陜西省寶雞市扶風縣法門高中2018-2019學年高二下學期第一次月考數(shù)學（理）試題

20182019學年第二學期高二理科數(shù)學第一次月考試題試卷說明：第I卷答案答在第II卷答題紙相應欄目內，考試結束上交第II卷答題紙.第I卷（選擇題共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1.一個物體的位移s關于時間t的運動方程為s=1－t+t2，其中s的單位是：m，t的單位是：s，那么物體在t=3s時的瞬時速度是A.5m／s B.6m／s C.7m／s D.8m／s【答案】A【解析】【分析】由位移關于時間的運動方程為，則，代入，即可求解．【詳解】由題意，位移關于時間的運動方程為，則，當時，，故選A．【點睛】本題主要考查了瞬時變化率的計算，其中解答中熟記瞬時變化率的計算公式，準確計算是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題．2.用反證法證明命題：“若能被3整除，那么中至少有一個能被3整除”時，假設應為（）A.都能被3整除 B.都不能被3整除C.不都能被3整除 D.不能被3整除【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反證法的步驟和命題的否定，直接對“中至少有一個能被3整除”的進行否定即可.【詳解】因為“至少有n個”的否定為“至多有n1個”.“中至少有一個能被3整除”的否定是：“都不能被3整除”，故應假設都不能被3整除.故本題答案為B.【點睛】反證法即首先假設命題反面成立，即否定結論，再從假設出發(fā)，經(jīng)過推理得到矛盾，得出假設命題不成立是錯誤的，即所求證命題成立.故用反證法證明命題時，應先假設命題的否定成立.反證法的適用范圍是：（1）否定性命題；（2）結論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復雜，而反面情況較少.3.函數(shù)的導數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用導數(shù)的運算公式和法則求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，故選：C【點睛】本題主要考查函數(shù)的導數(shù)的計算，屬于基礎題.4.設曲線在點處的切線與直線垂直，則（）A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】,直線的斜率為a.所以a=2,故選D5.用數(shù)學歸納法證明“”，在驗證是否成立時，左邊應該是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先分析題目在驗證是否成立時，把代入左邊，即可得出結果.【詳解】用數(shù)學歸納法證明“”，在驗證時，把代入，左邊.故選：C.【點睛】本題主要考查數(shù)學歸納法，屬于基礎題.6.函數(shù)f(x)在點x0處存在導數(shù)，則“”是“為函數(shù)極值點”的（）A.充分必要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分而不必要條件 D.必要而不充分條件【答案】D【解析】【分析】本題先判斷充分性不成立，再判斷必要性成立，即可給出答案.【詳解】解：充分性：當時，若恒成立，則不是函數(shù)極值點，所以充分性不成立；必要性：若為函數(shù)極值點，且函數(shù)f(x)在點x0處存在導數(shù)，則，所以必要性成立.綜上：“”是“為函數(shù)極值點”的必要而不充分條件.故選：D【點睛】本題考查充分條件與必要條件，是基礎題.7.給出下列三個類比結論：①(ab)n＝anbn與(a＋b)n類比，則有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay與sin(α＋β)類比，則有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2與(＋)2類比，則有(＋)2＝2＋2·＋2.其中結論正確的個數(shù)是（）．A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)各個題干的不同情況進行分類討論，逐個排除即可得解.詳解】對①，舉一反例，時，，矛盾，故①錯；對②，事實上，故②錯；對③，向量可以進行完全平方的運算，故③正確.故選：B.【點睛】本題考查了類比推理，類比推理的原則是兩命題的邏輯關系的相似性，由橫向和縱向兩個方向，在判斷過程中注意可行性和正確性，本題屬于簡單題.8.設是函數(shù)的導數(shù)，的圖像如圖所示，則的圖像最有可能的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)導函數(shù)的圖象判斷導函數(shù)在、、的正負情況，再根據(jù)導函數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性，最后根據(jù)單調性選擇函數(shù)的圖象.【詳解】解：由導函數(shù)的圖象可知：導函數(shù)在上，，則函數(shù)單調遞增；導函數(shù)在上，，則函數(shù)單調遞減；導函數(shù)上，，則函數(shù)單調遞增；故選：C【點睛】本題考查函數(shù)圖象的識別、根據(jù)導函數(shù)的圖象識別函數(shù)的圖象，是基礎題.9.設函數(shù)，則（）A.為的極大值點 B.為的極小值點C.為的極大值點 D.為的極小值點【答案】D【解析】試題分析：因為，所以．又，所以為的極小值點．考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；導數(shù)的運算法則．點評：極值點的導數(shù)為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點．10.對于R上可導的任意函數(shù)，若滿足則必有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先由題意得到函數(shù)的單調性,然后跟根據(jù)單調性進行判斷可得結論.【詳解】若，則為常數(shù)函數(shù),;若不恒成立,當時,,遞增，當時,,遞減..故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)最值和單調性的關系,考查對基本概念的理解,解題時可根據(jù)導函數(shù)的符號得到函數(shù)的單調性,進而得到函數(shù)的最值情況,屬于中檔題.11.已知函數(shù)的圖象與軸恰有兩個公共點，則A.或2 B.或3 C.或1 D.或1【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性求出極值點為，利用或可得結果.【詳解】因為,所以f(x)的增區(qū)間為,減區(qū)間為,所以的極大值為，極小值為，因為函數(shù)的圖象與軸恰有兩個公共點,所以只須滿足或，即或,故選A.