高一數(shù)學北師大版必修1教學教案第三章3-1指數(shù)函數(shù)的概念

指數(shù)函數(shù)的概念一、內(nèi)容和內(nèi)容解析內(nèi)容的本質(zhì)：指數(shù)函數(shù)刻畫了現(xiàn)實事物中增長率或衰減率為常數(shù)的變化規(guī)律，它的一般形式是，其中是自變量，定義域為.思想和方法：抽象是概念形成的基本方法，通過運算發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律，得到增長率或衰減率是常數(shù)，從而抽象出函數(shù)關系，歸納指數(shù)函數(shù)的概念.數(shù)形結合思想是函數(shù)研究的核心思想，借助冪函數(shù)的研究經(jīng)驗，通過觀察指數(shù)函數(shù)的圖象，從特殊到一般、具體到抽象，歸納得到指數(shù)函數(shù)的性質(zhì).知識上下位：函數(shù)的一般概念和性質(zhì)，是指數(shù)函數(shù)研究的上位.指數(shù)冪及其運算，是指數(shù)函數(shù)研究的基礎.冪函數(shù)的研究方法，可類比遷移到指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，為指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)的研究提供了活動經(jīng)驗.函數(shù)函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)指數(shù)育人價值：通過運算發(fā)現(xiàn)變量之間的關系，抽象出函數(shù)模型，在層層遞進地精確化過程中，形成數(shù)學概念，發(fā)展學生數(shù)學抽象的素養(yǎng).借助圖象和運算，研究指數(shù)函數(shù)，學會用數(shù)學的方式，研究一類變化規(guī)律，用數(shù)學的語言表達規(guī)律.在豐富的生活實例中，感受數(shù)學的文化價值、科學價值與應用價值.教學重點：指數(shù)函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).二、目標和目標解析1.單元目標（1）通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.（2）能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.2.目標解析達成上述目標的標志是：（1）學生經(jīng)歷對典型實例中蘊含的代數(shù)關系進行分析的過程，能通過運算，發(fā)現(xiàn)增長率或衰減率為常數(shù)這一特征，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，明確它的一般形式是，其中是自變量，定義域為，并能進行簡單的應用.（2）學生能畫出典型函數(shù)的圖象，觀察指數(shù)函數(shù)的圖象特征，得到指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)，并能初步應用．三、教學問題診斷分析1.學生在初中一次函數(shù)的學習中，已經(jīng)有用函數(shù)來刻畫事物變化規(guī)律的經(jīng)驗，但學生對“具體情境——發(fā)現(xiàn)問題——數(shù)學問題——數(shù)學表征——數(shù)學概念”這樣的抽象過程仍然有困難，對“用運算來發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律”的認識不足.學生不習慣從運算的角度去研究兩個變量之間的關系，對于層層遞進的代數(shù)化過程，有一定的困難.教學中應注重對利用運算來發(fā)現(xiàn)代數(shù)規(guī)律這一研究方法的引導.2.學生在前一章已經(jīng)經(jīng)歷了冪函數(shù)的研究，了解了研究一類函數(shù)的過程和方法.在此基礎上，繼續(xù)研究指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，只需要進行方法的類比遷移.有一些學生對于研究方法的認識不到位，在觀察指數(shù)函數(shù)的特征，歸納性質(zhì)的過程中，對于底數(shù)的分類，性質(zhì)研究的一些角度（單調(diào)性，特殊點等），需要教師引導啟發(fā)，并且通過合作探究活動，讓學生自主.教學難點：指數(shù)函數(shù)的抽象過程，指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的理解.四、教學支持條件分析1.本單元涉及的函數(shù)模型源于生活實際，數(shù)據(jù)較多，不易處理，借助圖形計算器來計算，需要學生能夠熟練地使用圖形計算器的運算功能.2.從幾個特殊的指數(shù)函數(shù)圖象到一般的指數(shù)函數(shù)圖象，需要借助圖形計算器來畫圖，需要學生能夠熟練地使用圖形計算器的作圖功能.3.本單元注重研究方法的形成過程，及時展示學生解決問題的切入點、思維過程、解答結果，暴露學生解題過程中的知識缺陷和思維漏洞，所以，需要借助黑板和多媒體投影及時有效地輔助教學.五、課時教學設計第一課時課時教學內(nèi)容指數(shù)函數(shù)的概念課時教學目標1.