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第2章理解教材新知知識(shí)點(diǎn)一2.1把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練知識(shí)點(diǎn)二知識(shí)點(diǎn)三考點(diǎn)一考點(diǎn)二取一條定長(zhǎng)的無(wú)彈性的細(xì)繩,把它的兩端分別固定在圖板的兩點(diǎn)F1、F2處,套上鉛筆,拉緊繩子,移動(dòng)筆尖.問(wèn)題1:若繩長(zhǎng)等于兩點(diǎn)F1、F2的距離,畫(huà)出的軌跡是什么曲線?提示:線段F1F2.問(wèn)題2:若繩長(zhǎng)L大于兩點(diǎn)F1、F2的距離.移動(dòng)筆尖(動(dòng)點(diǎn)M)滿足的幾何條件是什么?提示:MF1+MF2=L.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的
的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.
(1)焦點(diǎn):
叫做橢圓的焦點(diǎn).
(2)焦距:
間的距離叫做橢圓的焦距.距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2兩個(gè)焦點(diǎn)2011年3月16日,中國(guó)海軍第7批、第8批護(hù)航編隊(duì)“溫州號(hào)”導(dǎo)彈護(hù)衛(wèi)艦,“馬鞍山”號(hào)導(dǎo)彈護(hù)衛(wèi)艦在亞丁灣東部海域高船集結(jié)點(diǎn)附近正式會(huì)合,共同護(hù)航,某時(shí),“馬鞍山”艦哨兵監(jiān)聽(tīng)到附近海域有快艇的馬達(dá)聲,與“馬鞍山”艦哨兵相距1600m的“溫州號(hào)”艦,3s后也監(jiān)聽(tīng)到了馬達(dá)聲(聲速340m/s),用A、B分別表示“馬鞍山”艦和“溫州號(hào)”艦所在的位置,點(diǎn)M表示快艇的位置.問(wèn)題1:“溫州號(hào)”艦比“馬鞍山”艦距離快艇遠(yuǎn)多少米?提示:MB-MA=340×3=1020(m).問(wèn)題2:把快艇作為一個(gè)動(dòng)點(diǎn),它的軌跡是雙曲線嗎?提示:不是.平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的
的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.
(1)焦點(diǎn):
叫做雙曲線的焦點(diǎn).
(2)焦距:
間的距離叫做雙曲線的焦距.距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于F1F2的正數(shù))兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2兩焦點(diǎn)如圖,我們?cè)诤诎迳袭?huà)一條直線EF,然后取一個(gè)三角板,將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上,并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點(diǎn),將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上,在拉鎖D處放置一支粉筆,上下拖動(dòng)三角板,粉筆會(huì)畫(huà)出一條曲線.問(wèn)題1:畫(huà)出的曲線是什么形狀?提示:拋物線.問(wèn)題2:DA是點(diǎn)D到直線EF的距離嗎?為什么?提示:是.AB是Rt△的一條直角邊.問(wèn)題3:點(diǎn)D在移動(dòng)過(guò)程中,滿足什么條件?提示:DA=DC.(1)一般地,平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F不在l上)的距離
的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,
叫做拋物線的焦點(diǎn),
叫做拋物線的準(zhǔn)線.
(2)
、
、
統(tǒng)稱為圓錐曲線.相等定點(diǎn)F定直線l橢圓雙曲線拋物線1.圓錐曲線定義用集合語(yǔ)言可描述為:
(1)橢圓P={M|MF1+MF2=2a,2a>F1F2};
(2)雙曲線P={M||MF1-MF2|=2a,2a<F1F2};
(3)拋物線P={M|MF=d,d為M到直線l的距離}.
2.在橢圓定義中,當(dāng)2a=F1F2時(shí),M的軌跡為線段F1F2,在雙曲線定義中,當(dāng)2a=F1F2時(shí),M的軌跡為兩條射線.
3.過(guò)拋物線焦點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線,垂足為N,則FN的中點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn),F(xiàn)N所在直線為拋物線對(duì)稱軸.
4.對(duì)于橢圓、雙曲線,兩焦點(diǎn)的中點(diǎn)是它們的對(duì)稱中心,兩焦點(diǎn)所在直線及線段F1F2的垂直平分線是它們的對(duì)稱軸.[例1]
平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)M到兩點(diǎn)F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0)的距離之和為3m,問(wèn)m取何值時(shí)M的軌跡是橢圓?
[思路點(diǎn)撥]
若M的軌跡是橢圓,則MF1+MF2為常數(shù),但要注意這個(gè)常數(shù)大于F1F2.[一點(diǎn)通]
深刻理解圓錐曲線的定義是解決此類問(wèn)題的前提,一定要注意定義中的約束條件:
(1)在橢圓中,和為定值且大于F1F2;
(2)在雙曲線中,差的絕對(duì)值為定值且小于F1F2;
(3)在拋物線中,點(diǎn)F不在定直線上.1.命題甲:動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A、B的距離之和PA+PB=2a(a>0,a為常數(shù));命題乙:P點(diǎn)軌跡是橢圓,則命題甲是命題乙的________條件.解析:若P點(diǎn)軌跡是橢圓,則PA+PB=2a(a>0,常數(shù)),∴甲是乙的必要條件.反過(guò)來(lái),若PA+PB=2a(a>0,常數(shù))是不能推出P點(diǎn)軌跡是橢圓的.這是因?yàn)椋簝H當(dāng)2a>AB時(shí),P點(diǎn)軌跡才是橢圓;而當(dāng)2a=AB時(shí),P點(diǎn)軌跡是線段AB;當(dāng)2a<AB時(shí),P點(diǎn)無(wú)軌跡,∴甲不是乙的充分條件.綜上,甲是乙的必要而不充分條件.答案:必要不充分2.動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)A(-2,0),B(2,0)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)是10,則點(diǎn)P的軌跡是________.解析:由題意知:PA+PB+AB=10,又AB=4,∴PA+PB=6>4.∴點(diǎn)P的軌跡是橢圓.答案:橢圓[例2]設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),Q是雙曲線上任一點(diǎn),從某一焦點(diǎn)引∠F1QF2的平分線的垂線,垂足是P,那么點(diǎn)P的軌跡是什么曲線?
[思路點(diǎn)撥]
利用雙曲線的定義,結(jié)合平面圖形的性質(zhì)判斷.[一點(diǎn)通]
當(dāng)點(diǎn)在圓錐曲線上時(shí),點(diǎn)一定滿足圓錐曲線的定義,如本題中,點(diǎn)Q在雙曲線上,則有QF1-QF2=2a,這是定義的要求.另外利用平面圖形的性質(zhì)解題是解析幾何中很常見(jiàn)的解題思想.3.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1(-1,0)和F2(1,0)的距離的和為3的點(diǎn)的軌跡是________.解析:F1F2=2<3,∴點(diǎn)P的軌跡是橢圓.答案:橢圓4.已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1和圓C2相外切,試判斷動(dòng)圓圓心M的軌跡.解:設(shè)圓M的半徑為r,由題意,得MC1=1+r,MC2=3+r.∵M(jìn)C2-MC1=2<C1C2,∴圓心M的軌跡是以C1,C2為焦點(diǎn)的雙曲線的左支.5.已知定點(diǎn)P(0,3)和定直線l:y+3=0,動(dòng)圓M過(guò)P點(diǎn)且與直線l相切.求證:圓心M的軌跡是一條拋物線.解:∵直線y+3=0與圓相切,∴圓心M到直線y+3=0的距離為圓的半徑r.又圓過(guò)點(diǎn)P(0,3),∴r=MP,∴動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)P(0
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