2023-2024學年天津市部分區(qū)域聯(lián)考高二年級下冊期中數(shù)學試題（含解析）

2023-2024學年天津市部分區(qū)域聯(lián)考高二下冊期中數(shù)學試題

一、單選題

1.已知函數(shù)/(X)=InX-—+2,其導函數(shù)是廣⑺,貝IJr(I)=()

A.2B.1C.0D.-1

【正確答案】D

【分析】求導得到導函數(shù)，計算得到答案.

2

【詳解】/(x)=Inx-X+2,則/'(x)=g-2x,則/'(1)=1-2=7.

故選：D

2.A：Xc=()

A.960B.480C.160D.80

【正確答案】B

【分析】直接計算得到答案.

4!6!號=

【詳解】A：xC：=_________X______________=4x3x2x480

(4-3)!3!×(6-3)!

故選：B

3.已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)是/'(x),若/'(x°)=2,貝IJHm上二！竺二2≤=()

—?r

A.-?-B.1C.2D.4

【正確答案】B

【分析】根據(jù)導數(shù)定義，將增量化成g??即可得到.

【詳解】因為/'(x0)=2

/(xo+∣?x)-∕(xo),/(?+^?Δ?Yf)1

1

所以Hm--------?-------------=-Hmft--------?j-------------=~K4=

Λ

AYTO?χ2→O—??Ax2

故選：B

4.在(1-2X)B的二項展開式中，中間一項的二項式系數(shù)是()

A.-32C；B.e?C.16C：D.C：

【正確答案】D

【分析】根據(jù)二項展開式的性質，即可求得中間一項的二項式系數(shù)，得到答案.

【詳解】由二項式（I-的展開式為TZ=C'^-2x）r,

又由二項式（l-2x）8的展開式共有9項，所以中間一項為第5項，

所以中間一項的二項式系數(shù)為C；.

故選：D.

5.有5人承擔A,B,C,D,E五種不同的工作，每人承擔一種，且每種工作都有人承

擔.若這5人中的甲不能承擔A種工作，則這5人承擔工作的所有不同的方法種數(shù)為（）

A.24B.60C.96D.120

【正確答案】C

【分析】先讓甲在民。,。,E中選擇一項工作，再讓剩余的4人選擇4項工作，計算得到答

案.

【詳解】先讓甲在民C,。,E中選擇一項工作，共有C；=4種方法；

再讓剩余的4人選擇4項工作，共有A：=24種方法，故共有24x4=96種方法.

故選：C

6.（正-引’的展開式中的常數(shù)項為（）

A.-18B.18C.-9D.9

【正確答案】A

【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，即可求得結果.

【詳解】（Gi］的展開式的通項公式為qM=C汁研=葭（-2）、空，

令—9-9r=0,得〃=1,

故常數(shù)項為C；（-2）、T8.

故選：A.

7.函數(shù)/（x）=-2COSr-X,x∈（0,π）,下列關于/（x）的說法中正確的是（）

A.為極小值，為極小值

B.總為極大值，為極小值

C./(巳)為極小值，/(號)為極大值

D./(E)為極大值，/(,)為極大值

【正確答案】C

【分析】由導數(shù)可得函數(shù)/(x)的單調區(qū)間，再由極值的概念即可得解.

【詳解】因為/(x)=-2COSr-X,x∈(0,π),所以幻(x)=2SinX-I,x∈(θ,τr),

令/"(x)=O即SinX=L可得X=N或X=2,

266

當問0年)時，Γ(x)<O,函數(shù)/(x)單調遞減;

π5π

當Xe6,T時，∕C(x)>O,函數(shù)/(x)單調遞增;

當Xe停π

時,∕,(x)<0,函數(shù)/(x)單調遞減;

所以當x=3時，函數(shù)/(χ)取得極小值/信)，當X=學時，函數(shù)/(x)取得極大值/5π

6<o√6

故選：C

8.7名身高各不相同的同學站成一排，若身高最高的同學站在中間，且其每一側同學的身

高都依次降低，則7名同學所有不同的站法種數(shù)為()

A.20B.40C.8D.16

【正確答案】A

【分析】讓最高的同學站中間，再在剩余的6人中選擇3人，放在左邊，剩余3人放在右邊,

計算得到答案.

【詳解】讓最高的同學站中間，再在剩余的6人中選擇3人，放在左邊，剩余3人放在右邊,

共有C：=20種站法.

