2023-2024學(xué)年上海市崇明區(qū)高二年級(jí)下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含答案）

2023-2024學(xué)年上海市崇明區(qū)高二下冊(cè)期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題

一、填空題

1.直線X=I的傾斜角為

【正確答案】90/?

【分析】根據(jù)直線的方程可得出直線的傾斜角.

【詳解】直線x=l垂直于X軸，故直線x=l的傾斜角為90.

故答案為.90

2.雙曲線片一片=1的虛軸長(zhǎng)為.

32

【正確答案】2夜

【分析】根據(jù)雙曲線的方程求出匕，進(jìn)而求解結(jié)論.

【詳解】雙曲線的方程為：?--=1.

32

可得6=夜，

22

，雙曲線--L=I的虛軸長(zhǎng)為：2b=2yf2-

32

故2&.

3.已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-2)的直線/的一個(gè)法向量為(6,2),貝I"的點(diǎn)法式方程為.

【正確答案】√3(x-l)+2(y+2)=0

【分析】由直線方程的點(diǎn)法式求解即可.

【詳解】；直線/過(guò)點(diǎn)(L-2),一個(gè)法向量為(耳,2),

二直線/的點(diǎn)法式方程為G(X-I)+2(y+2)=0.

故答案為.6(xT)+2(y+2)=0

4.圓Y+y2+2χ-4y=0的圓心坐標(biāo)是.

【正確答案】(-1,2)

【分析】化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，即可求得圓心坐標(biāo).

【詳解】由爐+V+2x-4y=0,得(x+l>+(y-2)2=5,

可得圓心坐標(biāo)為（-1,2）.

故（T2）.

5.橢圓個(gè)+￡=1的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

26

【正確答案】（0,±2）

【分析】通過(guò)橢圓的方程可判斷焦點(diǎn)在y軸上，并由片=/+從計(jì)算即可得出結(jié)論.

->?>

【詳解】橢圓三+E=I，則。2=6力2=2,則橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，

26

222

c=a-?=6-2=4,c=2,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0,±2）.

故答案為.（0,±2）

6.直線4：2x+y+6=0與Qx-y+l=0夾角的余弦值是.

【正確答案】叵

IO

【分析】分別設(shè)4,4的傾斜角為α,夕，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合兩角差的正切公式

與正切和余弦的關(guān)系求解即可

【詳解】設(shè)44的傾斜角為α/,4,4的夾角為。，則tanc=-2,tan∕7=l,故

-2-1=3,故∕∣4夾角的余弦值COSo=萬(wàn)，=亍=-yL=gp

tan^=∣tan(α-y5)∣=

l+(-2)×l√I2+32√∣δ10

哪

7.一個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，則該橢圓的離心率為

【正確答案】B

2

根據(jù)已知可知：a=2b,再代入離心率公式e=Jl~即可.

【詳解】由題知：2a=2×2b,即α=2?.

本題主要考查離心率的求法，根據(jù)題意找到關(guān)系式為解題的關(guān)鍵，屬于簡(jiǎn)單題.

8.直線（加-6）x+2（機(jī)一l）y-加一4=0（相∈R）必過(guò)點(diǎn)

【正確答案】（-1,1）

【分析】將直線方程化為AX+4丫+6+〃?（4》+巴y+。2）=0形式求解即可―

【詳解】直線方程（m-6）x+2（m-l）y-%-4=0（m∈R）可化為,

-6x-2y-4+MX+2y-l)=0(m∈R),

-6x-2y-4=0X=-I

；?由x+2y,解得

J=I

，直線(“i-6)x+2(m-l)y-，"一4=0(∈R)必過(guò)定點(diǎn)(-1,1).

故答案為.（-覃）

9.若圓U∕+y2=l被直線/:y=x+m所截得的弦長(zhǎng)為正，則，”=

【正確答案】±1

求出圓心到直線的距離，由圓的半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直角三角形可得答案.

【詳解】

圓心c（o,o）,半徑為1,圓心到直線的距離為IOq=瞿＜ι,

解得-上＜切＜血,∣C3∣=?^?,

因?yàn)閨0砰=|。C「+|C8「，所以I=Hf+田

l√2jI2J

解得m=±l,符合題意.

故答案為.±1

本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是利用由圓的半徑、弦心距、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成的直

角三角形解題，判斷直線和圓的位置關(guān)系有①幾何法，就是利用圓心到直線的距離和半徑大

小；②代數(shù)法，就是利用圓的方程和直線方程聯(lián)立后的判別式求解.

10?P為橢圓1+∕∣上一點(diǎn)，耳腦為左右焦點(diǎn)，若“明能，則的面積為

【正確答案】3√3

【分析】由橢圓定義得至“*∣+∣AEl=Io,忻閭=8,結(jié)合余弦定理得到I,利用三

角形面積公式求出答案.

