普通高等校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)理試題（湖北卷）

PAGEPAGE122013年湖北省理科數(shù)學(xué)高考試題WORD解析版一、選擇題1、在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【解析與答案】，。故選D【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算2、已知全集為，集合，，則（）A.B.C.D.【解析與答案】，，。故選C【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】不等式的求解，集合的運(yùn)算3、在一次跳傘訓(xùn)練中，甲、乙兩位學(xué)員各跳一次，設(shè)命題是“甲降落在指定范圍”，是“乙降落在指定范圍”，則命題“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”可表示為（）A.B.C.D.【解析與答案】“至少有一位學(xué)員沒有降落在指定范圍”即：“甲或乙沒有降落在指定范圍內(nèi)”。故選A?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】命題及邏輯連接詞4、將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后，所得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是（）A.B.C.D.【解析與答案】的圖像向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位后變成，所以的最小值是。故選B?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)圖象及其變換5、已知，則雙曲線與的（）A.實(shí)軸長(zhǎng)相等B.虛軸長(zhǎng)相等C.焦距相等D.離心率相等【解析與答案】雙曲線的離心率是，雙曲線的離心率是，故選D【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】雙曲線的離心率，三角恒等變形6、已知點(diǎn)、、、，則向量在方向上的投影為（）A.B.C.D.【解析與答案】，，，故選A?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量的投影7、一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（的單位：，的單位：）行駛至停止。在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離（單位;）是（）A.B.C.D.【解析與答案】令，則。汽車剎車的距離是，故選C。【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用8、一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體從上到下由四個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成，其體積分別記為，，，，上面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為旋轉(zhuǎn)體，下面兩個(gè)簡(jiǎn)單幾何體均為多面體，則有（）A.B.C.D.【解析與答案】C由柱體和臺(tái)體的體積公式可知選C【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】三視圖，簡(jiǎn)單幾何體體積9、如圖，將一個(gè)各面都涂了油漆的正方體，切割成125個(gè)同樣大小的小正方體。經(jīng)過攪拌后，從中隨機(jī)取出一個(gè)小正方體，記它的涂油漆面數(shù)為，則的均值為A.B.C.D.第9題圖【解析與答案】三面涂有油漆的有8塊，兩面涂有油漆的有36塊，一面涂有油漆的有54塊，沒有涂有油漆的有27塊，所以。故選B?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】古典概型，數(shù)學(xué)期望10、已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【解析與答案】令得，。又，。，故選D?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)導(dǎo)數(shù)與極值，函數(shù)的性質(zhì)二、填空題（一）必考題11、從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50到350度之間，頻率分布直方圖所示。（I）直方圖中的值為；（II）在這些用戶中，用電量落在區(qū)間內(nèi)的戶數(shù)為。第11題圖【解析與答案】，【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】頻率分布直方圖12、閱讀如圖所示的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出的結(jié)果。否否開始是結(jié)束是奇數(shù)是否輸出【解析與答案】5程序框圖運(yùn)行過程如表所示：i12345a1051684【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】程序框圖13、設(shè)，且滿足：，，則?！窘馕雠c答案】由柯西不等式知，結(jié)合已知條件得，從而解得，?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】柯西不等式及其等號(hào)成立的條件）14、古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)。如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第個(gè)三角形數(shù)為。記第個(gè)邊形數(shù)為，以下列出了部分邊形數(shù)中第個(gè)數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)正方形數(shù)五邊形數(shù)六邊形數(shù)……可以推測(cè)的表達(dá)式，由此計(jì)算?！窘馕雠c答案】觀察和前面的系數(shù)，可知一個(gè)成遞增的等差數(shù)列另一個(gè)成遞減的等差數(shù)列，故，【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】歸納推理，等差數(shù)列（二）選考題第15題圖15、如圖，圓上一點(diǎn)在直線上的射影為，點(diǎn)在半徑上的射影為。若，則的值為。第15題圖【解析與答案】由射影定理知【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】射影定理，圓冪定理16、在直角坐標(biāo)系中，橢圓的參數(shù)方程為。在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸）中，直線與圓的極坐標(biāo)方程分別為與。若直線經(jīng)過橢圓的焦點(diǎn)，且與圓相切，則橢圓的離心率為?！窘馕雠c答案】直線的方程是，作出圖形借助直線的斜率可得，所以，【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)化，橢圓的幾何性質(zhì)，直線與圓三、解答題17、在中，角，，對(duì)應(yīng)的邊分別是，，。已知。（I）求角的大小；（II）若的面積，，求的值?！窘馕雠c答案】（I）由已知條件得：，解得，角（II），由余弦定理得：，【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式，解三角函數(shù)方程，三角形面積，正余弦定理18、已知等比數(shù)列滿足：，。（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）是否存在正整數(shù)，使得？若存在，求的最小值；若不存在，說明理由。【解析與答案】（I）由已知條件得：，又，，所以數(shù)列的通項(xiàng)或（II）若，，不存在這樣的正整數(shù)；若，，不存在這樣的正整數(shù)?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列性質(zhì)及其求和19、如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，直線平面，，分別是，的中點(diǎn)。（I）記平面與平面的交線為，試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并加以證明；（II）設(shè)（I）中的直線與圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，且點(diǎn)滿足。記直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，二面角的大小為，求證：。第19題圖第19題圖【解析與答案】（I），，又（II）連接DF，用幾何方法很快就可以得到求證。（這一題用幾何方法較快，向量的方法很麻煩，特別是用向量不能方便的表示角的正弦。個(gè)人認(rèn)為此題與新課程中對(duì)立體幾何的處理方向有很大的偏差。）【相關(guān)知識(shí)點(diǎn)】20、假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量。記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為。（I）求的值；（參考數(shù)據(jù)：若，有，，。）（II）某客運(yùn)公司用、兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長(zhǎng)途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次，、兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的運(yùn)營(yíng)成本分別為1600元/輛和2400元/輛。公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求型車不多于型車7輛。若每天要以不小于的概率運(yùn)完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的運(yùn)營(yíng)成本最小，那么應(yīng)配備型車、型車各多少輛？【解析與答案】（I）（II）設(shè)配備型車輛，型車輛，運(yùn)營(yíng)成本為元，由已知條件得，而作出可行域，得到最優(yōu)解。所以配備型車5輛，型車12輛可使運(yùn)營(yíng)成本最小?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】正態(tài)分布，線性規(guī)劃21、如圖，已知橢圓與的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)軸均為且在軸上，短軸長(zhǎng)分別為，，過原點(diǎn)且不與軸重合的直線與，的四個(gè)交點(diǎn)按縱坐標(biāo)從大到小依次為，，，。記，和的面積分別為和。（I）當(dāng)直線與軸重合時(shí)，若，求的值；（II）當(dāng)變化時(shí)，是否存在與坐標(biāo)軸不重合的直線，使得？并說明理由。第21題圖第21題圖【解析與答案】（I），解得：（舍去小于1的根）（II）設(shè)橢圓，，直線：同理可得，又和的的高相等如果存在非零實(shí)數(shù)使得，則有，即：，解得當(dāng)時(shí)，，存在這樣的直線；當(dāng)時(shí)，，不存在這樣的直線?！鞠嚓P(guān)知識(shí)點(diǎn)】直線與橢圓相交的問題（計(jì)算異常復(fù)雜）22、設(shè)是正整數(shù)，為正有理數(shù)。（I）求函數(shù)的最小值；（II）證明：；（III）設(shè)，記為不小于的最小整數(shù)，例如，，。令，求的值。（參考數(shù)據(jù)：