【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、函數(shù)的極值以及函數(shù)的零點，屬于中檔題.對于與“三次函數(shù)”的零點個數(shù)問題，往往考慮函數(shù)的極值符號來解決,設函數(shù)的極大值為，極小值為：一個零點或；兩個零點或；三個零點且.12.若a＞0，b＞0，且函數(shù)f（x）=4x3﹣ax2﹣2bx+2在x=1處有極值，則ab的最大值等于（）A.2 B.3 C.6 D.9【答案】D【解析】試題分析：求出導函數(shù)，利用函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0得到a，b滿足的條件；利用基本不等式求出ab的最值；注意利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．解：∵f′（x）=12x2﹣2ax﹣2b又因為在x=1處有極值∴a+b=6∵a＞0，b＞0∴當且僅當a=b=3時取等號所以ab的最大值等于9故選D點評：本題考查函數(shù)在極值點處的導數(shù)值為0、考查利用基本不等式求最值需注意：一正、二定、三相等．第II卷（非選擇題共90分）二、填空題：（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)y＝x+在[x，x＋Δx]上的平均變化率_____【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式與平均變化率公式直接求解即可.【詳解】解：因為函數(shù)y＝x+，所以在[x，x＋Δx]上的平均變化率，故答案為：【點睛】本題考查利用函數(shù)的解析式求平均變化率，是基礎題.14.已知函數(shù)的圖像在點處的切線方程是，則____.【答案】【解析】【分析】由切線的方程找出切線的斜率，代入得到的值，又切點在切線方程上，所以把代入切線方程，求出的的值即為，進而可得結果．【詳解】由切線方程，得到斜率，即，又切點在切線方程上，所以把代入切線方程得，解得，即，則，故答案為.【點睛】本題主要考查學生會利用導數(shù)求曲線上在某點切線方程的斜率，是一道基礎題．15.已知，則=________.【答案】2【解析】試題分析：把給出的函數(shù)求導，在其導函數(shù)中取x=2，則f′（2）可求．解：由f（x）=x2+3xf′（2），得：f′（x）=2x+3f′（2），所以，f′（2）=2×2+3f′（2），所以，f′（2）=﹣2．故答案為﹣2．考點：導數(shù)的運算．16.觀察下列等式：根據(jù)上述規(guī)律，第四個等式為.【答案】=【解析】三、解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共6小題，70分）17.用分析法證明：【答案】證明見解析【解析】【分析】用分析法證明即可得出結論成立.【詳解】要證成立，只需證成立；只需證成立；只需證成立；只需證成立，因為成立，所以原不等式成立.【點睛】本題主要考查不等式的證明，分析法是一種常用的方法，逐步推出結論的充分條件，直到得到顯然成立的結論即可，是基礎題.18.數(shù)列滿足）.（1）計算，并由此猜想通項公式；（2）用數(shù)學歸納法證明（1）中的猜想.【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】試題分析：（1）分別令，可求解的值，即可猜想通項公式；（2）利用數(shù)學歸納法證明.試題解析：（1），由此猜想；（2）證明：當時，，結論成立；假設（，且），結論成立，即當（，且）時，，即，所以，這表明當時，結論成立，綜上所述，.考點：數(shù)列的遞推關系式及數(shù)學歸納法的證明.19.已知函數(shù)在點處取得極值.(1)求的值；(2)若有極大值，求在上的最小值．【答案】(1);(2).【解析】【分析】（1）f′（x）=3ax2+b，由函數(shù)f（x）=ax3+bx+c在點x=2處取得極值c﹣16．可得f′（2）=12a+b=0，f（2）=8a+2b+c=c﹣16．聯(lián)立解出．（2）由（1）可得：f（x）=x3﹣12x+c，f′（x）=3x2﹣12=3（x+2）（x﹣2），可得x=﹣2時，f（x）有極大值28，解得c．列出表格，即可得出．【詳解】解：因.故由于在點x=2處取得極值c16.故有即化簡得解得a=1，b=12（2）由（1）知；.令，得，.當時，，故在上為增函數(shù)；當時，，故在上為減函數(shù)；當時，，故在上為增函數(shù).由此可知在處取得極大值；，在處取得極小值.由題設條件知16+c=28，得c=12.此時，，，因此在上的最小值為.【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值、分類討論方法、方程與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.已知函數(shù)，曲線在點處切線方程為．（1）求的值；（2）討論的單調性，并求的極大值．【答案】（1）；（2）見解析.【解析】【詳解】試題分析：（1）求導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義及曲線在點處切線方程為，建立方程，即可求得，的值；（2）利用導數(shù)的正負，可得的單調性，從而可求的極大值．試題解析：（1）．由已知得，．故，．從而，．（2）由（1）知，，．令得，或．從而當時，；當時，．故在，上單調遞增，在上單調遞減．當時，函數(shù)取得極大值，極大值為．考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．【方法點晴】本題考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值．求極值的步驟是：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導數(shù)；(3)解方程，求出函數(shù)定義域內的所有根；(4)列表檢驗在的根左右兩側值的符號，如果左正右負，那么在處取極大值，如果左負右正，那么在處取極小值．21.已知函數(shù)．（Ⅰ）求的單調區(qū)間；（Ⅱ）求在區(qū)間上的最小值．【答案】（Ⅰ）單調遞減區(qū)間是（）；單調遞增區(qū)間是（Ⅱ）見解析【解析】【詳解】（Ⅰ）令，得．與的情況如下：x

（）

（

—

0

+

↗

↗

所以，的單調遞減區(qū)間是（）；單調遞增區(qū)間是（Ⅱ）當，即時，函數(shù)在[0，1]上單調遞增，所以（x）在區(qū)間[0，1]上的最小值為當時，由（Ⅰ）知上單調遞減，在上單調遞增，所以在區(qū)間[0，1]上的最小值為；當時，函數(shù)在[0，1]上單調遞減，所以在區(qū)間[0，1]上的最小值為22.設函數(shù)f(x)＝x2＋ax－lnx(a∈R)．（1）若a＝1，求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)