高二數(shù)學(xué)人教A版選修1-2作業(yè)1-1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

第一章1.1請同學(xué)們認(rèn)真完成練案[1]A級(jí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))中的eq\o(b,\s\up6(^))為9.4，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)，銷售額為(B)A．63.6萬元 B．65.5萬元C．67.7萬元 D．72.0萬元[解析]樣本點(diǎn)的中心是(3.5,42)，eq\o(b,\s\up6(^))＝9.4，則eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝9.1，所以回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝9.4x＋9.1，故當(dāng)x＝6時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝65.5．2．某公司為確定明年投入某產(chǎn)品的廣告支出，對近5年的廣告支出m(單位：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元)進(jìn)行了初步統(tǒng)計(jì)，得到下列表格中的數(shù)據(jù)：y3040p5070m24568經(jīng)測算，年廣告支出m與年銷售額y滿足線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5m＋17.5，則p的值為(D)A．45 B．50C．55 D．60[解析]eq\x\to(m)＝eq\f(2＋4＋5＋6＋8,5)＝5，∴eq\x\to(y)＝6.5×5＋17.5＝50，∴eq\f(30＋40＋p＋50＋70,5)＝50，解得p＝60．故選D．3．已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)x0123y1357則y與x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過點(diǎn)(D)A．(2,2) B．(eq\f(3,2)，0)C．(1,2) D．(eq\f(3,2)，4)[解析]∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)(0＋1＋2＋3)＝eq\f(3,2)，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,4)(1＋3＋5＋7)＝4，∴回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))必過點(diǎn)(eq\f(3,2)，4)．4．關(guān)于隨機(jī)誤差產(chǎn)生的原因分析正確的是(D)(1)用線性回歸模型來近似真實(shí)模型所引起的誤差；(2)忽略某些因素的影響所產(chǎn)生的誤差；(3)對樣本數(shù)據(jù)觀測時(shí)產(chǎn)生的誤差；(4)計(jì)算錯(cuò)誤所產(chǎn)生的誤差．A．(1)(2)(4) B．(1)(3)C．(2)(4) D．(1)(2)(3)[解析]理解線性回歸模型y＝bx＋a＋e中隨機(jī)誤差e的含義是解決此問題的關(guān)鍵，隨機(jī)誤差可能由于觀測工具及技術(shù)產(chǎn)生，也可能因忽略某些因素產(chǎn)生，也可以是回歸模型產(chǎn)生，但不是計(jì)算錯(cuò)誤．5．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)x345678y4.02.5－0.50.5－2.0－3.0得到的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝bx＋a，則(A)A．a(chǎn)＞0，b＜0 B．a(chǎn)＞0，b＞0C．a(chǎn)＜0，b＜0 D．a(chǎn)＜0，b＞0[解析]畫出散點(diǎn)圖如圖所示，由散點(diǎn)圖知b＜0，a＞0.故選A．6．已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^)).若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1,0)和(2,2)求得的直線方程為y＝b′x＋a′，則以下結(jié)論正確的是(C)A.eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ B．eq\o(b,\s\up6(^))>b′，eq\o(a,\s\up6(^))＜a′C.eq\o(b,\s\up6(^))＜b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′ D．eq\o(b,\s\up6(^))＜b′，eq\o(a,\s\up6(^))＜a′[解析]本題考查線性回歸方程，考查運(yùn)算能力．由公式eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)求得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(5,7)，代入(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))求得eq\o(a,\s\up6(^))＝－eq\f(1,3)，而由兩點(diǎn)確定的方程為y＝2x－2，∴eq\o(b,\s\up6(^))＜b′，eq\o(a,\s\up6(^))>a′．二、填空題7．在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)、(x2，y2)、…、(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝eq\f(1,2)x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為__1__．[解析]因?yàn)樗械臉颖军c(diǎn)都落在一條直線上，所以相關(guān)系數(shù)|r|＝1，又由回歸方程為y＝eq\f(1,2)x＋1，說明x與y正相關(guān)，即r>0，所以r＝1．8．某公司未來對一種新產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價(jià)x(元)456789銷量y(件)908483807568由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋eq\o(a,\s\up6(^))，當(dāng)產(chǎn)品銷量為76件時(shí)，產(chǎn)品定價(jià)大致為__7.5__元．[解析]eq\x\to(x)＝eq\f(4＋5＋6＋7＋8＋9,6)＝6.5，eq\x\to(y)＝eq\f(90＋84＋83＋80＋75＋68,6)＝80．∵線性回歸直線eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋eq\o(a,\s\up6(^))過點(diǎn)(6.5,80)，∴80＝－4×6.5＋eq\o(a,\s\up6(^))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝106，∴eq\o(y,\s\up6(^))＝－4x＋106．當(dāng)eq\o(y,\s\up6(^))＝76時(shí)，76＝－4x＋106，∴x＝7.5．∴當(dāng)產(chǎn)品銷量為76件時(shí)，產(chǎn)品定價(jià)大致為7.5元．三、解答題9．某電腦公司有6名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額的數(shù)據(jù)如下表：推銷員編號(hào)12345工作年限x/年35679推銷金額y/萬元23345(1)以工作年限為自變量，推銷金額為因變量y，作出散點(diǎn)圖；(2)求年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程；(3)若第6名推銷員的工作年限為11年，試估計(jì)他的年推銷金額．[解析](1)依題意，畫出散點(diǎn)圖如圖所示．(2)從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致在一條直線附近，設(shè)所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))．