2023年高考數(shù)學理一輪復習教學案第7章7-4基本不等式

7.4基本不等式

【考試要求】

1.掌握基本不等式及常見變型.

2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.

【知識梳理】

I.基本不等式：√^≤竽

(1)基本不等式成立的條件：4>0,b>0.

(2)等號成立的條件：當且僅當β≡女時取等號.

(3)其中皆叫做正數(shù)”，力的算術平均數(shù)，√7叫做正數(shù)“，人的幾何平均數(shù).

2.幾個重要的不等式

22

(l)a+b^2ab(gf?≡R).

(2)^+∣>2(α,b同號).

(3)6z?≤∣^—―J-(〃,?∈R).

層+廬、

⑷》?∈R).

以上不等式等號成立的條件均為a=b.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知X,y都是正數(shù)，如果積封等于定值P,那么當X=)'時，和x+y有最小值2√R

(2)已知X,y都是正數(shù)，如果和x+y等于定值S,那么當x=y時，積盯有最大值;S?.

注意：利用不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.

【思考辨析】

判斷下列結論是否正確(請在括號中打“J"或"X")

(1)不等式向W”)與標W皇等號成立的條件是相同的.(×)

(2)y=x+1的最小值是2.(×)

(3)若x>0,)>0且無+y=xy,則Ay的最小值為4.(√)

(4)函數(shù)y=sinx+V^：,x∈(^0,號的最小值為4.(×)

【教材題改編】

1.已知x>2,則x+1行的最小值是()

A.?B.2C.2√2D.4

答案D

解析?.”>2,

ΛX+-?=X-2+-?+2≥2Λ/(χ-2)-二+2=4,

χ-2x-2?∣'7χ-2

當且僅當X—2=」入，即x=3時，等號成立.

X—2

2.函數(shù)y=4—X—1(x<0)()

A.有最小值2B.有最小值6

C.有最大值2D.有最大值6

答案B

解析y=4+(-x)+/、

≥4+2^(-χ)?θ)=6.

當且僅當一X=-L,即》=一1時取等號.

-X

3.若a,?∈R,下列不等式成立的是.

-?,a、c

9zx+聲2；

②HW學

喘WM

答案②③

解析當￡為負時，①不成立.

當ab<O時，④不成立.

題型一利用基本不等式求最值

命題點1配湊法

例1(l)(2022?樂山模擬)設Oae,則函數(shù)y=4x(3-2x)的最大值為()

99

A4B.4C，2D.9

答案C

解析y=4x(3-2x)=2?2x?(3-2x)

3”斗∣.

當且僅當2r=3—2x,即X=］時取等號,

39

當X=Z時，Jmax=2-

29

(2)若xq,則√(x)=3x+l+不工有()

A.最大值OB.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

答案C

2

解析??“q,

3χ-2<0,

9

J(x)=3χ-2+^-^+3

^9^

=-(2-3x)+-j+3

≤~2^J(2-3x)?^%+3=-3.

91

當且僅當2—3X=丁一一即工=一微時取.

2-3X3

X2—2χ+2

(3)(2022?紹興模擬)若781,則y=*7~的最大值為

答案-1

解析因為一l<r<l,則0<l-χ<2,

1(I-χ)2+l

于是得丫=一

21—X

當且僅當一x=占,即x=°時取"=”,

—??-1—2

所以當尸。時，有最大值T

命題點2常數(shù)代換法

21

例2（2022,重慶模擬）已知α>0,?>0,且〃+力=2,則［+五的最小值是（）

A.IB.2

99

CwDi

答案C

解析因為4>0,?>0,且α+8=2,

所以"2-=?，

所以W+∕=*"+6)(1+/)

=≡?÷D

昌χ(2+∣)4

當且僅當4〃=飄2，等號成立.

命題點3消元法

例3（2022.煙臺模擬）已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為.

答案6

解析方法一（換元消元法）

由已知得9—（x+3y）=∕x?3ywg（三∕）,當且僅當χ=3y,即x=3,y=l時取等號.

即（x+3y>+12（x+3y）-108-0,

令x+3y=f,則00且產+⑵―10820,

得/26,即x+3y的最小值為6.

方法二（代入消元法）

9—3y

由x+3y+xy=9,得X=]+v，

9一3)，La9-3y+3y(l+y)

所以x+3y=2=ι

ι+y+y

9+3y23(l+y)2—6(l+y)+12

=l+y=1+y

=3(1+y)+花-62213(1+y)?備一6

12-6=6,

當且僅當3(l+y)=H,即y=l,x=3時取等號,

1十y

所以x+3y的最小值為6.

延伸探究本例條件不變，求孫的最大值.

