù)歷史記載，早在春秋戰(zhàn)國時(shí)期，我國勞動(dòng)人民就普遍使用算籌進(jìn)行計(jì)數(shù).算籌計(jì)數(shù)法

就是用一根根同樣長短和粗細(xì)的小棍子以不同的排列方式來表示數(shù)字，如圖所示.如果用算

籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，則個(gè)位和十位上的算籌不

一樣多的概率為（）

縱式：1IIIII1111muTnm1

橫式：---==-----

123456789

8.如圖是某零件結(jié)構(gòu)模型，中間大球?yàn)檎拿骟w的內(nèi)切球，小球與大球和正四面體三個(gè)面

均相切，若43=12,則該模型中一個(gè)小球的體積為（）

A

c

A.37tB.—C.隔D.見包

216

二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，

有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0

分.）

9.己知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：噸/公頃）數(shù)據(jù)為：9.7,10.0,10.0,10.0,10.3,

乙種雜交水稻近五年的產(chǎn)量（單位：噸/公頃）數(shù)據(jù)為：9.6,9.7,10,0,10.2,10.5,則（）

A.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)

B.甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差

C.甲種樣本的70%分位數(shù)小于乙種樣本的70%分位數(shù)

D.甲乙兩種水稻近五年的總方差為0.072

10.設(shè)函數(shù)f（x）=sin（0x+'J?>O）在區(qū)間（0,兀）恰有兩個(gè)零點(diǎn),則0可能是（

)

57

A.-B.2C.-D.

333

11.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6,從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次

取1個(gè)球，事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件8表示“第二次取出的球的數(shù)

字是奇數(shù)”，事件C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件。表示“兩次取出的球的數(shù)

字之和是奇數(shù)“，則（）

A.A與B是互斥事件B.C與?；閷α⑹录?/p>

C.B發(fā)生的概率為gD.B與C相互獨(dú)立

12.如圖（1）所示，ABC和，48都是直角三角形，AB=BC=>/^,NCAD=30。，如圖

（2）所示，把A3C沿AC邊折起，使.A3C所在平面與,,ACC所在平面垂直，連接80,

下列說法正確的是（）

（1）（2）

A.AB上平面BC。

B.8。與平面AC。的夾角的正弦值為恒

10

C.三棱錐外接球的表面積為16%

D.點(diǎn)C到平面480的距離為巫

5

第n卷非選擇題（共90分）

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

--1

13.已知6是單位向量，且“力=5，則向量2。_匕與勸的夾角為.

14.如圖，PAL平面為正方形，且必=A￡>,E,F分別是線段PA,CD的中點(diǎn),

則異面直線E尸與AC所成的角為.

15.如圖所示是某電路子模塊，位置1,2,3隨機(jī)接入3個(gè)電子元件48,C,不同位置的

元件是否正常工作不受其它元件影響.當(dāng)1號位置正常工作，同時(shí)2號位與3號位中至少有

一個(gè)位置正常工作，該電路子模塊才能正常工作.若電子元件A,B,C正常工作的概率分別

為0.6,0.7,0.8當(dāng)接入電子元件后，則該電路子模塊能正常工作的概率最大值

是_____________

16.已知正方體的棱長均為2.以4。中點(diǎn)為球心，指為半徑的球面與側(cè)

面4BCG的交線長為

四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程

或演算步驟

17.先后拋鄭一枚質(zhì)地均勻的骰子，第一次拋鄭的點(diǎn)數(shù)記為機(jī)，第二次拋鄭的點(diǎn)數(shù)記為".

⑴求機(jī)=〃的概率；

（2）求用＞〃的概率.

18.已知/'（x）=sin（x-兀）sin（x-+cosxsin

⑴求函數(shù)〃x）的最小正周期和對稱中心；

JT3冗

（2）當(dāng)xe時(shí)，求函數(shù)的最值.

OO

19.某地區(qū)對初中500名學(xué)生某次數(shù)學(xué)成績進(jìn)行分析，將得分分成8組（滿分150分）：

[65,75),[75,85),[85,95),[95,105),[105,115),[115,125),[125,135),[135,145),整理得到如圖

所示的頻率分布直方圖.

(1)求第七組的頻率；

(2)用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該地的500名學(xué)生這次考試成績的平均分(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間

的中點(diǎn)值作代表)；

(3)現(xiàn)從500名學(xué)生中利用分層抽樣的方法從[95,105),[105,115)的兩組中抽取5個(gè)人進(jìn)一步

做調(diào)查問卷，再從這5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，求抽取到的兩人不在同一組的概率.