【詳解】由橢圓片+3=1方程可知，α=5力=3,c=4,

259

點(diǎn)在橢圓上，歷，鳥(niǎo)為橢圓的左右焦點(diǎn)，

.?.IA用+∣A閭=1(),忻圖=8,^?AFl?=m,?AF2?=n,

在△耳P心中，由余弦定理得：cos/KPK=或土工H=L

2mn2

m÷n=10

則,解得:mn=12,

nV+n2-mn=64

所以aKPE的面積為g∕nnsin60°=3√3.

故36.

->2

11.已知焦點(diǎn)在)軸上的橢圓工+與=1被直線3x-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為;,

2a12

則正數(shù)。=.

【正確答案】√6

【分析】將直線的方程與橢圓的方程組成方程組，消去)得到關(guān)于X的方程，再根據(jù)根與系

數(shù)的關(guān)系求得AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的表達(dá)式，最后根據(jù)聯(lián)立的方程求出〃即可.

【詳解】由題意焦點(diǎn)在V軸上的橢圓三+1=l(α>√∑),

2Cr

把直線方程y=3x-2代入橢圓方程整理得(/+18)/一24工+2(4-/)=0.

24

設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為4χ,y),B(x,y),則由根與系數(shù)的關(guān)系可得，%+々=丁~高，

22a+18

橢圓工+q=1被直線3x-y-2=0截得的弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為

2a2

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，-?×7=7..?.β2=6,可得，α=√6.

02+1822

,故底?

12.已知點(diǎn)(χ,y)滿足方程Xkl+雪=1,則使得IGX+y-4∣<機(jī)恒成立的實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍是.

【正確答案】［4,+8)

【分析】對(duì)X,>的取值范圍分類(lèi)討論，去絕對(duì)值后，得到方程所表示的曲線，再通過(guò)

I6x+y-4∣<,”的幾何意義求解即可.

2

【詳解】當(dāng)χ≥0,yzo時(shí)，W=χ,∣y∣=y,原方程可化為C∣:χ+^=i,

當(dāng)x≥0,y<0時(shí)，W=χ,∣y∣=-y,原方程可化為C?：χ2-^-=l>

當(dāng)XCO,y≥0時(shí)，∣x∣=-x,?y?=y,原方程可化為C3：?^-Y=I,

當(dāng)x<0,y<0時(shí)，W=-X,|y|=_y,原方程可化為一/一孑=1,顯然不成立,

...如圖，P(X,y)點(diǎn)軌跡，是由橢圓CI的XN0,”0部分，雙曲線G的XN0,”0部分,

和雙曲線α的χ<0,yNO部分所組成的曲線C.

如圖，取直線/：瓜+y-4=0,雙曲線C2與G的漸近線均為y=±6x,

_∣0-(-4)∣_

2

其中，漸近線y=-√3Λ即直線0X+y=0到直線/的距離"。=4國(guó)+,=,

如圖，；P在曲線C上，

.?.P(x,y)到直線√3x+y-4=0的距離為〃=21j<d=2,

2。

/.l?/??÷—4∣<4,

，若不等式IGX+y-4∣<加恒成立，IjIlJm≥4,

.?.使得∣6x+y-4∣<加恒成立的實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是[4,y.

故答案為.[4,+∞）

本題解題的兩個(gè)關(guān)鍵步驟：一是通過(guò)分類(lèi)討論，將曲線方程去絕對(duì)值；二是通過(guò)幾何意義（點(diǎn)

到直線距離），求出使不等式成立的實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

二、單選題

13.“兩條直線的斜率乘積為T(mén)”是“兩條直線互相垂直”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【正確答案】A

根據(jù)兩直線垂直與斜率的關(guān)系判斷即可得到結(jié)果.

【詳解】當(dāng)兩條直線斜率乘積為-1時(shí)，兩條直線互相垂直，充分性成立；

當(dāng)兩條直線互相垂直時(shí)，其中一條直線可能斜率不存在，必要性不成立；

“兩條直線的斜率乘積為T(mén)”是“兩條直線互相垂直”的充分不必要條件.

故選：A.

χ22r22

14.橢圓工v+乙=1和工+v匕=1（）

124168

A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B.短軸長(zhǎng)相等C.焦距相等D.頂點(diǎn)相同

【正確答案】C

【分析】由橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)求解即可.

【詳解】對(duì)于橢圓工+亡=1,

124

2

〃；=12,月=4,c1=12-4=8,.?aλ-273,4=2,q=2>∕2,

???長(zhǎng)軸長(zhǎng)201=4√L短軸長(zhǎng)24=4,焦距2q=40,

對(duì)于橢圓蘭+￡=1,

168

β

@=16,b；=8,c；=16-8=8,..?=4,b2-2?∣2,c2=2y∣2,

?，?長(zhǎng)軸長(zhǎng)2〃2=8,短軸長(zhǎng)2d=4五,焦距2。2=4后，

.?.橢圓E+E=ι和E+ιi=ι的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)均不相等，故頂點(diǎn)不相同，焦距相等.

124168

故選：C.