解方法一9~xy=x+3y^2?∣3xy,

?，.9一孫22y∣3xy,

令t，，/>0,

Λ9-∕2≥2√3Λ

即∕2+2√3r-9≤0,

解得0?7W小,

Λ-?∕^≤√3,Λxγ≤3,

當且僅當冗=3y,即x=3,y=l時取等號，

Axy的最大值為3.

方法二Tx=］工J

9~3y9y~3y1

??刀=百?產下曠

-3°，+++15。+1)—12

y+1

12

=-35H)-幣?+15

≤-2^3(y+l)?-^-+15=3.

1?

當且僅當3(y+l)=Fγ,即y=l,x=3時取等號.

y十1

Axy的最大值為3.

【備選】

1.(2022?哈爾濱模擬)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,則當x+y取得最小值時，y等于()

A.16B.6C,18D.12

答案B

解析因為x>0,γ>0,2x+8y=xy,

≥10+21—^=10+2X4=18,

?JyX

2xSy

=x=12,

當且僅當，>一”‘叱=6時取等號'

^2x÷8>j-xy=O,

所以當x+y取得最小值時，y=6.

一/

2.已知函數(shù)式X)=WX<—1),則()

A.於)有最小值4B.兀V)有最小值一4

C.40有最大值4D.7U)有最大值一4

答案A

因為x<—1,所以x+l<0,—(x+1)>0,

所以式x)22√I+2=4,

當且僅當一(x+1)==■二八,即x=-2時，等號成立.

故7U)有最小值4.

思維升華(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.

(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式.

(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代

換的方法；三是消元法.

2

跟蹤訓練1(1)已知函數(shù)火X)=UY+x(2x>l),則4X)的最小值為

5

-

2

析

11

-十-

22

113

當且僅當一Ly=即九=1時取.

?；人￥）的最小值為

⑵(2022?襄陽四中月考)若實數(shù)x>l,且x+2y=3,則占+一7的最小值為________

NX1z,y?

答案4

解析令x—l=%2y-1=〃，

則zn>0,n>0且m+n=x~1÷2y-1=1,

'',^?+2y-l^m+n

=(?+5)(m+")

rjm

=2+'+'N2+2=4,

mn

當且僅當A=?,即M7="=T時取"=".

.'?一的最小值為4.

X-12y—1

題型二基本不等式的常見變形應用

例4（1）（2022?寧波模擬）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世

西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形

實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明.現(xiàn)有如圖所示圖形，點尸在半圓。上，點C在直徑AB上，

KOF1.AB,設4C=α,BC=b,則該圖形可以完成的無字證明為（）

A.-^-^y[ah(a>0fb>0)

B.a2+h2^2y[ah(a>0,?>0)

CWy[Σi>(a>O,?>0)

解析由圖形可知，O∕7=%8=∕α+3,

OC=/(〃+與—6),

在RtAOC尸中，由勾股定理可得，

CF=N吟研+方）,

?:CF20F,

?，?q；（〃2+廬）+b）（α>0,b>0）?

（2）（2022?廣州模擬）已知OVZ<1,?>1,則下列不等式中成立的是（）

I,一4ab

?*a+b^+h

B.y∣m>v2金

Va-rb

C.y∣2cι1+2b2<2y[ab

D.a÷b<?∣2a2+2b2

答案D

解析對于選項A,因為0<α<l,?>1,

所以（〃+方）2=〃2+2〃〃+方2>4”仇故選項A錯誤；

對于選項B,√^>T?=?T.故選項B錯誤；

a~vb

Y-Il?

a+τb

對于選項C,y∣2（a1÷b2）>yj2×2ab=2y[ab,

故選項C錯誤；

對于選項D,2Λ2+2b2>a2+2ab+b2=（a+b）2,

所以a+b<y^2a2+2b2,故選項D正確.

【備選】

若a,0∈R,且">0,則下列不等式中，恒成立的是（）

A.a2+b2>2abB.a+b^2y[cib

Cb。

-Ill2r

C~Q÷τ>b^7y∣=a^bD~a÷Tb≥2

答案D

解析a2+b2^2ab,所以A錯誤；

ab>O,只能說明兩實數(shù)同號，同為正數(shù)，或同為負數(shù)，

所以當〃<0,〃<0時，B錯誤；同時C錯誤；

月或與都是正數(shù)，根據(jù)基本不等式求最值，

價能2正殍2,故D正確.

思維升華基本不等式的常見變形

⑴H安性牛

27I—/+b7∣a2+b2

(2)^—j^≤?^?≤2^?/-2-(。>0，?>0).

