北師大版七年級數(shù)學下冊舉一反三 專題1.4 整式的除法-重難點題型（舉一反三）（原卷版+解析）

專題1.4整式的除法-重難點題型【北師大版】【知識點1單項式除以單項式】單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式．

關(guān)注：從法則可以看出，單項式除以單項式分為三個步驟：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③對被除式里含有的字母直接作為商的一個因式．【題型1單項式除以單項式】【例1】(2023春?肥城市期末）下列計算結(jié)果錯誤的是（）A．﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy B．（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝xy5 C．（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝﹣2x3y3 D．﹣（﹣a3b）2÷（﹣a2b2）＝a4【變式1-1】(2023秋?鎮(zhèn)原縣期末）如果一個單項式與﹣5ab的積為?58a2A．18a2c B．18ac C．258a3b2c 【變式1-2】(2023秋?新野縣期中）已知6aA．9ab2 B．﹣9ab2 C．9a3b6 D．9ab3【變式1-3】(2023春?田東縣期中）計算4a3m+1b÷（﹣8a2m﹣1）的結(jié)果為（）A．?12am+2b B．12【知識點2多項式除以單項式】多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加．

說明：多項式除以單項式實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式．多項式除以單項式的結(jié)果仍是一個多項式．【題型2多項式除以單項式】【例2】(2023秋?曲靖期末）計算(3aA．32a2?12a+1C．6a4﹣2a3+a2 D．6a2﹣2a【變式2-1】(2023秋?閬中市校級期中）(x6+2A．12x2 B．?12x2 【變式2-2】(2023秋?淅川縣期中）已知M?（﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，則M＝（）A．﹣4x3﹣9xy3﹣1 B．﹣4x3+9xy3+1 C．﹣4x3+9xy3 D．4x3+9xy3﹣1【變式2-3】(2023秋?佳木斯期末）若一個多項式與﹣2x2的積為﹣2x5+4x3﹣x2，則這個多項式為．【題型3由整式除法法則求字母的值】【例3】(2023春?鐵嶺月考）xmyn÷x2y3＝xy，則有（）A．m＝2，n＝6 B．m＝3，n＝4 C．m＝2，n＝3 D．m＝3，n＝5【變式3-1】(2023春?寧波期末）已知28a2bm÷4anb2＝7b2，那么m、n的值為（）A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2【變式3-2】(2023秋?十堰期中）已知8a3bm÷28an+1b2=27b2，則A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝2 C．m＝2，n＝2 D．m＝2，n＝3【變式3-3】(2023春?賀蘭縣期中）如果m(xayb)3【題型4整式除法中錯看問題】【例4】(2023秋?香洲區(qū)期末）已知A＝2x+6，B是多項式，在計算B﹣A時，小海同學把B﹣A錯看成了B÷A，結(jié)果得x，那么B﹣A的正確結(jié)果為（）A．2x2+4x﹣6 B．3x+6 C．2x2+6x D．2x2+4x+6【變式4-1】(2023秋?寶山區(qū)期末）小明在進行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘（x﹣2y）錯抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到3x，如果小明沒有錯抄題目，并且計算依然正確，那么得到的結(jié)果應(yīng)該是什么？【變式4-2】(2023秋?原陽縣月考）已知A＝2x，B是多項式，計算B+A時，某同學把B+A誤寫成B÷A，結(jié)果得x2（1）B+A的值；（2）A2【變式4-3】李老師給同學們講了一道題，小明認真地把它抄在筆記本上，放學后回到家拿出課堂筆記本，突然這道題的被除式的第二項和商的第一項被墨水污染了，污染后的習題如下：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y．你能復原被污染的地方嗎？請你試一試．【題型5整式除法的應(yīng)用】【例5】(2023秋?嵐皋縣期末）長方形的面積為2a2﹣4ab+2a，長為2a，則它的寬為（）A．2a2﹣4ab B．a(chǎn)﹣2b C．a(chǎn)﹣2b+1 D．2a﹣2b+1【變式5-1】(2023秋?海淀區(qū)期末）有兩塊總面積相等的場地，左邊場地為正方形，由四部分構(gòu)成，各部分的面積數(shù)據(jù)如圖所示．