故選：A

9.已知函數(shù)/(x)的導函數(shù)是7'(x),對任意的XeR,/'(x)<l,若/(-1)=1,則/(x)>x+2

的解集是()

A.(-1,1)B.(-l,+∞)C.(-∞,-l)D.(l,+∞)

【正確答案】C

【分析】設g(χ)=f(X)-X-2,求得g'(x)=∕'(x)T,根據(jù)題意得到g'(x)<O,得到函數(shù)

g(χ)單調遞減,又由/(-1)=1,得到g(T)=0,把〃χ)>χ+2,轉化為g(χ)>g(-l),結

合函數(shù)g(χ)的單調性，即可求得不等式的解集.

【詳解】設函數(shù)g(x)=/(X)-X-2,可得g'(χ)=/'(X)-1,

因為r(x)<ι,可得g'(χ)=r(X)-I<o,所以函數(shù)g(x)單調遞減，

又因為/(-1)=1,可得g(-l)="T)+l-2=0,

由不等式/(x)>x+2,即為g(x)>g(T)=0,所以x<-l,

即不等式/(x)>x+2的解集為(-8,-1).

故選：C.

二、填空題

10.在J展開式中，χ2的系數(shù)是.

【正確答案】60

【分析】由二項式展開式可得其通項為(T)'26"C"∣84,寫出含χ2的項即可得系數(shù)

【詳解】由題設，二項式展開式通項為C式2χ3)6→■(__Lγ=(-l)'26τc3"”,

X

當r=4時,(-1)426^4C^I8-'6=60X2,故Y的系數(shù)是60.

故60

11.函數(shù)/(X)=/InX的導數(shù)/'(X)=.

【正確答案】2xlnx÷x

【分析】根據(jù)導數(shù)的四則運算法則，準確計算，即可求解.

【詳解】由函數(shù)/(x)=dMx,可得r(x)=(χ2yinΛτ+%2(lnxy=2xlnx+x.

故答案為.2xlnx+x

12.已知(2—X)5=QO+。/+〃2尤2+〃3父+〃4一，則旬一+。2-。3+。4-。5=1

【正確答案】243

【分析】根據(jù)二項展開式，令x=-l,即可求解.

2i4s

【詳解】由（2-Xy=%+alx+a2x+a3x+aix+asx,

令X=-1,可得4-4∣+/-%+%-%=（2+1）=3,=243.

故答案為.243

13.有12個志愿者名額全部分配給某年級的10個班，若每班至少分配到一個名額，則所有

不同的分配方法種數(shù)為.

【正確答案】55

【分析】采用擋板法，即將12個志愿者名額看作12個相同的元素，分為10組，每組至少

一個元素，在這12個元素之間形成的11個空中，選9個插入擋板即可.

【詳解】12個志愿者名額全部分配給某年級的10個班，若每班至少分配到一個名額，

可將12個志愿者名額看作12個相同的元素，分為10組，每組至少一個元素，

因此在這12個元素之間形成的11個空中，選9個插入擋板即可，

故有C，=55種不同的分配方法種數(shù)，

故55

14.一個集合的含有3個元素子集的個數(shù)與這個集合的含有4個元素子集的個數(shù)相等，則這

個集合子集的個數(shù)為.

【正確答案】128

【分析】設集合的元素個數(shù)為〃，C：=C：,解得〃=7,再計算子集個數(shù)得到答案.

【詳解】設集合的元素個數(shù)為〃，則C：=C：,解得〃=7,故集合子集的個數(shù)為2’=128.

故128

15.若直線/與拋物線y=-∕+3相切，且切點在第一象限，貝I"與坐標軸圍成三角形面積的

最小值為.

【正確答案】4

【分析】設切點坐標，利用導數(shù)求切線方程，然后表示出三角形面積，利用導數(shù)可得最小值.

【詳解】設切點為3-2）,

因為了=-2x,所以切線斜率為-2?,

得切線/的方程為y-(3-f2)=-2f(XT)

/與坐標軸的交點分別為(0,r+3),(:+：,0)，

22t

令-χ2+3=0,解得x=±√J,

因為切點在第一象限，所以fe(O,百)，

3

所以/與坐標軸圍成三角形面積S=!”?+3)(￡+?=7(r+6∕+-)

222?4t

令/(0S,則/-(Z)=3*+6*=必產(chǎn)產(chǎn)I)

當，∈(0,l)時，f'(t)<0,/")單調遞減，

當f∈(i,√J)時,Γ(t)>o,/⑴單調遞增,

9

所以當f=l時，/?)有最小值/(I)=F+6+,=16

所以SmM=%16=4

故4

三、解答題

16.已知函數(shù)/(x)=χ3+f-χ+ι.

⑴求曲線y=∕(χ)在點(IJ(I))處的切線方程；

(2)求/(X)的單調區(qū)間.