士+石v

跟蹤訓練2（l）（2022?浙南名校聯(lián)盟聯(lián)考）已知命題p：a>h>O,命題q：一弓一〉（丁廠J2,則P

是夕成立的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案A

解析Va>b>O,則cr+b1>2ab,

:?2（，+b2）>a2÷?2+Iab,

2（/+?2）>（∏+?）2,

.半哂

，由〃可推出q,

當4<0,b<0時，命題q成立，

如a=-1,匕=—3時，1^"'I=5>（^W^2=4,

工由9推不出P，

:?p是q成立的充分不必要條件.

（2）（2022?漳州質檢）已知小人為互不相等的正實數(shù)，則下列四個式子中最大的是（）

?,-?B1+1

a+bab

c2C2

C?祠DQK

答案B

解析Ta,匕為互不相等的正實數(shù)，

???'2

?2+5

2____2_=_1____2

a+bz2y∕aby/ab^ylab9

I2∣~2~12

7聲KE韜G

.?.最大的是!+S

柯西不等式

柯西不等式是法國著名的數(shù)學家、物理學家、天文學家柯西(CaUChy,1789—1857)發(fā)現(xiàn)的，

故命名為柯西不等式.柯西不等式是數(shù)學中一個非常重要的不等式，除了用柯西不等式來證

明一些不等式成立外，柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問題中，借助柯西不等式的

技巧可以達到事半功倍的效果.

1.(柯西不等式的代數(shù)形式)設〃，b,cfd均為實數(shù)，則(/+∕)(c2+d2)N(αc+機/，當且僅

當qd=bc時，等號成立.

推廣一般情形：設〃2,,?*,a,l9h?fbi,…，?n∈R,

2

則(H+〃歸---F底)(易÷?H-----卜山)2(〃]bi+a2b24------卜anbn)(當且僅當?∕=0(f=1,2,…,n)

或存在一個實數(shù)使得a=kb?=1,2,…，〃)時，等號成立).

2.(柯西不等式的向量形式)設〃，夕為平面上的兩個向量，則IaIWl2∣"∕∣,其中當且僅當/?是

零向量，或存在實數(shù)4,使以=S時等號成立.

3.(柯西不等式的三角不等式)設無1,yι,X2,y2,工3,>3為任意實數(shù)，則：

√(Λ∣—X2)2+Cyi-J2)2+√(X2-X3)2+GJ2-??)2

K(U-X3)2+(Ji->3)2.

一、利用柯西不等式求最值

例1已知X,y滿足x+3y=4,則4/+)2的最小值為.

64

答案37

解析(x+3y)2W(4f+y2)Q+9),

464

所以4x2+y2216X萬=為，

當且僅當y=12x時，等號成立，

64

所以4%2+γ2的最小值為方.

22

例2已知正實數(shù)X,yfZ滿足％+y+z2=l,正實數(shù)α,b,C滿足標+序+/=%則Oχ+

by+cz的最大值為.

答案3

解析(G+b)，+czyW(〃2+/+，)?(f+y2+z2)=9,

/.6zx+?y+cz≤3,

當且僅當〃=3x,b=3y,c=3z時取"="，

.?ax+by+cz的最大值為3.

例3函數(shù)y=54χ-1+/10-2%的最大值為.

答案6√3

解析y2=(5√?PT+√10-2Λ)2=(5√^?71+√2?√5TX)2≤(52+2)(χ-1+5-χ)=108,當且僅

當X=TW時等號成立，

二、利用柯西不等式證明不等式

例4已知防，Cl2,b?,岳為正實數(shù)，求證：(。仍1+。2岳乂曹+韻》3+。2)2.

當且僅當加=歷時，等號成立.

2

例5已知α∣,他，…，斯都是實數(shù)，求證：^(6n+^2∏------?-an)^c∏+d-?-----?-art.

證明根據(jù)柯西不等式，有(1~+1?~1∣~1∕)(α:+α2∏-----F*)2(1Xm+1XazH-------H

1X*2,

所以+"2------1^小F≤ατ+?H-----Fα∏.

課時精練

1.下列函數(shù)中，最小值為2的是()

2

A.y=x÷~

_X2+3

C.y=ev+e-χ

D.y=logu÷logγ3(0<x<1)

答案C

2

解析當x<0時，y=x+^<O,故A錯誤;

f+3/7-rT--Ξ1

產再?！?后?上,

當且僅當后=舟，

即/=-1時取等號，

Vx2≠-1,故B錯誤；

y=ex+e^?t>2-√ev?eA=2,

當且僅當dc=e~x,

即X=O時取等號，故C正確；

當x∈(0,l)時，y=log3Λ<0,故D錯誤.