20.如圖：三棱臺ABC-的六個(gè)頂點(diǎn)都在球。的球面上，球心位于上下底面所在的兩

個(gè)平行平面之間，/%=網(wǎng)=CG=而，ABC和△ABC分別是邊長為G和20的正三

角形.

(1)求三棱臺ABC-AB?的表面積；

(2)計(jì)算球。的體積.

21.從①指"sinA=&；②“sinB-g6cosBcosC=Gccos%；③1+f咚=即；

1+cosBtanCc

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并加以解答.在銳角.ABC中，a,Sc分別是

角A,B,C的對邊，若.

⑴求角8的大??；

(2)求sinA+sinC取值范圍；

(3)當(dāng)sinA+sinC取得最大值時(shí)，在ABC所在平面內(nèi)取一點(diǎn)O(。與B在AC兩側(cè))，使得

線段OC=2,D4=1,求△88面積的最大值.

(注：若選擇多個(gè)條件，按第一個(gè)解答計(jì)分)

22.已知直三棱柱ABC-A&G中，側(cè)面AA8避為正方形，AB=3C=2,E,F分別為AC和

CG的中點(diǎn)，。為棱AB|上的動(dòng)點(diǎn)(包括端點(diǎn)).與E,若平面41田與棱8C交于點(diǎn)G.

(1)請補(bǔ)全平面A4E與棱柱的截面，并指出點(diǎn)G的位置;

(2)求證：8尸，平面44E；

(3)當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)時(shí)，試判斷三棱錐￡>-￡FG的體積是否為定值?若是，求出該定值及點(diǎn)。到平

面EFG的距離；若不是，說明理由.

1.B

解析：因?yàn)閺?fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)為所以z=-2-i,

所以z+i=—2,

所以.

故選：B.

2.C

解析：由直觀圖知原幾何圖形是直角梯形ABC。，如圖，

由斜二測法則知/W=AE=2,BC=B'C'=\,AB1BC,

所以AC=y/AB2+BC2=V22+l2=后■

故選：C

3.D

解析:把德州市各區(qū)縣常住人口數(shù)據(jù)從小到大排列：22.33,31.81,35.37,41.91,45.81,

46.68,47,33,47.34,48.8,55.92,57.64,69.53,因?yàn)?2x75%=9,

所以第75百分位數(shù)為數(shù)據(jù)從小到大排列的第9、10兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即48?8；5.92=5236.

故選：D

4.C

解析:如圖所示的正八邊形被過。的線段分成八個(gè)全等的等腰三角形,每個(gè)頂角均為

84

A選項(xiàng)，根據(jù)相等向量定義，應(yīng)該是=A選項(xiàng)錯(cuò)誤；

3兀

B選項(xiàng)，由圖所示，0旦?！钡膴A角含有三個(gè)等腰三角形的頂角，故為二，

于是OE在0〃上的投影的數(shù)量為|OE|cos?=-乎，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，ZAOC=2x^=|,連接AC,則為等腰直角三角形，故AC=0=kc],

又,川=2,故|OA_OC|=|CA卜卜&=#x2=#WM,C選項(xiàng)正確；

3兀

D選項(xiàng)，結(jié)合圖形可知OROG的夾角為邛，根據(jù)數(shù)量積的定義，

4

OD-OG=1x1xcos—■=-9D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

42

故選：C

2sin。

解析：因?yàn)閠an2”含^。cos。

cos化簡可得

cos20-sin202—sin。

cos20

2sin6^(2-sin0)=cos26^-sin20=l-2sin26,即sin。=；,

且6w(0,,則sin(26+])=cos26=1—2sin?6=1—2x(；)=(.

故選：D

6.A

取30中點(diǎn)。，連接A。、CyO,因?yàn)锳|B=A。，CiB=CiD,

所以AOJ_60,C}O1BD,

所以N40G即為二面角A-BD—G的平面角，連接4G,AC,

因?yàn)殚L方體A8CO—AqG2中，AB=BC=^AAi=\f

所以A0=C0=2&,AAl=CCi=lf

所以4。=。0=3,又因?yàn)锳￡=4亞,

AO?9+9-327

在△AOG中,cos/AOC]

240xC。-2x3x39

7

所以二面角A的余弦值為

故選：A.

7.B

解析：用算籌隨機(jī)擺出一個(gè)不含數(shù)字0的兩位數(shù)，個(gè)位用縱式，十位用橫式，

共可以擺出9x9=81個(gè)兩位數(shù)，其中個(gè)位和十位上的算籌都為1有1x1=1種，

個(gè)位和十位上的算籌都為2有2x2=4種，個(gè)位和十位上的算籌都為3有2x2=4種,

個(gè)位和十位上的算籌都為4有2x2=4種，個(gè)位和十位上的算籌都為5有2x2=4種,

共有4x4+1=17種，所以個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的有81-17=64種，

所以個(gè)位和十位上的算籌不一樣多的概率為臀.