則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,5,)xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(10,20)＝0.5，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝0.4，∴年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5x＋0.4．(3)由(2)可知，當(dāng)x＝11時(shí)，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.5x＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9(萬元)．∴可以估計(jì)第6名推銷員的年推銷金額為5.9萬元．B級(jí)素養(yǎng)提升一、選擇題1．(多選題)已知變量x與y滿足關(guān)系y＝0.8x＋9.6，變量y與z負(fù)相關(guān)．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(ACD)A．變量x與y正相關(guān)，變量x與z正相關(guān) B．變量x與y正相關(guān)，變量x與z負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量x與z正相關(guān) D．變量x與y負(fù)相關(guān)，變量x與z負(fù)相關(guān)[解析]根據(jù)變量與滿足關(guān)系可知，變量x與y正相關(guān)；再由變量y與z負(fù)相關(guān)知，變量x與z負(fù)相關(guān)．故選ACD．2．(多選題)設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中正確的是(ABC)A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg[解析]本題考查線性回歸方程．D項(xiàng)中身高為170cm時(shí)，體重約為58.79kg，而不是確定，回歸方程只能作出估計(jì)，而非確定線性關(guān)系．二、填空題3．調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x(單位：萬元)和年飲食支出y(單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.254x＋0.321，由回歸直線方程可知，家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加__0.254__萬元．[解析]由題意知其回歸系數(shù)為0.254，故家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加0.254萬元．4．某市居民2014～2018年家庭年平均收入x(單位：萬元)與年平均支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表：年份20142015201620172018收入x11.512.11313.515支出Y6.88.89.81012根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，居民家庭年平均收入的中位數(shù)是__13__．[解析]把2014～2018年家庭年平均收入按從小到大順序排列為11.5,12.1,13,13.5,15，因此中位數(shù)為13(萬元)．三、解答題5．隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表：年份20152016201720182019時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2020年(t＝6)的人民幣儲(chǔ)蓄存款．附：回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))t＋eq\o(a,\s\up6(^))中，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\to(t)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,t)\o\al(2,i)－n\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)．[解析](1)序號(hào)tyt2ty11515226412337921448163255102550eq\o(,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))153655120由上表，eq\x\to(t)＝3，eq\x\to(y)＝eq\f(36,5)＝7.2，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(2,i)＝55，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi＝120．∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(120－5×3×7.2,55－5×9)＝1.2．eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)＝7.2－1.2×3＝3.6．∴所求回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2t＋3.6．(2)當(dāng)t＝6時(shí)，代入eq\o(y,\s\up6(^))＝1.2×6＋3.6＝10.8(千億元)．∴預(yù)測該地區(qū)2020年的人民幣儲(chǔ)蓄存款為10.8千億元．6．以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：房屋面積(m2)11511080135105銷售價(jià)格(萬元)24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖；(2)求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線；(3)據(jù)(2)的結(jié)果估計(jì)當(dāng)房屋面積為150m2時(shí)的銷售價(jià)格．[解析](1)數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示：(2)eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))xi＝109，lxx＝eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝1570，eq\x\to(y)＝23.2，lxy＝eq\o(∑,\s\up6(5))eq\o(,\s\do4(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝308．設(shè)所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(308,1570)≈0.1962，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝1.8166．故所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1962x＋1.8166．(3)據(jù)(2)，當(dāng)x＝150m2時(shí)，銷售價(jià)格的估計(jì)值為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(萬元)．故估計(jì)當(dāng)房屋面積為150m2時(shí)的銷售價(jià)格為31.2萬元．7．(2018·全國卷Ⅱ理，18)下圖是某地區(qū)2000年至2016年環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額y(單位：億元)的折線圖．為了預(yù)測該地區(qū)2018年的環(huán)境基礎(chǔ)設(shè)施投資額，建立了y與時(shí)間變量t的兩個(gè)線性回歸模型．根據(jù)2000年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變量t的值依次為1,2，…，17)建立模型①：eq\o(y,\s\up6(^))＝－30.4＋13.5t；根據(jù)2010年至2016年的數(shù)據(jù)(時(shí)間變