2.(2022?漢中模擬)若”>0,人>0且2n+b=4,則必的最大值為()

A.2B.^C.4D.；

答案A

解析4=2α+?^2√2^?,

即2,y∣2ab,平方得6Z?≤2,

當且僅當2a=6,即α=l,b=2時等號成立，

：.ah的最大值為2.

3.(2022?蘇州模擬)若a,b是正常數(shù)，a≠b,x,>,∈(0,+o°),則幺+2三("]”),當且僅

Xyx∣y

當W=?時取等號.利用以上結論,函數(shù)犬X)=各7??,χw(θ,或取得最小值時X的值為()

?lB?IC坐D.∣

答案A

2949

解析?q+E=五+E

-25

當且僅當高2=?3?,即x=12時等號成立.

2%1—2xJ

4.(2022?重慶模擬)已知x>2,y>?,(》一2)。-1)=4,則x+y的最小值是()

A.?B.4

C.7D.3+√Γ7

答案C

解析,.'x>2,y>?,(X—2)(y-1)=4,

Λx+γ=(x-2)+(γ-1)+3

?2√(χ-2)(γ-l)+3=7,

x=4

當且僅當/時等號成立.

Iy=3

19

5.已知函數(shù)yu）=%+MG<1）,下列結論正確的是（）

A.y（x）有最大值，

B.y（x）有最大值一日

B

c.7U）有最小值下

7

D.4X）有最小值W

答案B

解析Λv）=?i+?+∣=-^+??+∣≤-2^P?+∣=-?,當且僅當X

=-5時等號成立.

6.已知函數(shù)知幻=f_：+4*>°）'則（）

A.於）有最大值3B.大幻有最小值3

c../U）有最小值;D.兀0有最大值（

答案D

解析於）=缶7

___L_r_J__1

X

4

當且僅當x=*即x=2時等號成立，

.?J（x）的最大值為;.

7.（2022?濟寧模擬）已知4,6為正實數(shù)，則“，2”是“MW16”的（）

A.充要條件

B.必要不充分條件

C.充分不必要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由α,。為正實數(shù)，

Λa+b^2?[ab,當且僅當a—b時等號成立，

若HWI6,可得由Wf*=呼W2Φ=2,故必要性成立；

Cl-T-D2y∣abZ乙

當α=2,?=10,此時-?W2,但H=20>16,故充分性不成立,

a~tb

因此“黑是316”的必要不充分條件.

8.己知正實數(shù)mb滿足a>O,b>O,且“+6=1,則下列不等式恒成立的有()

①2。+2哮2啦；②/+/<1；

(3)~+∣<4;④α+:>2.

A.①②B.①③

C.①②④D.②③④

答案C

解析V2u+2^2√2^=2√Fi^=2√2,當且僅當α=6時取等號，；.①正確；

"."a1+b2<a2+b2+2ab=(a+b)2^?,

②正確；

當且僅當α=b時取等號，.?.③錯誤;

V6f>0,?>0,a+h=?f

.".OVa<1,

Vβ+?2?y∑i=2,當且僅當α=l時取等號，

/.6Z+~>2,④正確.

9.若0<無<2,則小/4—Λ2的最大值為.

答案2

解析V0<^<2,

/.周4—X2=-?∕Λ2(4-X2)≤'+；^^~=2,

當且僅當JC2=4-X2,即X=啦時取.

10.若α>0,。>0,Igα+lgb=lg(q+6),則cι+〃的最小值為

答案4

解析依題意出?=。+仇.?.n+b=αbW

CJrJ,,一(α+b)2

即6t÷?≤----4----

Λtz+?≥4,當且僅當α=b時取等號，

.?a+b的最小值為4.

19

11.已知兩個正實數(shù)X,y滿足x+y=2,貝吐+缶的最小值為________

??II

套□案滎—3

解析因為正實數(shù)X,y滿足x+y=2,

所以尹l?+*?+(y+i)]

K>θ÷?i÷?

y+19/16

Xy+1τ,

即x金尸飄，等號成立.

12.（2021.天津）若α>0,b>0,貝++/+匕的最小值為

答案2√5

解析Vα>0,b>0,

'A?+?≥2?'2

當且僅當I=/且差=8,即α=%=正時等號成立，

?'.^+^+?的最小值為2?√Σ

13.（2022?南京模擬）若實數(shù)X,y滿足f+j2+孫=1,則x+y的取值范圍是（）

3,3J

3'3」

答案A

解析?.?χ2+y2+孫=IoD=(X+y)2—1,

又?.?孫W

Λ(χ+γ)2-1≤θy?)2,令χ+y