O1

故選：B

8.C

解析：如圖所示，

設(shè)。為大球的球心，大球的半徑為R,大正四面體的底面中心為E,棱長為AB=12,高為K

C。的中點(diǎn)為F,連接Q4,OB,OC,OD,0E,BF,

則BE=2BF=^X12=4A/5,正四面體的高/?=AE=A/4B2-B￡：2=逅）＜12=4后

333

因?yàn)猷晁拿骟w=4%一級，所以gxS八仙=4X+SA"CXR,所以R=；h=&,

設(shè)小球的半徑為廠，小球也可看作一個(gè)小的正四面體的內(nèi)切球，

且小正四面體的高力小=力-2R=2?,所以,?="!■%、=LX2#=邁，

14小42

3

所以小球的體積為:兀/=3兀="兀.

故選：c

9.ACD

解析：對于A,-(9.7+10.0+10.0+10.0+10.3)=10.0,

無="(9.6+9.7+10.0+10.2+10.5)=10.0=萬正確；

對于B,因?yàn)榧住⒁移骄刀紴?0,所以際=(9-7-1。)+0。3二10),

(9.6-10)*23+(9.7-10)2+(10.2-10)2+(10.5-10)2

S乙-

5

顯然甲種的樣本方差小于乙種的樣本方差，錯(cuò)誤；

對于C,70%x5=3.5,故甲種樣本的70%分位數(shù)為10.0,

乙種樣本的70%分位數(shù)為10.2,所以甲種樣本的70%分位數(shù)小于乙種樣本的70%分位數(shù),

正確；

對于D,甲乙兩種水稻近五年的總方差為0.072〃J。。*OOZfo,

故甲乙兩種水稻近五年的總方差為

2_(9.6-10)2+2x(9.7-10)2+4x(10.0-10)2+(10.3-10)2+(10.2-10f+(10.5-10)2_

S-------------------------------------------------------------------------0.072

10

正確.

故選：ACD

10.BCD

解析：由xw(o,7t),得+

因?yàn)椤▁)=sin"+今)?＞0)在區(qū)間((),兀)恰有兩個(gè)零點(diǎn),

7rCQ

所以2兀＜麗+—43兀，解得一＜＜y＜一,

333

所以BCD選項(xiàng)符合題意，

故選：BCD

11.BCD

解析：由題意，不放回的隨機(jī)取兩次，共有6x5=30種情況,

A=｛（2,1）,（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,5）,（4,6）,

（6,1）,（6,2）,（6,3）,（6,4）,（6,5）｝共15個(gè)基本事件，

B=｛（2,1）,（3,1）,（4,1）,（5,1）,（6,1）,（1,3）,（2,3）,（4,3）,（5,3）,（6,3）,

（1,5）,（2,5）,（3,5）,（4,5）,（6,5）｝共15個(gè)基本事件，故P⑻吟=；,故C正確;

顯然事件A與8有交事件，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤；

C=｛（1,3）,（1,5）,（2,4）,（2,6）,（3,1）,（3,5）,（4,2）,（4,6）,

（5,1）,（5,3）,（6,2）,（6,4）｝共12個(gè)基本事件，故尸（0=*|，

￡>=｛（1,2）,（1,4）,（1,6）,（2,1）,（2,3）,（2,5）,（3,2）,（3,4）,（3,6）,（4,1）,（4,3）,（4,5）,

（5,2）,（5,4）,（5⑹,（6,）（6,3）,（6,5）｝共18個(gè)基本事件，

所以C與?；閷α⑹录蔅正確；

事件8C=｛（3,1）,（5,1）,（1,3）,（5,3）,（1,5）,（3,5）｝共6個(gè)基本事件，

所以*BC）H=P（8）P（C）,

所以8與C相互獨(dú)立，故D正確.

故選：BCD.

12.AC

解析：因?yàn)槠矫嫫矫鍭CD,平面ABCc平面AC7AAC,

ACD為直角三角形，8,AC,二。。，平面ABC,

ABu平面ABC,：.CD_L43,

AfiC為直角三角形，AB1BC,CD,3?！?平面86。,8門3。=。

/.AB/平面BCD.

故選項(xiàng)A正確.