右邊場地為長方形，長為2（a+b），則寬為（）A．12 B．1 C．12(a+b) D．【變式5-2】(2023秋?蘭考縣期末）一個三角形的面積為3xy﹣4y，一邊長是2y，則這條邊上的高為．【變式5-3】(2023春?西湖區(qū)校級月考）如圖，一窗框形狀由一個長方形和一個半圓組成，若要把窗框設(shè)計成一個新的長方形形狀，面積保持不變，且底邊長仍為a，則高度應(yīng)為．【題型6豎式計算多項式除以多項式】【例6】(2023秋?思明區(qū)校級期中）【閱讀材料】多項式除以多項式，可用豎式進行演算，步驟如下：①把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊（或留出空白）；②用被除式的第一項去除被除式第一項，得到商式的第一項，寫再被除式的同次冪上方；③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），從被除式中減去這個積；④把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止，被除式＝除式×商式+余式，若余式為零，說明這個多項式能被另一個多項式整除．例如：計算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用豎式演算如圖．所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式為2x3+x+5，余式為﹣3x+5．（1）計算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式為，余式為；（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．【變式6-1】(2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）我們已經(jīng)學習過多項式除以單項式，多項式除以多項式一般可用豎式計算，步驟如下：①把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊；②用被除式的第一項除以除式第一項，得到商式的第一項；③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），消去相等項；④把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止，被除式＝除式×商式+余式，若余式為零，說明這個多項式能被另一個多項式整除．例如：計算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用豎式除法如圖：所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式為3x3﹣5x2+2x﹣1，余式為0．根據(jù)閱讀材料，請回答下列問題：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是，余式是；（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值．【變式6-2】(2023秋?椒江區(qū)校級期中）兩個多項式相除，可以先把這兩個多項式都按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個多位數(shù)相除的計算方法，用豎式進行計算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21計算如下：因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）＝3x+2．（1）閱讀上述材料后，試判斷x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，說明理由．（2）利用上述方法解決：若多項式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求ab【變式6-3】(2023秋?九龍坡區(qū)期末）我們知道整數(shù)a除以整數(shù)b（其中a＞b＞0），可以用豎式計算，例如計算68÷13可以用整式除法如圖：所以68÷13＝5…3．類比此方法，多項式除以多項式一般也可以用豎式計算，步驟如下：①把被除式，除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊；②用被除式的第一項除以除式第一項，得到商式的第一項；③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類對齊），消去相等項；④把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止，被除式＝除式×商式+余式，若余式為零，說明這個多項式能被另一個多項式整除．例如：計算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1）．