通過游客和碳14兩個實例，利用運算來刻畫增長率和衰減率為常數(shù)這一變化規(guī)律，概括出指數(shù)函數(shù)的概念，從中體驗抽象一類函數(shù)概念的方法，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)；2．通過鞏固、應用，在問題解決的過程中，理解指數(shù)函數(shù)的概念，進一步深化對指數(shù)函數(shù)變化規(guī)律的認識.（三）教學重點與難點重點：指數(shù)函數(shù)概念的抽象過程，指數(shù)函數(shù)對應關系特征的理解．難點：通過運算發(fā)現(xiàn)數(shù)的變化規(guī)律，利用增長率和衰減率抽象出指數(shù)函數(shù)的概念.（四）教學過程設計引言：前幾節(jié)課，我們已經(jīng)將整數(shù)指數(shù)冪拓展到實數(shù)指數(shù)冪，經(jīng)歷了冪函數(shù)的研究方法，認識了冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì).今天，我們繼續(xù)研究一類與此相關的基本初等函數(shù).【設計意圖】回顧舊知，建立新舊知識的聯(lián)系.（一）創(chuàng)設情境，探究模型問題1游客人數(shù)增長模型隨著中國經(jīng)濟高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應對措施，A地提高了景區(qū)門票價格，而B地則取消了景區(qū)門票.表格中給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次.探究1：比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)怎樣的變化規(guī)律？【學生回答】隨著年份的變化，游客人數(shù)隨之增長，且B地人次比A地增長快.【教師追問1】這是數(shù)據(jù)給我們的宏觀印象，你能用什么數(shù)學方法來描述這種變化？【學生回答】畫出散點圖.【學生活動】學生機器作圖，分別畫出A，B兩地景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖像，投影展示圖象.【教師追問2】為了便于觀察，可以先根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點，然后用光滑的曲線將離散的點連起來.觀察圖象，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？【學生回答】A地景區(qū)的游客人次近似于直線上升（線性增長），B地景區(qū)的游客人次則是非線性增長.【教師追問3】你能解釋什么是線性增長嗎？【學生回答】圖象近似于一條直線.【教師追問4】以一次函數(shù)y=kx+b的形式增長，刻畫均勻增長，也就是說在相同的時間間隔，增加的量相同.那我們再回到數(shù)據(jù)去，請同學們算一算兩地人次的逐年增加量.【教師追問5】你從增加量上發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎？【學生回答】后一年與前一年人次作差.A地年增加量大致相等（約為10萬次）【教師追問6】A地景區(qū)年增長穩(wěn)定在10萬次左右，這個10是個常量，那么，我們可以通過后一年與前一年人次的差，用逐年增加量10來刻畫他的增長規(guī)律.你能寫出這個一次函數(shù)嗎？【學生回答】設自變量為年份，游客人次為因變量，【教師追問7】在這里，我們更關注的是年份的增量，我們可以怎么表示？【學生回答】不妨設經(jīng)過的年數(shù)為，可得.【教師追問8】我們可以通過作差運算，用逐年增加量來刻畫A地的增長規(guī)律.但是，我們也發(fā)現(xiàn)B地年增加量越來越大.這依然是一種定性的刻畫，能不能像A地一樣，從定量的角度來表達它的變化規(guī)律？【學生回答】能不能試試其他運算.【設計意圖】首先，學生直觀感知表格中數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，建立初步認識.教師在學生回答的基礎上追問，引導學生觀察圖象，從形到數(shù)，回歸數(shù)與數(shù)之間的運算.類比年增加量，遷移運算思路，從對給出的數(shù)據(jù)的認識，抽象到對數(shù)學運算的認識.探究2：我們知道，年增加量是對相鄰兩年的游客人次做減法得到的，能否通過對B地景區(qū)每年的游客人次做其他運算發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律呢？請你試一試.【學生活動】學生機器運算，并展示運算結果.允許學生嘗試各種不同的運算，進行比較分析.從2002年起，將B地景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次.結果表明是一個常數(shù)，我們可以將1.111=0.11稱之為年增長率.提出增長率的概念.像這樣，增長率為常數(shù)的變化方式，我們成為指數(shù)增長（指數(shù)部分的變化）.因此，B地景區(qū)的游客人次近似于指數(shù)增長.探究3：寫出B地景區(qū)人數(shù)變化規(guī)律的函數(shù)解析式.【學生活動】引導學生用增長率來描述每年的游客人次，得到游客人次的增長倍數(shù)與年數(shù)之間的關系.