B

D

取AC中點(diǎn)E,連接BE,DE,AB=BC=76,BE±AC,

因?yàn)槠矫鍭BC工平面AC￡),平面ABCc平面AC7)=AC,3Eu平面ABC,

8E_L平面ACD,NBDE即為80與平面AQC所成角

AB=BC=y[6,AABC=90,ZCAD=30,

:.BE=6,CD=2,DE=5BD=M

6屈

:.smZBDE=—

BDVio-io

即8。與平面AC。的夾角的正弦值為叵.

10

故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

取AD中點(diǎn)尸，連接EF,則防〃CD,

又C￡>J_平面ABC,，EF_L平面ABC,

易知E為A8C外心，則三棱錐B-ACD的外接球球心在直線EF上,

又48=90,則F為,-ACD外心，F(xiàn)為三棱錐3-AC。的外接球球心

外接球半徑R=AF=-AD=-y/AC2+CD2=-712+4=2,

222

則三棱錐8-AC￡)外接球表面積S=4萬六=16%

故選項(xiàng)C正確.

由于AB2平面SCO,A8u平面ABD,

所以平面BCD,平面A8D,過點(diǎn)C作C〃_L8O于H,

，CH_L平面4町，

CH即為點(diǎn)C到平面48。距離,

AC=2>/3,CD=2,BD=M

,”V6x22后

..C/7=--,--=------.

V105

點(diǎn)C到平面ABD的距離為名叵

5

故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

綜上，選項(xiàng)AC正確.

13.史

3

解析：設(shè)向量2〃-/?與2/2-4的夾角為，，

皿c（2。-今（26-4）5a-b-2a2-2b2

則cos0=—ii-jr~=/=/=，

一母.[2。-414a2+b2-4a'ba2+4b2-4a-b

代入g,a2=|a|2=1,4/?2=4|/?|2=4,

”,口八5a-b—2a~—2b~1「八-i

解得：cos"]I=一「，又、n￡[0,可,

\J4a2+b2-4a-b-y]a2+4Z?2-4a-b2

所以向量2〃-8與2。-〃的夾角為y.

故答案為：.

71

14.-##30

6

解析：如圖，取4拉的中點(diǎn)G,分別連接尸G,EG,AF,則AC7//G,

通過異面直線所成角的性質(zhì)可知/EFG（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF與AC所成的角.

設(shè)AP=2,貝|JAE=GQ=DF=1,==舟

因?yàn)镻A_L面ABC。，A/u面ABC。，則石4_LA產(chǎn)，

則斯==6，

EF2+FG2-EG2y/3

EG=FG=712+12=V2?在口E/7G中，由余弦定理得cos/EFG=

2EFFG2

又Q<NEFG<n,所以NEFG=gJr故異面直線所與AC所成的角為7:T.

66

故答案為：--

0

15.0.704

解析：由題意，當(dāng)正常工作的概率最大的電子元件C在1號位置時(shí)，

電路子模塊能正常工作的概率最大，

且不同位置的元件是否正常工作不受其它元件影響，

由相互獨(dú)立事件概率公式，W0.8x[1-(1-0.6)(1-0.7)]=0.704,

故答案為：0.704

取8片中點(diǎn)E,CG中點(diǎn)F，中點(diǎn)G,A2中點(diǎn)。，

由題意可得，AE=RF=h+l=#>，OE=OF=J(9+1=卡,

在平面gBCG內(nèi)取一點(diǎn)尸，使得GP=及，則OP.z+⑼=&,

且GE=GF=6,所以以AA中點(diǎn)為球心，而為半徑的球面與側(cè)面瓦BCG的交線

是以G為圓心，夜為半徑的圓弧EPF,且NB|GE=NGGF=45。，則NEG尸=90。，則圓

弧￡P(guān)F的長為幻2兀、&=也兀.

42

故答案為：】生兀.

2

17.⑴，

O

解析：(1)由題意可知，數(shù)組(〃?,〃)表示這個(gè)試驗(yàn)的一個(gè)樣本點(diǎn).因此該試驗(yàn)的樣本空間

C=｛（〃?,〃）W，〃e｛1,2,3,4,5,6｝｝共有36個(gè)樣本點(diǎn).

記事件“機(jī)=”，，為A,則A=｛（1』）,（2,2）,（3,3）,（4,4）,（5,5）,（6,6）｝,

所以"（4）=6,

,、n(A)61

從而P(A)=-^=^=Z；

366

(2)記事件“加＞"”為B,則

B={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5))

,所以“(3)=15,

從而P(8)=，興=!|=得.

"(12)3612

（kll兀11）

18.（1）7=兀，—?-\,keZ

\ZOL）

（2）最大值為匕蟲，最小值為5.