可用整式除法如圖：所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1商式為3x3﹣5x2+2x﹣1，余式為0根據(jù)閱讀材料，請回答下列問題：（1）（x3﹣2x2﹣2x﹣3）÷（x﹣3）＝．（2）（6x3+14x2+23）÷（3x2﹣2x+4），商式為，余式為．（3）若關(guān)于x的多項式2x3+ax2+bx﹣3能被三項式x2﹣x+3整除，且a，b均為整數(shù)，求滿足以上條件的a，b的值及商式．專題1.4整式的除法-重難點題型【北師大版】【知識點1單項式除以單項式】單項式除以單項式，把系數(shù)，同底數(shù)冪分別相除后，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同他的指數(shù)一起作為商的一個因式．

關(guān)注：從法則可以看出，單項式除以單項式分為三個步驟：①系數(shù)相除；②同底數(shù)冪相除；③對被除式里含有的字母直接作為商的一個因式．【題型1單項式除以單項式】【例1】(2023春?肥城市期末）下列計算結(jié)果錯誤的是（）A．﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy B．（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝xy5 C．（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝﹣2x3y3 D．﹣（﹣a3b）2÷（﹣a2b2）＝a4分析：根據(jù)單項式相除，把系數(shù)和同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)一起作為商的一個因式，對各選項計算后利用排除法求解．【解答】解：A、﹣6x2y3÷（2xy2）＝﹣3xy，正確；B、（﹣xy2）3÷（﹣x2y）＝（﹣x3y6）÷（﹣x2y）＝xy5，正確；C、應(yīng)為（﹣2x2y2）3÷（﹣xy）3＝8x3y3，故本選項錯誤；D、﹣a6b2÷（﹣a2b2）＝a4，正確．故選：C．【變式1-1】(2023秋?鎮(zhèn)原縣期末）如果一個單項式與﹣5ab的積為?58a2A．18a2c B．18ac C．258a3b2c 分析：根據(jù)單項式除以單項式的運算法則計算，得到答案．【解答】解：設(shè)這個單項式為A，由題意得，A?（﹣5ab）=?58a2∴A=?58a2bc÷（﹣5ab）=故選：B．【變式1-2】(2023秋?新野縣期中）已知6aA．9ab2 B．﹣9ab2 C．9a3b6 D．9ab3分析：直接利用整式的乘除運算法則計算得出答案．【解答】解：6a6a2b6÷（）1=23ab則據(jù)號內(nèi)應(yīng)填入：6a2b6÷23ab4＝9ab故選：A．【變式1-3】(2023春?田東縣期中）計算4a3m+1b÷（﹣8a2m﹣1）的結(jié)果為（）A．?12am+2b B．12分析：直接利用整式的除法運算法則計算得出答案．【解答】解：4a3m+1b÷（﹣8a2m﹣1）=?12a3m+1﹣（2m=?12am+2故選：A．【知識點2多項式除以單項式】多項式除以單項式，先把這個多項式的每一項分別除以單項式，再把所得的商相加．

說明：多項式除以單項式實質(zhì)就是轉(zhuǎn)化為單項式除以單項式．多項式除以單項式的結(jié)果仍是一個多項式．【題型2多項式除以單項式】【例2】(2023秋?曲靖期末）計算(3aA．32a2?12a+1C．6a4﹣2a3+a2 D．6a2﹣2a分析：根據(jù)多項式除以單項式的法則計算即可．【解答】解：原式＝3a3÷12a﹣a2÷12a＝6a2﹣2a+1，故選：B．【變式2-1】(2023秋?閬中市校級期中）(x6+2A．12x2 B．?12x2 分析：利用除式＝被除式÷商式列出算式即可求得結(jié)論．【解答】解：∵(x∴M=(＝﹣2x2（?12x＝﹣2x2．故選：C．【變式2-2】(2023秋?淅川縣期中）已知M?（﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，則M＝（）A．﹣4x3﹣9xy3﹣1 B．﹣4x3+9xy3+1 C．﹣4x3+9xy3 D．4x3+9xy3﹣1分析：利用整式的除法法則進行倒推即可．【解答】解：已知M?（﹣2x2）＝8x5﹣18x3y3﹣2x2，則M＝﹣4x3+9xy3+1，故選：B．【變式2-3】(2023秋?佳木斯期末）若一個多項式與﹣2x2的積為﹣2x5+4x3﹣x2，則這個多項式為．分析：根據(jù)“其中的一個因式＝積÷另一個因式”列式，然后利用多項式除以單項式的運算法則進行計算．【解答】解：∵一個多項式與﹣2x2的積為﹣2x5+4x3﹣x2，∴這個多項式為：（﹣2x5+4x3﹣x2）÷（﹣2x2）＝x3﹣2x+1故答案為：x3﹣2x+1【題型3由整式除法法則求字母的值】【例3】(2023春?鐵嶺月考）xmyn÷x2y3＝xy，則有（）A．m＝2，n＝6 B．m＝3，n＝4 C．