【正確答案］⑴4x-y-2=0

⑵/(x)的單調遞增區(qū)間是(-8,-1)和(；,+8)；單調遞減區(qū)間是(-l,g)

【分析】(1)求出導函數(shù)/(X),得出切線斜率/”)，再計算出/⑴，由點斜式寫出切線方

程，整理即得；

(2)由/'*)>0得增區(qū)間，/'(x)<0得減區(qū)間,即可.

【詳解】(1)由題意得：f(x)^3x2+2x-l,

所以/'(1)=4,/(1)=2,

故曲線V=∕(x)在點(1,/⑴)處的切線方程y-2=4(x-l),即4x,2=0；

(2)∕f(x)=3x2+2x-l=(3x-l)(x+l),

令/'(x)>0,易得或x<-l,令/'(χ)<0,易得

所以函數(shù)在(-8,7)和(J+②)上遞增，在卜Iq)上遞減，

即/(X)的單調遞增區(qū)間是(γθ,τ)和單調遞減區(qū)間是1-1,；

17.在(j+2x)的二項展開式中，

(1)若〃=7,且第3項與第6項相等，求實數(shù)X的值：

(2)若第5項系數(shù)是第3項系數(shù)的10倍，求〃的值.

【正確答案】(1)更

2

(2)8

【分析】(1)當〃=7時，求得展開式的通項TM=2LC；X?T4,根據(jù)題意列出方程，即可求

解；

(2)求得展開式的通項根據(jù)題意，得到方程24?C=10X22?C3結合組

合數(shù)的計算公式，即可求解.

【詳解】⑴解：當〃=7時，可得(5+2x)展開式的通項乙=C；(土產(chǎn)?(2x)r=2rCX32,

令r=2,可得4=22?C"-8,令廠=5,可得7；=2"C；x,

因為第3項與第6項相等，可得22?C?-S=25?C*,解得X=更.

2

(2)解：由二項式(}+2xj展開式的通項&|=C：6)7，(2XY=2，?C：廿T4,

可展開式中第5項的系數(shù)為2"C：,第3項的系數(shù)為2??Cj,

因為第5項系數(shù)是第3項系數(shù)的10倍，可得24C=10X22?C3

RfI。DS-2）（"-3）_</（"-1）

即2C=5?Cj,IA∣JNX-?X

4×3×2×12x1

可得“2-5〃-24=O,解得〃=8或〃=-3（舍去）,

所以〃的值為8.

18.已知函數(shù)/(x)=12-3x+l)e'.

⑴求/(x)的極大值點和極小值點；

(2)求/(x)在區(qū)間［-1,3］上的最大值和最小值.

【正確答案】⑴極大值點為x=7,極小值點為χ=2

(2)最大值為/(3)=e3,最小值為/(2)=-e2

【分析】(1)求導，判斷單調區(qū)間，然后可得極值點；

(2)根據(jù)(1)可得單調區(qū)間，根據(jù)單調性可得最值.

【詳解】(1)/'(x)=(2x-3)e'+(x2-3x+l)e*=(x-2)(x+l)eA

令(x-+l)e`=O解得χ=-1或X=2,列表如下：

(-8,-1)-1(-1,2)2(2收)

/(X)+O-O+

/(X)單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增

所以極大值點為x=-l,極小值點為x=2.

(2)由(1)知，函數(shù)/(x)在［-1,2)上單調遞減，在⑵3］上單調遞增，

又/(T)=5eT,/(3)=(32-3×3+l)e3=e3,

所以∕?(-l)<∕(3)

所以y(x)在區(qū)間［T,3］上的最大值為"3)=e3,

最小值為〃2)=(2?-3x2+1)/=-/.

19.一個口袋內有5個不同的紅球，4個不同的白球.

(1)若將口袋內的球全部取出后排成一排，求白球互不相鄰的排法種數(shù)；

(2)已知取出一個紅球記2分，取出一個白球記1分，若從口袋內任取5個球，總分不少于8

分，求不同的取法種數(shù).

【正確答案】(1)43200

(2)81

【分析】(1)使用插空法可解；

(2)分3紅2白，4紅1白，5紅三種情況求解即可.

【詳解】(1)先將5個紅球排成一排共A；=5χ4χ3χ2χl=120,再將4個白色小球插入到6

個空位中有A：=6x5x4x3=360,

所以白球互不相鄰的排法種數(shù)為120x360=43200種.

(2)當取出的小球為3紅2白時得8分，共C；C；=10x6=60種；

當取出小球為4紅1白時得9分，共C；C；=5x4=20種：

當取出小球都是紅球時得10分，共1種.

所以口袋內任取5個球，總分不少于8分的取法共有60+20+1=81種.

20.已知函數(shù)/(x)=IrLt-X-1,g(x)=∣αr3-αx(α>0).

⑴判斷/(x)的零點個數(shù)，并說