22

解析：（1）/（力=sin（x—兀）sin（x—+cosxsin（5一x）=sinxcosx+cos2x

=—sin2x+—cos2x+—=sin（2x+—,所以函數(shù),?x）的最小正周期丁=與=兀；

令2/；=1丘2得》省-$丘2,所以函數(shù)〃x）的對稱中心為佟段,；）,AeZ；

（2）因?yàn)閤e稱，所以2X+：€[0,兀],

_88」4

11+V2

所以sin(2x+?e[0,l],則

2,2

所以當(dāng)2x+5=0或2/：=兀時(shí)，即x=-J或“爭時(shí)，/（x）min=l

44002

當(dāng)2x+1=[,即x=S時(shí)，/（x）=匕也.

428v/nm2

即函數(shù)f（x）的最大值為今&，最小值為g.

19.(1)0.080

⑵102分

⑶|.

解析：（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為:

1-（0.004+0.012+0.016+0.030+0.020+0.006+0,004）x10=0.080；

（2）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該地500名學(xué)生這次考試成績的平均分為：

70x0.004x10+80x0.012x10+90x0.016x10+100x0.030x10+110x0.020x10+

120X0.006X10+130X0.008X10+140XO.（XMX]0=102（分）；

（3）由頻率分步直方圖可知[95,105）的頻數(shù)為500x0.030x10=150,[105,115）的頻數(shù)為

500x0.020x10=100,所以兩組人數(shù)比值為3:2,

按照分層抽樣抽取5人，則在[95,105）,[105,115）分別抽取3人和2人,

記[95,105）這組三人的編號為AB,C,[105,115）這組兩人的編號為“也

故從5人隨機(jī)抽取2名，共10種情況，為：

設(shè)事件M=”從5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，抽取到的兩人不在同一組”

則加=｛（44）,（4幼,（氏4）,（8,6）,笆,°）,（。,。）｝,共6種情況.

故P（M）=\=|,

即從這5個(gè)人中隨機(jī)抽取兩人，則抽取到的兩人不在同一組的概率為.3.

9Vm+156

NU.（]）■

4

⑵竽,

解析：（1）如圖

設(shè)點(diǎn)?！?。2分別是正和△ABC的中心，球的半徑為R,且a，a，o三點(diǎn)共線，正三棱

臺ABC-ABC的高為002，

在等邊.ABC中，由AB=J5,得A。=AB=1,

同理，得4。2=2,

如下圖，過點(diǎn)A作則在AA尸中，4P=1，M=廂，"=aa=Jio—1=3,

所以正三棱臺ABC-ABG的高為3,在直角梯形O02MW中,

0幽手4=3,0/="=1,0?=3,

所以出=冬’所以正三棱臺4BC-MG的斜高為岑'

正三棱臺A8C?側(cè)面積為g(6+2g)x3x與=當(dāng)I,

又因?yàn)檎馀_ABC-A4G上下兩底的面積之和為

—xV3x5/3xsin—+—x2A/3Xxsin—="近

23234

所以正三棱臺A8C?AB?表面積為9m+156

4

(2)在RtAOO|A中，OO；+O1A2=R2,

即00：+1=R2,在RtA。。2A中，OO；+a吊=上，

即(3-Oq)2+4=R。兩式聯(lián)立解得：R<,

所以球。的體積為：丫=±兀配=生匣.

33

21.⑴84

⑵(|,6

(3)省+1.

解析：(1)若選①：由正弦定理得幽幽竺=sinA,即八［05304=00/1(1+0?8)

1+cosB

因?yàn)?<A苫,所以sinAwO,

所以6inB=l+cosB,整理得sin(B-^)=；,

又因?yàn)?。?嘮則一/5-所以吟

若選②：因?yàn)椤╯in3-J§hcos3cosc=V3（?cos2B,

由正弦定理得sinAsinB=\/3sinBcosBcosC+\/3sinCcos2Z?,

即sinAsinB=V3cosB(sinBcosC+sinCcosB)=gcosBsin(8+C),

所以sinAsinB=V3cosBsinA,

由Aw(O,7r),得sinAwO,

所以sinB=VJcosB,即tanB=\/3，

因?yàn)锽《O，S，所以84；

若選③：因?yàn)?+股=網(wǎng)，所以cos5sinC+sinBcosC2sirt4

tanCccosBsinCsinC

sin（B+C）_2sirt4

L|J——，

cosBsinCsinC

2sin4

又因?yàn)锳+a+C=7T,所以

cosnsinCsinC

又因?yàn)閟inA＞0,所以COSB=L

2

因?yàn)锽e（0，S，所以84；

0＜A＜-

77T7T

（2）在銳角，/RC中，由（1）得，c，，工＜A＜7,

八2兀,兀62