m＝2，n＝3 D．m＝3，n＝5分析：根據(jù)單項式相除的法則，列出方程即可得到答案．【解答】解：∵xmyn÷x2y3＝xy，∴m﹣2＝1且n﹣3＝1，∴m＝3，n＝4，故選：B．【變式3-1】(2023春?寧波期末）已知28a2bm÷4anb2＝7b2，那么m、n的值為（）A．m＝4，n＝2 B．m＝4，n＝1 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝2分析：根據(jù)單項式除單項式的法則進行計算后，再根據(jù)相同字母的次數(shù)相同列出關(guān)于m、n的方程，解方程即可求出m，n的值．【解答】解：∵28a2bm÷4anb2＝7b2，∴2﹣n＝0，m﹣2＝2，解得：m＝4，n＝2．故選：A．【變式3-2】(2023秋?十堰期中）已知8a3bm÷28an+1b2=27b2，則A．m＝4，n＝3 B．m＝4，n＝2 C．m＝2，n＝2 D．m＝2，n＝3分析：根據(jù)整式的除法即可求出答案．【解答】解：由題意可知：3＝n+1，m﹣2＝2，∴n＝2，m＝4，故選：B．【變式3-3】(2023春?賀蘭縣期中）如果m(xayb)3分析：先根據(jù)整式的除法運算法則計算已知等式的左邊，再根據(jù)底數(shù)相同，指數(shù)也相等得方程，求解即可．【解答】解：∵m(∴14則14解得m=【題型4整式除法中錯看問題】【例4】(2023秋?香洲區(qū)期末）已知A＝2x+6，B是多項式，在計算B﹣A時，小海同學把B﹣A錯看成了B÷A，結(jié)果得x，那么B﹣A的正確結(jié)果為（）A．2x2+4x﹣6 B．3x+6 C．2x2+6x D．2x2+4x+6分析：根據(jù)題目的已知可知B＝Ax＝x（2x+6），然后進行計算即可解答．【解答】解：∵B÷A＝x，∴B＝Ax＝x（2x+6）＝2x2+6x，∴B﹣A＝2x2+6x﹣（2x+6）＝2x2+6x﹣2x﹣6＝2x2+4x﹣6，故選：A．【變式4-1】(2023秋?寶山區(qū)期末）小明在進行兩個多項式的乘法運算時，不小心把乘（x﹣2y）錯抄成除以（x﹣2y），結(jié)果得到3x，如果小明沒有錯抄題目，并且計算依然正確，那么得到的結(jié)果應(yīng)該是什么？分析：根據(jù)小明的做法求出第一個多項式，根據(jù)多項式乘多項式的法則即可得出答案．【解答】解：3x（x﹣2y）＝3x2﹣6xy，（3x2﹣6xy）（x﹣2y）＝3x3﹣6x2y﹣6x2y+12xy2＝3x3﹣12x2y+12xy2．答：得到的結(jié)果應(yīng)該是3x3﹣12x2y+12xy2．【變式4-2】(2023秋?原陽縣月考）已知A＝2x，B是多項式，計算B+A時，某同學把B+A誤寫成B÷A，結(jié)果得x2（1）B+A的值；（2）A2分析：（1）根據(jù)被除式＝商式×除式，列式計算求出B，代入求出A+B的結(jié)果；（2）把A、B的式子代入A2【解答】解：（1）B＝2x（x2+12＝2x3+x2，A+B＝2x3+x2+2x；（2）A＝（2x）2?12（2x3+x＝4x2﹣x3?12=72x2﹣x【變式4-3】李老師給同學們講了一道題，小明認真地把它抄在筆記本上，放學后回到家拿出課堂筆記本，突然這道題的被除式的第二項和商的第一項被墨水污染了，污染后的習題如下：（21x4y3﹣+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝+5xy﹣y．你能復原被污染的地方嗎？請你試一試．分析：利用多項式除以單項式法則判斷即可確定出所求．【解答】解：根據(jù)題意得：5xy?（﹣7x2y）＝﹣35x3y2，（21x4y3）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2，則（21x4y3﹣35x3y2+7x2y2）÷（﹣7x2y）＝﹣3x2y2+5xy﹣y．【題型5整式除法的應(yīng)用】【例5】(2023秋?嵐皋縣期末）長方形的面積為2a2﹣4ab+2a，長為2a，則它的寬為（）A．2a2﹣4ab B．a(chǎn)﹣2b C．a(chǎn)﹣2b+1 D．2a﹣2b+1分析：利用長方形的面積公式進行計算即可．【解答】解：由題意得：（2a2﹣4ab+2a）÷（2a）＝a﹣2b+1，∴長方形的面積為2a2﹣4ab+2a，長為2a，則它的寬為：a﹣2b+1，故選：C．【變式5-1】(2023秋?海淀區(qū)期末）有兩塊總面積相等的場地，左邊場地為正方形，由四部分構(gòu)成，各部分的面積數(shù)據(jù)如圖所示．右邊場地為長方形，長為2（a+b），則寬為（）A．12 B．1 C．12(a+b) D．分析：求出左邊場地的面積為a2+b2+2ab，由題意可求右邊場地的寬＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）=a+b【解答】解：左邊場地面積＝a2+b2+2ab，∵左邊場地的面積與右邊場地的面積相等，∴寬＝（a2+b2+2ab）÷2（a+b）＝（a+b）2÷2（a+b）=a+b故選：C．【變式5-2】(2023秋?