顯然，從2001年開始，B地景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：1年后，游客人次是2001年的倍；2年后，游客人次是2001年的倍；3年后，游客人次是2001年的倍……年后，游客人次是2001年的倍如果設經(jīng)過年后的游客人次為2001年的倍，那么，這是一個函數(shù)，其中指數(shù)是自變量.【設計意圖】通過問題串，啟發(fā)學生思維.引導學生經(jīng)歷從表格到圖象，再到解析式的研究過程，分析游客人次的增長倍數(shù)與年份之間的關系，體驗數(shù)學函數(shù)模型的抽象過程，體會函數(shù)模型的發(fā)生發(fā)展過程，體會學會研究問題的一類方法.問題2碳14衰減模型1936年，良渚遺址第一次被發(fā)現(xiàn).2007年，考古專家根據(jù)古城墻邊的碎陶片，作出判斷：良渚古城的年代下限是公元前2300年.2011年，浙江省考古研究所與北京大學碳14實驗室合作，對從良渚古城發(fā)掘出的一系列樣本進行碳14測年.十幾組數(shù)據(jù)顯示，良渚古城城墻的年代大致在距今4300年至4500年之間.思考1：當生物死亡后，它機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），若年衰減率為，你能刻畫死亡生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關系嗎？【學生活動】自主嘗試建立模型.如果把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個單位，設生物死亡年數(shù)為，生物體內(nèi)碳14含量為，死亡1年后，生物體內(nèi)碳14含量為；死亡2年后，生物體內(nèi)碳14含量為；死亡3年后，生物體內(nèi)碳14含量為；……死亡年后，生物體內(nèi)碳14含量為.思考2：科學家發(fā)現(xiàn)，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這是時間稱為“半衰期”.你能求出嗎？，從而，所以，可得.這也是一個函數(shù)，指數(shù)是自變量.死亡生物體內(nèi)碳14含量每年都以的衰減率衰減.像這樣，衰減率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)衰減.因此，死亡生物體內(nèi)碳14含量呈指數(shù)衰減.【設計意圖】從已有的科學結果出發(fā)，引導學生進行數(shù)學表達，在數(shù)學化的過程中，歸納推理出指數(shù)函數(shù)模型.兩個實例側(cè)重點不同，實例1重在體驗函數(shù)模型的形成發(fā)生過程，實例2重在數(shù)學化過程，所以教師在處理方法上也應有所區(qū)別，體現(xiàn)層次性.（二）抽象特征，形成概念思考1：你還能舉出其他類似的函數(shù)模型嗎？思考2：這些函數(shù)有什么共同特征？思考3：推廣到一般，底數(shù)有什么要求？【設計意圖】通過幾個不同的函數(shù)模型，抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，經(jīng)歷從特殊到一般，具體到抽象的過程，從中體驗抽象一類函數(shù)概念的方法，提升數(shù)學抽象素養(yǎng).教師引導分析結構特征，理解概念，并通過追問，引發(fā)學生思考，完善底數(shù)的取值范圍.抓住自變量在指數(shù)位置這一基本特征，理解底數(shù)取值的合理性．（三）概念應用，加深理解例1已知指數(shù)函數(shù)，且，求的值.【設計意圖】對函數(shù)概念的理解和應用例2（1）在問題1中，如果平均每位游客出游一次可給當?shù)貛?000元門票之外的收入，A地景區(qū)的門票價格為150元，比較這15年間A，B兩地旅游收入變化情況.【學生活動】同桌合作完成，借助機器計算作圖，分享交流.（2）在問題2中，某生物死亡10000年后，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來的百分之幾？思考：連續(xù)兩個半衰期是否就是一個“全衰期”？（閱讀材料）從特殊到一般，得到一般地指數(shù)增長模型：設原有量為，每次的增長率為，經(jīng)過次增長，該量增長到，則.形如的函數(shù)是刻畫指數(shù)增長或指數(shù)衰減變化規(guī)律的非常有用的函數(shù)模型.【設計意圖】進一步加深理解，例1是數(shù)學內(nèi)部的指數(shù)函數(shù)概念應用，例2是實例中的指數(shù)函數(shù)概念應用，解答中要使用大量的符號語言，文字語言，引導學生恰當?shù)妹枋鼋Y果.（1）中引導學生體會增長模型的增長速度.（2）中引導學生體會衰減模型的衰減速度，從而對指數(shù)函數(shù)的圖象形成初步的認識，為下一課作鋪墊.（四）課堂總結，提煉升華從實際問題到數(shù)學問題，經(jīng)歷數(shù)學抽象的過程，認識、表達、理解指數(shù)函數(shù)的概念，體會通過運算來發(fā)現(xiàn)不變關系，用函數(shù)來刻畫規(guī)律的基本方法.【設計意圖】總結提煉，內(nèi)化概念，明晰研究方法.（五）目標檢測，練習鞏固1.下列圖象中，有可能表示指數(shù)函數(shù)的是（）B.C.