15.設(shè)a,b∈R,ab≠O,那么直線ax—y+b=O和曲線bχ2+ay2=ab的圖形是

【詳解】對(duì)于A:由直線知：MOMO滁落:您,=.豳表示雙曲線；所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B:由直線知：">0,"<0;顏產(chǎn)+初/=津但即E-2=1.表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線?B

-ab

正確；

對(duì)于C:由直線知：〃<0力<0;赫H&表示焦點(diǎn)在X軸或y軸上的橢圓；C錯(cuò)誤；

對(duì)于D:由直線知：α>0*<0；枷產(chǎn)匕在小=必倒即^-^=1.表示焦點(diǎn)在X軸上的雙曲線.

D錯(cuò)誤.故選B

16.已知雙曲線A-I=I的左焦點(diǎn)為6,左、右頂點(diǎn)為4、4,P為雙曲線上任意一點(diǎn),

則分別以線段PK,A4為直徑的兩個(gè)圓的位置關(guān)系為（）

A.相交B.相切C.相離D.以上情況都有可能

【正確答案】B

【詳解】

如圖所示，若尸在雙曲線左支，則αQ=gPK=/(PM+2α)=∕PK+α=α+4,

即圓心距為半徑之和，兩圓外切；若尸在雙曲線右支，則Iqo2卜4-為，兩圓內(nèi)切，所以兩

圓相切，故選B.

三、解答題

17.已知直線/與直線2x+y-5=0平行，并且直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,

求直線/的一般式方程.

【正確答案】2x+y+4=0或2x+y-4=0

設(shè)所求直線方程為2x+y+C=0(Cx-5),求出直線/與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合已知條

件可得出關(guān)于C的方程，進(jìn)而可求得直線/的方程.

【詳解】由于直線/與直線2x+y-5=0平行，設(shè)直線/的方程為2x+y+C=0(Cw-5),

C

在直線/的方程中，令χ=(),可得y=-C；令y=o,可得X=-三

2

所以，直線/交X軸于點(diǎn)(-?∣,o),交y軸于點(diǎn)(o,-c).

1ryr?2

由于直線/與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為4,則］xkc∣x-?∣=?=4,解得C=±4.

因此，直線/的方程為2x+y+4=0或2x+y-4=0.

18.若圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)42,-3)和8(-2,-5),且圓心C在直線x-2y-3=0上，求圓C的方程.

【正確答案】(x+l>+(y+2)2=10

【詳解】因?yàn)椋=g,4B中點(diǎn)為(0,-4),所以AB中垂線方程為y+4=-2%,即2x+y+4=0,

解方程組■得

jr-2y-3≡0.

所以圓心C為(一1,—2).根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑LjS,

因此，所求的圓C的方程為(x+l>+(y+2)2=10.

19.已知圓U(x-2y+y2=l,動(dòng)直線/過(guò)點(diǎn)P(l,2).

(1)當(dāng)直線/與圓C相切時(shí)，求直線/的方程

(2)若直線/與圓C相交于A、B兩點(diǎn),求AB中點(diǎn)M的軌跡方程.

【正確答案】(I)X=I或3x+4y—11=0

⑵[+(yτ)='!且1

【分析】(1)討論直線/斜率不存在易得直線/為X=I,再根據(jù)兩條切線關(guān)于CP對(duì)稱(chēng)，結(jié)

合傾斜角的關(guān)系、二倍角正切公式求得另一條切線的斜率為-彳，即可寫(xiě)出切線方程.

4

(2)設(shè)M(X,y),根據(jù)ICM應(yīng)用兩點(diǎn)距離公式化簡(jiǎn)得到M的軌跡方程，

注意xxy的范圍.

【詳解】(1)當(dāng)直線/斜率不存在時(shí)尤=1,顯然直線/與圓C相切且切點(diǎn)為石。,())，

所以，對(duì)于另一條切線，若切點(diǎn)為。，則NEP￡)=2NEPC,XtanZEPC??

所以tanNEPD=J頡仔：;:,由圖知，直線。P的傾斜角的補(bǔ)角與NEPD互余，

1-tan2ZEPC3

所以直線OP的斜率為-故另一條切線方程為y—2=-1),g∣J3x÷4y-ll=0,

44

綜上，直線/的方程為X=I或3x+4y-ll=0.

(2)由(1)知直線/與圓C相交于A、B兩點(diǎn)，則斜率必存在,

設(shè)M(X,y),則ICM「+歸用「=歸。2=5,

2

所以(x_2)2+y2+(x_iy+(y_2)2=5,整理得卜—?∣)+(γ-l)=^,

4

當(dāng)直線/與圓。相切于點(diǎn)。時(shí)，直線。的斜率為其方程為：

13

y=*-2),由卜*一2),得,X——

；5,即切點(diǎn)D1(3K4),

3[3x+4y-ll=0

對(duì)于”的軌跡方程(x_|J+(y_l)2=；,當(dāng)X=T時(shí)，y=ι_半，

所以l<x<=,且1一或

525

綜上，M的軌跡方程為(T[+(yT)2△且id,