蘭考縣期末）一個三角形的面積為3xy﹣4y，一邊長是2y，則這條邊上的高為．分析：根據(jù)三角形的面積S=12ah，得到：h【解答】解：根據(jù)題意得：2（3xy﹣4y）÷（2y）＝（6xy﹣8y）÷（2y）＝3x﹣4，故答案為：3x﹣4．【變式5-3】(2023春?西湖區(qū)校級月考）如圖，一窗框形狀由一個長方形和一個半圓組成，若要把窗框設(shè)計成一個新的長方形形狀，面積保持不變，且底邊長仍為a，則高度應(yīng)為．分析：先根據(jù)長方形與圓形的面積公式求出原圖形的面積，然后根據(jù)長方形的面積公式即可求出答案．【解答】解：原面積為：ab+12×由于新的長方形的面積保持不變，∴（ab+πa28）÷a＝故答案為：b+π【題型6豎式計算多項式除以多項式】【例6】(2023秋?思明區(qū)校級期中）【閱讀材料】多項式除以多項式，可用豎式進行演算，步驟如下：①把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊（或留出空白）；②用被除式的第一項去除被除式第一項，得到商式的第一項，寫再被除式的同次冪上方；③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），從被除式中減去這個積；④把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止，被除式＝除式×商式+余式，若余式為零，說明這個多項式能被另一個多項式整除．例如：計算2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式和余式，可以用豎式演算如圖．所以2x5+3x3+5x2﹣2x+10除以x2+1的商式為2x3+x+5，余式為﹣3x+5．（1）計算（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）的商式為2x2﹣7x+18，余式為﹣41；（2）2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，求a、b的值．分析：（1）根據(jù)整式除法的豎式計算方法，整體進行計算即可；（2）根據(jù)整式除法的豎式計算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式為0，可以得到a、b的值．【解答】解：（1）（2x3﹣3x2+4x﹣5）÷（x+2）＝2x2﹣7x+18……﹣41，故答案為：2x2﹣7x+18，﹣41；（2）由題意得：∵2x4﹣4x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，∴﹣5﹣（a+10）＝0，b+2（a+10）＝0即：a＝﹣15，b＝10．【變式6-1】(2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）我們已經(jīng)學習過多項式除以單項式，多項式除以多項式一般可用豎式計算，步驟如下：①把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補齊；②用被除式的第一項除以除式第一項，得到商式的第一項；③用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下面（同類項對齊），消去相等項；④把減得的差當作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止，被除式＝除式×商式+余式，若余式為零，說明這個多項式能被另一個多項式整除．例如：計算（6x4﹣7x3﹣x2﹣1）÷（2x+1），可用豎式除法如圖：所以6x4﹣7x3﹣x2﹣1除以2x+1，商式為3x3﹣5x2+2x﹣1，余式為0．根據(jù)閱讀材料，請回答下列問題：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）的商是x2﹣2x+3，余式是1；（2）x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，求a，b的值．分析：（1）根據(jù)整式除法的豎式計算方法，整體進行計算即可；（2）根據(jù)整式除法的豎式計算方法，要使x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，即余式為0，可以得到a、b的值．【解答】解：（1）（x3﹣4x2+7x﹣5）÷（x﹣2）＝x2﹣2x+3……1，故答案為：x2﹣2x+3，1；（2）由題意得：∵x3﹣x2+ax+b能被x2+2x+2整除，∴a﹣2＝﹣6，b＝﹣6，即：a＝﹣4，b＝﹣6．【變式6-2】(2023秋?椒江區(qū)校級期中）兩個多項式相除，可以先把這兩個多項式都按照同一字母降冪排列，然后再仿照兩個多位數(shù)相除的計算方法，用豎式進行計算．例如（7x+2+6x2）÷（2x+1），仿照672÷21計算如下：因此（7x+2+6x2）÷（2x+1）＝3x+2．（1）閱讀上述材料后，試判斷x3﹣x2﹣5x﹣3能否被x+1整除，說明理由．（2）利用上述方法解決：若